Bibliotheca Polyglotta

Euclid: Elementa

gre

No Greek

eng

No English

No Latin

No Latin

No Latin

No Latin

No Arabic

اقول وهذا موضع بيان القضية التى صادر بها اقليدس و وعدت بيانه فى صدر الكاب وقد بينتها (١٧) بسبعة الشكال وهى هذه الاول اقصر الخطوط الخارجة من نقطة مغروضة الى خط غير محدود ليست هى عليه وهو المسمى ببعدها عنه هو الذى يكون عمودا عليه فليكن النقطة (ا) والخط (ب ج) والعمود الخارج منها اليه (ا ب) وذلك لانا اذا اخرجنا منها اليه خطا آخر كـ(ا ج) كانت زاوية (ا ج ب) الحادة اصغر من زاوية (ا ب ج) القئمة [يز] فيكون (ا ب) اقصر من (ا ج) [يط] وكذلك فى غيره

الثانى اذا قام عمود ان متساويان على خط ووصل طرفا هما بخط كانت الزاويتان الحادثتان بينهما متساويتين مثلا قام عمودا (ا ب) (ج د) المتساويان على (ب د) ووصل (ا ج) فحدثت بينهما زاويتا (ب ا ج) (د ج ا) اقول فهما متساويتان ونصل (ا د) (ب ج) متقاطعين على (ه) فيكون فى مثلثى (ا ب د) (ج د ب) ضلعا (ا ب) (ب د) وزاوية (ا ب د) القائمة مساوية لضلعى (ج د) (د ب) وزاوية (ج د ب) القائمة كل لنظيره ويقتضى ذلك تساوى باقية الزوايا [د] والاضلاع النظائر ولتساوى زاويتى (ا د ب) (ج ب د) يكون (ب ه) (د ه) متساويين [و] ويبقى (ا ه) (ج ه) متساويين فتكون زاويتا (ه ا ج) (ه ج ا) متساويتين [ه] وكانت زاويتا (د ا ب) (ب ج د) متساويتين [د] فتكون جميع زاوية (ب ا ج) مساوية لجميع زاويت (د ج ا)

الثالث اذا قام عمودان متساويان على خط ووصل طرفاهما بخط كانت الزاويتان الحدتان بينهما قائمتين ولنعد عمودى (ا ب) (ج د) على خط (ب د) ونصل (ا ج) فاقول ان زاويتى (ب ا ج) (د ج ا) المتساويتين قائمتان والا لكانتا اما منغرجتين او حادتين فليكنا او لا منغرجتين ونخرج من (ا) عمود (ا ه) على خط (ا ج) [يا] فيقع لا محالة فجابين خطى (ا ب) (ج د) وتكون زاوية (ا ه د) الخارجة من مثلث (ا ب ه) اعثم من زاوية (ا ب ه) القائمة [يو] فتكون ايضا منغرجة ثم نخرج من نقطة (ه) عمود (ه ز) على خط (ه د) ويقع فيابين خطى (ا ه) (ج د) وتكون زاوية (ه زج) ايضا منغرجة ثم نخرج من (ز) عمود (زح) على (زج) ومن (ح) عمود (ح ط) على (ح د) وهكذا الى غيرنهاية فتكون الا عمودة الحارجة من نقطة (ا ز ط) من خط (ا ج) على خط (ب د) اعنى اعمدة (ا ب) (زه) (ط ح) متزائدة الا طول على الولاء و اقصرها عمود (ا ب) لانه يوتر زاوية (ا ح ب) الحادة (يز) فهو اقصار من (ا ه) الموتر للقائمة [يط] و (ا ه) الموتر لزاوية (ا زه) الحادة اقصر من (ز ه) الموتر للقائمة [يط] فـ(ا ب) اقصر من (ا ه) و (ا ه) من (زه) كذلك (زه) من (ط ح) وعلى هذا الترتيب و يظهر من ذلك (١٨) ان ابعاد النقط التى هي مخارج الاعمدة الخارجة من خط (ا ج) على خط (ب د) عن خط (ب د) متزائدة الاطول فى جهة (ج) فاذن خط (ا ج) موضوع على التباعد عن خط (ب د) فى جهة (ج) وعلى التقارب منه فى جهة (ا) ولكون زاوية (د ج ا) ايضا منغرجة نبين بمثل هذا التدبير ان خط (ا ج) بعينه موضوع على التباعد عن خط (ب د) بعينه فى جحة (ا) التى كان فيها بعينها موضوعا على التقارب منه فاذن هو متباعد متقارب معا من خط واحد فى جهة واحدة من غير تلاق هذا خلف ثم ليكونا حادثين و تقيم الاعمدة المتوالية الا انا نبتدئ ياخراج العمود من نقطة (ب) على خط (ا ج) فبقع فيما بين خطى (ب) (ج د) لكون زاوية (ا) حادة اذا ووقع خارجا عنهما لا جمع فى مثلث قائمة ومنغرجة وهكذا الى ان نخرج اعمدة (ا ب ه) (زح ط) المتنقصة الا طول على الولاء ثم نبين بمثل ما مر ان خط (ا ج) موضوع على التقارب من خط (ب د) فى جهة (ج) وعلى التباعد عنه فى جهة (ا) ونبين باستبناف العمل والتدبير انه موضوع على التباعد عنه فى الجهة التى كان موضوعا فها على التقارب منه بعينه هذا خلف فاذن ثبت ان زاويتى (ب ا ج) (د ج ا) قائمتان

الرابع كل ضلعين متقابلين من سطح ذى اربعة اضلاع قائم الزويا متساويان كضلعى (ا ب) (ج د) من سطح (ا ب د ج) القائم الزاوايا والا فليكن (ج د) اطول و نفصل (د ه) مثل (ا ب) [ج] ونصل (ا ه) فتكون زاوتا (ب ا ه) (د ه ا) قائمتين لحدوثهما بين (ا ب) (ه د) المتساويين القائمين [ج] على (ب د) وقد كانت زاويتا (ب ا ج) (د ج ا) قائمتين والكل كالجزء والخارجة كالداخلة وكلاهما خلف [يو] فاذن ثبت الحكم

الخامس كل خط يقع على عمودين قائمين على خط فانه يصير المتبادالتين متساويتين والخارجة مساوية لمقابلتها الداخلة والداخلتين فى جهة معادلتين القائمتين مثلا وقع (ا ب) على عمودى (ج د) (ه ز) القائمين على (د ز) وقطعهما على (ج ط) فاقول ان متبادلتى (د ج ط) (ه ط ح) متساويتان و كذلك خارجة (ا ح ج) وداخلة (ا ط ه) وان داخلتى (ج ح ط) (ه ط ح) معا معادلتان لقائمتين وذلك لان (ط ز) ان كان مساويا لـ(ح د) كانت جميع الزوايا الخيطة بنقطتى (ح ط) قوائم وثبت الحكم والا فليكن (ح د) اطول و نفصل (د ك) مثل (زط) [ج] ونصل (ك ط) ونفصل (ط ل) ايضا مثل (ك ح) [ج] ونصل (ح ل) فيكون سطح (ح ل) (ط ك) قائم الزوايا [ج] ويكون فى مثلثى (ح ل ط) (ح ط ك) ضلعا (ح ك) (ل ط) وزاوية (ل) مساوية (١٩) لضلعى (ط ك) (ك ح) وزاوية (ك) فتكون زاويتا (ك ح ط) (ح ط ز) النظيرتان متساويتين وهما المتبادلتان [د] ولكون زاوية (ط ح ك) مساوية لزاوية (ا ح ج) (يه) تكون زاويتا (ا ح ج) (ح ط ه) متساويتين وهما الخارجة والداخلة لكون زاوية (ج ح ط) مع زاوية (ا ح ج) معادلة لقائمتين [كج] فهى مع زاوية (ح ط ه) معادلة لقائمتين وهما لاداخلتان وذلك ما اردناه وهنالك استبان ان كل خط يقع عمودا على احدهذين العمودين فهو عمود على الاخر

