Bibliotheca Polyglotta

I. QVÆ eidem æqualia, & inter se sunt æqualia.
Et quod vno æqualium maius est, aut minus; maius quoque est, aut minus altero æqualium. Et si vnum æqualium maius est, aut minus magnitudine quapiam, alterum quoque æqualium eadem magnitudine maius est, aut minus.
FIERI nulla ratione potest, vt duæ quantitates inæquales, æquales sint alteri quantitati. Si enim minor illarum propositæ quantitati æqualis extiterit, excedet eandem necessario maior illarum. Et si maior æqualis fuerit propositæ quantitati, superabitur minor ab esdem. Quare rectè colligitur, quantitates, quæ eidem quantitati æquales fuerint, inter se æquales quoque esse. Reliquæ quoque partes axiomatis à nobis adiectæ, quod frequentem vsum habeant, clarissimæ sunt.

第一論
設有多度。彼此俱與他等。則彼與此自相等。

2. If equals be added to equals, the wholes are equal.

II. Et si æqualibus æqualia adiecta sint, tota sunt æqualia.
SI enim quantitates conflatæ, siue compositæ, inæquales forent, proculdubio maiori plus esset adiectum, quàm minori, cum antea æquales extiterint. Quare ex additione æqualium quantitatum ad quantitates æquales, conficientur quantitates quoque æquales.

第二論
有多度等。若所加之度等。則合幷之度亦等。

3. If equals be subtracted from equals, the remainders are equal.

III. ET si ab æqualibus æqualia ablata sint, quæ relinquuntur, sunt æqualia.
NAM si reliquæ quantitates forent inæquales, à minore plus fuisset detractum, quàm à maiore.

第三論
有多度等。若所減之度等。則所存之度亦等。(p. 一六)

()

IV. ET si inæqualibus æqualia adiecta sint, tota sunt inæqualia. Et, si inæqualibus inæqualia adiecta sint, maiori maius, & minori minus, tota sunt inæqualia, illud nimirum maius, & hoc minus.
QVIN &, si æqualibus inæqualia adiecta sint, tota erunt inæqualia: quoniam maior quantitas addita vr. iæqualium, maiorem constituit quantitatem, quàm minor alteri æqualium adiecta: quemadmodum & si inæqualibus æqualia adijciantur, composita quantitas ex maiore, maior est, quàm composita ex minore. Alteram partem huius axiomatis nos adiecimus, propter frequentem eius vsum.
V. ET si ab inæqualibus æqualia ablata sint, reliqua sunt inæqualia. Et si ab inæqualibus inæqualia ablata sint, à maiori minus, & à minori maius, reliqua sunt inæqualia, illud nimirum maius, & hoc minus.
SIC etiam, Si ab æqualibus inæqualia ablata sint, reliqua erunt inæqualia: quia maior quantitas ablata relinquet minorem quantitatem, quàm minor; quemadmodum residuum maioris maius est residuo minoris, si æqualia aufer antur ab inæqualibus. Cæterum Euclides non docet, quidnam simpliciter, & absolutè gignatur ex additione quantitatum inæqualium ad quantitates inæquales, vel quid relinquatur post subtractionem inæqualium quantitatum ab inæqualibus quantitatibus; propterea quod nihil certo colligi inde potest, nisi quando maiori maius additur, & à matori minus detrahitur, vt in secundaparte axiomatis dictum est, quam nos ob insignem eius vtilitatem adiecimus. Possúnt enim compositæ quantitates, vel residuæ, esse & inæquales, & æquales, Si enim ad 7 & 5. addantur 4. & 3. efficientur 11. & 8. quæ sunt inæqualia Sic etiam si ex 7. & 5. detrahantur 2. & 1. relinquentur 5. & 4. quæ sunt inæqualia. At vero, si ad 7. & 5. addantur 4. & 6. conficientur 11. & 11. quæ æqualia sunt. Item si detrahantur 3. & 1. ex 7. & 5. remanebunt 4. & 4. qua æqualia quoque existunt.
PORRO in his omnibus pronunciatis, primo excepto, nomine æqualium quantitatum intelligenda est etiam vna & eadem multis communis. Si enim æqualibus idem commune adijciatur, tota fient æqualia: Et si ab æqualibus idem commune detrahatur, residua æqualia erunt. Et si inæqualibus idem commune adijciatur; veleidem communi addantur inæqualia, tota sient inæqualia: & si ab inæqualibus idem commune detrahatur, vel ab eodem commune inæqualia auferantur, residua existent inæqualia.

