Bibliotheca Polyglotta

I. PVNCTVM est, cuius pars nulla est.
TOTVS hic primus liber in eo positus est, vt nobis tradat ortus proprietatesque triangulorum, tum quod ad eorum angulos spectat, tum quod adlatera: quæ quidem inter se comparat interdum, interdum vero vnumquodque per se inspicit, & contemplatur. Nam aliquando ex lateribus trianguli angulos considerat, aliquando vero ex angulis latera, secundũ æqualitatem atque inæqualitatem rimatur. Idemqúe variis rationibus inquirit in duobus quandoque triangulis inter secollatis. Deinde aperit nobis parallelarum proprietates, parallelogrammorumqúe contemplatione aggreditur, tum inter se, tum etiam, vt cum triangulis inter easdem parallelas constitutis conferuntur. Vt autem hæc omnia rectius & commodius exequatur Euclides, docet diuisione anguli rectilinei, & linea rectæ in partes aquales, constitutionem lineæ perpendicularis, quo pacto angulus angulo fiat æqualis, & alia huiusmodi. Itaque vt vno verborem totam complectar, in primo libro traduntur, ex Procli sententia, rectilinearum figurarum maximè primæ, ac præcipuæ, triangula inquam, atque parallelogramma, Ante omnia vero Euclides more Mathematicorumrem propositam exorditur à principiis, initio facto à definitionibus, quarum prima punctum explicat, docensillud dici punctum in quantitate continua, quod nullas habet partes. Quæ quidem definitio planius ac facilius percipietur, si prius intelligamus, quantitatens continuam triplices habere partes, vnas secundum longitudinem, alteras secundum latitudinem, & secundum profunditatem altitudinémue alteras; quanquam non omnis quantitas omnes has partes habet, sedquædam vnicas tantum secundum longitudinem; quædam duplices, ita vt illis adijciat partes etiam latitudinis; quædam denique præter duplices has partes, tertias quoque altitudinis, siue profunditatis continet Quantitas enim omnis continua aut longa solum est, aut longa simul, & lata, aut longa, lata, atque profunda. Neque aliam dimensionem habere potest res vlla quanta, vt rectè demonstrauit Ptolemæus in libello de Analemmate, opera Federici Commandini Vrbitatis nuper in pristinam dignitatem restituto, necnon, vt ait Simplicius in libello de Dimensione, quiquidem, quod sciam, adbuc nondum est excusus. Itaque quodin quantitate continua sine magnitudine existit, intelligiturqúe sine omni parte, ita vt neque longum, neque latum, neque prosundum esse cogitetur (vt nimirum excludamus animam rationalem, Nunc vel Instans temporis, & vnitætem, quæ etiam partes non habent) id appellatur ab Euclide, & à Geometris punctum. Huius exemplum in rebus materialibus reperiri nullum potest, nisi velis extremitætem alicuius acus acuttssimæ, similitudine puncti exprimere; quod quidem omni ex parte verum non est, quoniam ea extremitas diuidi potest, & secari infinitè, punctum vero indiuiduum prorsus debet existimari. Denique in magnitudine id concipi debet esse punctum, quod in numero vnitas, quodque intempore instans. Sunt enim & hæc concipienda indiuidua.

第一界
點者、無分。
無長短、廣狹、厚薄。如下圖。凡圖十干為識。干盡用十二支。支盡用八卦八音。

2. A line is breadthless length.

II. LINEA vero, longitudo latitudinis expers.
DEFINIT bîc lineam, primam speciem magnitudinis, quam dicit esse quantitatem longam duntaxat, non autem latam, intellige ntque profundam. A qua enim quantitate excluditur latitudo, ab eadem etiam necessario profunditas remouetur, non autem contra. Lineam autem banc, siue longitudinem absque latitudine, non absurdè concipere, intelligereqúe poterimus ex termino loci alicuius partim illuminati, & partim obumbrati. Finis enim, seu termin us communis lucidi, & obumbrati, longitudo quædam est, ad longitudinem ipsiusnet luminis, & vmbræ extensa, carens omni latitudine, cum sit limes vtriusque. Mathematici quoquè, vt nobis inculcent veram lineæ intelligentiam, imaginantur punctum iam desecriptum superiore definitione, è loco in locum moueri. Cum enim punctum sit prorsus indiuiduum, relinquetur ex isto motu imaginario vestigium quoddam longum omnis expers latitudinis. Vt si punctum A, fluere intelligatur ex A, in B, vestigium effectũ A B, linea appellabitur, cum vero mteruallum inter duo puncta, A, & B, comprebensum sit longitudo quædam, carens omni latitudine, propterea quod punctum A, omnipriuatum dimensione, eam efficere nulla ratione potuerit. Hine factum est, vt alij dixerint, lineam nil esse aliud, quàm punctum fluxum: Alij vero, magnitudinem vno contentã interuallo. Potest enim linea vntcotantum modo, vtpote secundum longitudinem secari, atque diuidi.

第二界
線、有長無廣。
試如一平面。光照之。有光無光之間。不容一物。是線也。眞平眞圜相遇。其相遇處止有一點。行則止有一線。線、有直、有曲。

3. The extremities of a line are points.

III. LINEÆ autem termini, sunt puncta.
DOCET, quænam sint extrema lineæ cuiusuis, seu termini, dicens lineam terminari, sine claudi vtrinque punctis; Non quod omnis linea terminos habeat; quomodo enim lineæ infinitæ terminos assignare poterimus? qua etiam ratione in linea circulari extremum aliquod deprehendemus? Sed quod linea quælibet habens extrema, in suis extremitatibus puncta recipiat. Vt superior linea A B, extrema habet puncta A, & B. Idemqúe in omnibus lineis terminatis, ac finitis intelligendum est, ita vt earum extremitates sola esse puncta cogitemus.

