lat Clavius
SCHOLION
INVENTIO huius theorematis ad Pythagoram refertur, qui, ut scribit Vitruvius lib. 9. hostias Musis immolauit, quod se in tam præclaro inuento adiuverint. Sunt qui putent, eum immolasse centum boues: si tamen Proclo credendum est, unum tantummodo obtulit. Fortasse autem Pythagoras, ut nonnulli volunt, ex numeris occasionem sumpsit; ut theorema hoc inuestigaret. Cum enim hos tres numeros 3. 4. 5. diligenter esset contemplatus, vidissetque quadratum numerum maioris æqualem esse quadratis numeris reliquorum, composuit triangulum scalenum, cuius maximum latus diuisum erat in 5. partes æquales, minimum in 3. eiusdem magnitudinis, & reliquum in 4. Quo facto, considerauit angulum sub his duobus lateribus contentum, inuenitque eum esse rectum. Idque in quamplurimis aliis numeris, ut in 6. 8. 10. & 9. 12. 15. &c. obseruauit. Quare inquirendum esse iudicauit, num in omni triangulo rectangulo quadratum lateris, quod recto angulo opponitur, reliquorum laterum quadratis æquale esset, quandoquidem omnia triangula, quorum latera habebant magnitudinem secundum dictos numeros, continebant unum angulum rectum: Atque itæ tandem mirabile hoc theorema maxima animi voluptate adinuenit, firmaque ratione demonstrauit. Quod tamen Euclides mirandum in modum amplificauit lib. 6. propos. 31. Ubi demonstrauit, non solum quadratum lateris, quod recto angulo opponitur, æquale esse quadratis reliquorum duorum laterum; Verum etiam figuram quamlibet rectilineam super latus recto angulo oppositum constructam, sine ea sit triangulum, sine quadrangulum, &c. æqualem esse duabus figuris, quæ super reliqua latera describuntur, dummodo priori sint similes, similiterque descriptæ, ut ibidem ostendemus.
CAETERVM quoniam mentionem fecimus trium numerorum, quorum maximi quadratum æquale est quadratis reliquorum, non abs re fuerit, paucis explicare, quonam pacto huiusmodi numeri inueniantur. Habitis igitur his tribus numeris 3. 4. 5. si duplicentur, habebuntur alii tres, 6. 8. 10. si iidem triplicentur, exurgent alii tres 9. 12. 15. & si quadruplicentur, inuenientur hi tres 12. 16. 20. Atque ita reperientur quotcunque alii, si primi illi tres per quemcunque multiplicentur numerum. Traduntur tamen a Proclo duæ regulæ, quibus inueniuntur prædicti numeri, nulla babita ratione illorum trium. Prima ascribatur Pythagoræ, & est huiusmodi. Sumatur pro minimo quicunque numerus impar, ut 5. ex quo ita alios reperies. Ex quadrato numeri accepti, ut hic ex 25. reiice unitatem. Nam reliqui numeri dimidium, videlicet 12. erit alter numerus, cui si addatur unitas, exurget tertius numerus 13. Huius igitur quadratum æquale est quadratis aliorum. Quod si numerus impar acceptus fuiet 3. essent reliqui duo inuenti per hanc regulam 4. & 5. Secunda regula tribuitur Platoni, quæ talis est. Accipiatur numerus quicunque par, nempe 6. Ex huius dimidii quadrato, nimirum 9. detrahe unum, eidemque adde unum, habebisque reliquos dues numeros 8. & 10. primus autem est 6. nimirum numerus par acceptus. Hac regula si accipiatur par 10. reperientur alii due 24. & 26.
COLLIGVNTVR ex celeberrimo hoc Pythagoræ inuento plurimæ scitu non iniucunda tam theoremata, quam problemata, e quibus visum est ea duntaxat in medium proferre, quæ utilitatem magnam rebus Geometricis allatura creduntur, initium hinc sumentes.
SI in quadrato quouis diameter ducatur, quadratum a diametro descriptum duplum erit prædicti quadrati.
IN quadrate A B C D, ducatur diameter A C. Dico quadratum diametri A C, duplum esse quadrati A B C D. Cum enim in triangulo A B C, angulus B, rectus sit, erit quadratum lateris A C, æquale duobus quadratis laterum A B, B C. Cum igitur quadrata linearum A B, B C, æqualia sint, quod lineæ A B, B C, sint æquales, erit quadratum diametri A C, duplum cuiuslibet illorum, ut quadrati lineæ A B, hoc est, quadrati A B C D. Quod est propositum.
QVADRATVM diametri figuræ altera parte longioris æquale est duobus quadratis laterum inæqualium.
IN altera parte longiori A B C D, ducatur diameter A C; & quia in triangulo A B C, angulus B, est rectus, erit quadratum lateris A C, æquale duobus quadratis laterum inæqualium A B, B C. Quod est propositum.