第四論
有多度不等。若所加之度等。則合幷之度不等。
第五論
有多度不等。若所減之度等。則所存之度不等。

()

VI. ET quæ eiusdem duplicia sunt, inter se sunt æqualia.
Et quod vnius æqualium duplum est, duplum est & alterius æqualium. SIMILITER, quæ eiusdem sunt triplicia, vel quadruplicia, vel quintuplicia, &c. inter se sunt æqualia. Si enim inæqualia forent, & maius eorum esset duplex, vel triplex, &c. alicuius quantitatis, deficeret vtique minus à duplict vel triplici, &c. Quod si contra, minus esset duplex, vel triplex, &c. quantitatis cuiuspiam, excederet sanè maius duplex ipsum; vel triplex, &c. Hoc autem & ex secundo axiomate comprobari potest ad hunc modum. Si enim duæ quantitates æquales fuerint alieui tertiæ, & vtrique tertia illa addatur, erunt compositæ duplices illius tertiæ,¹ sed & inter se æquales, ob idem additamentum. Quod sirursum compositis eadem tertia adijciatur, erunt conflatæ triplices eiusdem tertiæ. Cum igitur ² & æquales inter se, propter idem additamentum existant; eademqúe sit ratio in cæteris multiplicibus, perspicuum erit axioma propositum. Secundam porro partem huius axiomatis nos apposuimus, quod non raro eius vsus in rebus Geometriois requiratur.

1. 2. pron; 2. 2. pron

第六論
有多度俱倍於此度。則彼多度俱等。

()

VII. ET quæ eiusdem sunt dimidia, inter se æqualia sunt.
Et contra, Quæ æqualia sunt, eiusdem sunt dimidia. PARI ratione, quæ eiusdem sunt partes tertiæ, vel quartæ, vel quintæ, &c. inter se æqualia sunt. IN his duobus pronunciatis per eandem quantitatem, intelligi debent quantitates etiam æquales. Nam quæ æqualium duplicia sunt, vel triplicia, &c. inter se æqualia quoque sunt: Item, quæ æqualium sunt dimidia, vel tertia, vel quarta, &c. & inter se æqualia necessario existunt. Partem quoque secundam huiusce axiomatis nos adiunximus, propterea quod non minus frequenter, quàm prima, à Geometris vsurpatur.

第七論
有多度俱半於此度。則彼多度亦等。

4. [7] Things which coincide with one another are equal to one another.

VIII. ET quæ sibi mutuo congruunt, ea inter se sunt æqualia.
HOC est, duæ quantitates, quarum vna superposita alteri, neutra alteram excedit, sed ambæ inter se congruunt, æquales erunt. Vt duæ lineæ rectæ dicentur esse æquales, quando vna alteri superposita, eaquæ superponitur, alteri tota congruit, ita vt eam nec excedat, nec ab ea excedatur. Sic etiam duo anguli rectilinei æquales erunt, quãdo vno alteri superposito, is qui superponitur, alterum nec excedit, nec ab eo exceditur, sed lineæ illius cum lineis huius prorsus coincidunt: Ita enim erunt inclinationes linearum æquales, quamuis lineæ interdum inter se inæquales existant.
E CONTRARIO, Quæ inter se sunt æqualia, sibi mutuo congruent, si alterum alteri superponatur. Intelligendum est autem, quantitates sibi mutuo congruentes, esse æquales, secundum id duntaxat, in quo sibi congruunt. Congruit autem longitudo longitudini tantum, superficies superficiei, solidum solido, linearum inclinatio inclinationi linearum, &c.

