第五界
比例以比例相結者。以多比例之命數、相乘、除、而結為一比例之命數。
此各比例、不同理、而相聚為一比例者。則用相結之法。合各比例之命數。求首尾一比例之命數也。曷為比例之命數。謂大幾何、所倍於小幾何若干。或小幾何、在大幾何內若干也。如大幾何、四倍於小。或(p. 二八一)小幾何、為大四分之一。卽各以四為命比例之數也。五卷界　\\　說三今言以彼多比例之命數、相乘、除、而結為此一比例之命數者。如十二倍之此比例。則以彼二倍、六倍、兩比例相結也。二六相乘為十二、故也。或以彼三倍、四倍、兩比例相結也。三四相乘亦十二、故也。又如三十倍之此比例。則以彼二倍、三倍、五倍、三比例相結也。二乘三為六、六乘五為三十、故也。其曰相結者。相結之理。蓋在中率。凡中率為前比例之後。後比例之前。故以二比例合為一比例。則中率為輳合之因。如兩爿合。此為之膠。如兩襟合。此為之紐矣。第五卷第十界、言數幾何為同理之比例。則第一與第三、為再加之比例。再加者。以前中二率之命數。再加為前後二率之命數。亦以中率為紐也。但彼所言者。多比例同理。故止以第一比例之命數累加之。此題所言。則不同理之多比例。不得以第一比例之命數累加之。故用此乘除相結之理。于不同理之中。求其同理。別為累加之法。其紐結之義。頗相類焉。下文仍發明借象(p. 二八二)之術、以需後用也。
五卷言多比例同理者。第一、與第三為再加。與第四為三加。與第五為四加。以至無窮。今此相結之理。亦以三率為始。三率。則兩比例相乘除、而中率為紐也。若四率。則先以前三率之兩比例、相乘除、而結為一比例。復以此初結之比例、與第三比例乘除、相結為一比例也。若五率。則先以前三率之兩比例、乘除相結。復以此再結之比例、與第三比例、乘除相結。又以三結之比例、與第四比例、乘除相結、為一比例也。或以第一第二第三率之兩比例、乘除相結。以第三第四第五之兩比例、乘除相結。又以此二所結比例、乘除相結、而為一比例也。自六以上。倣此以至無窮。
設三幾何、為二比例、不同理、而合為一比例。則以第一與二、第二與三、兩比例相結也。如上圖。三幾何、(p. 二八三)二比例。皆以大不等者。其甲乙與丙丁為二倍大丙丁與戊己為三倍大。則甲乙與戊己、為六倍大。二乘三為六也。若以小不等。戊己為第一。甲乙為第三。三乘二亦六。則戊己與甲乙、為反六倍大也。
甲乙與丙丁。旣二倍大。試以甲乙二平分之。為甲庚、庚乙。必各與丙丁等。丙丁與戊己。旣三倍大。而甲庚、庚乙、各與丙丁等。卽甲庚亦三倍大于戊己。庚乙亦三倍大於戊己。而甲乙必六倍大於戊己。

又如上圖。三幾何、二比例。前以大不等。後以小不等者。中率小于前後兩率也。其甲乙與丙丁、為三倍大。丙丁與戊己、為反二倍大。反二倍大者。丙　\\　丁得戊己之半。卽甲乙與戊己、為等帶半。三乘半。得等帶半也。若以戊己為第一。甲乙為第三。反推之。半除三。為反等帶半也。
又如上圖。三幾何、二比例。前以小不等。後以大不等者。中率大於前後二率也。其甲乙與丙丁、為反二倍大。甲乙得丙　\\　丁之半。丙丁與戊己、為等帶三分之一。卽甲乙與戊己、為反等帶半。甲乙得戊己　\\　三分之二。何者。如甲乙二。卽丙丁當四。丙丁四。卽戊己當三。是甲乙二。戊己當三也。
後增。其乘除之法。則以命數三。帶得數一。為四。以半除之得二。二比三、為反等帶半也。若以戊己為第(p. 二八四)一。甲乙為第三。三比二、為等帶半也。
設四幾何、為三比例、不同理、而合為一比例。則以第一與二、第二與三、第三與四、三比例相結也。如上圖。甲、乙、丙、丁、四幾何、三比例。先依上論。以甲與乙、乙與丙、二比例、相結。為甲與丙之比例。次以甲與丙、丙與丁、相結。卽得甲與丁之比例也。如是遞結。可至無窮也。
或用此圖、申明本題之旨曰。甲與乙之命數為丁。乙與丙之命數為戊。卽甲與丙之命數為己。何者。三命數、以一丁、二戊、相乘得三己。卽三比例、以一甲與乙、二乙與丙、相乘得三甲與丙、
後增。若多幾何、各帶分、而多寡不。等者。當用通分法。如設前比例、為反五倍帶三之二。後比例、為二倍大帶八之一。卽以前命數三、通其五倍、為十五。得分數從之、為十七。是前比例為三與十七也。以後命數八、通其二倍、為十六。得分數從之、為十七。是後比例為十七與八也。卽首尾二幾何之比例。為三與八。得(p. 二八五)幾二倍大帶三之二也。
曷謂借象之術。如上所說、三幾何、二比例者。皆以中率為前比例之後。後比例之前。乘除相結。略如連比例之同用一中率也。而不同理。別有二比例異中率者。是不同理之斷比例也。無法可以相結。當于其所設幾何之外。別立三幾何、二比例、而同中率者。乘除相結。作為儀式。以彼異中率之四幾何、二比例。依倣求之。卽得。故謂之借象術也。假如所設幾何。十六為首。十二為尾。却云十六與十二之比例。若十六＃八＃廿四＃十六＃六＃廿四＃十六＃六＃廿四＃三＃九＃＃九＃三六＃＃二＃八＃二＃九＃＃四＃三六＃＃四＃八十二＃四＃十八＃十二＃二＃十八＃十二＃九＃十八十六＃四＃廿四＃十六＃四＃廿四＃十六＃四＃廿四＃九＃五四＃＃二＃十二＃＃六＃三六＃六＃五四＃＃六＃十二＃＃二＃三六十二＃二＃十八＃十二＃九＃十八＃十二＃一＃十八八與三、及二與四之比例。八為前比例之前。四為後比例之後。三與二、為前之後、後之前。此所謂異中率也。欲以此二比例、乘除相結。無法可通矣。用是別立三幾何、二比例。如其八與三、二與四、之比例。而務令同中率。如三其八、得二十四。為前比例之前。三其三、得九。為前比例之後。卽以九為後比例之前。又求九與何數為比例、若二與四。得十八。為後比例之後。其二十四與九。若八與三也。九與十八。若二與四也。則十六與十二。若二十四與十八。俱為等帶半之比例矣。是用借象之術。變異中率為同中率。乘除相結。而合二比例為一比例也。其三比例以上。亦如上方所說。展轉借象。遞結之。　詳見本卷二十三題。算家所用借象金法、雙金法、俱本此。