SI fuerint duo triangula rectangula, quorum latera rectis angulis opposita sint æqualia, erunt duo quadrata reliquorum duorum laterum unius trianguli æqualia duobus quadratis reliquorum duorum laterum alterius.
TRIANGVLORVM A B C, D E F, anguli A, & D, sint recti, lateraque opposita B C, E F, æqualia. Dico duo quadrata laterum A B, A C, simul sumpta æqualia esse duobus quadratis laterum D E, D F, simul sumptis. Nam quadratæ linearum B C, E F, æqualia inter se sunt, cum & ipsæ lineæ inter se ponantur æquales. Quadrato autem lineæ B C, æqualia sunt quadrata linearum A B, A C. Et quadrato lineæ E F, æqualia sunt quadrata linearum A B, A C; Et quadrato lineæ E F, æqualia sunt quadrata linearum D E, D F: Perspicuum ergo est, quod ponitur.
DVOBVS quadratis inæqualibus propositis, inuenite alia duo quadrata, quæ & æqualia sint inter se, & simul sumpta æqualia duobus inæqualibus propositis simul sumptis.
SINT A, & B, latera duorum quadratorum in æqualium; Fiat angulus rectus D C E, sitque D C, recta æqualis rectæ B, & recta C E, rectæ A. Ducta deinde recta D E, coniungente duo puncta D, E, constituantur super ipsam duo anguli semirecti D E F, E D F, coeantque rectæ D F, E F, in F. Quoniam igitur in triangulo F D E, ænguli F D E, F E D, æquales sunt; erunt & latera D F, E F, æqualia, ideoque & quadrata eorundem laterum æqualia. Dico iam, eadem quadrata linearum D F, E F, æqualia esse quadratis linearum A, & B, hoc est, quadratis linearum C E, & C D. Nam cum in triangulo D E F, anguli F D E, F E D, faciant unum rectum; erit reliquus angulus F, rectus. Quamobrem erunt quadrata linearum D F, E F, æqualia quadrato lineæ D E; Sed eidem quadrato lineæ D E, æqualia sunt quoque quadrata linearum C D, C E. Igitur quadrata linearum D F, E F, æqualia sunt quadratis linearum D C, E C. Quod est propositum.
PROPOSITIS duabus lineis inæqualibus, inuenire id, quo plus potest maior, quam minor.
POTENTIA lineæ rectæ dicitur eius quadratum. Tantum enim quæuis recta linea posse dicitur, quantum est eius quadratum. Sint ergo duæ lineæ inæquales A, & B, oporteatque cognoscere, quanto maius sit quadratum maioris lineæ A, quam minoris B. Ex quauis linearecta C D; sumatur C E, æqualis rectæ A, & E F, æqualis rectæ B. Deinde centro E, & interteruallo E C, semicirculus deseribatur C G D; & ex F, ducatur F G, perpendicularis ad C D. Dico quadratum rectæ A, hoc est rectæ C E, sibi æqualis, maius esse, quam quadratum rectæ B, hoc est, recta E F, sibi æqualis, quadrato rectæ F G. Ducta enim recta E G, erit eius quadratum æquale quadratis rectarum E F, F G, hoc est, quadratum rectæ E C, illi æquale, superabit quadratum rectæ E F, quadrato rectæ F G. Quod est propositum.
PROPOSITIS quotcunque quadratis, siue æqualibus, siue inæqualibus, inuenire quadratum omnibus illis æquale.
SINT latera quinque quadratorum A, B, C, D, E. oporteatque inuenire quadratum æquale omnibus illis quinque. Fiat angulus rectus F G H, sitque recta F G, æqualis rectæ A, & recta G H, rectæ B; Ducta deinde recta H F, fiat angulus rectus F H I, sitque H I, æqualis rectæ C. Ducta rursus recta I F, fiat angulus rectus F I K, sitque I K, æqualis rectæ D. Ducta denique recta K F, fiat angulus rectus F K L, sitque K L, æqualis rectæ E, ducaturque recta F L. Dico quidratum rectæ F L, æquale esse quinque quadratis propositis. Quadratum enim rectæ F H, æquale est quadratis rectarum F G, G H, hoc est, quadratis rectarum A, & B. Rursus quadratum rectæ F I, æquale est quadratis rectarum F H, H I, & idcirco quadratis rectarum A, B, & C. Item quadratum rectæ F K, æquale est quadratis rectarum F I, I K, idcoque quadratis rectarum A, B, C, & D Denique quadratum rectæ F L, æquale est quadratis rectarum F K, K L, ac propterea quadratis rectarum A, B, C, D, & E. Quod est propositum.
PROPOSITIS duobus quadratis quibuscunque, alteri illorum adiungere figuram, quæ reliquo quadrato sit æqualis, ita ut tota figura composita sit etiam quadrata.