السادس اذا اتقاطع خطان غير محدودين على غير قوائم و قام على احدهما عمود فانه ان اخرج قاطع الاخر فى جهة الحادة فليتقاطع (ا ب) (ج د) على (ه) ولتكن زاوية (ا ه ج) التى يلى (ا) حادة وجارتها التى يلى (ب) منغرجة ولنقم على (ج د) عمود (زح) [يا] فاقول انه ان اخرج قاطع (ا ب) فى جهة (ا) فلنعين على (ا ه) نقطة (ط) ونخرج عمود (ط ك) على (ج د) [يب] فلا يخلو اما ان يقع فمجابين نقطتى (زا ه) او على نقطة (ز) منطبقا على (ح ز) او خارجا عن (ه ز) فان وقع فمجابين (ه ز) فلنغرص خطا ونأخذ منه امثالا له (ك) على الولاء نريد جميعها على (ه ز) وهى (ق ص) (ص ش) (ش ن) (ن ث) ونفصل من ( ه ا) امثالا له (ط) بتلك العدة [ج] وهى (ه ط) (ط س) (س ع) (ع ف) ونخرج من نقط (س ع ف) اعمدة (س ل) (ع م) (ف ن) على (ج د) ومن (ط) عمود (ط ى) على (س ل) [يب] فيكون فى مثلثى (ه ط ك) (ط ى س) زاويتا (ه ط ك) (ط س ى) الداخلة والخارجة متساويتان وكذلك زاويتا (ه ك ط) (ط ى س) القائمتان وضلعا (ه ط) (ط س) فيكون (ى ط ا) لمساوى لـ(ل ك) لكونهما متقابلين فى ستح (ط ى ل ك) القائم الزاويا مساويا له (ك) [كو] وبمثل دلك نبين ان كل واحد من (ل م) (م ن) ايضا مساو لـ(ه ك) فجميع اقسام (ه ن) متساوية ومساوية لاقسام (ف ث) وبتلك العدة فـ(ه ن) (ق ث) متساويان و(ق ث) اطول من (ه ز) فـ(ه ن) اطول من (ه ز) فعمود (ف ن) قد وقع خارجا عما بين نقطتى (ز) (ه) وصار (ح ز) داخل مثلث (ف ن ه) فاذن اذا اخرج عمود (ح ز) الموازى لعمود (ف ن) الى ان يخرج من المثلث قاطع (ا ب) لامحالة فى جهة (ح) وهى التى تلى الحادة واما ان وقع عمود (ط ك) على نقطة (ز) منطبقا على عمود (ح ز) او خارجا عما بين (زه) كان ثبوت الحكم اظهر فاذن الحكم ثايت

السابع كل خطين وقع عليهما خط وكانت الداخلتان فى جهة اضغر من قائمتين فانهما ان اخرجا فى تلك الجهة تلاقيا فليكن (ا ب) (ج د) خطين وقع عليهما (ه ز) و كانت داخلتا (ا ه ز) ( ج زه) (٢٠) معا اصغر من قائمتين اقول فانهما يتلاقيان فى جهة (ا ج) ان اخرجا وذلك لانه اما ان تكون احدى هاتين الزاويتين قائمة او منغرجة او لا تكون بل تكونان حادثين فان كانت احديهما قائمة كانت الاخرى خادة و يلتقيان فى جهة الحادة كما مر وان كانت احديهما منغرجة و لتكن هى زاوية (ا ه ز) فلنخرج من (ه) عمود (ه ح) على (ا ب) ومن (ز) عمود (زط) ايضا على (ا ب) [يب) فتكون لوقوع (ه ز) على عمودى (ه ح) (ط ز) متبادلتا (ح ه ز) (ه زط) متساويتين [ه] ولما كانت زاويتا (ا ه ز) (ه زح) معا اصغر من قائمتين و كانت زاوية (ا ه ح) قائمة يبقى جميع زاويتى (ح ه ز) (ه زح) معا اعنى زاوتى (ه زط) (ه زح) بل زاوية (ط زح) اقل من قائمة كانت زاوية (ا ط ز) قائمة فاذن لخطان مثلا قيان فى جهة (ا ج) وان كانتا حادتين فلخرج من (ه) عمود (ه ح) على (ج د) ومن (ز) عمود (ز ط) ايضا على (ج د) [يب] فاذا القينا زاويتى (ج زه) (زه ح) معا اعنى زاويتى (ح زه) (ه زط) معا المساويتين لزاوية (ج زط) القائمة من زاويتى (ا ه ز) (ج زه) بقيت زاوية (ا ه ح) اصغر من قائمة و كانت (ج ح ه) قائمة وكانت (ج ح ه) قائمة فاذن هما يتلاقيان فى جهة (ا ج) ولهذا الاخير وجه آخر وهو ان نخرج من (ه) عمود (ه ك) على خط (ه ز) [يا] فتكون زاوية (ك ه ز) قائمة وزاوية (ه زج) حادة فيتلاقى خطا (ه ك) (زج) ويلاقى (ه ا) (زج) لا محالة ان اخرج فى جهة (ج) ولبيان هذه القضية وجه آخر يتم بثانية اشكال خمسة منهما هى هذه التى مرت من الول الى الخامس وثلثة هى هذه السادس كل زاوية حادة فصل من احد ضلعيها خطوط متساوية على الولاء واخرج من تلك المفاصل اعمدة على الضلع الخرفا لخطوط التى تفصلها مواقع الاعمدة من ذلك الضلع متساوية ايضا فلتكن الزاوية (ب ا ج) وقد فصل من (ا ب) خطوط (ا د) (د ه) (ه ز) متساية واخرج من (د) (ه) (ز) اعمدة (د ح) (د ط) (ز ى) على خط (ا ج) فاقول ان خطوط (ا ح) (ح ط) (ط ى) المفصولة بها ايضا متساوة فلنعمل على (د) من خط (ه د) زاوية (ه د ك) مثل زاوية (ا) [كج] ونخرجه الى (ك) فيكون فى مثلثى (ا ح د) (د ك ه) زاويتا (ح ا د) (ك د ه) متساويتين وكذلك زاوتا (ا د ح) (د ه ك) الخارجة والداخلة [ه] وكذلك ضلعا (ا د) (د ه) فـ(ا ح) مساو لـ(د ك) [كو] وزاوية (ا ح د) القائمة لزاوية (د ك ه) فيكون سطح (د ك) (ط ح) قائم الزوايا (د ك) منه يساوى (ح ط) [د] اعنى (ا ح) وبمثل ذلك نبين (٢١) ان (ط ى) ايضا مساو لـ(ا ح) السابع كل زاوية فرضت نقطة فما بين خطها فانه يمكن ان يوصل بينهما بخط مستقيم يمر بتلك النقطة فلنفرض نقطة (د) بين خطى (ا ب) (ب ج) المحيطين بزاوية (ا ب ج) وتدير على مركز (ب) ببعد (ب د) قوس (ه د ز) المارة بنقطة (د) ونصل وتر (ه ز) وننصف زاوية (ه ب ز) بخط (ب ح) [ط] الى حادتين فيكون فى مثلثى (ه ب ح) (زب ح) ضلعا (ه ب) (ب ح) وزاوية (ه ب ح) مساوية لضلعى (زب) (ب ح) وزاوية (ز ب ح) فتكون زاويتا (ب ح ه) (ب ح ز) متساويتين [د] بل قائمتين [يج] ونخرج (ب ح) الى (ى) فيقطع قوس (ه د ز) على (ط) ونأخذ لـ(ب ح) اضعافا نزيد مجموعها على (ب ط) ولتكن تلك الاضعاف خط (ع س) ونفصل من ضلع (ب ا) امثالا لـ(ب ه) تكون عدتها عدة تلك الاضعاف وهى (ب ه) (ه ك) ونخرج من اطراف تلك الخطوط وهى (ه) (ك) اعمدة (ه ح) ك ل) على (ب ى) [يب] فيفصل منه (ب ح) (ح ل) متساوية [و] ويكون مجموعها المساوى لـ(ع س) اطول من (ب ط) فيكون موقع عمود (ك ل) على (ب ى) وهو نقطة (ل) خارجا عن (ب ط) ونفصل من (ب ج) (ب) مثل (م) (ب ك) [ج] ونصل (م ل) فيكون فى مثلثى (ب ك ل) (ب م ل) ضلعا (ك ب) (ب ل) وزاوية (ك ب ل) مساوية لضلعى (م ب) (ب ل) وزاوية (م ب ل) فيتساوى زاويتا (ب ل ك) (ب ل م) [د] و(ب ل ك) قائمة فـ(ب ل م) قائمة و (ك ل م) خط مستقيم [يد] ونصل (ب د) ونخرجه الى (ن) ونعمل على نقطة (د) من خط (ن د) زاوية (ن د ف) مثل زاوية (د ن ل) [كج] فيكون خطا (ف د) (ك م) متوازيين [كز] لتساوى متبادلتيهما ونخرج (ف د) حتى يخرج من مثلث (ب ك م) على نقطة (ف ص) فيكون خط (ف د ص) هو الموصول بين ضلعى (ا ب) (ب ج) المار بنقطة (د)

