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第一界
分者。幾何之幾何也。小能度大。以小為大之分。
以小幾何、度大幾何。謂之分。曰幾何之幾何者。謂非此小幾何。不能為此大幾何之分也。如一點無分。亦非幾何。卽不能為線之分也。一線無廣狹之分。非廣狹之幾何。卽不能為面之分也。一面無厚薄之分。非厚薄之幾何。卽不能為體之分也。曰能度大者。謂小幾何、度大幾何。能書大之分者也。如甲、為乙、為丙、之分。則甲為乙三分之一。為丙六分之一。無贏、不足也。若戊為丁之一、卽贏。為二、卽不足。己為丁之三、卽贏。為四、卽不足。是小不書大。則丁不能為戊、己、之分也。以數明之。若四於八、於十二、於十六、於(p. 二一二)二十、諸數。皆能盡分。無贏、不足也。若四於六、於七、於九、於十、於十八、於三十八、諸數。或贏、或不足。皆不能盡分者也。本書所論。皆指能盡分者。故稱為分。若不盡分者。當稱幾分幾何之幾。如四於六。為三分六之二。不得正名為分。不稱小度大也。不為大幾何內之小幾何也。

2. The greater is a multiple of the less when it is measured by the less.

第二界
若小幾何能度大者。則大為小之幾倍。
如第一界圖。甲與乙。能度丙。則丙為甲與乙之幾倍。若丁、戊、不能盡己之分。則己不為丁、戊、之幾倍。

3. A ratio is a sort of relation in respect of size between two magnitudes of the same kind.

第三界
比例者。兩幾何以幾何相比之理。
兩幾何者。或兩數。或兩線。或兩面。或兩體。各以同類大小相比。謂之比例。若線與面、或數與線、相比。此異類。不為比例。又若白線與黑線、熱線與冷線、相比。雖同類。不以幾何相比。亦不為比例也。
比例之說在幾何為正用。亦有借用者。如時。如音。如聲。如所如動。如稱之屬。皆以比例論之。
凡兩幾何相比。以此幾何比他幾何。則此幾何為前率。所比之他幾何為後率。如以六尺之線、比三尺之線。則六尺為前率。三尺為後率也。反用之。以三尺之線。比六尺之線。則三尺為前率。六尺為後率也。比例為用甚廣。故詳論之。如左。
凡比例有二種。有大合。有小合。以數可明者、為大合。如二十尺之線、比十尺之線、是也其非數可明者、(p. 二一三)為小合。如直角方形之兩邊、與其對角線。可以相比、而非數可明者、是也。
如上二種。又有二名。其大合者、為有兩度之線。如二十尺、比八尺、兩線為大合。則二尺、四尺、皆可兩度之者、是也。如此之類。凡數之比例。皆大合也。何者。有數之屬。或無他數可兩度者。無有一數不可兩度者。若七比九。無他數可兩度之。以一、則可兩度之也。其小合線、為無兩度之線。如直角方形之兩邊、與其對角線、為小合。卽分至萬分、以及無數。終無小線、可以盡分、能度兩率者、是也。此論詳見　\\　十卷末題
小合之比例。至十卷詳之。本篇所論。皆大合也。
凡大合有兩種。有等者。如二十比二十。十尸之線、比十尺之線。是也。有不等者。如二十比十。八比四十。六尺之線比二尺之線。是也。
如上等者。為相同之比例。其不等者。又有兩種。有以大不等。如二十比十是也。有以小不等。如十比二十是也。大合比例之以大不等者。又有五種。一為幾倍大。二為等帶一分。三為等帶幾分。四為幾倍大帶一分。五為幾倍大帶幾分。
一為幾倍大者。謂大幾何內。有小幾何或二、或三、或十、或八也。如二十與四。是二十內。為四者五。如三十尺之線、與五尺之線。是三十尺內。為五尺者六。則二十與四。名為五倍大之比例也。三十尺與五尺。名為六倍大之比例也。倣此為名。可至無窮也。
二為等帶一分者。謂大幾何內。旣有小之一。別帶一分。此一分。或元一之半。或三分之一四分之一。以(p. 二一四)至無窮者。是也。如三與二。是三內旣有二。別帶一。一為二之半。如十二尺、之線。是十二內旣有九。別帶三。三為九三分之一。則三與二。名為等帶半也。十二尺與九尺。名為等帶三分之一也。