SINT duo quadrata A B C D, E F G H, propositumque sit quadrato A B C D, apponere figuram, quæ sit æqualis quadrato E F G H, &c. Sumatur recta B I, æqualis rectæ F G, lateri quadrati E F G H, Ducta autem recta A I, & producta recta B A, ad partes A, accipiatur B K, æqualis rectæ A I, perficiaturque quadratum B K L M. Dico figuram A D C M L K, quadrato A B C D, adiunctam, æqualem esse quadrato E F G H. Quoniam enim quadratum rectæ A I, hoc est, quadratum B K L M, æquale est quadratis rectarum A B, B I, hoc est, quadratis A B C D, E F G H; Si auferatur commune quadratum A B C D, remanebit figura A D C M L K æqualis quadrato E F G H. Quod est propositum.
COGNITIS duobus lateribus quibuscunque trianguli rectanguli, in cognitionem reliquilateris peruenire.
SIT angulus A, rectus in triangulo A B C, sintque primum cognita latera A B, A C, circa angulum rectum, quorum A B, ponatur 6. palmorum, & A C, 8. Quoniam igitur quadrata rectarum A B, A C, nempe quadrati palmi 36. & 64. æqualia sunt quadrato rectæ B C; Si illa coniungantur simul, efficietur hoc quadratorum palmorum 100. Latus ergo B C, continebit 10. palmos. Tantum enim est latus, seu radix quadrata 100. palmorum, ut perspicuum est apud Arithmeticos. Sint deinde cognita latera A B, B C, sitque A B, 6. palmorum, & B C, 10. Quoniam igitur quadrata rectarum A B, A C, æqualia sunt quadrato rectæ B C; Si quadratum rectæ A B, quod continet palmos 36. detrabatur ex quadrato rectæ B C, quod est palmorum 100. remanebit quadratum rectæ A C, 64. palmorum. Latus ergo A C, continebit 8. palmos. Tan- ta enim est radix quadrata, seu radix 64. palmorum. Quod est propositum. Cæterum non semper hac arte inuenientur numeri rationales, quia non omnis numerus habet latus, radicemve quadratam, ut notum est apud Arithmeticos. Unde latus inuentum sæpe numero exprimi nequit, nisi per radicem surdam, quam vocant: Sed de his alias.
THEOREMATE porro hoc Pythagoreo multo uniuersalius est illud, quod a Pappo demonstratur in omni triangulo, siue illud rectangulum sit, siue non, & de quibuscunque parallelogrammis super latera trianguli constructis tam rectangulis, quam non rectangulis, etiamsi non sint inter se æquiangula. Quod nos in formam theorematis redigentes, clarius hoc modo proposuimus, & meo iudicio generalius adbuc, quam Pappus.
IN omni triangulo, parallelogramma quæcunque super duobus lateribus descripta, æqualia sunt parallelogrammo super reliquo latere constituto, cuius alterum latus æquale sit, & parallelum rectæ ductæ ab angulo, quem duo illa latera comprehendunt, ad punctum, in quo conueniunt latera parallelogrammorum lateribus trianguli opposita, si ad partes anguli illius producantur.
SIT triangulum quodcunque A B C, constituanturque super latera A B, A C, parallelogramma quæcunque A B D E, A C F G, quorum latera D E, F G, quæ lateribus A B, A C, assumptis in triangulo opponuntur, producta ad partes anguli A, dictis lateribus A B, A C, comprehensi, conueniant in H, ducaturque recta A H. Dico parallelogramma A D, A F, æqualia esse parallelogrammo super latus B C, descripto, cuius alterum latus æquale sit, & parallelum rectæ A H. Producta enim H A, secet B C, in L, & per B, C, agantur B I, C K, parallelæ ipsi A H, iungaturque rectæ I K. Quoniam igitur parallelogramma sunt B I, H A, C K H A; erit utraque B I, C K, ipsi A H, æqualis; atque adeo & inter se æquales erunt B I, C K; quæ cum sint etiam parallelæ, quod eidem A H, parallelæ sint; erunt quoque B C, I K, parallelæ, & æquales. Quare parallelogrammum est B C K I, super latus B C, habens alterum latus B I, rectæ A H, æquale, & parallelum: Cuiquidem æqualia ostendenda sunt parallelogramma A D, A F. Quia ergo æqualia sunt parallelogramma A D, A B I H, quod eandem habeant basin A B, in eisdemque sint parallelis A B, H D; Est autem A B I H, parallelogrammo I L, æquale, quod illud cum hoc etiam eandem babeat basin B I, in eisdemque sit parallelis B I, L H: Erit quoque A D, eidem I L, æquale. Non aliter ostendemus, A F, ipsi K L, esse æquale: Quare parallelogramma A D, A F, parallelogrammo B K, æqualia sunt. Quod est propositum.
PAPPVS construit figuram aliter. Nam sumit rectas A C, A E, & A B, A G, in directum positas, ita ut parallelogramma A D, A F, sint æquiangula, habentia angulos A E D, A G F angulo B A C, internos externo æquales, ceu hæc eius figura indicat. Sed nos uniuersalius rem proposuimus, ut manifestum est.
Title
Book I
