ideoque parallelogrammum A B C D, diuisum erit bifariam a diametro A C, quod tertio loco proponebatur. Parallelogrammorum igitur spatiorum æqualia sunt inter se, quæ ex aduerso, &c.
Quod ostendendum erat.
SCHOLION
APPOSITE dixit Euclides, solummodo parallelogramma a diametro diuidi bifariam, non autem & angulos. In Quadrato enim, & Rhombo duntaxat anguli etiam bifariam diuiduntur a diametro; At in figura Altera parte longiori, & in Rhomboide in partes inæquales. Quæ omnia perspicua erunt, si prius ostenderimus, quatuor hasce figuras, Quadratum, Altera parte longius, Rhombum, & Rhomboidem, esse parallelogramma. Hoc autem demonstrabimus tribus sequentibus theorematibus, quorum primum est.
OMNE quadrilaterum habens latera opposita æqualia, est parallelogrammum.
SINT in quadrilatero A B C D, latera opposita A B, D C, æqualia; Item opposita latera A D, B C. Dico A B C D, esse parallelogrammum; hoc est, lineas A B, D C, esse parallelas; Itemque lineas A D, B C. Ducta enim diametro A C, erunt duo latera A B, B C, trianguli A B C, æqualia duobus lateribus C D, D A, trianguli C D A, utrumque utrique, & basis A C, communis. Igitur erit angulus B, angulo D, æqualis. Rursus quia latera A B, B C, æqualia sunt lateribus C D, D A, utrumque utrique, & anguli, B, D, ostensi æquales; erit angulus B A C, angulo D C A, alterno æqualis, & angulus B C A, alterno angulo D A C. Quare erunt A B, & D C, parallelæ; Item A D, & B C, quod est propositum.
HINC constat, Rhombum, & Rhomboidem esse parallelogramma; quoniam opposita eorum latera sunt inter se æqualia, ut manifestum est ex eorum definitionibus. Pariratione quadratum, parallelogrammum erit, quod latera opposita habeat æqualia. Sunt enim omnia quatuor eius latera inter se æqualia, per eius definitionem. Conuertit autem hoc theorema primam partem propositionis 34. ut patet.
Secundum tbeorema tale est.
OMNE quadrilaterum habens angulos oppositos æquales, est parallelogrammum.
SINT in quadrilatero A B C D, anguli oppositi A, & C, æquales: item oppositi anguli B, & D. Dico A B C D, esse parallelogrammum: hoc est, lineas A B, D C, esse parallelas: Itemque lineas A D, B C. Nam si æqualibus angulis A, & C, addantur æquales anguli B, & D: erunt duo anguli A, & B, duobus angulis D, & C, æquales & idcirco anguli A, & B, dimidium facient quatuor angulorum A, B, C, & D. Cum igitur hi quatuor æquales sint quatuor rectis, ut ad propositionem 32. demonstrauimus, erunt duo A, & B, duobus rectis æquales. Quare A D, B C, parallelæ sunt. Eadem ratione erunt A B, D C, parallelæ. Erunt enim duo quoque anguli A, & D, duobus angulis B, & C, æquales, & c. Quod est propositum. Ex hoc etiam manifestum est, Rhomboidem esse parallelogrammum, cum eius anguli oppositi æquales sint, per definitionem. Similiter quadratum, & altera parte longius. Sunt enim & eorum anguli oppositi æquales, cum sint recti, ex eorum definitionibus.
HOC theorema conuertit secundam partem propositionis 34. ut constat. Tertia autem pars non potest conuerti. Nam & trapezium aliquod bifariam secari potest a diametro, & tamen non est parallelogrammum. Sit enim altera parte longius, vel Rhomboides A B C D, quod parallelogrammum esse ostensum est: in quo, ducta diametro A C, constituatur super A C, triangulo A B C, æquale triangulum A E C, inuerso ordine, ita ut latus C E, sit æquale lateri A B, & A E, ipsi C B, fiatque trapezium A E C D. Quoniam vero triangulum A B C, triangulo A D C, æquale est, quod diameter A C, bifariam secet parallelogrammum D B: Erit & triangulum A E C, triangulo A D C, æquale: Ac proinde trapezium A E C D, bifariam diuidetur a diametro A C.