第三界
線之界、是點。凡線有界者。兩界必是點。

4. A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.

IV. RECTA linea est, quæ ex æquo sua interiacet puncta.
TRIPLEX omnino est linea apud Mathematicos, recta, circularis, quam & curuam dicunt, & mixta, siue composita ex vtraque. Ex his describit hocloco Euclides lineam rectam, quam dicit esse eam, quæ æqualiter inter sua puncta extenditur, hoc est, in quanullum punctum intermedium ab extrem is sursum, aut deorsum, vel buc, atque illuc deflectendo subsultat; in qua denique nibil flexuosum reperitur. Hanc nobis ad viuum exprimit filum aliquod tenue summa vi extentum: In eo enim omnes partes mediæ cum extremis æqualem obtinent situm, neque vlla est alia sublimior, aut bumilior, sed omnes æquabiliter inter extremos fines positæ progrediuntur. Proclus bano definitionem exponens ait, tunc demum lineam aliquam ex æquo suæ interiacere puncta, quando æquale occupat spatium ei, quodinter suæ situm est puncta extrema. Vt linea A C B, dicetur recta, quoniam tantum occupat præcisè spatium, quanta est distantia puncti A, a puncto B. Lineæ vero A D B, A E B, A F B, non dicentur rectæ, cum maiora obtineant spatia, quàm sit distantia extremorum punctorum A, & B. Sic etiam vides omnia puncta lineæ A C B, inter quæ est punctum C, æqualiter inter extrema A, & B, iacere, iuxta Euclidis definitionem; quod non cernitur in alijs lineis, quoniam puncta D, E, F, subsultant ab extremis A, & B. Plato rectā lineam perpulcbrè sic definit: Linearecta est, cuius media obumbrant extrema Vt in linea A C B, sipunctū C, aut quoduis aliud modium, vim haberet occultandi, & A, extremum virtutem illuminandi, impedimento vtique esset C, punctum interiectum, ne B, extremum alterum ab A, illuminaretur: Rursus oculus in A, existens extremo, nõ videret aliud extremū B, ob interiectum punctũ C; quis quidem non contingit in lineis non rectis, vt perspicuum est in lineis A D B, A E B, A F B. Archimedes vero ait, lineam rectam esse minimam earum, quæ terminos habent eosdem; qualis est A C B, comparata cum A D B, A E B, A F B. Si enim A C B, nõ esset minima earũ quæ eosdem terminos A, & B, possident, nõ ex æquo interiaceret sua puncta, sed ea potius linea, quæ minor diceretur, quàm A C B. Campanus denique describens rectam lineam, vocat eam breuissimam ex vno puncto in aliud extensionem. Quemadmodum autem Mathematici per fluxum puncti imaginarium concipiunt describi lineam, ita per qualitatem fluxus puncti qualitate lineæ descriptæ intelligunt. Si namque punctum recta fiuere concipiatur per breuissimum spatium, ita vt neque in hanc partem, neque in illam deflectat, sed æquabilem quendam motũ, atque incessum teneat, dicetur linea illa descripta, Recta: Si vero punctum fluens cogitetur in motu vacillare, atque hinc inde titubare, appellabitur linea descripta, mixta: Si denique punctum fiuens in suo motu non vacillet, sed in orbem feratur vniformi quodam motu, atque distantia à certo aliquo pũcto, circa quod fertur, vocabitur descripta illa linea, circularis. Itaque si duo puncta moueantur similibus prorsus motibus, ita vt semper æqualiter inter se distent; describentur ab ipsis duæ lineæ similes, hoc est, si vna earum fuerit recta, erit & alteræ recta: si vero vna fuerit curua, erit & altera eodem omnino mode curua, &c. Lineas non rectas, quæomnes obliquædici possunt, non definit hoc loco Euclides, sed circularem exponet definitione decimæquinta, mistam prorsus omittens, quod eain hisce elementis Geometricis nullum habeat vsum. Sunt autem plurima gener a linearũ mistarum; quædam enim sunt vniformes, quædam difformes. Vniformium rursus alia suntin plano, aliæ in solido. In plano sunt Hyperbole, Parabole, Ellipsis, de quibus agit copiosissimè Apollonius in conicis elementis; linea Conchoideos, de qua Nicomedes; linea Helica, de qua Archimedes in libro de lineis spiralibus tractationem in stituit, & aliæ huiusmodi. In solido, seu superficie curua sunt alterius generis lineæ belicæ, quàmea ab Archimede descripta, qualis est illa, quæ circa cylindrum aliquem conisolmitur; nec nonea, quæ circa conum existit, vel etiam quæ circa sphæram, cuiusmodi sunt spiræilla, quæs Sol describit abortu in occasum, vt in sphæra docuimus. Difformium autem infinitus est numerus, quas non est opus hîcrecensere. Ex his constat, duas tantum esse lineas simplices, rectam, & circularem, omnes autem alias, quæcunque sunt, mist as appellari, quod ex illis componantur. Vnde ingeniosè concludit Aristoteles in libro de Cœlo, iuxtæ triplicem lineam, tres tantum esse motus, duos quidem simplices, rectum & circularem, tertium vero mistum, siue ex illis duobus compositum.
Sed quoniam lineas rectas regula ducere solemus, doceamus, quæ ratione regulam propositam examinare possimus, num linea per illam descripta recta sit, necns. Sit ergoregula A B, secundum cuius latus C D, recta C D, describatur ex puncto C, in punctum D. Deinde conuertatur regula, vt manente eadem parte superiore, punctum C, statuatur in D, & punctum D, in C: & secundum idem latus regulæ C D, recta ducatur ex eodem puncto C, in punctum D. Nam si posterior hæc linea priori omni ex parte congruet, dubitari non debet, quin regulæ A B, in lineis rectis ducendis fidere possimus: Si vero non congruet omni ex parte, latus illud C D, perfectè rectum non erit, sed corrigendum erit diligentius.

第四界
直線止有兩端。兩端之間。上下更無一點。
兩點之間。至徑者直線也。稍曲則繞而長矣。直線之中。點能遮兩界。凡量遠近、皆用直線。甲乙丙是直線。甲丁丙、甲戊丙、甲己丙皆是曲線。

5. A surface is that which has length and breadth only.

V. SVPERFICIES est, quæ longitudinem, latitudinemque tantum habet.
POST lineam, quæ est prima quantitatis continuæ species, vnicamqúe habet dimensionem, definit superficiem, quæ secundam magnitudinis speciem constituit, additqúe primæ dimensioni secundum longitudinem, alteram secundum latitudinem. Nam in superficie reperitur non solum longitudo, vt in linea, verum etiam latitudo, sine tamen omni profunditate. Vt quantitas A B C D, inter lineas A B, B C, C D, D A, comprehensa, considerataque secundum longitudinem A B, vel D C, & secundum latitudinem A D, vel B C, omnis expers profunditatis, appellatur superficies. Hanc nobis refert latitudo extremæ cuiusque corporis, si ab ea omnis soliditas intellectu auferatur. Non incongruè etiam, vt ait Proclus, imaginem quasi expressam superficiei nobis exhibent vmbræ corporum. Hæ enim cum interiorem terræ partem penetrare non possint, longæ tantum erunt, & latæ. Mathematici vero, vt nobis eam ob oculos ponant, monent, vt intelligamus lineam aliquam in transuersum moueri: Vestigium enim relictum ex ipso motuerit quidem longum, propter longitudinem lineæ, latum quoque propter motum, qui in transuersum est factus; nulla vero ratione profundum esse poterit, cum linea ipsum describens omni careat profunditate; quare superficies dicetur. Vt si linea A B, fluat versus D C, efficietur superficies A B C D. Alij describentes superficiem dicunt, eam esse corporis terminum: Alij vero, magnitudinem duo bus constantem interuallis. Potest enim superficies diuidi, & secari duobus modis, vno quidem secundum longitudinem, altero vero secundum latitudinem.

第五界
面者止有長有廣。
一體所見為面。凡體之影極似於面。無厚之極。想一線橫行、所留之迹卽成面也。

6. The extremities of a surface are lines.

VI. SVPERFICIEI autem extrema sunt lineæ.
NON dissimilis est hæc definitio superiori, qua termini lineæ fuere explicati. Vult enim extremitates superficiei esse lineas, quemadmodum lineæ fines extitere puncta. Vt superioris superficiei A B C D, extrema sunt lineæ A B, B C, C D, D A. Eodemque modo in quacunque altera superficie, quæ extrema habet, lineas cogitare oportet in extremitatibus: Non autem in superficie infinita, vel etiam sphærica, quæ corpus sphæricum circumdat. Potest etiã superficies aliqua claudi, & terminari vnica tantum linea, qualis est circularis superficies, vt dicemus in definitione circuli.