第八論
有二度自相合。則二度必等。以一度加一度之上。

5. [8] The whole is greater than the part.

IX. ET totum sua parte maius est.
CVM pars à toto ablata relinquat adhuc aliquid, ne totum ipsum auferatur; perspicuum est, omne totum sua esse parte maius.
IN sequentibus porro pronunciatis interrumpitur ordo Euclidis, propterea quod duo alia axiomata hoc loco inserenda esse censuimus valde necessaria, cum ex ijs axioma 12. quod Euclidi est decimum, demonstrari possit, vt ibi dicemus. In margine tamen numeros apposuimus ordini Euclidis respondentes.

第九論
全大於其分。如一尺大於一寸。寸者、全尺中十分中之一分也。

X. DVÆ lineæ rectæ non habent vnum & idem segmentum commune.
NON est difficile istud axioma, si perfectè intelligatur natura rectæ lineæ. Cum enim linea recta directo semper itinere, nullam in partem deflectendo, producatur, fieri nulla ratione potest, vt duæ lineæ rectæ habeant vnam partem, quamuis minimam, communem, præter vnicum punctum, in quo se mutuo intersecant. Quod tamen breuiter Proclus it a demonstrat. Habeant, si fieri potest, duæ rectæ A B, A C, partem communem A D. Ex centro autem D, & interuallo D A, ³ describatur circulus secans duas rectas propositas in punctis B, & C; ⁴ Erunt igitur duæ circumferentiæ A B, A B C, inter se æquales, (Sunt enim circumferentiæ semicirculorum æqualium, cum A D B, A D C, ponantur esse diametri) pars & totum, quod est absurdum. Non ergo duæ rectæ habent vnum & idem segmentum commune. Quod est propositum.
POSSVNT tamen duæ lineæ rectæ commune habere segmentum, quando vnam & eandem rectam lineam constituunt. Vt in hac figura, rectæ A D, B C, commune habent segmentum C D, quia ambæ vnam rectam constituunt lineam A B. At vero quando duæ rectæ sunt diuersæ, quales fuêre A B, A C, in superiori exemplo, non possunt possidere segmentum aliquod commune, vtrectè à Proclo fuit demonstratum.
XI. DVÆ rectæ in vno puncto concurrentes, si producantur ambæ, necessario se mutuo in eo puncto intersecabunt.
HOC etiam axioma ex natura lineæ rectæ pendet. Quodtamen ita demonstrabimus Coeant duæ rectæ A B, C B, in B. Dicoillas productas se mutuo secare in B, nempe C B, productam cadere in E, supra rectam A B, productam Nam si C B, producta non cadit supra A B, productam, congruet cum A B, producta, ita vt transeat per D, atque ita duæ rectæ A B D, C B D, habebunt idem segmentum commune B D, quod in antecedenti axiomate ostensum est fieri non posse: vel certè infra A B, productam cadet, ita vt C B, producta cadat in F, sitque vna recta linea C B F. Centro igitur B, describatur ad quoduis interuallum circulus A C F D, secans rectas A B, C B, productas in D, F. Quia ergo vtraque recta A B D, C B F, per centrum B, ducitur, erit tam A C D, quàm C F, semicirculus, per defin. 18. ac proinde æquales erunt circumferentiæ A C D, C F. vt ad defin. 17. demonstrauimus, totum & pars. Quod est absurdum. DVO proxima axiomata ab Euclide non ponuntur, quia tamen necessaria sunt ad aliorum axiomatum probationes, ea bîcinseruimus. Tria autem sequentia Euclidis sunt.
XII. ITEM, omnes anguli recti sunt inter se æquales.
