Bibliotheca Polyglotta

Euclid: Elementa

Πόρισμα
Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοί, ὡς οἱ Δ, Ε, καὶ εὐθεῖα, ὡς ἡ Α, δύνατόν ἐστι ποιῆσαι ὡς ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν, οὕτως τὴν εὐθεῖαν πρὸς εὐθεῖαν.
ἐὰν δὲ καὶ τῶν Α, Ζ μέση ἀνάλογον ληφθῇ, ὡς ἡ Β, ἔσται ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, τουτέστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.
ἀλλ᾽ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ζ, οὕτως ἐστὶν ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν:
γέγονεν ἄρα καὶ ὡς ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α εὐθείας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β εὐθείας:
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

eng

PORISM.
From this it is manifest that, if there be two numbers, as D, E, and a straight line, as A, it is possible to make a straight line [F] such that the given straight line is to it as the number D is to the number E.
And, if a mean proportional be also taken between A, F, as B, as A is to F, so will the square on A be to the square on B, that is, as the first is to the third, so is the figure on the first to that which is similar and similarly described on the second. [VI. 19, Por.]
But, as A is to F, so is the number D to the number E;
therefore it has been contrived that, as the number D is to the number E, so also is the figure on the straight line A to the figure on the straight line B.
Q. E. D.

lat Sic

(Porisma)
Ex hoc ergo manifestum quoniam si fuerint duo numeri ut D, E, et recta ut A, possibile est facere (rectam) ut D numerum ad E numerum ita rectam ad rectam. Si vero et quantitatum A, Z media proportionalis sumatur ut B, erit ut recta A ad rectam Z ita quod a recta A ad id quod a recta B hoc est sicut prima ad tertiam, [hoc est, ut recta A ad rectam Z,] ita quod a prima ad id quod a secunda simile et similiter scriptum. Verum ut recta A ad rectam Z ita est D numerus ad E numerum. Sit ergo et sicut D numerus ad E numerum ita quod ab A recta ad id quod a recta B.

Aliter.
Due enim quantitates A, B ad se invicem proportionem habeant quam numerus G ad numerum D. Dico quoniam commensurabiles sunt A, B quantitates.
Quot enim sunt in numero G unitates in totidem equalia dividatur quantitas A et uni eorum equale esto quantitas E. Est ergo ut unitas ad G numerum ita E ad A. Est autem ut numerus G ad D ita quantitas A ad B. Per equale ergo est ut unitas ad D numerum ita quantitas E ad B. Metitur autem unitas numerum D. Metitur ergo et quantitas E quantitatem B. Metiebatur autem et A quoniam et unitas numerum G. Quantitas ergo E utramque quantitatum A, B metitur. Quantitates ergo A, B commensurabiles sunt et est ipsarum communis mensura E.

No Latin

No Latin

No Latin

No Arabic

No Arabic

No Arabic