lat ClaviusQuod erat ostendendum.
SCHOLION
QVAM recte Euclides dixerit, duas illas lineas intra triangulum constitutas, duci debere ab extremitatibus unius lateris, aperte intelligi potest ex eo, quod mox ex Proclo demonstrabimus; in triangulis videlicet rectangulis, vel etiam amblygoniis, intra triangulum constitui posse duas lineas super unum latus circa angulum rectum, vel obtusum, quarum quidem una ab extremitate dicti lateris, altera vero a quouis puncto prope aliud extremum lateris eiusdem educitur, quæ maiores sint reliquis duobus trianguli lateribus. Item in triangulis scalenis eodem modo super maximum latus duas rectas intra triangulum constitui posse, quæ minorem comprehendant angulum, &c.
EX PROCLO
SIT triangulum habens exempli gratia angulum A B C, obtusum. Dico ab extremo C, & a quouis puncto, nempe a D, prope aliud extremum B, lateris B C, duci posse duas lineas intra triangulum ad aliquod punctum, quæ maiores sint duobus lateribus B A, A C. Ducatur enim recta D A: Et quoniam in triangulo A B D, duo anguli A B D, A D B, minores sunt duobus rectis. Ponitur autem A B D, maior recto, nempe obtusus; erit A D B minor recto, ideoque minor angulo A B D. Quare latus A D, maius erit latere A B. Ex D A, abscindatur recta D E, æqualis rectæ A B. Et reliqua linea A E, bifariam diuidatur in F. Si igitur ab extremo C, ad F, recta dueatur C F, erunt duæ lineæ rectæ constitutæ C F, D F, intra triangulum maiores duobus lateribus B A, A C. Quoniam enim in triangulo A F C, duo latera A F, F C, maiora sunt latere A C. Est autem recta A F, ipsi F E, æqualis, per constructionem; erunt C F, F E, maiores quoque latere C A. Si igitur æqualia addantur E D, & A B, fient rectæ C F, F D, maiores lateribus C A, A B. Quod est propositum. Quod si ad F, ex B, extremo recta duceretur, essent duæ rectæ constitutæ C F, B F, minores duobus lateribus C A, A B, ut Euclides demontrauit.
RVRSVS sit triangulum scalenum A B C, cuius latus maximum B C, minimum A B. Ex B C, auferatur B D, æqualis rectæ A B, & ducatur A D, recta, ad cuius punctum quodlibet, ut ad E, ab extremo C, recta ducatur C E. Constitutæ igitur erunt intra triangulum duæ lineæ C E, D E, quæ minorem angulum comprebendunt eo, quem efficiunt duo latera A B, A C. Cum enim duo tatera B A, B D, æqua lia sint, erunt duo anguli B A D, B D A, æquales: Sed B D A, angulus maior est angulo C E D. Maior igitur erit & angulus B A D, angulo C E D. Quare multo maior erit totus angulus B A C, angulo C E D. Quod est propositum. Recte igitur Euclides monuit, duas lineas intra triangulum constitutas educi debere, ab extremis punctis unius lateris, ut minores quidem sint duob us reliquis trianguli lateribus, maiorem vero complectantur angulum. Alias enim propositio vera non esset, ut iam est demonstratum.
Title
Book I