Hoc axioma apertissimum esse cuilsbet potest ex 10. definitione, quâ angulus rectus describitur; propterea quod inclinatio linearum angulum rectum constituentium augeri, minuíue nequit, sed prorsus est immutabilis. Efficitur enim rectus angulus à linea perpendiculari, quæ quidem alteri lineæ rectæ ita superstat, vt faciat vtrobique angulos æquales, neque magis in vnam partem, quàm in alteram inclinet. Ex quofit, omnes angulos rectos æquales inter se esse, cum semper sit eadem inclinatio, quamuis lineæ sint inæquales interdum. Conatur tamen Proclus ex 10. definitioneid demonstrare hacratione. Sint duo angulirecti A B C, D E F, quos dico esse inter se æquales. Si enim fieri potest, sintinæquales, sitqúe A B C, maior. Si igitur mente concipiamus punctum E, applicari puncto B, & rectam D E, rectæ A B, cadetrecta E F, interrectas A B, B C, qualis est B G, propterea quod angulus D E F, minor ponitur angulo A B C. ⁵ Producatur C B, in rectum & con 2. petit tinuum vsque ad H. Cum igitur angulus A B C, sit rectus, ⁶ erit angulus A B H, illi deinceps æqualis, & rectus quoque: quare maior fin. etiam angulo A B C. ⁷ Producta autem G B, in rectum & continuum vsque ad 1, cadet portio producta B I, infra C B, productam, vt in præcedenti axiomate est demonstratum. Quare cum angulus A B G, ponatur rectus, ⁸ fiet angulus A B I, illi deinceps æqualis. Quapropter angulus A B H, maior quoqueerit angulo A B I, pars tofin. to, quod est absurdum. Non ergo inæquales sunt duo anguli recti propositi, sed æquales. Quod est propo situm: eademqúe est ratio in cæteris.
RECTE autem boc loco monet Pappus, axioma istudnon posse conuerti; non enim omnis angulus recto angulo æqualis rectus est, cum & curuilineus recto æqualis esse queat, vt in 5. lib. demon strabimus, quitamen non dicitur rectus, cum non sitrectilineus. Solus igitur angulus rectilineus æqualis angulo recto, rectus nuncupabitur: Et omnes angult recti inter se æquales erunt, sine vlla exceptione.
XIII. ET si in duas rectas lineas altera recta incidens, internos ad easdem´que partes angulos duobus rectis minores faciat, duæ illæ rectæ lineæ in infinitum productæ sibi mutuo incident ad eas partes, vbi sunt anguli duobus rectis minores.
VT si in duas lineas rectas A B, C D, incsdens alia recta E F, faciat duos angulos internos, & ex eadem parte B E F, D F E, minores duobus rectis, vult Euclides, illas tandem conuentur as esse ad aliquod punctum vnum, versus eam partem, in qua duo anguli minores existunt duobus rectis, vt appositum exemplum commonstrat. Ratio huius perspicua est, quoniam quando duo anguli internt, & ex eadem parte æquales sunt duobus rectis, duæ rectæ lineæ in neutram partem coire possunt, sed æquali semper spatio protenduntur, vt propositio 28. huius liber demonstrabitur. Quare si duo anguli interni, & ex eadem parte efficiuntur minores duobus rectis, necesse est ex ea parte dictarum linearum spatium coarctari, ex altera vero magis ac magis dilatari; ideoque eas conuentur as tandem esse aliquando in vnum punctum. Verum quia axioma hoc sub obscurum videri solet tyronibus, imo à numero principiorum reijcitur à Gemino Geometra, Proclo, & alijs, quod non facilè quiuis ei assensum præbeat; præsertim cumreperiantur aliæ quædam lineæ, quarum spatium, licet semper magis ac magis coangustetur (quemadmodum & in duabus rectis A B, C D, accidit, vt ad propositionem 28. huius liber demon strabimus) nunquam tamen in vnum punctum coeunt, etiamsi infinitè producantur, vt constat ex elementis conicis Apollonij Pergæi, & ex linea conchili Nicomedis. Idcirco pleniorem illius explicationem in scholiuns propositio 28. huius liber differimus, vbi illud ex Procli sententia Geometricè demonstrabimus, vt firmè, ac sine vlla dubitatione, tanquam verissimũ, ad propositionis 29. huius liber (vbi primum eius vsus incipit apparere) & ad aliarum propositionum demonstrationes possit assumi. Quod tamen nos aliter quàm Proclus, & quidem magis geometricè demonstrabimus, ita vt nullus dubitatione locus relinquatur.