الثامن وهو لأبات القضية وليكن الخطان (ا ب) (ج د) والواقع عليهما (ب د) والداخلتان اللتان اصغر من قائمتين هما (ا ب د) (ج د ب) ونخرج (ب د) فى لاجهتين الى (ه ز) ونفصل من (ب ا) (ب ح) مثل (ب د) [ج] فزاوية (ا ب د) مع زاوية (ج د ب) اصغر من قائمتين ومع زاوية (ا ب ه) كقائمتين [يج] تبقى زاوية (ا ب ه) اعظم من زاوية (ج د ب) فنعمل على (ب) من (ب ح) زاوية (ح ب ط) مثل زاوية (ج د ب) [كج] ونصل بين خطى (ط ب) (ب ز) الحيطين بزاوية (ب) بخط (ط ح ى) مارا بنقطة (ح) [ز] فزاوية (ط ح ب) الخارجة من مثلث (ى ح ب) اعظم زاوية (ح ب د) [يو] ونعمل على نقطة (ح) من خط (ب ح) زاوية (ب ح ك) مثل زاوية (ا ب د) (٢٢) [كج] ونخرج (ح ك) الى ان يقطع (ب ط) على (ك) واذا تقدم ذلك اقول فخطا (ا ب) (ج د) يتلاقيان لانا لو موهمتا تطبيق (ب د) المساوى له انطبق (د ح) على (ب ك) اتساوى زاويتى (ح ب ك) (ب د ج) و(ب ا) على (ح ك) لتساوى زاويتى (ب ح ك) (د ب ا) فيتلاقيان ضرورة على نقطة (ك) وذلك ما وعدت بيانه ونعود الى الكاب