第六界
面之界是線。

7. A plane surface is a surface which lies evenly with the straight lines on itself.

VII. PLANA superficies est, quæ ex æquo suas interiacet lineas.
HÆC quoque definitio similitudinem quandam descriptionis lineæ rectæ gerit. Superficies enim, quæ ex æquo lineas suas interiacet, ita vt mediæ partes ab extremis sursum, deorsúmue subsultando, non recedant, appellabitur plana: qualis est superficies perpoliti alicuius marmoris, in qua partes omnes in rectum sunt collocatæ, ita vt nihil habeat incisum angulis, nibil anfractibus, nihil eminens, nihil lacunosum: In hac enim partes intermediæ cum extremis æqualem adeptæ sunt situm, nec vlla est alia sublimior, humiliórue, sed omnes æquabiliter protenduntur. Alij superficiem planam definiunt, dicentes eam esse, cuius partes mediæ obumbrant extrema: Vel esse minimam, siue breuissimam omnium, quæ eadem habent extrema: Vel cuius omnibus partibus recta linea accommodari potest, vt placet Heroni antiquo Geometræ. Vt superficies A B C D, tum demum plana dici debet, quando linea recta A E, circa punctũ A, immobile circumducta, ita vt nunc eadem sit, quæ A B, nune eadem, quæ A F, nunc eadem, quæ A G, & nune eadem, quæ A H, nihil in superficie offendit depressum, aut sublatum, sed omnia puncta superficiei à linearecta tanguntur, & quodammodo raduntur. Quod si minima superficiei particula alus humilior à linea rectanõ tangeretur, vel ipsa linea recta liberè non posset circumduci, propter aliquem tumorem, seu eminentiam in superficie occurrentem, tam non posset nuncupari plana. Itaque vt sit plana, requiritur vt omnibus modis possit recta linea commensurari, hoc est, vt ei applicari possit recta linea secundum A B, & A F, & denique secundum omnes partes. Hæc autem superficies sola erit ea, quam imaginari, & intelligere possumus describi ex motu lineæ rectæ in transuersum, qui super duas alias lineas rectas conficitur. Vt si linea recta A B, per duas rectas A D, B C, feratur, efficietur superficies perfectè plana, iuxta omnes definitiones. Non enim difficile erit huic superficiei traditas descriptiones accommodare. Solent Mathematici superficiem planam frequenter appellare planum, ita vt quando loquuntur de plano, intelligenda semper sit superficies plana. Cæteræomnes superficies, quibus non omni ex parte accommodari potest linea recta, qualis est superficies interior alicuius fornicis, vel exterior alicuius globi, columnæve rotundæ, vel etiam coni, &c. appellantur curuæ, & non planæ. Quamuis enim superficiei columnæ rotundæ se@@ cylindri secundũ longitudinem adaptari possit linearecta, tamen secũdum latitudinem minimè potest. Idemqúe dicendũ est de aliis. Superficies autem curua duplex est, conuexa videlicet, vt exterior superficies sphæræ, vel eylindri; & concaua, vt interior fornicis, siue aicus alicuius. Quoniam vero omnium harum contemplatio pertinet ad Stereometriam, idcirco Euclides hoc primo libro solum planam nobis explicauit, de qua est disputaturus prioribus sex libris.

第七界
平面一面平在界之內。
平面中間線能遮兩界。平面者。諸方皆作直線。試如一方面。用一直繩施於一角。繞面運轉。不礙不空。是平面也。若曲面者。則中間線不遮兩界。

8. A plane angle is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.

VIII. PLANVS vero angulus, est duarum linearum in plano se mutuo tangentium, & non in directum iacentium, alterius ad alteram inclinatio.
DECLARAT, quidnam sit angulus planus, dicens; Quandocunque duæ lineæ in plana aliqua superficie inuicem concurrunt, & non in directum constituuntur, efficietur ex huiusmodi concursu, seu inclinatione vnius ad alteram, angulus, qui diciturplanus, propterea quodin plana constituatur superficie. Verbi gratia, quia duælineæ A B, A C, concurrunt in A, & non iacent iu directum, ideo efficiunt angulum A, planum in eadem existent\-e superficie, in qua duæ illæ lineæ constituuntur. Dicentur autem duæ lineæ non in directum iacere, quando altera earum versus concursum protensa non coincidit cum altera, sed veleam secat, vel certè statim post punctum concursus ab earecedit. Quod dixerim propter angulum contactus, qui fit, quando duo circuli secontingunt, veletiam, quando linea recta circulum tangit. Protracta enim recta linea post punctum contactus, quanquam non secet circulum, tamen statim post illud ab eo seiungitur. Eodem pacto circularis illa linea secundum propriam dispositionem, ac formam extensareoedit à recta tangente, quamuis eam non secet. Vnde verè est angulus constitutus in illo contactu: qua de re plura scribemus in proposiiione 16. tertij liber contra Iacobum Peletarium, qui contendit, eam non esse angulum. Quod si duæ lineæ se mutuo tangant iacentes in directum; ita vt alterutra producta congruat toti alteri, non fiet vllus angulus ex illo concursu, cum nulla sit inclinatio, sed ambæ vnam integram lineam constituent. Vt quia recta A B, producta conuenit cum recta B C, non efficietur angulus in B. Sic etiam non fiet angulus in B, ex lineis curuis A B, B C, quia alterutra secundum suam inflexionem, & obliquum ductum extensa, cum altera coincidit. Quare in directũ dicentur iacere. It aque vt lineæ rectæ efficiant angulum, necesse est, vt post concursum productæ se mutuo secent: Curuæ autem lineæ, vel quarum altera curua, altera vero recta existit, angulum constituere verè possunt, etiamsinon se mutuo intersecent; sufficit enim, quod sese contingant, ita vt statim post contactum altera ab alter a separetur, quemadmodum & ante eundem semotæ cernuntur. Consistit autem anguli cuiusuis quantitas in sola inclinatione, non in longitudine linearum; lineæ etenim longius excurrentes non augent suam inclinationem, igitur neque anguli magnitudinem. Sunt & aliaduo genera angulorum, quorum prius solidos comprehendit, de quibus Euclides disserit in Stereometria, quique in corporibus existunt; Posterius vero sphærales, quiin superficie sphæræ constituuntur ex circulorũ maximorũ circumferentiis, & de quibus copiosè agitur in sphæricis elementis Menelai. Horum autem omniũ explicatio in alium locum à nobis reijcitur, cum hîc de solis planis angulis sit futurus sermo.

