lat ClaviusQuod erat demonstrandum.
SCHOLION
VT vides, hæc propositio conuertit primam partem propositionis quartæ. Sicut enim ibi ex æqualitate angulorum, qui lateribus æqualibus continentur, collecta fuit basium æqualitas; ita hic ex æqualitate basium concludit Euclides æqualitatem angulorum, qui lateribus æqualibus comprehenduntur. Possumus eodem modo ex prima, & tertia parte conclusionis quartæ propositionis inferre totum antecedens eiusdem, ita ut theorema proponatur in hanc formam.
SI duo triangula bases habuerint æquales, & angulos super bases constitutos æquales, utrumque utrique: Habebunt quoque reliqua latera æqualia, utrumque utrique, quæ videlicet æqualibus angulis subtenduntur, angulosque reliquos hisce lateribus inclusos æquales.
SIT enim basis B C, æqualis basi E F, & angulus B, angulo E, angulusque C, angulo D F E. Dico latus quoque A B, lateri D E, & latus A C, lateri D F, æquale esse, angulumque A, angulo D. Nam si basis basi superponatur, congruent sibi mutuo extrema earum, nec non & lineæ angulorum æqualium. Quare omnia sibi congruent, proptereaque omnia inter sese æqualia erunt. Verum hoc idem theorema a nobis propositum, quod quidem magis proprie conuertere videtur quartam propositionem, quam illud Euclidis, aliter demonstrabit Euclides in prima parte propositionis 26. ut eo loco monebimus.
COROLLARIUM
PORRO ex antecedente huius octauæ propositionis non solum colligi potest, angulos lateribus æqualibus contentos æquales esse, verum etiam reliquos angulos, qui ad bases constituuntur, utrumque utrique, ut angulum B, angulo E, & angulum C, angulo F; imo totum triangulum toti triangulo, ut constat ex eadem superpositione unius trianguli super alterum. Nam sibi mutuo congruent & dicti anguli, & tota triangula, ut perspicuum est. Quod etiam ex quarta propositio colligi poterit, postquam demonstratum fuerit, angulos æqualibus comprehensos lateribus æquales esse. Inde enim fiet, cum latera quoque sint æqualia, & reliquos angulos, & tota triangula esse æqualia, ut in propositio 4. demonstratum est.
EX PROCLO
PHILONIS familiares conantur hoc idem theorem a octavum ostenduns demonstratione affirmativa, hac ratione. Posito enim eodem antecedente, superponi intelligatur basis B C, basi E F, ita ut triangulum A B C, cadat in diuersas partes, & non super triangulum D E F, quare est triangulum A E F. Aut igitur duo latera, nempe D F, F A, constituunt unam lineam rectam, quod quidem continget, si duo anguli C, & F, recti extiterint; aut non. Si constituant unam lineam rectam, veluti D A, ita propositum concludetur. Quoniam in triangulo A E D, duo latera A E, D E, ponuntur æqualia (est enim nunc A E, recta eadem, quæ A B, quæ per hypothesin rectæ D E, æqualis est) erunt anguli A, & D, super basin A D, æquales, quod erat ostendendum. Si vero neque D E, F A, neque D E, E A, lineam rectam conficiant, ducatur ex D, ad A, linea recta D A, quæ vel cadet intra triangula, vel extra. Cadat primum intra, quod quidem accidet, quando anguli ad E, & F, sunt acuti. Quoniam igitur in triangulo A E D, duo latera A E, D E, æqualia ponuntur, erunt duo anguli E A D, E D A, æquales ad basim D A. Eadem ratione, cum duo latera A F, D F, æqualia sint per hypothesin, erunt duo anguli F A D, F D A, super basin D A, æquales. Si igitur hi æquales illis æqualibus addantur, fient toti anguli E A F, E D F, æquales. Quod erat ostendendum. Cadat deinde recta D A, extra triangula, quod demum fiet, quando anguli ad F, fuerint obtusi. Quoniam igitur in triangulo A E D, duo latera A E, D E, ponuntur æqualia, erunt anguli E A D, E D A, æquales super basin D A. Eadem ratione, cum duo latera A F, D F, in triangulo A F D, sint per hypothesin æqualia, erunt anguli F A D, F D A, super basin D A, æquales. His ergo a prioribus ablatis, remanebunt anguli E A F, E D F, æquales; Quod demonstrandum proponebatur.
Title
Book I
