第五界
兩幾何。倍其身而能相勝者。為有比例之幾何。
上文言為比例之幾何。必同類。然同類中。亦有無比例者。故此界顯有比例之幾何也。曰倍其身而能相勝者。如三尺之線、與八尺之線。三尺之線。三倍其身。卽大於八尺之線。是為有比例之線也。又如直角方形之一邊、與其對角線。雖非大合之比例。可以數明。而直角方形之一邊。一倍之。卽大於對角線。兩邊等三角形。其兩邊幷。　\\　必大於一邊。見一卷二十。是亦有小合比例之線也。又圜之徑。四倍之、卽大於圜之界。則圜之徑與界。(p. 二一八)亦有小合比例之線也。圜之界、當三徑七分徑　\\　之一弱。別見圜形書。又曲線與直線。亦有比例。如以大小兩曲線相合。為初月形。別作一直角方形。與之等六卷三十三　\\　一增題今附卽曲直兩線相視。有大、有小。亦有比例也。又方形與圜。雖自古至今。學士無數。不能為相等之形。然兩形相視。有大、有小。亦不可謂無比例也。又直線角與曲線角。亦有比例。如上圖。直角、鈍角、銳角。皆有與曲線角等者。若第一圖。甲乙丙直角。在甲乙、乙丙、兩直線內。而其間設有甲乙丁、與丙乙戊、兩圜分角等。卽於甲乙丁角、加甲乙戊角。則丁乙戊曲線角。與甲乙丙直角等矣。依顯壬庚癸曲線角。與己庚辛鈍角等也。又依顯卯丑辰曲線角。與子丑寅銳角。各減同用之子丑、丑辰、內圜小分。卽兩角亦等也。此五者。皆疑無比例。而實有比例者也。他若有窮之線、與無窮之線。雖則同類。實無比例。何者。有窮之線。畢世倍之。不能勝無窮之線故也。又線與面。面與體。各自為類。亦無比例。何者。畢世倍線。不能及面。畢世倍面。不能及體。故也。又切圜角、與直線銳角。亦無比例。何者。依三卷十六題所說。畢世倍切邊角。不能勝至小之銳角。故也此後諸篇中。每有倍此幾何。令至勝彼幾何者。故備著其理。以需後論也。