第八界
平角者。兩直線於平面縱橫相遇交接處。
凡言甲乙丙角。皆指平角。
如上甲乙丙二線。平行相遇。不能作角。
如上甲乙，乙丙二線。雖相遇。不作平角。為是曲線。所謂角。止是兩線相遇。不以線之大小較論。]

9. And when the lines containing the angle are straight, the angle is called rectilineal.

IX. CVM autem, quæ angulum continent lineæ, rectæ fuerint, rectilineus ille angulus appellatur.
ANGVLVS omnis planus conficitur aut ex lineis duabus rectis, qui quidem rectilineus dicitur, & de quo solum hîc agit Euclides: aut ex duabus curuis, quem curuilineum vocare licet; aut ex vna curua & altera recta, qui non ineptè mixtus appellatur. Ex hisce porro lineis possunt curuilinei anguli tribus variari modis, & mixti duobus, pro varia inclinatio ne, seu habitudine linearum curuarum, vtpote secundum conuexum, & concauum, ceu in propositis angulis planè, & apertè perspicitur. Rectilineus vero variari non potest ratione inclinationis, habitudinis ve linearum, nisi matorem, vel minorem inclinationem variam velimus dicere habitudinem, quod est absurdum; cum hoc modo augeatur tantum angulus rectilineus, aut diminuatur, quod & aliis εommune est, non autem ita varietur, vt aliud constituat genus.

第九界
直線相遇作角。為直線角。
平地兩直線相遇。為直線角。本書中所論止是直線角。但作角有三等。今附蓍於此。
一直線角。二曲線角。三雜線角。　如下六圖。(p. 五)

10. When a straight line set up on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is right, and the straight line standing on the other is called a perpendicular to that on which it stands.

X. CVM vero recta linea super rectam consistens lineam eos, qui sunt deinceps, angulos æquales intersecerit, rectus est vterque æqualium angulorum: Et quæ insistit recta linea, perpendicularis vocatur eius, cui insistit.
VSVS frequentissimus reperitur in Geometria angulirecti, & lineæ perpendicularis, nec non anguli obtusi, & acuti, propterea docet hoc loco Euclides, quisnam angulus rectilineus apud Geometras appelletur rectus, & quænam linea perpendicularis: In sequentibus autem duabus definitionibus explicabit angulum obtusum, & acutum. Non enim alius dari potest angnlus rectilineus, præter rectum, obtusum, & acutum, Igitur si recta linea A B, rectæ C D, insistens essiciat duos angulos prope punctum B, (qui quidem ideo dicuntur à Maìbematicis esse deinceps, quod eos eadem linea C D, protracta, propo idem punctum B, efficiat) inter se æquales, quod tum demum fiet, quandorecta A B, non magis in C, quam in D, inclinabit, sed æquabiliter rectæ C D, insistet, vocabitur vterque angulus B, rectus, & recta A B, perpendicularis recta C D, cui insistit, Eadem ratione nominabitur recta C B, perpendicularis recta A B: quamuis enim C B, tantum faciat cum A B, vnum angulum, tamen si A B, extenderetur inrectum & continuum versus punctum B, efficeretur alter angulus æqualis priori. Qua vero arte linea duci debeat efficiens cum alter a duos angulos æquales, decebit Euclides propositione 11. & 12. buius primi libri. Itaque vt in Geometria concludamus angulum aliquem esse rectum, aut lineam, quæipsum essicit, ad aliam esse perpendicularem, requiritur, & sufficit, vt probemus angulum, qui est ei deinceps, æqualem illi esse. Pariratione, si dicatur aliquis angulus rectus, aut linea, quæ ipsum constituit, perpendicularis ad aliam, colligere licebit, angulum illi deinceps æqualem quoque esse. Quando enim anguli, qui sunt deinceps, fuerint inter se æquales, nuncupatur vterque illorum rectus, & linea ipsos efficiens, perpendicularis, iuxta banc 10. definitionem: quando autem non fuerint æquales, non dicitur quisquam illorum rectus, vt constabit ex sequentibus duabus definitionibus, & propterea neque linea eos constituens perpendicularis appellatur. Hæc dixerim, vt videas, quidnam liceat ex hac definitione colligere in rebus Geometricis, & quemnam vsum babeant apud Geometr as descriptiones vocabulorum. Non enim magno laborebæc quæ diximus, ad alias definitiones poterunt transferri.

第十界
直線垂於橫直線之上。若兩角等。必兩成直角。而直線下垂者。謂之橫線之垂線。
量法。常用兩直角。及垂線。垂線加於橫線之上。必不作說角及鈍角。
若甲乙線至丙丁上。則乙之左右作兩角相等。為直角。而甲乙為垂線。
若甲乙為橫線。則丙丁又為甲乙之垂線。何者。丙乙與甲乙相遇。雖止一直角。然甲線若垂下過乙。則丙線上下定成兩直角。所以丙乙亦為甲乙之垂線。如今用矩尺。一縱一橫。互相為直線。互相為垂線。凡直線上。有兩角相連是相等者。定俱直角。中間線為垂線。
反用之。若是直角。則兩線定俱是垂線。

11. An obtuse angle is an angle greater than a right angle.

XI. OBTVSVS angulus est, qui recto maior est.
QVANDO recta A B, rectæ C D, insistens non fecerit angulos ad punctum B, æquales, & obeam causam neutrum rectum, sed vnum quidem recto maiorem, alterum vero minorem, dicitur maior angulus obtusus, qualis est angulus B, ad punctum C, vergens, quicontinetur rectis lineis A B, B C.

第十一界
凡角大于直角。為鈍角。
如甲乙丙角與甲乙丁角不等。而甲乙丙大於甲乙丁。則甲乙丙為鈍角。(p. 六)

