第三界
比例者。兩幾何以幾何相比之理。
兩幾何者。或兩數。或兩線。或兩面。或兩體。各以同類大小相比。謂之比例。若線與面、或數與線、相比。此異類。不為比例。又若白線與黑線、熱線與冷線、相比。雖同類。不以幾何相比。亦不為比例也。
比例之說在幾何為正用。亦有借用者。如時。如音。如聲。如所如動。如稱之屬。皆以比例論之。
凡兩幾何相比。以此幾何比他幾何。則此幾何為前率。所比之他幾何為後率。如以六尺之線、比三尺之線。則六尺為前率。三尺為後率也。反用之。以三尺之線。比六尺之線。則三尺為前率。六尺為後率也。比例為用甚廣。故詳論之。如左。
凡比例有二種。有大合。有小合。以數可明者、為大合。如二十尺之線、比十尺之線、是也其非數可明者、(p. 二一三)為小合。如直角方形之兩邊、與其對角線。可以相比、而非數可明者、是也。
如上二種。又有二名。其大合者、為有兩度之線。如二十尺、比八尺、兩線為大合。則二尺、四尺、皆可兩度之者、是也。如此之類。凡數之比例。皆大合也。何者。有數之屬。或無他數可兩度者。無有一數不可兩度者。若七比九。無他數可兩度之。以一、則可兩度之也。其小合線、為無兩度之線。如直角方形之兩邊、與其對角線、為小合。卽分至萬分、以及無數。終無小線、可以盡分、能度兩率者、是也。此論詳見　\\　十卷末題
小合之比例。至十卷詳之。本篇所論。皆大合也。
凡大合有兩種。有等者。如二十比二十。十尸之線、比十尺之線。是也。有不等者。如二十比十。八比四十。六尺之線比二尺之線。是也。
如上等者。為相同之比例。其不等者。又有兩種。有以大不等。如二十比十是也。有以小不等。如十比二十是也。大合比例之以大不等者。又有五種。一為幾倍大。二為等帶一分。三為等帶幾分。四為幾倍大帶一分。五為幾倍大帶幾分。
一為幾倍大者。謂大幾何內。有小幾何或二、或三、或十、或八也。如二十與四。是二十內。為四者五。如三十尺之線、與五尺之線。是三十尺內。為五尺者六。則二十與四。名為五倍大之比例也。三十尺與五尺。名為六倍大之比例也。倣此為名。可至無窮也。
二為等帶一分者。謂大幾何內。旣有小之一。別帶一分。此一分。或元一之半。或三分之一四分之一。以(p. 二一四)至無窮者。是也。如三與二。是三內旣有二。別帶一。一為二之半。如十二尺、之線。是十二內旣有九。別帶三。三為九三分之一。則三與二。名為等帶半也。十二尺與九尺。名為等帶三分之一也。
三為等帶幾分者。謂大幾何內。旣有小之一。別帶幾分。而此幾分、不能合為一盡分者。是也。如八與五。是八內旣有五。別帶三一。每一各為五之分。而三一不能合而為五之分也。他如十與八。其十內旣有八。別帶二一。雖每一各為八之分。與前例相似。而二一卻能為八四分之一。是為帶一分。屬在第二。不屬三也。則八與五。名為等帶三分也。又如二十二、與十六。卽名為等帶六分也。○四為幾倍大帶一分者。謂大幾何內。旣有小幾何之二、之三、之四、等。別帶一分。此一分。或元一之半。或三分、四分、之一、以至無窮者。是也。如九與四。是九內旣有二四。別帶一。一為四四分之一。則九與四。名為二倍大帶四分之一也。
五為幾倍大帶幾分者。謂大幾何內。旣有小幾何之二、之三、之四、等。別帶幾分。而此幾分。不能合為一盡分者。是也。如十一與三。是十一內旣有三三。別帶二一。每一各為三之分。而二一。不能合而為三之分也。則十一與三。名為三倍大帶二分也。
大合比例之以小不等者。亦有五種。俱與上以大不等五種。相反為名。一為反幾倍大。二為反等帶一分。三為反等帶幾分。四為反幾倍大帶一分。五為反幾倍大帶幾分。