三為等帶幾分者。謂大幾何內。旣有小之一。別帶幾分。而此幾分、不能合為一盡分者。是也。如八與五。是八內旣有五。別帶三一。每一各為五之分。而三一不能合而為五之分也。他如十與八。其十內旣有八。別帶二一。雖每一各為八之分。與前例相似。而二一卻能為八四分之一。是為帶一分。屬在第二。不屬三也。則八與五。名為等帶三分也。又如二十二、與十六。卽名為等帶六分也。○四為幾倍大帶一分者。謂大幾何內。旣有小幾何之二、之三、之四、等。別帶一分。此一分。或元一之半。或三分、四分、之一、以至無窮者。是也。如九與四。是九內旣有二四。別帶一。一為四四分之一。則九與四。名為二倍大帶四分之一也。
五為幾倍大帶幾分者。謂大幾何內。旣有小幾何之二、之三、之四、等。別帶幾分。而此幾分。不能合為一盡分者。是也。如十一與三。是十一內旣有三三。別帶二一。每一各為三之分。而二一。不能合而為三之分也。則十一與三。名為三倍大帶二分也。
大合比例之以小不等者。亦有五種。俱與上以大不等五種。相反為名。一為反幾倍大。二為反等帶一分。三為反等帶幾分。四為反幾倍大帶一分。五為反幾倍大帶幾分。
凡比例諸種。如前所設諸數。俱有書法。書法中。有全數。有分數。全數者。如一、二、三、十、百、等。是也。分數者。(p. 二一五)如分一以二、以三、以四、等是也。書全數。依本數書之。不必立法。書分數。必有兩數。一為命分數。一為得分數。卽如分一以三而取其二。則為三分之二。卽三為命分數。二為得分數也。分一為十九而取其七。則為十九分之七。卽十九為命分數。七為得分數也。
書以大、小、不等各五種之比例。其一幾倍大以全數書之。如二十與四。為五倍大之比例。卽書五、是也。若四倍、卽書四。六倍、卽書六也。其反幾倍大。卽用分數書之。而以大比例之數、為命分之數。以一為得分之數。如大為五倍大之比例。則此書五之一、是也。若四倍、卽書四之一。六倍、卽書六之一也。
其二等帶一分之比例。有兩數。一全數。一分數。其全數恆為一。其分數。則以分率之數、為命分數。恆以一為得分數如三與二。名為等帶半。卽書一。別書二之一也。其反等帶一分。則全用分數。而以大比例之命分數、為此之得分數。以大比例之命分數、加一。為此之命分數。如大為等帶二之一。卽此書三之二也。又如等帶八分之一。反書之。卽書九之八也。又如等帶一千分之一。反書之。卽書一千○○一之一千也。
其三等帶幾分之比例。亦有兩數。一全數。一分數。其全數亦恆為一。其分數。亦以分率之數、為命分數。以所分之數、為得分數。如十與七。名為等帶三分。卽書一。別書七之三也。其反等帶幾分。亦全用分數。而以大比例之命分數、為此之得分數。以大比例之命分數、加大之得分數。為此之命分數。如大為等帶七之三。命數七。得數三。七加三為十。卽書十之七也。又如等帶二十之三。反書之。二十加三。卽書二(p. 二一六)十三之二十也。
其四幾倍大帶一分之比例。則以幾倍大之數、為全數。以分率之數、為命分數。恆以一為得分數。如二十二與七。二十二內。旣有三七。別帶一。一為七七分之一。名為三倍大帶七分之一。卽以三為全數。七為命分數。一為得分數。書三。別書七之一也。其反幾倍大帶一分。則以大比例之命分數、為此之得分數。以大之命分數、乘大之倍數。加一。為此之命分數。如大為三帶七之一。卽以七乘三、得二十一。又加一。為命分數。書二十二之七也。又如五帶九之一。反書之。九乘五、得四十五。加一、為四十六。卽書四十六之九也。
其五幾倍大帶幾分之比例。亦以幾倍大之數、為全數。以分率之數、為命分數。以所分之數、為得分數。如二十九與八。二十九內。旣有三八。別帶五一。名為三倍大帶五分。卽以三為全數。八為命分數。五為得分數。書三。別書八之五也。其反幾倍大帶幾分。則以大比例之命分數、為此之得分數。以大比例之命分數、乘大之倍數。加大之得分數。為此之命分數。如大為三帶八之五。卽以八乘三、得二十四。加五、為二十九。書二十九之八也。又如四帶五之二。卽書二十二之五也。
己上大小十種。足盡比例之凡。不得加一、減一。
第四界
兩比例之理相似。為同理之比例。(p. 二一七)
兩幾何相比。謂之比例。兩比例相比謂之同理之比例如甲與乙、兩幾何之比例。偕丙與丁、兩幾何之比例。其理相似。為同理之比例。又若戊與己、兩幾何之比例。偕己與庚、兩幾何之比例。其理相似。亦同理之比例。
凡同理之比例。有三種。有數之比例。有量法之比例。有樂律之比例。本篇所論。皆量法之比例也。量法比例。又有二種。一為連比例。連比例者。相續不斷。其中率、與前、後、兩率。遞相為比例。而中率旣為前率之後。又為後率之前。如後圖。戊與己比。己又與庚比。是也。二為斷比例。斷比例者。居中兩率一取不再用。如前圖。甲自與乙比。丙自與丁比。是也。