12. An acute angle is an angle less than a right angle.

XII. ACVTVS vero, qui minor est recto.
VT in præcedenti figura, minor angulus B, ad punctum D, vergens, qui continetur rectis lineis A B, B D, vocatur acutus, Itaque angulus rectus, vt ex dictis colligitur, nullam patitur varietatem, vt vnus altero maior, minórue detur, cum lineaperpendicularis eum efficiens non debeat mag is in vnam partem inclinare, quàm in alteram: Obtusus vero, & Acutus augeri possunt, & minui infinitis modis, cum ab illa inflexibilitate lineæ perpendicularis infinitis etiam modis recta line a possit recedere, vt per spicuum est. Quoniam vero ad quemuis angulum planum constituendum concurrunt duæ lineæ, & aliguando in vno puncto plures existunt anguli, solent Mathematici, vt tollatur confusio, angulum quemlibet exprimere tribus literis, quarum media ostendit punctum, in quo lineæ conficiunt angulum, extremæ vero significant initia linearum, quæ angulum continent. Exempli gratia, in superiore figura angulum obtusum intelligunt per angulum A B C, acutum vero, per angulum A B D, quod diligenter est notandum, vt facile dignoscamus angulos, quorum mentio fit in demonstr ationibus.
IAM vero proposito nobis angulo aliquorectilineo, si experivi velimus, num rectus sit, an obtusus, acutúsue, efficiemus id boc modo. Contineant duæ rectæ A B, A C, angulum A. Ductarecta B C, vtcunque, quæ angulum subtendat, & diuisa bifariam in D, describatur ex D, vt centro ad interuallum D A, circumferentia circuli; quæ siper puncta B, C, transeat, ¹ erit angulus A, rectus, vtpote qui in semicir culo B A C, existat: si vero idem semicirculus rectam B C, secet in E, F, erit angulus B A C, obtusus; propterea quod, du ctis rectis E A, F A, ² angulus E A F, in semicirculo E A F, rectus est, qui quidem pars est anguli B A C. Si denique idem semicirculus rectam B C, productam secet in E, F, erit angulus B A C, acutus; propterea quod ductis rectis E A, F A, ³ angulus E A F, in semictrculo E A F, rectus est, qui quidem maior est angulo B A C.
ALITER idem assequemur boc modo. Describatur ex puncto D, quodrectam B C, dato angulo A, subtensam secat bifariam, semicirculus ad interuallum D B, vel D C: qui si transeat per punctum A, ⁴ datus angulus erit rectus, vtpote qui in semicirculo existat. Si vero idem semicirculus transeat supra punctum A, datus angulus erit obtusus, Ducta enim recta D A, secante circumferentiam in E, iungantur rectæ E B, E C; ⁵ eritqúe angulus B E C, in semicirculo rectus. Cum ergo angulus B A C, ⁶ datus maior sit angulo B E C, erit angulus datus A, recto maior, boc est, obtusus, Si denique semicirculus idem secet rect as A B, A C, erit datus angulus acutus, Sumpto namque puncto E, inter rect as A B, A C, in circumferentia, iungantur rectæ E B, E C; ⁷ erit que angulus B E C, rectus in semicirculo: ⁸ quicum maior sit angulo dato A, erit datus angulus A, recto minor, id est, acutus. Non videatur autem mirum cuipiam, quod ad demonstrationem assumamus propositiones, quæ posterius demonstrantur ab Euclide; quod alienum esse videtur à puritate demonstrationum Geometricarum: Non videatur, inquam, mirum, quia cum id, quod boc loco ostendimus, necessarium non sit ad sequentes demonstrationes, poterit commodè differri, donec propositiones requisitæ sint demonstratæ. Satis est, vt praxis huiusce rei boc loco intelligatur. Idem obseruabimus in nonnullis praxibus problematum. Eas enim propriis in locis, quoad eius sieri poterit, proponemus, vt diuisionem angulirectilinei in quotuis partes æquales eo in loco docebimus, vbi Euclides docet diuisionem eiusdem anguli in duas æquales partes, &c. quanquam ad earum praxium demonstrationes necessariæ sint propositiones posterius demonstratæ. FACILIVS idem cognoscemus beneficio nermæ alicuius accuratè fabricatæ, qualem refert instrumentum A B C, constans duabus regulis A E, A F, ad angulum rectum in A, coniunctis. Nam si latus A B, buius normæ, rectæ A B, applicetur, cadente puncto A, in punctum A; si quidem & normæ latus A C, rectæ A C, congruat, erit angulus A, rectus: si vero citra rectam A C, cadat normæ latus A C, erit angulus A, obtusus; si denique latus normæ A C, vltra rectam A C, cadat, acutus erit angulus, vt perspicuum est.
ITA autem norm am examinabimus, num accuratè sit fabricata, nec ne. Descripto semicirculo B A C, ex centro G, cuiusuis magnitudinis, ductaqúe diametro B C, ponatur angulus A, in aliquo puncto circumferentiæ, vt in A, latusqúe vnum normæ, vt A B, per B, punctum extremum diametri transeat. Nam si alterum tunc latus A C, per alterum punctum extremum C, transeat, ritè fabricata erit norma A B C; ⁹ quod tunc angulus B A C, in semicirculo B A C, rectus 31. ter tij. sit: si vero latus A C, non per C, transeat, emendanda erit norma; quia eius angulus A, tunc rectus non erit. Eadem ratione interiorem partem normæ examinabimus, si angulum D, circumferentiæ applicemus, & latera D E, D F, punctis extremis B, C, &c.

1. 31. tertij.; 2. 31. tertij.; 3. 31. tertij.; 4. 31. tertij.; 5. 31. tertij.; 6. 21. primi; 7. 31. tertij.; 8. 21. primi; 9. 31. tertij.

第十二界
凡角小於直角。為銳角。
如前圖甲乙丁是。
通上三界論之。直角一而已。鈍角銳角。其大小不等。乃至無數。
是後凡指言角者。俱用三字為識。其第二字。卽所指角也。　如前圖甲乙丙三字。第二乙字。卽所指鈍角。若言甲乙丁。卽第二乙字。是所指銳角。

13. A boundary is that which is an extremity of anything.

XIII. TERMINVS est, quod alicuius extremum est.
TRES sunt termini iuxta banc definitionem. Punctum enim cerminus est, seu extremum lineæ: Line a superficiei: & superficies corporis. Corpus autem terminare amplius nibil potest, quod non reperiatur alia quantit as plures babens dimensiones, quam tres. Omne siquidem terminatum super at terminum suum vna dimensione, vt perspicuum est ex adductis exemplis.

第十三界
界者。一物之始終。
今所論有三界。點為線之界。線為面之界。面為體之界。體不可為界。

14. A figure is that which is contained by any boundary or boundaries.

XIV. FIGVRA est, quæ sub aliquo, vel aliquibus terminis comprehenditur.
NON omnis quantit as terminos possidens Figura dici potest, ne lineam finitam figuram appellare cogamur: Sedeæ solum magnitudines, quæ latitudinem babent, nempe superficies terminatæ, & quæ profunditdtem adeptæ quoque sunt, vt solida finita Figuræ nomine appellabuntur. Hæ enim proprie terminis comprebendi dicuntur. Nam linea finita non proprie dicitur punctis extremis comprebendi, cum puncta lineam non ambiant, sed potius punctis terminari dicitur. Itaque termini debent quantitatem, quæ figura dicitur, ambire, & non tantum terminare. Superficies quoque infinita, vel etiam corpus, cum nullis terminis comprebendatur, Figura vocari nulla ratione potest, Figuræ vnico comprebensæ termino sunt, Circulus, Ellipsis, sphæra, sphæroides, & aliæ huiusmodi: Pluribus vero terminis inclusæ figuræ sunt, Triangulum, Quadratum, Cubus, Pyramis, &c. Superficies terminatæ nuncupantur figuræ planæ: solida autem circumscripta, figuræ solidæ, siue corporeæ. Porro quia formas, seu typos variarum figurarum in spicies quamplurimas in sequentibus, planarum quidem in prioribus 10. libris, solidarum vero in posterioribus quinque, propterea nulla hoc loco figura depingenda esse videtur.

第十四界
或在一界、或在多界之間。為形。
一界之形。如平圜、立圜等物。多界之形。如平方、立方、及平立、三角、六、八角等物。　圖見後卷。

15. A circle is a plane figure contained by one line such that all the straight lines falling upon it from one point among those lying within the figure are equal to one another;