ara Nairizi p. 118-132

مقدمات وشكال يحتاج فى الشكل التاسع والعشرين من المقاله الاولى لسنبليقيوس واغانيس ان المقدمة المستعملة فى برهان الشكل التاسع والعشرين من المقالة الاولى وهو ان كل خطين يخرجان على اقل من زاويتين قائمتين فانهما يلتقيان ليست من القضايا الم قبولة
قال سنبليقيوس فى ذلك ان هذه المصادرة ليست بظاهرة كل ذلك لكنه قد احتيج فيها الى بيان بالخطوط حتى ان ابظينياطوس وذيوذرس بيناه باشكال كثيرة مختلفة وبطلميوس ايضا قد عمل بيانه والبرهان عليه واستعمل فى ذلك الشكل الثالث عشر والخامس عشر والسادس عشر من المقاله الاولى من الاسطقسات
وذلك ليس بمنكر لان اوقليدس انما استعمل هذه المصادرة فى الشكل التاسع والعشرين من هذه المقالة
وقد كان هذا المعنى فى نفسه ايضا مستحقا للنظر والقول فيه وان نبين انه كما ان الخطين اذا احرجا على زاويتين قائتين كانا متلاقيين.
فاما اغانيس صاحبنا فانه لم ير ان يتقدم فيستعمل هذا المعنى على انه مصادرة اذ كان يحتاج الى برهان
لكنه استعمل اشكالا اخر مكان الاشكال التى فى الاسطقسات حتى برهان الشكل التاسع واعشرين من غير ان جعل هذا المعنى ثم برهن هذه المصادرة بعد ١٢٠ ذلك بمذاهب وسبل هندسية
وهذا كلامه بالفاظه
قال اغاذيس ومن اجل انا كنا قصدنا ان نبين ان المصادرة على ان الخطين اللذين يخرجان على اقل من زاويتين قائمتين يلتقيان قد تصح ببرهان هنداسى اذ كان فيها طعن يطعن به قديما على المهندسين ويقال لهم انكم تطلبون ان يسلم لكم ما ليس ببين فتبينون به الاشياء الاخر فانا نفعل ذلك
ولعل هذا المعنى عظيم جليل القدر وانا ارى انه لا يحتاج الى كلام طويل ولا ذى فنون
فاقول انا حددنا الخطوط المتوازية بان قلنا انها التى فى سطح واحد واذا اخرجت اخراجا دائما غير متناه فى الجهتين جميعا كان البعد بينهما ابدا بعدا واحدا والبعد بينهما هو اقصر خط يصل بينهما كما قيل ذلك ايضا فى لاابعاد الاخر
فينبغى ان تزاد هذه الاشكال فى المقاله الاولى من كتاب الاولى من كتاب الاصول بعد الشكل السادس وعشرين حتى يصير هذا الشكل السابع والعشرين
وهو اذا كان خطان مستقيمان متوازيين فان البعد بينهما هو عمود على كل واحد منهما
مثاله انا نفرض خطين متوازيين وهما (ا ب) (ج د)
وليكن البعد بينهما (ه ز)
فاقول ان خط (ه ز) عمود على كل واحد من خطى (ا ب) (ج د)
برهانه انه ان لم يكن عمودا عليهما فلتكن الزاويتان اللتان عند نقطة (ه) ليستا بقائمتين
ولتكن الحادة منهما زاوية (زه ا) ولنخرج من نقطة (ز) عمودا على خط (ا ب) وهو (زح) وذلك انه يقع فى جهة (ا)
فبحسب برهان (يط) من (ا) يكون (زه) اطول من (زح)
وقد كان فرض اقصر خط ١٢٢ مستقيم يقع بين خطى (ا ب) (ج د)
هذا خلف
فاذن خط (ه ز) عمود على كل واحد من خطى (ا ب) (ج د)
وذلك ما اردنا ان نبين.
شكل ثان لاغانيس اذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين فكان عمودا على كل واحد منهما فان الخطين متوازيان والعمود هو البعد الذى بينهما
مثاله ان خطى (ا ب) (ج د) قد وقع عليهما خط (ه ز) فاحاط مع كل واحد منهما بزاويتين قائمتين
فاقول ان خطى (ا ب) (ج د) متوازيان وان خط (ه ز) هو البعد بينهما
برهانه انهما ان لم يكونا متوازيين فانا نجيز على بقطة (ز) خطا موازيا لخط (ا ب) وليكن ان امكن خط (زح)
وننزل ان لخط الموازى لخط (ا ب) هو خط (زح)
فخط (ه ز) اذن يجب ان يكون البعد بين خط )ا بى وخط (زح) لانه اقصر الخطوط التى تخرج من نقطة (ز) الى خط (ا ب)
فزاوية (ح زه) قائمة وذلك بحسب برهان الشكل المتقام ولكن زاوية (د زه) فرضت قائمة
هذا خلف
فاذن خطا (ا ب) (ج د) متوازيان وخط (زه) هو البعد بينهما
وذلك ما اردنا ان نبين.
شكل ثالث لاغانيس
الخط المستقيما المخرج على الخطوط المتوازية يصير الزوايا المتبادلة متساوية ويصير الزاوية الخارجة الداخلة المقابلة لها ويصير الزايتين اللتين فى جهة واحدة مساويتين لمجمو زاويتين قائمتين
مثلاه انا نخرج على خطى (ا ب) (ج د) المتشازيين خطا مستقيما عليه (ه ز)
فاقول ان الزوايا التى حدثت على ما حددنا
برهانه انا نخرج من كل واحد من نقطتى (ه ز) البعد الذى بين خطا (ا ب) (ج د) وهما خطا (ه ط) (زك) فتكون الاربع الزوايا التى حدثت عنهما قائمة
فخط (ه ط) مواز لخط (ك ز) وذلك بحسب برهان الشكل ١٢٤ المتقدم
وخط (ه ك) مواز لخط (ط ز) وخطا (ه ط) (ك ز) هما البعد البعد بينهما فهما اذا متساويان
ومن اجل ان خط (ط ز) مساو لخط (ه ك) وخط (ه ط) مساو لخط (زك) وهذه الخطوط تحيط بزوايا متساوية فان المثلثين متساويان وباقى الزوايا مساوية لباقى الزوايا
فزاوية (ط زه) مساوية لزاوية (زه ك) وهما متبادلتان
لتكن زاوية (ط زح) مساوية لزاوية (ح زد) لانهما على التقاطع وذلك بحسب برهان (يه) من (ا)
فزاوية (زه ك) مساوية لزاوية (ح زد) الخارجة للداخلة المقابالة لها
وايضا فمن اجل ما بينا ان الزوايا المتبادله متساوية فانا نريد زاوية (د زه) مشتركة فتكون زاوية (ط زه) (ه زد) اللتين هما مساويتان لقائمتين مساويتان لزاويتى (ك ه ز) (د زه)
فاذن الزاويتان اللتان فى جهة واحدة مساويتان لقائمتين
وذلك ما اردنا ان نبين.
شكل رابع لاغانيس اذا اخرج خط مستقيم على خطين مستقيمين فكانت الزاويتان المتبادلتان اللتان احاط بهما مع الخطين متساويتين او كانت الزاوية الخارية مساوية للزاوية الداخلة المقابلة لها او كانت الزاويتان الداخلتان اللتان فى جهة واحدة مساويتين لقائمتين فان الخطين متوازيان
مثاله ان خطا (ا ب) (ج د) وقع عليهما خط (ه ز) فاحط معهما ببزوايا على ما حددنا
فاقول ان خطى (ا ب) (ج د) متوازيان.
برهانه انه ان كان خط (ه ز) عمودا فظاهر ان خطى (ا ب) (ج د) متوازيان لما قيل فى الشكل الثانى من هذه الاشكال الزائدتوان
وان لم يكن خط (ه ز) عمودا فانا نخرج من نقطة (ه) الى ١٢٦ زط (ج د) عمود (ه ك)
فان كانت زاوية (ه) قائمة فثاهر ايضا ان خطى (ا ب) (ج د) متشازيان
وان لم تكن زاوية (ه) قائمة فانا نخرج من نقطة (ه) عمودا على حط (ه ك) كما بين ببرهان (يا) من (ا) وليكن عمود (ه ل)
فيكون خطا (ه ل) (ج د) متوازيين فزاويتياهما المتبادلتان متساويتان وذلك كما بين فى الشكل الثلاث من هذه الاشكال الزائدة
فاذن كل واحد من زاويتى (زه ب) (زه ل) مساوية لزاوية (ج زه)
وذلك غير ممكن
فخطا (ا ب) (ج د) متوازيان
وذلك ما اردنا ان نبين
وبحسب اوضاع اغانيس فانه قال ويصير الشكل الحادى والثلثون نوريد ان نخرج من نقطة مفروضة خطا موازيا لخط مفروض والشكل الثانى والثلثون السطوح المتوازية لاضلاع اضلاعها المتقابلة متساوية والشكل الثالث والثلثون الخطوط الموازية لخط واحد هى متوازيه ولربع والثلثون الخطوط المستقيمة التى تصل بين الخطوط المتساوية المتوازية هى متساوية متوازية والخامس والثلثون اذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين فكانت الزاويتان الداخلتان اللتان فى جهة واحدة اصغر من قائمتين فان الخطين اذا اخرجا فى جهة الزاويتين التين هما اقل من قائمتين التقيا
مثاله ان خطى (ا ب) (ج د) المستقيمين وقع عليهما خط (ه ز) المستقيم فصارت الزاويتان اللتان فى جهة (ب د) اصغر من قائمتين غاقول ان خطى (ا ب) (ج د) يلتقيان فى تلك الجهة
برهانه انا نجيز على نقطة (ز) خطا موازيا لخط (ا ب) كما بين اخراجه ببرهان اوقليدس فى (لا) من (ا) وليكن خط (زح)
ونخرج البعد بينهما بحسب برهان (يا) من (ا) ١٢٨ وهو خط (زه)
ونفرض على خط (زد) نقطة كيف ما وقعت ولتكن نقطة (ط) ونخرج من نقطة (ط) عمودا على خط (ه ز) كما بين ببرهان (يا) من (ا) وليكن خط (ط ى)
ونقسم خط (زه) بنصفين كما بين ببرهان (ي) من (ا) ونقسم ايضا نصفه بنصفين و لا نزال نفعل ذلك دائما حتى تقع القسمة دون نقطة (ى) فلتقع القسمة الى نقطة (م)
فمن البين ان نقطة (م) يقع على قسم ينطق به من خط (ه ز)
فلننزل ان القسم الذى يقع دون نقطة (ى) هو ربع (زه) مثلا ولنجز على نقطة (م) خطا موازيا لخطى (زح) (ا ب) هوه خط (م ن) كما بين ببرهان (لا) من (ا)
ونخرج خط (زد) اخراجا غير محدود ونجعل فى (زق) من اضعاف (زن) كاضعاف (ه ز) لمقدار (زم) وهو اربعة اضعاف
فاقول ان خطى (ا ب) (ج د) يلتقيان على نقطة (ق)
برهان ذلك انا نفصل من خط (زق) ختا مساويا لخط (زن) كما بين ببرهان (ج) من (ا) وليكن خط (ن س) ونخرج على نقطة (س) خطا مشازيا لخط (زه) وهو خط (س) (ش) ونخرج خط (م ن) الى نقطة (ع)
فيكون مثلثا (زم ن) (ن س ع) ضلعان من اضلاعهما متساويان وهما (زن) (ن س)
وزاوية (زن م) مساوية لزاوية (ع ن ز) وذلك بين ببرهان (يه) من (ا)
وببرهان اشكل الثالث الموضوع من اوضاع اغعنيس من هذه المقدمات تكون زاوية (م زن) مساوية لزاوية (ن س ع) لانهما المتبادلتيان
فبحسب برهان (كو) من (ا) يكون باقى الاضلاع مثل باقى الاضلاع كل ضلع مساو لنثيره والزاوية الخارجة مساوية للزاوية الباقية فضلع (زم) مثل ضلع (س ع)
مثل ضلع (زم) لانه مقابل له سطم متشازى الاضلاع فخط (س ش) ضعف خط (زم)
فان اخرجنا من نقطة (ف) خطا ١٣٠ مشازيا لخط (ه ز) (س ش) واجزنا على نقطة (س) خط (ت س) على استقامة وشازى خط (ا ب) ويلقى اخط المخرج من نقطة (ق) الموازى لخط (ه ز)
فبين انه نفصل منه خطا مساويا لخط (ز ت)
فلنخركه وليكن خط (ف ق)
فيكون خط (ف ق) مساويا لخط (ت ز) لان (س ق) مثل (س ز) وزاوية (ت سز) مثل زاوية (ق س ف) وزاوية (ف ق ز) مثل زاوية (ت زس) المتبادلتان
فبحسب برهان (كو) من (ا) يكون (ف ق) مثل (زت)
لكن (زت) مثل (ت ه) فخط (ف ق) مثل (ت ه) فخط (ا ه ب) يلقى خط (ف ق) على نقطة (ق)
وذلك بحسب ما ريب اغانيس فى موضع الشكل الذى يقول ان الخطوط التى تصل بين اطراف الخطوط المتساوية المتوازية هى متوازية متساوية
فقد تبين انه اذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين فكانت الزاويتيان الداخلتان اللتان فى جهة واحداة اقل من زاويتين زائمتين فان الخطين اذا اخرجا فى جهة الزاويتين اللتين هما اقل من قائمتين التقيا
وذلك ما اردنا ان نبين.
كل ما وصفه فى هذا الشكل و فى مقدماته التى قدمها فهى مقبولة قبول اصطرار بحسب مصادرة المقالة الاولى وبحسب الاشكال التى رتبها اغانيس من الاشكال التى زادها من عنده مع اشكال اوقليدس وليس فى شى مما اتى بهموضع للطعن بتة
قال سنبليقيوس فهذا كلام اغانيس بالفاظه
ولعل اوقليدس انما استعمل هذا المعنى فى المصادرات على انه اقرب ماخذا من هذا الماخد
وذلك اخرجت فى الجهتين جميعا اخراجا دائما كان البعد بينهما ابدا متسايا فان هذا القول اذا عكس كان عكسه خطا ١٣٢ وهو ان الخطوط التى سطح واحد اذا لم يكن البعد بينهما متساويا فليست متوازية واذا لم تكن متوازية فهى متلاقية
فان اوقليدس استعمل هذا المعنى فى هذا الشكل كانها من القضايا الواجب قبولها والخطوط التى تخرج على اقل من زاويتين قائمتين ليس تحفط بعدا واحدا فهى اذن متلاقية وثاهر ان تلاقيها تكون فى جهة ميل احدهما الى الاخر فان الجهة الاخرى ينفرجان فيها ويتسعان ويتزيد البعد بينهما
ولكن من اجل ان القول بان الخطين اذا لم يكونا متشازيين فهما يلتقيانيحتاج الى ان وقوسى ويبين وايضا لان قطوع المخروطات ليست متوازية وهى لا يلتقى ذكر اعغنيس تلك المقدمة واستعمل هذه الاشكال
وايضا فان هذا المعنى هو غكس الشكلالذى يقال فيه ان الخطين المستقيمين اللذين اذا وقع عليهما خط مستقيم كانت الزاويتان الداخلتان معادلتين لقائمتين فهما متوازيان فاذ كان هذا الشكل قد بين ببرهان فهذا امعنى ايضا يحتاج الى ان يبين ببرهان
فقد اخضرنا كل شى يمكن ان يقال فى الخطوط امتوازية وصحح الامر فيها