凡比例諸種。如前所設諸數。俱有書法。書法中。有全數。有分數。全數者。如一、二、三、十、百、等。是也。分數者。(p. 二一五)如分一以二、以三、以四、等是也。書全數。依本數書之。不必立法。書分數。必有兩數。一為命分數。一為得分數。卽如分一以三而取其二。則為三分之二。卽三為命分數。二為得分數也。分一為十九而取其七。則為十九分之七。卽十九為命分數。七為得分數也。
書以大、小、不等各五種之比例。其一幾倍大以全數書之。如二十與四。為五倍大之比例。卽書五、是也。若四倍、卽書四。六倍、卽書六也。其反幾倍大。卽用分數書之。而以大比例之數、為命分之數。以一為得分之數。如大為五倍大之比例。則此書五之一、是也。若四倍、卽書四之一。六倍、卽書六之一也。
其二等帶一分之比例。有兩數。一全數。一分數。其全數恆為一。其分數。則以分率之數、為命分數。恆以一為得分數如三與二。名為等帶半。卽書一。別書二之一也。其反等帶一分。則全用分數。而以大比例之命分數、為此之得分數。以大比例之命分數、加一。為此之命分數。如大為等帶二之一。卽此書三之二也。又如等帶八分之一。反書之。卽書九之八也。又如等帶一千分之一。反書之。卽書一千○○一之一千也。
其三等帶幾分之比例。亦有兩數。一全數。一分數。其全數亦恆為一。其分數。亦以分率之數、為命分數。以所分之數、為得分數。如十與七。名為等帶三分。卽書一。別書七之三也。其反等帶幾分。亦全用分數。而以大比例之命分數、為此之得分數。以大比例之命分數、加大之得分數。為此之命分數。如大為等帶七之三。命數七。得數三。七加三為十。卽書十之七也。又如等帶二十之三。反書之。二十加三。卽書二(p. 二一六)十三之二十也。
其四幾倍大帶一分之比例。則以幾倍大之數、為全數。以分率之數、為命分數。恆以一為得分數。如二十二與七。二十二內。旣有三七。別帶一。一為七七分之一。名為三倍大帶七分之一。卽以三為全數。七為命分數。一為得分數。書三。別書七之一也。其反幾倍大帶一分。則以大比例之命分數、為此之得分數。以大之命分數、乘大之倍數。加一。為此之命分數。如大為三帶七之一。卽以七乘三、得二十一。又加一。為命分數。書二十二之七也。又如五帶九之一。反書之。九乘五、得四十五。加一、為四十六。卽書四十六之九也。
其五幾倍大帶幾分之比例。亦以幾倍大之數、為全數。以分率之數、為命分數。以所分之數、為得分數。如二十九與八。二十九內。旣有三八。別帶五一。名為三倍大帶五分。卽以三為全數。八為命分數。五為得分數。書三。別書八之五也。其反幾倍大帶幾分。則以大比例之命分數、為此之得分數。以大比例之命分數、乘大之倍數。加大之得分數。為此之命分數。如大為三帶八之五。卽以八乘三、得二十四。加五、為二十九。書二十九之八也。又如四帶五之二。卽書二十二之五也。
己上大小十種。足盡比例之凡。不得加一、減一。
第四界
兩比例之理相似。為同理之比例。(p. 二一七)
兩幾何相比。謂之比例。兩比例相比謂之同理之比例如甲與乙、兩幾何之比例。偕丙與丁、兩幾何之比例。其理相似。為同理之比例。又若戊與己、兩幾何之比例。偕己與庚、兩幾何之比例。其理相似。亦同理之比例。
凡同理之比例。有三種。有數之比例。有量法之比例。有樂律之比例。本篇所論。皆量法之比例也。量法比例。又有二種。一為連比例。連比例者。相續不斷。其中率、與前、後、兩率。遞相為比例。而中率旣為前率之後。又為後率之前。如後圖。戊與己比。己又與庚比。是也。二為斷比例。斷比例者。居中兩率一取不再用。如前圖。甲自與乙比。丙自與丁比。是也。