You are here: BP HOME > BPG > Euclid: Elementa > fulltext
Euclid: Elementa

Choose languages

Choose images, etc.

Choose languages
Choose display
  • Enable images
  • Enable footnotes
    • Show all footnotes
    • Minimize footnotes
Search-help
Choose specific texts..
Euclid: Elementa
    Click to Expand/Collapse Option Complete text
Click to Expand/Collapse OptionTitle
Click to Expand/Collapse OptionPreface
Click to Expand/Collapse OptionBook I
Click to Expand/Collapse OptionBook ΙI
Click to Expand/Collapse OptionBook IΙΙ
Click to Expand/Collapse OptionBook IV
Click to Expand/Collapse OptionBook V
Click to Expand/Collapse OptionBook VI
Click to Expand/Collapse OptionBook VII
Click to Expand/Collapse OptionBook VIII
Click to Expand/Collapse OptionBook ΙΧ
Click to Expand/Collapse OptionBook Χ
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧI
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧIΙ
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧIΙΙ
Back to library
Proposition 6. 
THEOR. 3. PROPOS. 6. 
第六題 
If in a triangle two angles be equal to one another, the sides which subtend the equal angles will also be equal to one another. 
SI trianguli duo anguli æquales inter se fuerint: & sub æqualibus angulis subtensa latera æqualia inter se erunt. 
三角形。若底線兩端之兩角等。則兩腰亦等。 
Let ABC be a triangle having the angle ABC equal to the angle ACB;  I say that the side AB is also equal to the side AC. 
IN triangulo A B C, sint duo anguli A B C, A C B, super latus B C, æquales.  Dico duo latera illis opposita A B, A C, esse quoque æqualia. 
解曰：甲乙丙三角形。其甲乙丙，與甲丙乙，两角等。  題言甲乙，與甲丙，两腰亦等。 
For, if AB is unequal to AC, one of them is greater.  Let AB be greater; and from AB the greater let DB be cut off equal to AC the less; let DC be joined. 
Si enim non credantur æqualia, existentibus nihilominus angulis dictis æqualibus, erit alterum maius altero;  sit igitur A B, maius quam A C, si fieri potest: Et ex A B,1 abscindatur in D, recta B D, æqualis rectæ A C, (quæ minor dicitur esse, quam A B,) ducaturque recta C D. 
論曰。如云两腰線不等，而一長一短。試辯之。  若甲乙為長線。即令比甲丙線截去所長之度，為乙丁線。 
Then, since DB is equal to AC, and BC is common,  the two sides DB, BC are equal to the two sides AC, CB respectively;  and the angle DBC is equal to the angle ACB; therefore the base DC is equal to the base AB,  and the triangle DBC will be equal to the triangle ACB, the less to the greater:  which is absurd.  Therefore AB is not unequal to AC; it is therefore equal to it.   Therefore etc. 
Considerentur iam duo triangula A C B, D B C. In quibus cum duo latera A C, C B, trianguli A C B,  æqualia sint duobus lateribus D B, B C, trianguli D B C, utrumque utrique, nempe A C, ipsi D B, (abscidimus enim ex A B, ipsi A C, concessu aduersarij, æqualem D B,) & C B, ipsi B C, cum sit unum & idem;   Sint autem & anguli A C B, D B C, contenti dictis lateribus æquales, per hypothesin: 2   Erunt triangula A C B, D B C, æqualia, totum, & pars;  quod fieri non potest.   Non igitur erunt latera A B, A C, inæqualia, si anguli B, & C, super latus B C, æquales sunt, ne totum parti æquale esse concedamus: sed æqualia existent. Quare si trianguli duo anguli, &c.    
而乙丁，與甲丙等本篇三。  次自丁至丙作直線。則本形成两三角形。其一為甲乙丙。其一為丁乙丙。    而甲乙丙全形，與丁乙丙分形同也。  是全與其分等也公論九。  何者。彼言丁乙丙分形之乙丁，與甲乙丙全形之甲丙，两線既等。丁乙丙分形之乙丙，與甲乙丙全形之乙丙，又同線。而元設丁乙丙，與甲丙乙，两角等。則丁乙丙，與甲乙丙，两形亦等也本篇四是全與其分等也。故底線两端之两角等者。两腰必等也。   
Q. E. D. 
Quod demonstrandum erat.