4. Magnitudes are said to have a ratio to one another which are capable, when multiplied, of exceeding one another.

第五界
兩幾何。倍其身而能相勝者。為有比例之幾何。
上文言為比例之幾何。必同類。然同類中。亦有無比例者。故此界顯有比例之幾何也。曰倍其身而能相勝者。如三尺之線、與八尺之線。三尺之線。三倍其身。卽大於八尺之線。是為有比例之線也。又如直角方形之一邊、與其對角線。雖非大合之比例。可以數明。而直角方形之一邊。一倍之。卽大於對角線。兩邊等三角形。其兩邊幷。　\\　必大於一邊。見一卷二十。是亦有小合比例之線也。又圜之徑。四倍之、卽大於圜之界。則圜之徑與界。(p. 二一八)亦有小合比例之線也。圜之界、當三徑七分徑　\\　之一弱。別見圜形書。又曲線與直線。亦有比例。如以大小兩曲線相合。為初月形。別作一直角方形。與之等六卷三十三　\\　一增題今附卽曲直兩線相視。有大、有小。亦有比例也。又方形與圜。雖自古至今。學士無數。不能為相等之形。然兩形相視。有大、有小。亦不可謂無比例也。又直線角與曲線角。亦有比例。如上圖。直角、鈍角、銳角。皆有與曲線角等者。若第一圖。甲乙丙直角。在甲乙、乙丙、兩直線內。而其間設有甲乙丁、與丙乙戊、兩圜分角等。卽於甲乙丁角、加甲乙戊角。則丁乙戊曲線角。與甲乙丙直角等矣。依顯壬庚癸曲線角。與己庚辛鈍角等也。又依顯卯丑辰曲線角。與子丑寅銳角。各減同用之子丑、丑辰、內圜小分。卽兩角亦等也。此五者。皆疑無比例。而實有比例者也。他若有窮之線、與無窮之線。雖則同類。實無比例。何者。有窮之線。畢世倍之。不能勝無窮之線故也。又線與面。面與體。各自為類。亦無比例。何者。畢世倍線。不能及面。畢世倍面。不能及體。故也。又切圜角、與直線銳角。亦無比例。何者。依三卷十六題所說。畢世倍切邊角。不能勝至小之銳角。故也此後諸篇中。每有倍此幾何。令至勝彼幾何者。故備著其理。以需後論也。

5. Magnitudes are said to be in the same ratio, the first to the second and the third to the fourth, when, if any equimultiples whatever be taken of the first and third, and any equimultiples whatever of the second and fourth, the former equimultiples alike exceed, are alike equal to, or alike fall short of, the latter equimultiples respectively taken in corresponding order.