per Shirazi

san 37,4-48,18

      athaikonatriṃśattamaṃ kṣetram |¹
   asyopapattir aṣṭabhiḥ kṣetrair jñāyate tat prathamakṣtrṃ nirūpyate |
ekā ’bhīṣṭarekhā kāryā | tad upary abhīṣṭaṃ cihnaṃ kāryaṃ | tasmād rekhāparyantam abhīṣṭā rekhā neyāḥ tāsu lambarekhā sā sarvarekhābhyo nyūnā bhavati |
   yathā acihnaṃ bajarekhā ca kalpitā | acihnāt abalambaś ca kṛtaḥ | ayaṃ lambaḥ sarvarekhābho nyūno ’sti |
   atropapattiḥ |
acihnāt ajarekhā kāryā | tatra abajatribhujaṃ jātam | abajakoṇaś ca samakoṇo jātaḥ | ajabakoṇo nyūnakoṇo ’sti | ababhujaś ca ajabhujān nyūno ’sti | idam evāsmākam abhīṣṭam ||

      atha dvitīyakṣetram |
tatraikasyāṃ rekhāyāṃ yadi lambadvayaṃ samānaṃ bhavati tadā tayor mastakalagnā ’nyā rekhā kāryā | evam atra lambarekhāsaṃpātajanitau koṇau parasparaṃ samānau bhavataḥ |
   yathā samānau alambajadalambau badarekhāyāṃ patitau | tanmastaklagnā ajarekhā kṛtā | tatra koṇadvayaṃ samutpannam | tatra baajakoṇadajaakoṇau samānau bhaviṣyataḥ | (38)
   atropapattiḥ |
   adarekhā bajarekhā ca kāryā | anayor hacihne saṃ pāto jātaḥ | evaṃ abadatribhuje ababhujaḥ badabhujaḥ abadakoṇaś ca dvitīyatribhujasya jadabasya jadabhujadababhujajadabakoṇaiḥ samānaḥ | adabhujabajabhujau ca samānau | adabakoṇajabadakoṇāv api samānau jātau | evaṃ habadatribhuje hadabakoṇahabadakoṇau samānau | tarhi bahabhujadahabhujau ca samānau jātau | punaḥ ahabhujajahabhujau ca samānau jātau | tasmād ahajatribhuje ahabhujaḥ hajabhujaś ca samānau jātau | punaḥ haajakoṇahajaakoṇaś caitāv api samānau jātau | daabakoṇabajadakoṇau pūrvaṃ samānau sthitau | tasmāt baajakoṇadajaakoṇau samānau jātāv iti siddam | idam evāsmākam abhīṣṭam ||