XV. CIRCVLVS, est figura plana sub vna linea comprehensa, quæ peripheria appellatur, ad quam ab vno puncto eorum, quæ intra figuram sunt posita, cadentes omnes rectæ lineæ inter se sunt æquales.
DEFINIT hic circulum, figuram inter planas perfectissimam, docens figur am illam planam, quæ vnica linea circumscribitur; ad quam lineam omnes rectæ lineæ ductæ ab vno puncto, quod intr a figuram existit, sint æquales, vocari circulum. Vt si superficies, seu spatium concludatur vnica linca A B C, babueritqúe hanc conditionem, vt ab aliquo puncto intus suscepto, vtpote à D, omnes rectæ lineæ cadentes ad terminum A B C, quales sunt D A, D B, D C, inter se sint æquales, appellabitur talis figura plana, circulus, alias non, Qua vero ratione in circulo punctum illud medium reperiri debeat, docebit Euclides propositione 1. tertij liber Adiungit quoque Euclides, lineam extrem am circuli, qualis est A B C, appellari Peripberiam, seu, vt Latini exponunt, circumferentiam. Potest circulus etiam bac ratione describi. Circulus est figura plana, quæ describitur à linea rect a finita circa alterum punctum extremum quiescens circumducta, cum in eundem rursus locum restituta fueru, vnde moueri cœperat. Quæ quidem descriptio persimilis est ei, qua ab Euclide spbæra describitur liber 11. Vt si intelligatur recta A D, circa punctum D, quiescens moueri, donec ad eundem redeat locum, à quo dimoueri cœpit, describet ipsarect a totum spatium circulare; punctum vero alterum extremum A, delineabit peripberiam A B C: Erit quoque punctum quiescens D, illud, à quo omnes linea cadentes in peripberiam sunt inter se æquales, propterea quod recta A D, circumducta, omnes lineas, quæ ex D, possunt educi ad peripheriam, æquè metiatur. Igitur Ellipsis, quamuis figura sit planæ vna linea circumscripta, tamen quia in ea non datur punctum, à quo ad ipsam lineam terminantem omnes rectæ lineæ sint æquales. circulus. dici nequit.

第十五界
圜者一形於平地居一界之間。自界至中心作直線俱等若甲乙丙為圜。丁為中心。則自甲至丁、與乙至丁、丙至丁其線俱等。(p. 七)外圜線為圜之界。內形為圜。
一說。圜是一形。乃一線屈轉一周。復於元處所作。如上圖甲丁線轉至乙丁。乙丁轉至丙丁。丙丁又至甲丁。復元處其中形卽成圜。

16. And the point is called the centre of the circle.

XVI. HOC vero punctum, centrum circuli appellatur.
HOC ET, punctum illud intra circulum, à quo omnes lineæ rectæ ad circumferentiam ducta sunt æquales, appellari centrum circuli; quale est præcedentis figuræ punctum D. Vnde perspicuum est, polum alicuius circuli in sphæra, à quo omnes rectæ ad peripberiam circuli cadentes sunt æquales, vt ait Theodosius in sphæricis elementis, nom dici debere centrum circuli, cum punctum illud, quod polus dicitur, existat in superficie spbæræ, non autem in superficie circuli; quæ tamen est necessario requisita conditio, vt punctum aliquod centrum vocetur. Cæterum, vtpunctum aliquod circuli dicatur centrum, satis est, vt œb eo tres duntaxat lineæ cadentes in peripheriam sint æquales inter se, vt demonstrat Euclides propositione 9, lib. 3. Hac enim ratione fiet, vt omnes aliæ ab eodem puncto emissæ inter se sint æquales.

第十六界
圜之中處。為圜心。。

17. A diameter of the circle is any straight line drawn through the centre and terminated in both directions by the circumference of the circle, and such a straight line also bisects the circle.

XVII. DIAMETER autem circuli, est recta quædam linea per centrum ducta, & ex vtraque parte in circuli peripheriam terminata, quæ circulum bifariam secat.
SI in circulo ducatur recta linea A B, per centrum C, it a vt extrema eius A, & B, terminentur in peripheria, appellabitur ea circuli diameter. Non igitur omnis in circulorecta line a ducta diameter dicetur, sed ea solummodo, quæ per centrum vsque ad peripheriam vtrinque extenditur. Vnde plures assignari poterunt in circulo diametri, vnum vero centrum duntaxat. Quod autem Euclides addit, circulum bifariam secari a diametro, perspicuum ex eo esse potest, quod diameter per medium circulum, vtpote per centrum, ducitur. Hinc enim fit, vt propter directum diametriper centrum transitum, vtrinque æquales circumferentiæ abscindantur. Quod tamen Thaletem Milesium hac ratione demonstrasse testatur Proclus. Concipiamus animo, portionem A D B, accommodari, & coaptari portioni reliquæ A E B, itæ vt diameter A B, communis sit vtrique portioni: Si igitur circumferentia A D B, congruat penitus circumferentiæ A E B, manifestum est, duas illas portiones a diametro factas, esse inter se æquales, quandoquidem neutra alteram excedit: Si vero circumferentia A D B, non omni ex parte cadere dicatur super circumferentiam A E B, sed vel extra eam, velintra, vel partim extra, partim intra; tunc ductarecta à centro C, secante circumferentiam A D B, in D, & circumferentiam A E B, in E, erunt duærectæ C D, C E, ductæ ex centro ad circumferentiam eiusdem circuli æquales, per circuli definitionem, cum tamen vna sit pars alterius, quod est ab surdum. Non ergo cadet vna cir cumferentia extra aliam, vel intra, vel partim extra, partim intra, sed ambæ inter se aptabuntur, ideoqúe æquales erunt. quod demonstrandum proponebatur.
EX hac demonstratione constat, diametrum non solum circumferentiam, verum etiam totam aream circuli seoare bifariam. Cum enim semicir cumferentiæ sibi mutuo congruant, vt ostensum est, congruent etiam superficies ipsæ inter diametrum, & vtramque circumferentiam comprehensæ, cum neutra alteram excedat. Quare æquales inter se erunt.

第十七界
自圜之一界作一直線。過中心至他界。為圜徑。徑分圜兩平分。
甲丁乙戊圜。自甲至乙、過丙心、作一直線。為圜徑。

18. A semicircle is the figure contained by the diameter and the circumference cut off by it. And the centre of the semicircle is the same as that of the circle.

XVIII. SEMICIRCVLVS verò est figura, quæ continetur sub diametro, & sub ea linea, quæ de circuli peripheria aufertur.
EXEMPLI gratia, in superiori circulo figura A D B, contentæ sub diametro A B, & peripheria A D B, dicitur semicirculus, quia, vt in præcedenti definitione ostendimus, ea est dimidiata pars circuli. Eadem ratione erit figura A E B, semicirculus. Idem autem punctum C diametrum secans bifariam, centrum est in circulo, & in semicirculo.
QVOD sirecta linea B D, nontranseat per centrum E, secabitur circulus ab ea non bifariam, sed in duas portiones inæquales B A D, B C D, quarum ea, in qua centrum circuli existit, cuiusmodi est portio B A D, maior est, quàm alia B C D, extra quàm centrum E, reperitur, Esse autem portiones B A D, B C D, inæquales, it a probari potest. Concipiatur per centrum E, ducta diameter ad rectam B D, perpendicularis A G. Si igitur dictæ portiones dicantur esse æquales, & portio B C D, intelligatur moueri circarectam B D, vt super portionem B A D, cadat, congruet illa portio huic, & recta F C, rectæ F A, congruet, ob angulos rectos ad F, qui omnes inter se æquales sunt ex defin. 10. cum sint sibi mutuo deinceps. Recta ergo F C, quæ nune eademest, quæ F A, maior erit, quàm E A, pars ipsius F A. Cumergoipsi E A, sit æqualis E C, quod ambæ ducantur è centroad circumferentiam, erit quoque F C, maior quàm E C, pars quàm totum, quod est absurdum. Non igitur portio B C D, portioni B A D, congruet, sed intra eam cadet, cuiusmodi est portio B G D, vt recta F G, eadem tunc existens, quæ F C, minor possit esse quàm E A, vel E C. Sinamque diceretur cadere extra, vt si circulus esset B C D G, cuius centrum E, & portio B C D, caderet extra B G D, qualis est portio B A D, esset rursus F A, eadem tunc existens, quæ F C, maior quàm E G, hoc est, quàm E C, atque ita pars F C, maior rursum foret toto E C. quod absurdum est. Ex quo patet, portionem B A D, in qua cextrum E, existit, maiorem esse reliqua portione B C D, cum hæc æqualis sit portioni B G D, quæ pars est portionis B A D. Cum enim osten sum sit, portionem B C D, circa rectam B D, circumductam non posse congruere portiont B A D, nequé cadere extra, cadet omnino intra, qualis est B G D.