第六界
四幾何。若第一與二。偕第三與四。為同理之比例。則第一、第三、之幾倍。偕第二、第四、之幾倍。其相視。或等。或俱為大。俱為小。恆如是。
兩幾何。曷顯其能為比例乎。上第五界所說是也。兩比例。曷顯其能為同理之比例乎。此所說是也。其術通大合、小合。皆以加倍法求之。如一甲、二乙、三丙、四丁、四幾何。於一甲三丙。任加幾倍。為戊、為己。戊倍甲己倍丙。其數自相等。次於二乙四丁。任加幾倍。為庚、為辛。庚倍乙。辛倍丁。其數自相等。而戊與己。偕庚與辛。相視。或等。或俱大。或俱小。如是等、大、小、累試之恆如是。卽知一甲與二乙。偕三丙與四丁。為同理之比例也。
如初試之。甲幾倍之戊。小於乙幾倍之庚。而丙幾倍之己。亦小於丁幾倍之辛。又試之。倍甲之戊。與倍乙之庚等。而倍丙之己。亦與倍丁之辛等。三試之。倍甲之戊。大於倍乙之庚。而倍丙之己。亦大於(p. 二二○)倍丁之辛。此之謂或相等。或雖不等、而俱為大。俱為小。若累合一差。卽元設四幾何。不得為同理之比例。如下第八界所指是也。
下文所論。若言四幾何為同理之比例。卽當推顯第一、第三、之幾倍。與第二、第四、之幾倍。或等。或俱大、俱小。若許其四幾何、為同理之比例。亦如之。
>以數明之。如有四幾何。第一為三。第二為二。第三為六。第四為四。今以第一之三。第三之六。同加四倍。為十二。為二十四。次以第二之二。第四之四。同加七倍。為十四。為二十八。其倍第一之十二。旣小於倍第二之十四。而倍第三之二十四。亦小於倍第四之二十八也。又以第一之三。第三之六。同加六倍。為十八。為三十六。次以第二之二。第四之四。同加九倍。為十八。為三十六。其倍第一之十八。旣等於倍第二之十八。而倍第三之三十六。亦等於倍第四之三十六也。又以第一之三。第三之六。同加三倍。為九。為十八。次以第二之二。第四之四。同加二倍。為四。為八。其倍第一之九。旣大於倍第二之四。而倍第三之十八。亦大於倍第(p. 二二一)四之八也。若爾。或俱大、俱小。或等。累試之、皆合。則三與二。偕六與四。得為同理之比例也。
以上論四幾何者。斷比例之法也。其連比例法倣此。但連比例之中率。兩用之。旣為第二。又為第三。視此異耳。

6. Let magnitudes which have the same ratio be called proportional.

第七界
同理比例之幾何。為相稱之幾何。
甲與乙。若丙與丁。是四幾何、為同理之比例。卽四幾何、為相稱之幾何。又戊與己。若己與庚。卽三幾何、亦相稱之幾何。

7. When, of the equimultiples, the multiple of the first magnitude exceeds the multiple of the second, but the multiple of the third does not exceed the multiple of the fourth, then the first is said to have a greater ratio to the second than the third has to the fourth.

第八界
四幾何。若第一之幾倍。大於第二之幾倍。而第三之幾倍。不大於第四之幾倍。則第一與二之比例。大於第三與四之比例。
此反上第六界。而釋不同理之兩比例。其相視。曷顯為大。曷顯為小也。謂第一、第三、之幾倍。與第二、第四、之幾倍。依上累試之。其間有第一之幾倍。大(p. 二二二)於第二之幾倍。而第三之幾倍。乃或等、或小、於第四之幾倍。卽第一與二之比例。大於第三與四之比例也。如上圖。甲一、乙二、丙三、丁四。甲與丙。各三倍、為戊、己。乙與丁。各四倍、為庚辛。其甲三倍之戊。大於乙四倍之庚。而丙三倍之己。乃小於丁四倍之辛。卽甲與乙之比例。大於丙與丁也。若第一之幾倍。小於第二之幾倍。而第三之幾倍。乃或等、或大、於第四之幾倍。卽第一與二之比例。小於第三與四之比例。如是等、大、小、相戾者。但有其一。不必再試。
以數明之。中設三、二、四三、四幾何。先有第一之倍。大於第二之倍。而第三之倍。亦大於第四之倍。後復有第一之倍。大於第二之倍。而第三之倍。乃或等、或小於第四之倍。卽第一與二之比例。大於第三與四也。若以上圖之數反用之。以第一為二。第二為一。第三為四。第四為三。則第一與二之比例。小於第三與四。