      atha tṛtīyaṃ kṣetram |
tatraikarekhāyāṃ lambadvayaṃ samānaṃ bhavati tadā tayor mastakalagnānyā rekhā kāryā evaṃ tayor lambarekhānyarekhāsaṃpatajanitau koṇau samakoṇau bhaviṣyataḥ
   yathā dabarekhyāyāṃ abarekhā jadarekhā ca lambau jātau | ajarekhā ca kṛtā | tatra baajakoṇadajaakoṇau samānāv utpannau samakoṇau ca jātau |
   kutaḥ |
   yadi dvau samakoṇau na bhavataḥ tadobāv adhikakoṇau athavā nyūnakoṇau bhaviṣyataḥ tatra yady adhikakoṇau tadā acihnāt ahalambaḥ (39) ajarekhāyāṃ neyaḥ | ayaṃ lambaḥ abajadarekhayor antarāle patiṣyati | tadā ahadakoṇaḥ abahatribhujasya bahirgataḥ syāt | ayaṃ abahakoṇād adhiko jātaḥ | abahakoṇaś ca samakoṇo ’sti | tasmāt ahadakoṇaḥ adhikakoṇo jātaḥ | punar hacihnāt hajhalambao hadarekāyāṃ neyaḥ | ayaṃ lambaḥ ahajadarekhayor antarāle patiṣyati | tatra hajhajakoṇo ’py adhikakoṇo bhaviṣyati | punar jhacihnāt jhavalambaḥ jhajarekhopari kāryaḥ vacihnāt vatalambaś ca vadarekhāyāṃ kāryaḥ | anenaiva prakāreṇānye lambā api kārāḥ | ajhatacihnebhyo badarekhāyāṃ niḥsṛtā ete lambāḥ abajhahatavasaṃjñakā jñeyāḥ | ete pūrvasmād uttarottaram adhikā bhavanti | sarvebhyio nyūnaḥ abalambaḥ | kutaḥ | yato abahatribhuje bakoṇaḥ samakoṇo ’sti | hakoṇaś ca nyūnakoṇo ’sti | ababhujaś ca ahabhujān nyūnaḥ | evaṃ ahajhatribhuje aḥ samakoṇo ’sti | jhaḥ nyūnakoṇaś cāsti | ahabhujo hajhabhujān nyūno jātaḥ | evaṃ hajhabhujo jhavabhujān nyūno jātaḥ | jhavabhujo ’pi vatabhujān nyūnaḥ | ababhujaḥ ahabhujān nyūno ’sti | ahabhujo hajhān nyūnaḥ | punar hajhabhujo jhavabhujān nyūnaḥ | itthaṃ rekhā uttarottaram adhikā bhavanti | ajarekhāyā badarekhāyāḥ sakāśād antaraṃ jadiśy adhikaṃ bhavagti adiśy antraraṃ nyūnaṃ bhavati | atha ca dajaakoṇo ’py adhikakoṇo ’sti | evaṃ ajarekhāyāḥ badarekhāyāḥ sakāśād antaraṃ adiśy adhikaṃ bhavati | prathamaṃ sāditaṃ adiśy antararaṃ svalpam astīty anupapannam | vilakṣaṇatvāt || (40)
yadi ca ajakoṇau nyūnakoṇau bhavataḥ tadāpi pūrvoktaprakāreṇa lambāḥ kāryāḥ | ajarekhāyāṃ bacihnāl lambasyārambhaḥ kāraḥ | ete lambā abajadarekhāntargatā bhavanti | te ca abahajhavatasaṃjñā uttarottaraṃ nyūnā eva bhavanti | ajarekhā jadiśi badarekhāyāḥ nikaṭe bhavati adiśi dūrasthitā ca bhavati | punar dacihnāl lambāḥ kāryā.| evaṃ pūrvaprakāreṇa ajarekhā adiś badarekhāyā nikaṭe bhavati jadiśi dūrasthitā ca bhavati | evam ekarekhā ekasyāṃ diśi dūrasthitā bhavati tasyām eva ca nikaṭasthitā bhavatīty anupapannam | vilakṣaṇatvāt | tasmād ubhau ajakoṇau samakoṇau bhavata iti siddham | edam evāsmākam abhīṣṭam ||

      atha caturthakṣetram |
   tatra samakoṇasya caturbhujasya parasparasanmukhaṃ bhujadvayaṃ samānaṃ bhavati |
   yathā abajadasamakoṇacaturbhuje ababhujajadabhujau tulyau staḥ | yadi ca samau na stas tadā eko bhujo ’dhikaḥ syāt | sa jadabhujaḥ kalpitaḥ | atha dajarekhāyāṃ abatulyaṃ dahaṃ pṛtak kāryam | aharekhā ca kāryā | evaṃ tatra baahakoṇadahaakoṇau samakoṇau bhavataḥ | yato abahadau lambau samānau staḥ | baajakoṇadajaakoṇau samakoṇau kalpitau | tasmāt baajakoṇo baahakoṇaś caitau samānau jātau | baahakoṇaś ca baajakoṇasya khaṇḍam asti | idam anupapannam | (41)
   evam eva ajadakoṇaḥ ajahatribhujāntargataḥ ahadakoṇaś ca tribhujād bahirgataḥ etāv api samānau syātām | idam apy anupapannam | tasmāt abajadabhujāv eva samānāv ity upapannam | idam evāsmākam abhīṣṭam ||

      atha pañcamaṃ kṣetram |
tatraikarekhāyāṃ lambadvayaṃ kāryam anyā rekhā lambadvaye yathā saṃpātaṃ karoti tathā kāryā tatrotpannaṃ pratilambaṃ koṇacatuṣṭayaṃ tatra lambasyaikadiśy utapannaḥ koṇaḥ dvitīyalambasyānyadiśy utpannena koṇena samaḥ syād evam ekalambasya bahirgatakoṇo svtīyalambasyāntargatakoṇena ca samaḥ punar ekalambasyāntargatakoṇo dvitīyalambasyāntargatakoṇaś cānayor yogaḥ samakoṇadvayena samānaḥ |
   yathā jhadarekhāyāṃ hajhajadalambau patitau | tatra abarekhayā saṃpātaḥ kṛtaḥ | punar vatacihnayor davatakoṇahatavakoṇau samānau staḥ | avajakoṇo bahiḥstaḥ atahakoṇo ’ntargataś caitau samānau staḥ hatavakoṇajavatakoṇayor yogaḥ samakoṇadvayena samāno ’sti |
   atropapattiḥ |
   tatra tajharekhāvadarekhe yadi same tadā tayoḥ koṇacatuṣṭayaṃ samakoṇam eva syāt | tadāsmākam abhīṣṭasiddhir eva |
   yadi tajharekhā vadarekhā samānā na bhavati kiṃ tu vadam adhikaṃ syāt tadā davarekhāyāṃ jhatatulyā dakarekhā pṛthak kāryā | katarekhā ca kāryā | kavatulyā talarekhā pṛtak kāryā | valarekhā kāryā | evaṃ tatra valatakasamakoṇaṃ caturbhujaṃ jātam | valatatribhuje valabhujo latabhujo lakoṇaś ca vakatakoṇa˛vatalakoṇaś caitau samānau jātau | evaṃ tavakakoṇaḥ (42) avajakoṇena samaḥ | avajakoṇavatahakoṇau samānau | punaḥ javatakoṇaavajakoṇayor yogo dvayoḥ samakoṇayoḥ samānaḥ | punaḥ javatakoṇo vatahakoṇaś ca etāv api dvayoḥ samakoṇayoḥ samānau jātau | idam evāsmākam abhīṣṭam |
   tad evaṃ siddhaṃ yā rekhā lambadvayor madhye ekasmiṃl lambe lambarūpā bhavati sā dvitīye lambe ’pi lambarūpā bhavaty eva ||