第十八界
徑線與半圜之界所作形。為半圜。

19. Rectilineal figures are those which are contained by straight lines, trilateral figures being those contained by three, quadrilateral those contained by four, and multilateral those contained by more than four straight lines.

XIX. RECTILINEÆ figuræ sunt, quæ sub rectis lineis continentur.
POST definitionem circuli, traditurus iam Euclides descriptiones variarum figurarum, explicat prius, quænam figuræ dicantur rectilineæ. De his enim potissimum sermo futurus est in hisce libris. Omnes igitur figuræ planæ, quæ vndique rectis clauduntur lineis, rectilineæ nuncupantur. Ex quo perspicuum est, figur as plan as curuis lineis comprehensas, dici curuilineas. Eas vero, quæ partim curuis, partim rectis circumscribuntur, appellari mixtas. V aria autem nun@ genera figurarum rectilinearum ab Euclide describentur.
XX. TRILATERÆ quidem, quæ sub tribus.
AFFIRMANS Euclides, eas rectilineas figuras dici trilateras, quætribus rectis lineis circumscribuntur, apertè nobis innuit, quonam modo Triangulum definiri debeat. Cum enim in rectilineis figuris tot sint anguli, quot latera, seurectæ lineæ, ex quibus constant, dicetur triangulum, figura tribus rectis lineis contenta, cuius omnes species iam iam adducentur.
XXI. QVADRILATERÆ verò, quæ sub quatuor.
EADEM ratione erit Quadrangulum, figur a quatuer rectis lineis contenta, cuius variæ species mox subsequentur.
XXII. MVLTILATERÆ autem, quæ sub pluribus, quàm quatuor, rectis lineis comprehenduntur.
QVONIAM species rectilinearum figur arum sunt innumer abiles, propter infinitum numerorum progressum: Nam tres rectæ lineæ claudentes figuram efficiunt primam speciem, sub qua omnia triangula continentur; quatuor constituunt secundam, quæ omnia quadrangula complectitur; quinque tertiam componunt speciem; sex quartam, atque it a deinceps infinitè: Ideo Euclides, ne infinitatem hanc figur arum cogatur persequi, vocat omnes alias figur as rectilineas, quæ pluribus, quàm quatuor, rectis lineis circumscribuntur, generali vocabulo Multilater as; contentus denominatione trilater arum figurarum & quadrilaterarum, fortassis eam ob causam, quod præcipuè in prioribus his libris de Triangulis, atque Quadrangulis sermo habeatur, & quod facilè ad similitudinem harum duarum specierum cæter a omnes à quolibet definiri possint. Quis enim ex dictis non colligat, figuram quinque lineis rectis contentam appellari quinquilateram, & sex lineis comprehensam sexilateram, atque reliquas eodem modo? Sicetiam dici poterunt huiusmodi figur æ quinquangulæ, sexangulæ, septangulæ, &c.

第十九界
在直線界中之形。為直線形。
第二十界
在三直線界中之形。為三邊形。
第二十一界(p. 八)
在四直線界中之形為四邊形。
第二十二界
在多直線界中之形為多邊形。五邊以上俱是。

20. Of trilateral figures, an equilateral triangle is that which has its three sides equal, an isosceles triangle that which has two of its sides alone equal, and a scalene triangle that which has its three sides unequal.

XXIII. TRILATERARVM autem figurarum, Æquilaterum est triangulum, quod tria latera habet æqualia.
DESCENDIT iam ad singulas species triangulorum. Quia verò triangula diuidi possunt vel habita ratione laterum, vel angulorum, declar at prius species prioris diuisionis, quæ tres sunt duntaxat, quod tria latera tribus tantum modis sese possint habere. Aut enim omnia æqualia sunt; aut duo tantum, tertio existente vel matore, vel minore; aut omnia inæqualia. Quando igitur omnia tria latera inter se æqualia sunt, dicitur triangulum Æquilaterum. Porro ex æqualitate omnium trium laterum trianguli æquila teri infertur, omnes tres eius angulos æquales quoque esse, ceu ad quiætam propositionem huius libri demonstrabimus.
XXIV. ISOSCELES autem est, quod duo tantum æqualia habet latera.
EX hac rursum æqualitate duorum laterum trianguli Isoscelis efficitur, duos angulos super reliquum latus etiam esse æqualles, vt demonstrabit Euclides propos 5 huius Iibri. Apposuimus autem duo triangula psoscelia, quorum prius habet tertium latus vtrouis æqualium maius, losterius autem idem minus obtinet: ita vt duæ sint species triangui Isoscelis; alterum, cuius tertium latus sit vtrouis æqualium maius, & alterum, cuius tertium latus vtrouis æqualium minus sit.
XXV. SCALENVM vero est, quod tria inæqualia habet latera.
HIC denique exinæqualitate omnium laterum trianguli Scaleni colligitur omnium angulorum inæqualitas, vt ostendetur propositio 18. huius 1. liber Porro ex his constat, eodem modo potuisse diuidi triangulum in tres speties, si æqualitatis angulorum ratio haberetur Cum enim aut omnes tres anguli sint inter se æquales; aut duo tantum, tertio maiore, vel minore existente; aut omnes tres inæquales; erit omne triangulum vel æquiangulum, habens tres omnes angulos æquales: vel duorum tantum angulorum æqualium: vel omnium angulorum inæqualium; quorum primum quidem Æ quilatero, secundum vero Isosceli, tertium denique Scalenorespondet triangulo. Cæterum quanam arte construenda sint triangula huius partitionis super quauis data recta linea finita, trademus propositio 1. huius liber.

第二十三界
三邊形三邊線等。為平邊三角形。
第二十四界
三邊形。有兩邊線等。為兩邊等三角形。或銳或鈍。(p. 九)
第二十五界
三邊形。三邊線俱不等。為三不等三角形。

21. Further, of trilateral figures, a right-angled triangle is that which has a right angle, an obtuse-angled triangle that which has an obtuse angle, and an acuteangled triangle that which has its three angles acute.

