Bibliotheca Polyglotta

Euclid: Elementa

Πόρισμα
Καὶ φανερὸν ἐκ τῶν δεδειγμένων ἔσται, ὅτι αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει [εἴπερ τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, τὰ δὲ λόγον ἔχοντα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρά ἐστιν. ὥστε αἱ μήκει σύμμετροι εὐθεῖαι οὐ μόνον [εἰσὶ] μήκει σύμμετροι, ἀλλὰ καὶ δυνάμει.
πάλιν ἐπεί, ὅσα τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, μήκει ἐδείχθη σύμμετρα καὶ δυνάμει ὄντα σύμμετρα τῷ τὰ τετράγωνα λόγον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ὅσα ἄρα τετράγωνα λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀλλὰ ἁπλῶς, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρα μὲν ἔσται αὐτὰ τὰ τετράγωνα δυνάμει, οὐκέτι δὲ καὶ μήκει: ὥστε τὰ μὲν μήκει σύμμετρα πάντως καὶ δυνάμει, τὰ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει, εἰ μὴ καὶ λόγον ἔχοιεν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
λέγω δή, ὅτι [καὶ] αἱ μήκει ἀσύμμετροι οὐ πάντως καὶ δυνάμει, ἐπειδήπερ αἱ δυνάμει σύμμετροι δύνανται λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ διὰ τοῦτο δυνάμει οὖσαι σύμμετροι μήκει εἰσὶν ἀσύμμετροι. ὥστε οὐχ αἱ τῷ μήκει ἀσύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, ἀλλὰ δύνανται μήκει οὖσαι ἀσύμμετροι δυνάμει εἶναι καὶ ἀσύμμετροι καὶ σύμμετροι.
αἱ δὲ δυνάμει ἀσύμμετροι πάντως καὶ μήκει ἀσύμμετροι: εἰ γὰρ [εἰσι] μήκει σύμμετροι, ἔσονται καὶ δυνάμει σύμμετροι. ὑπόκεινται δὲ καὶ ἀσύμμετροι: ὅπερ ἄτοπον. αἱ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροι πάντως καὶ μήκει].

eng

PORISM.
And it is manifest from what has been proved that straight lines commensurable in length are always commensurable in square also, but those commensurable in square are not always commensurable in length also.

lat Sic

Porisma.
Et manifestum esto ex demonstratis quoniam que longitudine commensurabiles, omnino et potentia; que vero potentia, non omnino et longitudine.
Si que a longitudine commensurabilibus rectis tetragona proportionem habent quam tetragonus numerus ad tetragonum numerum, proportionem vero habentia quam numerus ad numerum commensurabilia sunt, quare longitudine semper commensurabiles recte non Solum sunt longitudine commensurabiles, sed et potentia. Rursum quoniam quotquot tetragona ad se invicem proportionem habent quam tetragonus numerus ad tetragonum numerum, longitudine demonstrata sunt commensurabilia et potentia existentia commensurabilia eo quod tetragona proportionem habeant quam tetragonus numerus ad tetragonum numerum. Quotquot ergo tetragona proportionem non habent quam tetragonus numerus ad tetragonum numerum, sed simpliciter quam alter aliquis numerus ad numerum, commensurabilia quidem sunt ipsa tetragona, hoc est, recte a quibus describuntur potentia non etiam vero longitudine. Quare que quidem longitudine commensurabiles omnino et potentia, que vero potentia, non omnino et longitudine, si non et proportionem habent quam tetragonus numerus ad tetragonum numerum.
Dico ergo quoniam et que longitudine incommensurabiles non omnino et potentia. Quoniam quidem que potentia commensurabiles possunt proportionem non habere quam tetragonus numerus ad tetragonum numerum, et propter hoc potentia existentes commensurabiles longitudine sunt incommensurabiles. Quare non que longitudine incommensurabiles omnino et potentia, sed possunt longitudine existentes incommensurabiles potentia esse et incommensurabiles et commensurabiles. Que vero potentia incommensurabiles omnino et longitudine incommensurabiles. Si enim sunt longitudine commensurabiles, erunt et potentia commensurabiles. Subiacent vero et incommensurabiles. Quod illocale. Que ergo potentia incommensurabiles omnino et longitudine.

No Latin

No Latin

No Latin

No Arabic

No Arabic

No Arabic