      atha ṣaṣṭaṃ kṣetram ||
yatra rekhādvayasaṃpātena samutpannakoṇacatuṣṭayaṃ tad yadi samakoṇaṃ na bhavati tadaikarekhoparisthāpitalambo nyūnakoṇadiśi dvitīyarekhayā saṃpātaṃ kariṣyati |
   yathā abarekhājadarekhāsaṃpāto hacihne jātaḥ | ahajakoṇaś ca nyūnakoṇo jātaḥ | jahabakoṇo ’dhikakoṇo jātaḥ | tatra jadarekhāyāṃ jhavalambo niṣkāśyaḥ | ayaṃ lambaḥ adiśi abarekhyāyāṃ saṃpātaṃ kariṣyati |
   atropapattiḥ |
   aharekhāyāṃ tacihnaṃ kāryaṃ | takalambo jade kāryaḥ | ayaṃ lambo jhahacihnayor madhye patiṣyati vā jhacihne patiṣyati vā jhacihnād bahiḥ patiṣyatīti vicāryam |
   yadi jhahamadhye patati tadā ’nyā rekhā kāryā | tasyā hakatulyā vibhāgāḥ kārāḥ | tatra yavanto vibhāgā hajhe bhvanti tebhyo ’dhikā vibhāgāḥ kāryāḥ | te ca satataśaśachachakhasaṃjñakā bhavanti | aharekhāyāṃ hatatulyaṃ tasaṃ saaṃ aphaṃ samānaṃ kāryaṃ | punaḥ saaphacihnebhyaḥ (43) salalambaamalambaphanalambā jadarekhāyāṃ kāryāḥ | tacihnāt tayalambaḥ salalambopari kāryaḥ | evam hatakatribhuje hatakakoṇaḥ tasayakoṇaś caitau koṇau samānau | punaḥ hakatakoṇatayasakoṇau samānau | hatabhujaḥ tasabhujena samānaḥ yatalakāv etau bhujau samānau | lakaḥ hakaś caitāv api samānau jātau | evaṃ lamaḥ manaś caitau samānau jātau | evaṃ hanasya yāvanto vibhāgāgh parasparaṃ samānā bhavanti khasavibhāgatulyāś caiva bhavanti | punaḥ hanarekhākhasarekhe ca samāne | khasam adhikaṃ hajhāt | hana adhikagm hajhāt | punaḥ phanalambo jhahacihnād bahir jātaḥ | vajhalambaḥ phanahatribhujāntarjātaḥ | punaḥ vajhalambo varddhitaḥ phanabhuje saṃpātaṃ karoti | punaḥ abarekhāyāḥ saṃpātaṃ kariṣyati | idam evāsmākam abhīṣṭam ||
   punaḥ takalambo jhacihne yadā bhaviṣyati tadā vajhatakāv ekatra bhaviṣyataḥ | tadā saṃpāto ’pi bhaviṣyaty eva | yadi takalambo jhahacihnād bahir bhaviṣyati tadā vajhalambaḥ takahatribhujāntarbhaviṣyati niyamena ca saṃpātaṃ kariṣyatīti | idam evāsmākam abhīṣṭam ||

      atha saptamaṃ kṣetram |
tatra dvayo rekhayos tṛtīyā rekhā saṃpātaṃ yadi karoti tadāntargatau dvau koṇāv ekādikkau dvayos samakoṇayor yadā nyūnau bhavatas tadā rekhādvayaṃ tasyām eva diśi saṃpātaṃ kariṣyati |
   yathā abarekhāyāṃ jadarekhāyāṃ hajharekhayā saṃpātaḥ kṛto ’sti | tatra ahajhakoṇo ’ntargata ekadikkaiko jajhahakoṇo ’ntargata taddikka eva dvitīyaś caitau dvau koṇau dvayoḥ samakoṇayor nyūnau staḥ | ataḥ abarekhā jadarekhāyā ajadiśi saṃpātaṃ kariṣyati |(44)
   atropapattiḥ |
   kathitakoṇayor madhye ekaḥ koṇaḥ samakoṇo ’sti vā ’dhikakoṇo ’sti vā nyūnakoṇo ’sti | yady ekaḥ samakoṇas tadā dvitīyo nyūnakoṇaḥ syāt |
   tatra rekhādvayaṃ koṇadiśy avaśyaṃ miliṣyati | yady ekakoṇo ’dhikakoṇas sa ca ahajhakoṇaḥ kalpitaḥ | punaḥ hacihnāt abopari havalambodayaḥ jhacihnāc ca abopari jhatalambodayaḥ kāryaḥ | evaṃ tajhalambahavalambayorhajharekhayā saṃpātaḥ kṛtaḥ | tadā vahajha koṇatajhahakoṇau samānau bhavataḥ | ahajhakoṇahajhakoṇau samakoṇadvayābhyāṃ nyūnau staḥ | punaḥ ahavakoṇaḥ samakoṇo ’sti | tena bahajhakoṇahajhavakoṇau militau caikasmāt samakoṇān nyūnau bhaviṣyataṇ | tadā hadajhakoṇo hajhavakoṇaś caikasmāt samakoṇān nyūnau bhaviṣyataḥ | tadā hajhatakoṇo hajhavakoṇaś caikasmāt samakoṇān nyūno jāyag˛| punaḥ atajhakoṇaḥ samakoṇo ’sti tadā abarekhājadarekhe ajadiśi miliṣyataḥ |
   punar yadi dvau koṇu nyūnau bhavatas tadā acihnāt jadarekhopari havalambodayḥ jhacihnāt jadarekhopari jhahalambaḥ kāryaḥ | tatra jhajatakoṇo jhahavakoṇaś caitayor yogaḥ jajhatakoṇasamo ’sti | punaḥ ahajhakoṇajajhahakoṇayoḥ śodhitau |śeṣaṃ ahavakoṇo nyūnakoṇo jātaḥ | javahakoṇaḥ samakoṇaś cāvaśiṣṭo ’sti | tena avarekhājadarekhāyogaḥ ajadiśi bhaviṣyati | (45)

      prakārāntaram |
   yadi dvau koṇau ahajhajajhahasaṃjñau nyūnbau tadā hacihnāt hajharekhopari hakalambodayaḥ | tadā kahajhakoṇaḥ samakoṇaḥ syāt hajhajakoṇaś ca nyūnakoṇaḥ syāt | tadā hakarekhā jhajarekhayor yogo jadiśi bhavaiṣyati | punaḥ haarekhā jhajarekhayor yogo ’pi jadiśi bhaviṣyati ||

