Si igitur duo triangula duo latera duobus lateribus æqualia habuerint, &c.
Quod erat ostendendum.
SCHOLION
THEOREMA hoc conuersum est præcedentis. In eo enim ex maiori angulo demonstratum est, basin illi respondentem esse maiorem: In hoc autem ex maiori basi ostensum fuit, angulum illi respondentem maiorem esse. Differunt autem plurimum hæc duo theoremata, nempe 24. & 25. ab illis, quæ explicata sunt propos. 18, & 19. Nam in 19 demonstratum est, in uno eodemque triangulo maiori angulo maius latus respondere: At in 24. idem ostensum fuit in duobus diuersis triangulis, quorum duo latera unius æqualia sunt duobus lateribus alterius &c. Idemque discrimen reperies inter propos. 18. & 25.
MENELAVS Alexandrinus, ut ait Proclus, demonstrat hoc idem theorema ostensiue, hac ratione. Positis eisdem triangulis, ex base maiore B C, abscindatur recta B G, æqualis basi minori E F. Fiat quoque angulus G B H, æqualis angulo D E F, & sit B H, æqualis ipsi B A, atque adeo ipsi D E. Ducta autem recta linea A H, ducatur quoque recta per G, ex H, secans A C, in I. Quoniam igitur duo latera B A, B H, æqualia sunt, erunt anguli B A H, B H A, æquales. Rursus quia latera B G, B H, æqualia sunt lateribus E F, E D, utrumque utrique, & angulus G B H, æqualis, angulo D E F, per constructionem: erit basis H G, basi D F, atque adeo ipsi A C, æqualis, angulusque G H B, angulo E D F. Et quoniam recta H I, maior est quam H G, quæ est ostensa æqualis ipsi A C, erit quoque maior H I, quam A C: Sed A C, maior est adhuc, quam A I. Multo ergo maior erit H I, quam A I. Quare angulus I A H, maior erit angulo I H A. Additis igitur duobus angulis B A H, B, H A, qui ostensi sunt æquales, fiet totus angulus B A C, toto angulo B H G, maior: Sed angulus B H G, demonstratus fuit æqualis angulo D. Maior igitur etiam erit angulus B A C, angulo D, quod est propositum.
HERON autem idem ex eodem Proclo hoc modo demonstrat. Positis eisdem triangulis, producatur basis minor E F, ad G, ut sit E G, æqualis basi maiori B C. Deinde centro D, interuallo autem D F, describatur circulus, producaturque E D, ad H, in circunferentiam. Quoniam igitur D H, est æqualis ipsi D F, erit quoque D H, æqualis ipsi A C. Additis igitur æqualibus D E, A B, fient A C, A B, simul æquales toti H E: Sed A C, A B, simul maiores sunt, quam B C, atque adeo quam E G. Igitur & H E, maior erit, quam E G; Quare circulus descriptus ex centro E, & interuallo E G, intersecabit rectam E H, atque adeo circumferentiam prioris circuli in I, & K, punctis: ad K, autem ducantur rectæ D K, E K. Et quoniam duo latera A B, A C, æqualia sunt duobus lateribus D E, D K, utrumque utrique, (est enim D K, æquale ipsi D F, per definitionem circuli: D F, autem positum est æquale lateri A C.) & basis B C, basi E K, æqualis: (cum E K, æqualis sit ipsi E G, per definitionem circuli: E G, vero recta per constructionem facta sit æqualis basi B C.) Erit angulus B A C, angulo E D K, æqualis: Sed angulus E D K, maior est angulo E D F. Quare & angulus A, angulo E D F, maior existet. Quod est propositum.
Complete text
Book I