QVOD si quadrilaterum aliquod diuidatur bifariam ab utraque diametro, illud parallelogrammum erit, ut ostendemus ad propositionem 39. Quod quidem in nullo trapezio fieri potest.
Tertium Tbeorema huiusmodi est.
OMNE quadrilaterum habens omnes angulos rectos, est parallelogrammum.
SINT in quadrilatero A B C D, omnes quatuor anguli recti. Dico ipsum esse parallelogrammum: hoc est, lineas A B, D C, esse parallelas: itemque A D, B C. Quoniam enim due anguli A, & B, æquales sunt duobus rectis, cum sint duo recti: erunt A D, B C, parallelæ. Eodem modo erunt A B, D C, parallelæ: atque adeo A B C D, parallelogrammum. quod est propositum.
HINC rursum constat, Quadratum, & alter aparte longius, esse parallelogramma, cum eorum anguli omnes existant recti, ut liquet ex eorum definitionibus.
HIS in hunc medum demonstratis, Quadratum scilicet, Altera parte longius, Rhombum, & Rhomboidem, esse parallelogramma, facile ostendemus, angulos Quadrati, & Rhombi, bifariam secari a diametro: Angulos vero figuræ, Altera parte longioris, & Rhomboidis, non bifariam, ut paulo ante monuimus. Sit enim Quadratum, vel Rhombus A B C D, in quo diameter A C. Quoniam igitur duo latera B A, A C, trianguli B A C, æqualia sunt duobus lateribus D A, A C, trianguli D A C, utrumque utrique, & basis B C, basi D C, (sunt enim hæ figuræ æquilateræ) erunt anguli B A C, D A C, æquales. Quare angulus B A D, diuiditur bifariam. Eodem modo demonstrabimus, reliquos angulos bifariam secari a diametro.
SIT rursus Altera parte longius, vel Rhomboides A B C D, in quo diameter A C, sitque maius latus A B. Quoniam igitur in triangulo A B C, latus A B, maius est latere B C, erit angulus B C A, maior angulo B A C. Est autem angulus B C A, æqualis angulo D A C, alterno: quod B C, A D, parallelæ sint. (Est enim A B C D, ostensum esse parallelogrammum.) Igitur & angulus D A C, maior erit angulo B A C. Atque propterea angulus B A D, inæqualiter diuiditur a diametro A C. Eadem est ratio aliorum angulorum. Quamobrem apposite Euclides in tertia parte buius propositionis dixit, solum parallelogramma bifariam a diametro secari, non autem & angulos.
EODEM fere pacto ostendemus, duas diametros in Quadrato, & Altera parte longiore æquales esse; At vero in Rhombo, & Rhomboide inæquales, maiorem quidem eam, quæ angulos acutos, minorem vero eam, quæ obtusos angulos dispertit. Sit enim quadratum, vel altera parte longius A B C D, in quo diametri A C, B D, quas dico esse æquales. Cum enim duo latera A B, B C, trianguli A B C, æqualia sint duobus lateribus A B, A D, trianguli B A D: utrumque utrique, & angulus A B C, angulo B A D, quia uterque rectus: erit basis A C, basi B D, æqualis: Ac proinde diametri in quadrate, & figura altera parte longtore æquales sunt.
SIT rursus Rhombus, vel Rhomboides, A B C D, in quo diametri A C, B D; sitque angulus B A D, maior; A B C, minor. Non enim æquales sunt, quia alias uterque esset rectus, cum ambo æquales sint duobus rectis; quod est absurdum, & contra definitiones Rhombi, & Rhomboidis. Dico diametrum B D, maiorem esse diametro A C. Quoniam enim duo latera A B, A D, trianguli B A D, æqualia sunt duobus lateribus A B, B C, trianguli A B C, utrumque utrique, & angulus B A D, angulo A B C, maior existit; erit basis B D, maior base A C. quod est propositum. Ex quo manifestum est, cur in propositione 33. Euclides asseruerit, eas tantum lineas, quæ coniungunt parallelas æquales ad easdem partes, æquales esse, ut ibidem annotuimus. Nam in Rhombo, & Rhomboide rectæ A C, B D, inæquales sunt, licet coniungant parallelas æquales A B, D C: quia non ad easdem partes ipsas coniungunt, ut perspicuum est.