3. 3. petit; 4. 17. def; 5. 2. petit; 6. 10. defin; 7. 2. petit; 8. 10. defin

第十論
直角俱相等。見界說十。
第十一論
(p. 一七)有二橫直線。或正或偏。任加一縱線。若三線之間。同方兩角。小於兩直角。則此二橫直線。愈長愈相近。必至相遇。
甲乙、丙丁、二橫直線。任意作一戊己縱線。或正或偏。若戊己線旁同方兩角。俱小於直角。或幷之小於兩直角。則甲乙丙丁線。愈長愈相近。必有相遇之處。
欲明此理。宜察平行線不得相遇者。界說卅四加一垂線。卽三線之間。定為直角。便知此論兩角小於直角者。其行不得不相遇矣。
第十二論
兩直線。不能為有界之形。
第十三論
兩直線。止能於一點相遇。
如雲線長界近。相交不止一點。試於丙乙二界。各出直線交於丁。假令其交不止一點。當引至甲則甲丁乙、宜為甲丙乙圜之徑。而甲丁丙、亦如之界說十七夫(p. 一八)甲丁乙。圜之右半也。而甲丁丙。亦右半也界說十七甲丁乙為全。甲丁丙為其分。而俱稱右半。是全與其分等也。本篇九。

XIV. DVÆ rectæ lineæ spatium non comprehendunt.
NVLLAM prorsus habet difficultatem hoc principium. Si enim duæ rectæ lineæ ex vna parte coeant ad efficiendum angulum, necessario ex altera parte semper magis ac magis disiungétur, si producantur, vt in exemplo proposito perspicuum est. Quare vt superficies, spatiúm ve quodpiam rectilineum ex emni parte concludatur, duabus rectis lineis tertia quædam adiungenda est. Ita enim conficietur spatium triangulare, seufigurarum rectilinearum prima. Proclus tamen demon strat hoc principium, hoc modo. Si fieri potest, vt duæ lineæ rectæ claudant superficiem, comprehendãt duæ rectæ A B C, A D C, superficiem A B C D, ita vt duæ illæ rectæ coeant in duobus punctis, A, & C. Facto deinde centro C, ⁹ describatur circulus interuallo C A, ¹⁰ & producantur rectæ A B C, A D C, in rectam, & continuum vsque ad circismferentiam, nempe ad puncta, E, & F Itaque quia rectæ A C E, A C F, transeunt per centrum C, ¹¹ erunt semicirculi A E, A E F, in17. def terse æquales, & idcirco circumferentia quoque A E, circumferentiæ A E F, æqualis erit, parstoti, quod fieri non potest. Non ergo rectæ duæ lineæ spatium comprehendunt. Quod est propositum.
SED quia fortassis aduersarius dicet, rectas A B C, A D C, productas coire iterum in aliquo puncto circumferentiæ, vt in E, vel F, atque adeo non sequi, partem æqualem esse toti, demonstrabimus tune idem axioma hoc modo. Coeant ergo duæ illæ lineæ iterũ, si fieri potest, in E. Sumpto pũcto F, in recta A D C, quocunque, erit A F, minor, quàm F E, cum minor sit, quàm A F C, hoc est, quàm C H E, quæ ipsi A F C, æqualis est, atque adeo multo minor, quam F E. Circulus igitur ex F, ad interuallum F A, descriptus secabitrectam F E, in H, atque adeo C G E, in G. Quoniam igitur A F H, diameter circuliest, erit A I H, semicirculus, vt ad defin. 17. ostendimus: Portio autem A I G, quam aufert recta A B G, & in qua centrum non est, semicirculo minor, vt ad defin. 18. demonstrauimus. Est ergo circumferentia A I G, minor quàm A I H, totum quàm pars, quod est absurdũ. Quod autem minor sit portio A I G, semicirculo, ostendemus, vt suprà. Nam ducta ex centro F, ad rectam A B G, perpendiculari, & circumuoluta portione A I G, circa rectam A B G, cadet circumferentia A I G, intra circumferentiam A K G, ne pars maior sit quàm totum, vt suirà demon strauimiss.
CONSTAT hoc etiam axioma ex definitione lineæ rectæ. Cum enim recta linea sit breuissima extensio ab vno puncto ad aliud, duci poterit vnica tantum linea ab vno pũcto ad aliud. Quare si A B C, recta est, nõ erit A D C, recta. Quod etiam patet ex definitione Platonis. Nam si A B C, est recta, obumbrabũt media illius extremitates eiusde Igitur media pũcta lineæ A D C, nõ obumbrant extrema, cum visus, per rectans A B C, seratur. Non ergo recta est A D C. HIS axis maiis ab Eucl de positis adiungemus nos nonnulla alia ex aliis Geometris decerpta, non minus necessaria ad futur as demonstrationes Problematum atque Theorematum cum Euclidis, tum cæteterum Mathematicorum, quàmea, quæ nobis tradidit Euclides.