SCHOLION
CONVERTIT hoc theorema primam partem præcedentis. Nam ibi demonstratum est, si duo latera trianguli inter se æqualia fuerint, angulos, qui ad basim sunt, esse quoque æquales: Hic vero, si anguli ad basim sint æquales, latera quoque angulis illis opposita esse æqualia. Non autem mirum alicui debet videri, si Mathematici aliquando conuertunt propositiones, ita ut nunc ex antecedente quopiam concesso colligant per demonstrationem consequens aliquod, nunc vero rursus ex consequente hoc concesso inferant per aliam demonstrationem antecedens illud, ut ab Euclide in hisce duabus proximis propositionibus factum esse conspicimus: Non debet, inquam, videri mirum, quoniam non semper in rebus Mathematicis reciprocantur antecedens & consequens. Nam in propositionibus necessariis, quales sunt propositiones Geometricæ, potest interdum prædicatum esse uniuersalius subiecto, ut cum Dialecticis loquamur. Quare tunc non poterit conuerti propositio. Nam necessaria est hæc propositio; (Omnis homo est animal.) non tamen conuerti potest uniuersaliter, cum non omne animal sit homo. Ita quoque fieri potest in propositionibus Geometricis necessariis: Cuius ego rei vnum duntaxat nunc exemplum tale in medium proferam. Demonstrat Euclides propos. 16. huius lib. Si trianguli cuiusuis vnum latus producatur, angulum externum maiorem esse duobus internis sibi oppositis; In qua quidem propositione nullo modo antecedens, & consequens reciprocantur. Non enim sequitur, si figuræ cuiusuis rectilineæ uno latere producto, angulus externus maior sit singulis internis oppositis, figuram illam esse triangulum, cum possit etiam esse quadrilatera figura, ut ad propositionem 16. huius liber ostendemus. Eodemque modo multæ aliæ propositiones conuerti nequeunt. Quam ob rem necesse est, ut prius demonstret Geometra, propositionem aliquam conuerti, hoc est, antecedens, & consequens illius reciprocari, antequam ex consequente concesso colligat antecedens. Non conuertit autem Euclides omnes propositiones, quæ conuerti possunt, sed eas duntaxat, quarum conuersione maxime indiget: Nos tamen dabimus operam, ut fere omnes illas conuertamus, quæ aliquam videbuntur afferre utilitatem.

COROLLARIUM
SEQVITVR ex hac propositione, omne triangulum æquiangulum, id est, cuius omnes anguli sunt æquales, esse æquilaterum. Quod quidem conuersum est corollarij quintæ propositionis, ut liquet. Sint enim trianguli A B C, tres anguli æquales. Dico ipsum esse æquilaterum. Cum enim duo anguli B, & C, sint æquales, erunt latera A B, A C, æqualia. Rursus cum duo anguli A, & B, sint æquales, erunt quoque latera A C, B C, æqualia, & idcirco omnia tria latera A B, B C, A C, æqualia. Quod ostendendum erat.

EX PROCLO
LICEBIT nobis etiam conuertere secundam partem quintæ propositionis, hoc modo.
SI trianguli cuiuslibet productis duobus lateribus, anguli infra basim fiant æquales, & duo laterailla æqualia inter se erunt.
Trianguli enim A B C, productis lateribus A B, A C, ad D, & E, fiant anguli D B C, E C B, infra basim B C, æquales. Dico latera A B, A C, esse quoque inter se æqualia. Ex C E, quantumlibet producta abscindatur C F, æqualis ipsi B D, & ducantur rectæ B F, F D, D C. Considerentur deinde triangula D B C, F C B. In quibus cum latera D B, B C, æqualia sint lateribus F C, C B, utrumque utrique, nempe D B, ipsi F C, per constructionem, & B C, ipsi C B, quod sit unum & idem: sint autem & anguli D B C, F C B, dictis lateribus contenti æquales, per hypothesim: erunt & bases C D, B F, & anguli B C D, C B F, super has bases, cum opponantur æqualibus lateribus B D, C F, æquales. Ablatis igitur hisce angulis æqualibus B C D, C B F, ex angulis F C B, D B C, per bypothesin, æqualibus; remanebunt anguli F C D, D B F, æquales. Considerentur rursus triangula D B F, F C D. In quibus quoniam latera D B, B F, æqualia sunt lateribus F C, C D, utrumque utrique, nempe D B, ipsi F C, per constructionem, & B F, ipsi C D, ut modo ostensum est; Sunt autem & anguli contenti dictis lateribus D B F, F C D, æquales, ut eiam fuit nuper demonstratum: Erit angulus B D F, super basim D F, trianguli D B F, æqualis angula C F D, super eandem basim F D, trianguli F C D. Hi enim æqualibus lateribus opponuntur. Cum igitur in triangulo A D F, duo anguli A D F, A F D, sint æquales, ut nunc ostendimus, erunt latera A D, A F, æqualia. A quibus si rectæ B D, C F, per constructionem, æquales demantur, remanebunt A B, A C, latera trianguli A B C, æqualia.
Quod erat ostendendum.  
 
Permanent link
Go to Wiki Documentation
Enhet: Det humanistiske fakultet   Utviklet av: IT-seksjonen ved HF
Login