IN omni tamen parallelogrammo diametri se mutuo bifariam diuidunt. Cum enim duo anguli E A D, E D A, trianguli A E D, æquales sint alternis angulis E C B, E B C, trianguli B E C, uterque utrique; & latus A D, æquale lateri B C, opposito in parallelogrammo A B C D, quorum utrumque æqualibus adiacet angulis; Erit & A E, recta rectæ C E, & recta D E, rectæ B E, æqualis. Quare utraque diameter bifariam diuiditur in puncto E.
HVIVS autem, quod modo diximus, conuersum etiam demonstrabimus, nimirum.
OMNE quadrilaterum, in quo diametri se mutuo bifariam diuidunt, parallelogrammum est.
IN quadrilatero enim A B C D, diametri A C, B D, se mutuo bifariam diuidant in E. Dico A B C D, parallelogrammum esse. Cum enim latera A E, E B, trianguli A E B, æqualia sint lateribus C E, E D, trianguli C E D, & anguli contenti ad verticem E, æquales quoque; erunt & bases A B, C D, æquales & angulus A B E, angulo alterno C D E, æqualis. Quare rectæ A B, C D, parallelæ sunt. Eadem ratione parallelæ ostendentur A D, C B. Parallelogrammum ergo est A B C D.
HVC quoque referri potest hoc theorema.
RECTA linea secans diametrum parallelogrammi bifariam quomodocunque, diuidit parallelogrammum bifariam quoque: & recta linea diuidens parallelogrammum bifariam quouis modo, secat quoque diametrum bifariam.
IN parallelogrammo A B C D, diametrum A C, bifariam secet recta E F, in puncto G. Dico parallelogrammum diuidi bifariam. Quoniam enim angulus E A G, æqualis est angulo alterno B C G, & angulus E G A, angulo F G C, Est autem & latus A G, lateri C G, æqualœ, per hypothesin, quæ ambo æqualibus angulis adiacent; erunt & latera E G, F G, æqualia. Quare cum latera A G, G E, æqualia sint lateribus C G, G F, & anguli quoque contenti æquales; erunt triangula A G E, C G F, æqualia. Addita igitur communi quantitate B C G E, erit triangulum A B C, trapezio B C F E, æquale: Sed triangulum A B C, dimidium est parallelogrammi A B C D. Igitur & trapezium dimidium erit eiusdem parallelogrammi, ideoque recta E F, parallelogrammum bifariam secat.
SECET iam E F, parallelogrammum bifariam; Dico & diametrum A C, bifariam secari in G. Si enim diameter A C, non bifariam diuiditur in G, diuidatur bifariam in alio puncto, ut in H, per good ducatur recta E H I. Erit ergo, ut iam demonstrauimus, E I C B, trapezium dimidium parallelogrammi A B C D, atque adeo æquale trapezio E F C B, quod etiam dimidium ponitur eiusdem parallelogrammi, pars toti, quod est absurdum. Diuiditur igitur A C, bifariam in G, & non in alio puncto, quod erat propositum.
HINC facile colligitur, si in latere aliquo parallelogrammi cuiusque punctum signetur, vel etiam intra parallelogrammum, vel extra, quod tamen non sit in diametro, nisi ipsum secet diametrum bifariam; qua ratione ab illo puncto linea duci debeat, quæ parallelogrammum bifariam secet. Si enim diameter ducatur, & a puncto dato per medium punctum diametri recta ducatur, factum erit, quod proponitur. Ut si punctum sit E, in latere A B, ducenda est recta E F, per G, punctum, in quo diameter A C, bifariam diuiditur; & sic de aliis punctis.
DEMONSTRAT quoque bic Peletarius problema non iniucundum. videlicet.
INTER duas lineas rectas infinitas angulum facientes, lineam rectam datæ lineæ æqualem collocare, quæ cum altera illarum faciat angulum cuiuis angulo dato æqualem. Oportet autem hunc angulum datum, & eum, qui lineis datis continetur, minores esse duobus rectis.