9. 3. petit; 10. 2. petit; 11. 17. def

第十四論
有幾何度等。若所加之度各不等。則合幷之差。與所加之差等。
甲乙、丙丁、線等。於甲乙加乙戊。於丙丁加丁己。則甲戊大於丙己者。庚戊線也。而乙戊大於丁己。亦如之。

XV. SI æqualibus in æqualia adjiciantur, erit totorum excessus, adiunctorum excessui æqualis.
HOC, & sequens pronunciatum desumpsit Proclus ex Pappo. Aequalibus itaque quãtit itibus A B, C D, addantur inæquales B E, D F, sitqúe B E, mator quàm D F. Et ex B E, auferatur B G, æqualis ipsi D F, vt sit G E, excessus, quo quantitas addita B E, superat quantitatem additam D F Quoniam igitur æqualibus A B, C D, addita sunt æqualia B G, D F, crunt tota AG, C F, 2. pron æqualia. Quare constat, totam quantitatem A E, superare totam C F, codem excessu G E, quo magnitudo D F, adiuncta à magnitudine adiuncta B E, superatur. Quodest propositum.
XVI. SI inæqualibus æqualia adiungantur, erit totorum excessus, excessui eorum, quæ à principio erant, æqualis.
IN eadem figura, inæqualibus quantitatibus B E, D F, addantur æquales A B, C D. Et ex maiore B E, auferatur B G, æqualis ipsi D F, vt G E, sit excessus; quo quantitas B E, quantitatem D F, superat. Quoniam igitur æqualibus B G, D F, addita sunt æqualia A B, C D, erunt tota A G, C F, æqualia. Quamobrem tota quantitas 2 pron A E, superabit totam C F, eodem excessu G E, quo maior quantitas proposita B E, minorem D F, superat. Quod est propositum.
XVII. SI ab æqualibus inæqualia demantur, erit residuorum excessus, excessui ablatorum æqualis.
AB æqualibus A B, C D, auferantur inæqualia B E, D F. Sitqúe E G, excessus, quo quantitas B E superat quantitatem D F, ita vt B G, æqualis sit ipsi D F. Quia igitur ab æqualibus A B, C D, ablata sunt æqualia B G, D F, remanebunt A G, C F, æqualia. Perspicuum 3. pro. ergo est, residuum A E, superari à residuo C F, eodem excessu E G, quo magnitudo ablata B E, ablatam magnitudinem D F, superat. Quod est propositum.
XVIII. SI ab inæqualibus æqualia demantur, erit residuorum excessus excessui totorum æqualis.
AB inæqualibus A B, C D, aufer antur æqualia A E, C F. Sitqúe B G, excessus, quo tota quantitas A B, superat totã quantitatem C D, ita vt A G, æqualis sit ipsi C D. Quoniam igitur ab æqualibus A G. C D, ablata sunt æqualia A E, C F, remanebune E G, F D, æqualia. Quare residuum E B, super abit residuum F D, eodem excessu B G, quo tota quantitas A B, superat totam quantitatem C D. Quod est propositum. IN his quoque quatuor proximè positis pronunciatis, nomine quãtitatum æqualium intelligenda est vna etiam sola quantitas multis communis. Si enim eidem communi inæqualia adijciantur, erit totorum excessus adiunctorum excessui æqualis. Et si inæqualibus idem commune adiungatur, erit totorum excessus, excessui eorum, quæ à principio erant, æqualis. Et si ab eodem communi inæqualia demantur, eritresiduorum excessus excessui ablatorum æqualis. Et si ab inæqualibus idem commune dematur, erit residuorum excessus excessui totorum æqualis. Nam in numeris, si ad 6. addas 5. & 3. fiunt 11. & 9. quorum excessus est 2. idem qui ipsorum 5. & 3. Rursus, si ad 5. & 3. addas 6. fiunt 11. & 9. quorum excessus 2. idem est, qui ipsorum 5. & 3. Item si ex 8. demas 5. & 2. relinquuntur 3. & 6. quorum excessus 3. idem est, qui ipsorum 5. & 2. Denique si ex 10. & 7. demas 3. relinquuntur 7. & 4. quorum excessus 3. idem est, qui ipsorum 10. & 7.
XIX. OMNE totum æquale est omnibus suis partibus simul sumptis.
QVONIAM omnes partes simul sumptæ constituunt totum, cuius sunt partes, manifesta est veritas huius axiomatis.
XX. SI totum totius est duplum, & ablatum ablati; erit & reliquum reliqui duplum.
VT quia totus numerus 20. duplus est totius numeri 10; Et ablatus ex illo 6. ablati ex hoc 3. propterea reliquus illius 14. duplus etiam est reliqui huius 7. In vniuersum autem hoc demon strabitur propositio 5. liber 5. nimirum. Si magnitudo magnitudinis æquè multiplex sit, atque ablata ablatæ, vt decupla, velcentupla, &c. & reliqua reliquæ æquè multiplex erit, atque tota totius.