atha saptamakṣetrasya prakārāntaraṃ aṣṭabhiḥ kṣetrair ucyate |

   tatra pañcakṣetrāṇi pūrvoktāny eva jñeyāni | ṣaṣṭam ucyate |
tatra nyūnakoṇasaṃbandhaikabhujasya samānā abhīṣṭā vibhāgāḥ kāryāḥ | tatra cihnāni kāryāṇi | cihnebhyas tatkoṇasaṃbandhidvitīyabhuje lambāḥ kāryāḥ | ete lambā dvitīyabhujasya_pi samānā vibhāgāḥ kariṣyanti |
   yathā baajakoṇo nyūnakoṇo ’sti | tasya ababhujasya adadahahajhavibhāgāḥ samānāḥ kṛtāḥ | punaḥ dahajhacihnebhyo ajabhujopari davahatajhayalambā niṣkāsitāḥ | etair lambaiḥ ajabhujasya avavatatayasaṃjñā vibhāgāḥ samānāḥ kṛāḥ |
   atropapattiḥ |
   tatra hadarekhāyāḥ dacihnopari hadakakoṇaḥ akoṇasamānaḥ kṛtaḥ | dakarekhayā ca hatarekhāyāḥ kacihne saṃpātaḥ kṛtaḥ | punaḥ adavatribhuje dakahatribhuje akoṇo hadakakoṇena samaḥ | adavakoṇaś ca dahabhujena samaḥ | tasmāt avabhujo dakabhujena samāno bhvaṣyati | atha avadakoṇaḥ samakoṇo yady asti dakahakoṇena tulyo ’py asti tadā dakahakoṇo ’pi samakoṇo jātaḥ | tena (46) dakatavasamakoṇacaturbhujaṃ jātam | dakabhujo vatabhujena tulyo jātaḥ | avabhujo ’pi vatabhujena tulyo jātaḥ | evaṃ tayabhujaḥ avabhujena tulyo bhaviṣyati | | idam evāsmākam abhīṣṭam ||

      atha saptamaṃ kẹtram |
tataraikakoṇasya bhujadvayāntaś cihnaṃ yadā bhavati tadā taccihnaspṛṣṭā rekhā bhujadvayasamānasaṃlagnā karttuṃ śakyate |
   yathā dacihnaṃ avajakoṇasya avavajabhujayor medhye ’sti | tatra bakendraṃ kṛtvā badatulyenārddhavyāsena hadajhacāpaṃ kāryaṃ | hajharekhā ca kāryā | punag˛habajhakoṇasyabavarekhayā vibhāgadvayaṃ kāryam | dvau vibhāgau nyūnakoṇau bhavataḥ | habavatribhuje jhabavatribhuje ca habajo bavabhujo habavakoṇo jhababhujena bavabhujena jhabavakoṇena ca samāno | punaḥ bavahakoṇo bavajhakoṇaś caitau samānau jātau tenaitau koṇau samakoṇau jātau | punaḥ bavarekhā yacihnaparyantaṃ kāryā | iyaṃ rekhā hadajhacāpe tacihne saṃpātaṃ kariṣyati | bavarekhā ca dvyādiguṇatā tathā varddhitā kāryā yathā bavatarekhayā ’dhikā bhavati | sā rekhā asasaṃjñā anyatra kalpyā | punaḥ baabhuje ekādiguṇitabahatulyāvibhāgāḥ kāryāḥ | te ca bahahakasaṃjñāḥ kalpitāḥ | punaḥ hakacihnābhyāṃ bayarekhopari havalambaḥ kalalambaś ca kāryaḥ | etau lambau bayarekhāyāḥ bavavalavibhāgau samānau kariṣyataḥ | etau vibhāgau asavibhāgābhyāṃ samānau jātau | tenaitau militau vibhhāgau batād adhikau bhaviṣyataḥ | tasmāt kalalambo batarekhāyāḥ (47) bahiḥ patiỵati | punaḥ bajabhujāt bakatulyaṃ bamaṃ pṛtak kāryam | lamarekhā kāryā | evaṃ bakalatribhuje bamalatribhuje kababhujo balabhujaḥ kabalakoṇaś ca mababhujena balabhujena mabalakoṇena samāno ’stīti | balakakoṇabalamakoṇau samānau bhaviṣyataḥ | punaḥ balakakoṇaḥ samakoṇo ’sti | tena kalamarekhā saralā ’sti | punaḥ badarekhā naparyantaṃ kāryā | dacihnopari nadarekhāyāḥ danalakoṇena samaḥ nadaphakoṇaḥ kāryaḥ | tadā phadakamarekhe samānāntare jāte | punaḥ phadarekhā bakanatribhujād yathā bahirgatā bhaviṣyati tathā varddhitā kāryā | bakabhujasya phacihne bamabhuje chacihne ca saṃpāraṃ kariṣyati | phadacharekhā ca dacihnagatā abavajabhujayoḥ saṃlagnā jātā | idam evāsmākam abhīṣṭam |

      athāṣṭamakṣetram |
tatra rekhādvayopary ekā rekhā yadā saṃpātaṃ karoti tadā tadantargatakoṇadvayayor ekadikkayor yogo yadi dvayoḥ samakoṇayor nyūno bhavati tadā rekhādvayaṃ taddiśy eva saṃpātaṃ kariṣyati |
   yathā abajadarekhe tadupari rekhā vadasaṃjñā saṃpātaṃ karoti | tatra abadakoṇo jadabakoṇaś cānayor yogo dvayoḥ samakoṇayor nyūno ’stīti kalpitam | tadā rekhādvayaṃ ajadiśy eva saṃ pātaṃ kariṣyati ||
   atraiva upapattiḥ |
   badarekhā ubhayatra hacihnajhacihnaparyantaṃ dīrghā kāryā | baarekhāyāṃ badatulyā bavarekhā pṛtak kāryā | tatra abadakoṇo jadabakoṇayukto dvayoḥ samakoṇayor nyūno ’sti | abahakoṇayukto dvayoḥ samakoṇayoḥ samānaḥ | tena abahakoṇo adabakoṇād adhikaḥ | punar bacihnopari bavarekhāyāḥ sakāśāt jadabakoṇatulyaḥ vadabakoṇaḥ kāryaḥ | tababajharekhe bakoṇasaṃbandhibhuje ye tayoḥ saṃpātaṃ kurvatī vacihnagatā tavayarekhā kāryā | tataḥ tavabakoṇo vabadakoṇād adhikaḥ syāt | punar vacihnopari abadakoṇaḥ kāryaḥ | tatra vakarekhā tathā varddhitā kāryā yathā tabarekhyāyāṃ kacihnopari saṃpātaṃ karoti | tadanantaraṃ abajadarekhāsaṃpāto bhaviṣyati |
   atropapattiḥ |
   vabarekhāyāṃ badarekhāṃ sthāpayet tadā dajarekhā bakarekhāyāṃ sthāsyati | baarekhā vakarekhāyāṃ ca patiṣyati | tasmāt abarekhājadarekhayoḥ saṃpāto bhaviṣyati ||
   ity aṣṭau kṣetrāṇi samāptāni ||

1. Even though the long excursus following is named §29 in the heading, it is rather to be viewed as an extension of §28 – in particular since the next paragraph p. 48,9ff. also is numbered as §29

lat Clavius

No Latin

kin 幾何原本

No Chinese

Permanent link

http://www2.hf.uio.no/common/apps/permlink/permlink.php?app=polyglotta&context=record&uid=c204e3e8-9184-11e1-ab97-001cc4df1abe

Choose languages

Choose images, etc.

Choose languages

Choose display