DVÆ rectæ infinitæ A B, A C, contineant angulum B A C, sitque data recta finita quæcunque D, & angulus datus E, hac lege, ut duo anguli E, & B A C, minores sint duobus rectis. Oportet igitur inter rectas A B, A C, collocare rectam æqualem quidem rectæ D, cum alterutra vero illarum, nimirum cum A C, facientem angulum æqualem angulo dato E. Fiat angulus C A F, æqualis angulo E, & producta F A, ad G, sit A G, æqualis rectæ D; & per G, ducatur G B, parallela ipsi A C, secans A B, in B: Deinde per B, ducatur B C, parallela ipsi A G, secans A C, in C. Dico rectam B C, collocatam inter rectas A B, A C, æqualem esse rectæ D, angulumque B C A, angulo E. Cum enim parallelogrammum sit per constructionem, A C B G, erit recta B C, rectæ G A, æqualis: At G A, æqualis est, per constructionem, rectæ D. Igitur & B C, rectæ D, æqualis erit. Rursus quia angulus B C A, angulo alterno C A F, æqualis est; & eidem angulo C A F, æqualis est, per constructionem, angulus E; erunt anguli E, & B C A, æquales, Quod est propositum. Caterum ex contructione manifestum esse cuilibet potest, cur duo anguli dati minores esse debeant duobus rectis. Nam alias non fieret triangulum A B C, si anguli B A C, & B C A, æquales essent duobus rectis, vel maiores, ut constat ex propositio 17. vel 32.
EX PROCLO
IN omni figura rectilinea latera habente numero paria, si quidem fuerit æquilatera, & æquiangula: erunt duo quælibet latera opposita, parallela inter sese.
LATERA opposita dicuntur illa duo, quæ ex utraque parte latera habent æqualia numero: ut in hexagono A B C D E F, latera opposita erunt A B, E D: quoniam tam ad partes A, & E, duo sunt latera, quam ad partes B, & D. In octogono vero A B C D E F G H, latera opposita erunt A B, F E, quia tam ad partes A, & F, tria sunt latera, quam ad partes B, & E. Et sic in aliis figuris æquilateris parium laterum, ex utraque parte oppositorum laterum erunt tot latera, quot sunt in dimidio numero laterum, minus uno. Ut in quadrangulo erit unum, in hexagono erunt duo, in octogono tria, in decagono quatuor, in figura 12. laterum quinque, & c. Dico igitur qualibet latera opposita esse parallela; A B, nimirum ipsi E D, in hexagono; & A B, ipsi F E, in octogono, & sic de cæteris. Connectantur enim duo extrema oppositorum laterum ad easdem partes linea recta, qualis est in hexagono B D, & in octogono B E. Et quoniam, ut ad 32 propos. demonstrauimus, sex anguli hexagoni æquales sunt octo rectis, erunt tres anguli B, C, D, eiusdem hexagoni æquales quatuor rectis, proptereaquod omnes anguli ponuntur æquales; Sunt autem anguli B C D, C B D, C D B, trianguli B C D, duobus rectis æquales. Reliqui igitur anguli A B D, E D B, duobus rectis æquales erunt; Quare parallela erunt A B, & E D. Rursus quia octo anguli octogoni æquales sunt duodecim rectis, erunt quatuor eius anguli B, C, D, E, sex rectis æquales: Sunt autem quatuor anguli quadrilateri B C D E, æquales quatuor rectis. lgitur duo reliqui anguli A B E, F E B, duobus erunt rectis æquales, atque adeo A B, F E, parallela erunt. Eodem modo demonstrabitur, in omnibus aliis figuris huiusmodi, angulos duos ad lineam rectam extrema oppositorum laterum coniungentem existentes, duobus esse rectis æquales. Nam in decagono aufert ea linea pentagonum, cuius anguli æquales sunt sex rectis: At quinque anguli decagoni æquales sunt octo rectis. Ablatis igitur sex, relinquuntur duo recti. In figura æquilatera, & æquiangula duodecim laterum eadem linea abscindet hexagonum, cuius anguli sunt octo rectis æquales: At sex anguli totius figuræ æquales sunt decem rectis. Demptis igitur octo, remanent duo recti, &c.
QVAMVIS autem omnis figura æquiangula parium laterum habeat latera opposita parallela, ut ostendimus; tamen sola quadrilatera figura latera opposita habens parallela, ab Euclide, & aliis Geometris parallelogrammum dici consueuit, proptereaque in definitionibus, Parallelegrammum diximus esse figuram quadrilateram, &c.
Complete text
Book I