COLLIGI potest ex dictis cum Proclo, & Gemino hoc discrimen inter postulata, & axiomata, quòd cùm vtraque sint per se nota, & indemonstrabilia, illanaturam sapiunt Problematum, propterea quòd aliquid fieri exposcant; hæc verò, Theoremata imitantur, cùm nihil fieri petant, sed solùm sententiam aliquam notissimam proponant. Differt autem postulatum à problemate, quòd constructio postulati non indigeat vlla demonstratione, problematis autem constructionem concedat nemo sine demonstratione, eo quòd difficile aliquod nobis exhibeat construendum. Idem discrimen inter Axioma, & Theorema reperitur; Illud enim demonstrari non debet, hoc verò concedendum nulla est ratione, nisi demonstretur. Nam nemo huius propositionis demonstrationem, vel etiam probationem requiret. Quæ eidem æqualia, inter se quoque æqualia sunt, Huius autem statim demonstrationem desider abit quis. Omnis trianguli tres anguli interni æquales sunt duobus rectis. Idem iudicium habeto de reliquis axiomatis, atque Theorematis, nec non de postulatis, problematisqúo.
CONSTAT quoque, Postulatorum alia propria esse Geometriæ, qualia sunt illa tria, quæ Euclides nobis proposuit; quædam verò communia & Geometriæ, & Arithmeticæ, cuiusmodi est hoc, Quantitatem posse infinitè augeri. Tam enim numerus, quàm magnitudo, per additionem augeri potest, ita vt nunquam huius incrementi finis reperiatur. Idem dices de axiomatis, siuepronunciatis. Nam octauum, decimum, vndecimum, duodecimum, tertiumdecimum, & quartumdecimum soli Geometriæ conueniunt; Reliqua verò omnia adhibentur & ad demonstrationes Geometricas & ad Arithmeticas. Quemadmodum enim magnitudines æquales ablatæ à magnitudinibus æqualibus, relinquunt magnitudines æquales, siue hæ magnitudines lineæ sint, siue superficies, siue corpora; ita quoque numeri æquales detractic numeris æqualibus relinquunt numeros æquales, &c.
HAEC dicta à nobis sint de triplici hoc genere principiorum, nune ad demonstrationes accedamus, ex quibus pleniùs perfectiúsque principiorum omnium natura percipietur. Sunt enim plurima principia Mathematicorum eiusmodi, vt planè non intelligantur, nisi priùs eorum vsus appareat in demonstrationibus; id quod satis te experientia docebit.
ANTEQVAM porrò ad propositiones Euclidis interpretandas veniamus, paucis explicandum est, quémnam ordinem, ac modum in ipsis demonstrationibus simus secuti. Primum cuilibet propositioni du s numeros affiximus, quorum alter in margine depictus significat ordinem, quem Campanus ex traditione Arabum est secutus in Euclidis propositionibus, alter verò in ipsa propositionum serie descriptus refert dispositionem propositionum ex traditione Theonis, & quam adhuc obseruari cernimus in codicibus Græcis. Id verò eo consilio à nobis est factum: quoniam cùm à quibusdam Geometris propositiones Euclidis iuxta ordinem Campani, ab alijs verò iuxta Theonis seriem citentur, maximeqúe interdum duo hi interpretes inter se discrepent, inserie, atque ordine propositionum, id quod maximè in 6. 7. & 10 liber perspicitur; necessarium esse duximus, vt vtriusque interpretis numerus apponeretur. Ita enim fiet, vt si quando numerus propositionum à Geometra quopiam citatus non respondet alteri interpreti, alteri saltem conueniat. Deinde ne cursus demonstrationum interrumperetur, citauimus principia, & propositiones Euclidis in margine, præfixa euilibet citationi semper literula aliqua alphabeti, vel alio quouis signo, cui similis literula, seu signum respondet in demonstratione, vt faciliùs cognoscatur, ad quem locum quælibet citatio sit referenda. Porrò citationes intelligendæ sunt hoc modo.
1. def. Prima definitio. & sie dealijs numeris , vt 4. def. 23. def. &c.
1. pet. Prima petitio, vel primum Postulatum.
1. Pron. Primum pronunciatum, seu axioma, & ita de reliquis numeris, vt priùs.
1. primi. Prima propositio primi libri.
23. Vndec. Vigesimatertia propositio vndecimi libri
6. tertijd. Sexta tertijdecimi libri.
9. sextid. Nona sextidecimi libri.
13. duod. Decimatertia libri duodecimi.
7. quind. Septima libri quindecimi.
5. quartid. Quinta libri quartidecimi, &c.
Ex his aliæ citationes à quolibet facilè poterunt intelligi. Eadem enim in omnibus est ratio.