8. A proportion in three terms is the least possible.

第九界
同理之比例。至少必三率。
同理之比例。必兩比例相比。如甲與乙。若丙與丁。是四率。斷比例也。若連比例之戊與己。若己與庚。則(p. 二二三)中率己、旣為戊之後。又為庚之前。是以三率當四率也。

9. When three magnitudes are proportional, the first is said to have to the third the duplicate ratio of that which it has to the second.

第十界
三幾何。為同理之連比例。則第一與三。為再加之比例。

10. When four magnitudes are proportional, the first is said to have to the fourth the triplicate ratio of that which it has to the second, and so on continually, whatever be the proportion.

四幾何。為同理之連比例。則第一與四。為三加之比例。倣此以至無窮。
甲、乙、丙、丁、戊、五幾何。為同理之連比例。其甲與乙。若乙與丙。乙與丙。若丙與丁。丙與丁。若丁與戊。卽一甲與三丙。視一甲與二乙。為再加之比例。又一甲與四丁。視一甲與二乙。為三加之比例。何者。甲、丁、之中。有乙、丙、兩幾何。為同理之比例、如甲與乙。故也。又一甲與五戊。視一甲與二乙。為四加之比例也。若反用之。以戊為首。則一戊與三丙為再加。與四乙為三加。與五甲為四加也。
下第六卷二十題。言此直角方形、與彼直角方形。為此形之一邊。與彼形之一邊再加之比例。何者。(p. 二二四)若作三幾何、為同理之連比例。則此直角方形、與彼直角方形。若第一幾何、與第三幾何。故也。以數明之。如此直角方形之邊、三尺。而彼直角方形之邊、一尺。卽此形邊、與彼形邊。若九、與一也夫九與一之間。有三。為同理之比例。則九、三、一、三幾何之連比例。旣有三與一、為比例。又以九比三。三比一。為再加之比例也。則彼直角方形。當為此形九分之一。不止為此形三分之一也。大略第一與二之比例。若線相比。第一與三。若平面相比。第一與四。若體相比也。第一與五。若算家三乘方。與六。若四乘　\\　方。與七。若五乘方。倣此以至無窮。

11. The term corresponding magnitudes is used of antecedents in relation to antecedents, and of consequents in relation to consequents.

第十一界
>同理之幾何。前與前相當。後與後相當。
上文巳解同理之比例。此又解同理之幾何者。蓋一比例之兩幾何。有前、後。而同理之兩比例四幾何。有兩前、兩後。故特解言比例之論。常以前與前相當。後與後相當也。如上甲與乙。丙與丁。兩比例同理。則甲與丙相當。乙與丁相當也。戊己、己庚、兩比例同理。則己旣為前。又為後。兩相當也。如下文有兩三角形之邊相比。亦常以同理之兩邊相當。不可混也。
上文第六、第八、界說幾何之幾倍。常以一與三同倍。二與四同倍。則以第一、第三、為兩前。第二、第四、為兩後。各同理故。(p. 二二五)

12. Alternate ratio means taking the antecedent in relation to the antecedent and the consequent in relation to the consequent.

