Quod oportebat ostendere.

Et hoc est quod demonstrare voluimus.

Quod in hac figura demonstrare intendimus.

No Latin

Quod demonstrandum erat.

SCHOLION
CONVERTIT hoc theorema primam partem præcedentis. Nam ibi demonstratum est, si duo latera trianguli inter se æqualia fuerint, angulos, qui ad basim sunt, esse quoque æquales: Hic vero, si anguli ad basim sint æquales, latera quoque angulis illis opposita esse æqualia. Non autem mirum alicui debet videri, si Mathematici aliquando conuertunt propositiones, ita ut nunc ex antecedente quopiam concesso colligant per demonstrationem consequens aliquod, nunc vero rursus ex consequente hoc concesso inferant per aliam demonstrationem antecedens illud, ut ab Euclide in hisce duabus proximis propositionibus factum esse conspicimus: Non debet, inquam, videri mirum, quoniam non semper in rebus Mathematicis reciprocantur antecedens & consequens. Nam in propositionibus necessariis, quales sunt propositiones Geometricæ, potest interdum prædicatum esse uniuersalius subiecto, ut cum Dialecticis loquamur. Quare tunc non poterit conuerti propositio. Nam necessaria est hæc propositio; (Omnis homo est animal.) non tamen conuerti potest uniuersaliter, cum non omne animal sit homo. Ita quoque fieri potest in propositionibus Geometricis necessariis: Cuius ego rei vnum duntaxat nunc exemplum tale in medium proferam. Demonstrat Euclides propos. 16. huius lib. Si trianguli cuiusuis vnum latus producatur, angulum externum maiorem esse duobus internis sibi oppositis; In qua quidem propositione nullo modo antecedens, & consequens reciprocantur. Non enim sequitur, si figuræ cuiusuis rectilineæ uno latere producto, angulus externus maior sit singulis internis oppositis, figuram illam esse triangulum, cum possit etiam esse quadrilatera figura, ut ad propositionem 16. huius liber ostendemus. Eodemque modo multæ aliæ propositiones conuerti nequeunt. Quam ob rem necesse est, ut prius demonstret Geometra, propositionem aliquam conuerti, hoc est, antecedens, & consequens illius reciprocari, antequam ex consequente concesso colligat antecedens. Non conuertit autem Euclides omnes propositiones, quæ conuerti possunt, sed eas duntaxat, quarum conuersione maxime indiget: Nos tamen dabimus operam, ut fere omnes illas conuertamus, quæ aliquam videbuntur afferre utilitatem.

COROLLARIUM
SEQVITVR ex hac propositione, omne triangulum æquiangulum, id est, cuius omnes anguli sunt æquales, esse æquilaterum. Quod quidem conuersum est corollarij quintæ propositionis, ut liquet. Sint enim trianguli A B C, tres anguli æquales. Dico ipsum esse æquilaterum. Cum enim duo anguli B, & C, sint æquales, erunt latera A B, A C, æqualia. Rursus cum duo anguli A, & B, sint æquales, erunt quoque latera A C, B C, æqualia, & idcirco omnia tria latera A B, B C, A C, æqualia. Quod ostendendum erat.

EX PROCLO
LICEBIT nobis etiam conuertere secundam partem quintæ propositionis, hoc modo.
SI trianguli cuiuslibet productis duobus lateribus, anguli infra basim fiant æquales, & duo laterailla æqualia inter se erunt.
Trianguli enim A B C, productis lateribus A B, A C, ad D, & E, fiant anguli D B C, E C B, infra basim B C, æquales. Dico latera A B, A C, esse quoque inter se æqualia. Ex C E, quantumlibet producta abscindatur C F, æqualis ipsi B D, & ducantur rectæ B F, F D, D C. Considerentur deinde triangula D B C, F C B. In quibus cum latera D B, B C, æqualia sint lateribus F C, C B, utrumque utrique, nempe D B, ipsi F C, per constructionem, & B C, ipsi C B, quod sit unum & idem: sint autem & anguli D B C, F C B, dictis lateribus contenti æquales, per hypothesim: erunt & bases C D, B F, & anguli B C D, C B F, super has bases, cum opponantur æqualibus lateribus B D, C F, æquales. Ablatis igitur hisce angulis æqualibus B C D, C B F, ex angulis F C B, D B C, per bypothesin, æqualibus; remanebunt anguli F C D, D B F, æquales. Considerentur rursus triangula D B F, F C D. In quibus quoniam latera D B, B F, æqualia sunt lateribus F C, C D, utrumque utrique, nempe D B, ipsi F C, per constructionem, & B F, ipsi C D, ut modo ostensum est; Sunt autem & anguli contenti dictis lateribus D B F, F C D, æquales, ut eiam fuit nuper demonstratum: Erit angulus B D F, super basim D F, trianguli D B F, æqualis angula C F D, super eandem basim F D, trianguli F C D. Hi enim æqualibus lateribus opponuntur. Cum igitur in triangulo A D F, duo anguli A D F, A F D, sint æquales, ut nunc ostendimus, erunt latera A D, A F, æqualia. A quibus si rectæ B D, C F, per constructionem, æquales demantur, remanebunt A B, A C, latera trianguli A B C, æqualia.
Quod erat ostendendum.