第十五論
有幾何度不等。若所加之度等。則合幷所贏之度。與元所贏之度等。
如下圖反說之。戊乙、己丁、線不等。於戊乙加乙甲。於己丁加丁丙。則戊甲大於己丙者。戊庚線也。而戊乙大於己丁。亦如之。(p. 一九)
第十六論
有幾何度等若所減之度不等。則餘度所贏之度。與減去所贏之度等。
甲乙丙丁、線等。於甲乙減戊乙。於丙丁減己丁。則乙戊大於丁己者。庚戊也。而丙己大於甲戊。亦如之。
第十七論(p. 二〇)
有幾何度不等。若所減之度等。則餘度所贏之度。與元所贏之度等。
如十四論反說之。甲戊、丙己、線不等。於甲戊減甲乙。於丙己減丙丁。則乙戊長於丁己者。亦庚戊也。與甲戊長於丙己者等矣。
第十八論
全與諸分之井等。
第十九論
有二全度。此全倍於彼全。若此全所減之度。倍於彼全所減之度。則此較亦倍於彼較。相減之餘曰較。
如此度二十。彼度十。於二十減六。於十減三。則此較十四彼較七。(p. 二一)

Permanent link

http://www2.hf.uio.no/common/apps/permlink/permlink.php?app=polyglotta&context=ctext&uid=a9ef40ba-561b-11df-870c-00215aecadea

Choose languages

Choose images, etc.

Choose languages

Choose display