第十二界
有屬理。更前與前。更後與後。
此下說比例六理。皆後論所需也。
四幾何。甲與乙之比例。若丙與丁。今更推甲與丙。若乙與丁、為屬理。　下言屬理。皆省曰更。
此論未證證。見本卷十六。
此界之理。可施於四率同類之比例。若兩線、兩面。或兩面、兩數等。不為同類。卽不得相更也。

13. Inverse ratio means taking the consequent as antecedent in relation to the antecedent as consequent.

第十三界
有反理。取後為前。取前為後。(p. 二二六)
>甲與乙之比例。若丙與丁。今反推乙與甲。若丁與丙。為反理。
>證見本篇四之系。
此界之理。亦可施於異類之比例。

14. Composition of a ratio means taking the antecedent together with the consequent as one in relation to the consequent by itself.

第十四界
有合理。合前與後為一、而比其後。
甲乙與乙丙之比例。若丁戊與戊己。今合甲丙為一、而比乙丙。合丁己為一、而比戊己。卽推甲丙與乙丙。若丁己與戊己。是合兩前、後、率、為兩一率。而比兩後率也。
證見本卷十八。(p. 二二七)

15. Separation of a ratio means taking the excess by which the antecedent exceeds the consequent in relation to the consequent by itself.

第十五界
有分理。取前之較、而比其後。
甲乙與丙乙之比例。若丁戊與己戊。今分推甲乙之較甲丙、與丙乙。若丁戊之較丁己、與己戊。
證見本卷十七。

16. Conversion of a ratio means taking the antecedent in relation to the excess by which the antecedent exceeds the consequent.

第十六界
有轉理。以前為前。以前之較為後。
甲乙與丙乙之比例。若丁戊與己戊。今轉推甲乙與甲丙。若丁戊與丁己。(p. 二二八)
>證見本卷十九。

17. A ratio ex aequali arises when, there being several magnitudes and another set equal to them in multitude which taken two and two are in the same proportion, as the first is to the last among the first magnitudes, so is the first to the last among the second magnitudes;
Or, in other words, it means taking the extreme terms by virtue of the removal of the intermediate terms. An ordered proportion arises when, as antecedent is to consequent, so is consequent to something else.¹

1. Interpolation after Theon‘s time, cf. Heath vol. 2, p. 137.

第十七界
有平理。彼此幾何。各自三以上。相為同理之連比例。則此之第一與三。若彼之第一與三。又曰。去其中。取其首尾。
甲、乙、丙、三幾何。丁、戊、己、三幾何。等數。相為同理之連比例者。甲與乙、若丁與戊。乙與丙、若戊與己也。今平推首甲、與尾丙。若首丁、與尾己。(p. 二二九)
平理之分。又有二種。如後二界。第十八界
有平理之序者。此之前與後。若彼之前與後。而此之後與他率。若彼之後與他率。
甲與乙。若丁與戊。而後乙、與他率丙。若後戊、與他率己。是序也今平推甲與丙。若丁與己也。此與十七界　\\　同‧重宣序義‧以別　\\　後界也(p. 二三○)
證見本卷廿二。

18. A perturbed proportion arises when, there being three magnitudes and another set equal to them in multitude, as antecedent is to consequent among the first magnitudes, so is antecedent to consequent among the second magnitudes, while, as the consequent is to a third among the first magnitudes, so is a third to the antecedent among the second magnitudes.

第十九界
有平理之錯者。此數幾何。彼數幾何。此之前與後。若彼之前與後。而此之後與他率。若彼之他率與其前。
甲、乙、丙、數幾何。丁、戊、己、數幾何。其甲與乙。若戊與己。又此之後乙、與他率丙。若彼之他率丁、與前戊。是錯也。今平推甲與丙、若丁與己也。十八、十九、界推法。於十七界　\\　中通論之。故兩題中不再著也。(p. 二三一)
證見本卷廿三。
增。一幾何。有一幾何、相與為比例。卽此幾何。必有彼幾何、相與為比例。而兩比例等。一幾何。有一幾何、相與為比例。卽必有彼幾何、與此幾何為比例。而兩比例等。此例同理。省　\\　曰比例等。
甲幾何。與乙幾何、為比例。卽此幾何丙。亦必有彼幾何、如丁。相與為比例。若甲與乙也。丙幾何。與丁幾何、為比例。卽必有彼幾何、如戊。與此幾何丙、為比例。若丙與丁也。此理推廣無礙。於理有之。不必舉其率也。舉率之理。備見後卷。

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