XXVI. AD hæc etiam, trilaterarum figurarũ, Rectangulum quidem triangulum est, quod rectum angulum habet.
NVNC exponit triangulorum species iuxta posteriorem diuisienem, habitaratione vartetatis angulorum. Quia vero tria tantummodo sunt angulorum rectilineorum genera diuersa; (Omnis enim angulus rectilineus vel est rectus, vel obtusus, vel acutus, vt supra diximus,) fit vt tres quoque species triangulorum sub hac consideratione reperiantur. Nam aut vnus angulus trianguli est rectus, & ob eam rem reliqui acuti, vt ex 17 propositio 1. liber constabit; aut obtusus, & ob eandem causam reliqui acuti, aut denique nullus rectus, nullusqúe obtusus, sed omnes acuti. Quando igitur triangulum aliquod habet angulum vnum rectum, vocatur ab Euclide, & aliis Geometris Rectangulum. Potest autem triangulum huiusmodi esse Isosceles, vel scalenum, vt hæ figuræ indicant, æquilaterum autem nulla ratione. Propter æqualitatem enim laterum essent perea, quæ propositio 5. dicemus, omnes etiam anguli æquales, ideoque, cum vnus concedatur rectus, omnes tres recti, quod pugnat cum propositio 17. & 32. huius libri.
XXVII. AMBLYGONIVM autem, quod obtusum angulum habet.
TRIANGVLVM Amblygonium, siue obtusangulum esse quoque potest vel Isosceles, vel scalenum, vt in his figuris cernitur, non autem æquilaterum, alias eadem ratione essent omnes tres anguli per ea, quæ propositio 5. ostendemus, æquales, ideoque cum vnus ponatur obtusus, omnes tres obtusi, quod mulio magis pugnat cum propositio 17. & 32. huius libri.
XXVIII. OXYGONIVM vero, quod tres habet acutos angulos.
OMNE triangulum Oxygonium, siue acutangulum, potest esse vel æquilaterum, vel Isosceles, vel scalenum, vt cernere licet in triangulis quæ in speciebus prioris diuisionis spectanda exhibuimus, nc eadem hic frustra repetantur. Ex dictis igitur palam fit, triangulum quodcunque æquilaterum, esse necessarie Oxygonium: At omne triangulum tam Isosceles, quàm Scalenum, esse vel Rectangulum, vel Amblygonium, vel Oxygonium; atque Isosceles Oxygonium rursum duplex, Isosceles nimirum Oxygontum habens tertium latus vtrouis æqualium maius, atque Isosceles Oxygonium habens tertium latus vtrouis æqualium minus: Vt vnica sit species trianguli æquilateri, quatuor vero Isoscelis, & tres Scaleni: atque in vniuersum octo triangulorum genera; æquilaterum, quod perpetuo Oxygonium esse diximus, Isosceles rectangulum, Isosceles Amblygonium, Isosceles Oxygonium habens tertium latus vtrouis æqualium maius, Isosceles Oxygonium habens tertium latus vtrouis æqualium minus, Scalenumrectangulum, Scalenum Amblygonium, & Scalenum Oxygonium Quæ etiam hisce licebit nominibus immutatis appellare, Rectangulum Isosceles, Rectangulum Scalenum, Amblygonium Isosceles, Amblygonium Scalenum, Oxygonium æquilaterum, Oxygonium Isosceles habens tertium latus vtrouis æqualium maius, Oxygonium Isosceles habens tertium latus vtrouis æqualium minus, & Oxygonium Scalenum. Quare perspicuum est, quamnam connexionem, siue affinitasem habeant inter setriangula vtriusque partitionis. Posse autem daritriangulum Isosceles Oxygonium, cuius duorum laterum æqualium vtrumuis tertio sit minus, vt rectè animaduertit Franciscus Barocius in sua Cosmographia, ostendemus ad propositionem 15. liber 4. In omni porro triangulo, cuius duo quæcunque later a expressè nominantur, solet reliquum latus tertium à Mathematicis appellari Basis, siue illud in situ insimum occupet locum, siue supremũ, & c Hoc te breuiter monere volui, ne putares aliquid latere mysterij in base triãguli, intelligeresque quodlibet latus, omni discrimine remoto, basis nomine posse nũcupari.

第二十六界
三邊形。有一直角。為三邊直角形。
第二十七界
三邊形。有一鈍角。為三邊鈍角形。(p. 一〇)
第二十八界
三邊形。有三銳角。為三邊各銳角形。
凡三邊形。恆以在下者為底。在上二邊為腰。

22. Of quadrilateral figures, a square is that which is both equilateral and right-angled; an oblong that which is right-angled but not equilateral; a rhombus that which is equilateral but not right-angled; and a rhomboid that which has its opposite sides and angles equal to one another but is neither equilateral nor right-angled. And let quadrilaterals other than these be called trapezia.

XXIX. QVADRILATERARVM autem figurarum, Quadratum quidem est, quod & æquilaterum, & rectangulum est.
POST figurarum trilaterarum species, exponit iam singulatim quadrilater as figuras, recensendo quinque tantummodo eorum genera, quorum quatuor priora regularia sunt, postertus autem, & quintum irregulare. Prima figura quadrilatera dicitur Quadratum, cuius quidem omnia quatuor latera inter se æqualia existunt, omnesqúe anguli recti. It aque quadrangulum æquilaterum, & non rectangulum; vel contra, rectangulum, & non æquilaterum, nequaquam Quadratum appellabitur. Docebit autem Euclides propositio 46. huius liber quonam modo construendum sit quadratumsuper recta linea proposita finita.
XXX. ALTERA vero parte longior figura est, quæ rectangula quidem, at æquilatera non est.
SECVNDA figura quadrilatera appellatur Altera parte longior, in qua quidem anguli sunt recti, at latera non sunt inter se æqualia, quamuis bina opposita inter se æqualia existant. Vt in altera parte longiori A B C D, latera A B, D C, inter se, & A D, B C, inter se quoque æqualia sunt, cum A B C D, propter angulorum rectitudinem, parallelogrammum sit, vt in boc liber ad propos. 34. ostendemus.
XXXI. RHOMBVS autem, quæ æquilatera, sed rectangula non est.
HÆC figura tertia inter quadrilateras, quæ Rhombus dicitur, oppositas prorsus habet conditiones. & diuersas a conditionibus figuræ altera parte longioris. Habet enim omnia latera æ qualia, angulos vero non rectos, & inæquales, quamuis binioppositi inter se æquales existant. Vt in Rhombo A B C D, anguli A, & C, inter se, & B, & D, quoque inter se æquales sunt, cum A B C D, propter æqualitatem laterum, parallelogrammum sit, ceu ad eandem propositio 34. huius libri demonstrabitur.
XXXII. RHOMBOIDES verò, quæ aduersa & latera, & angulos habens inter se æquales, neque æquilatera est, neque rectangula.
EST hæc figura, quæ Rhomboides vocatur, quadrato omni ex parte opposita. Nam neque eius latera omnia æqualia sunt, neque vllus angulus rectus, sedtan en latera bina opposita, qualia sunt A B, D C, & A D, B C, in Rhomboide A B C D, æqualia inter se, item anguli bini oppositi, quales sunt A, C, & B, D, inter se existunt æquales Hæ igitur quatuor figure quadrilateræ dici possunt regulares; cæteræ vero omnes, quæcunque sint, irregulares.
XXXIII. PRÆTER has autem, reliquæ quadrilateræ figuræ, trapezia appellentur.
RELIQVAS omnes figuras quadrilateras, quæ à prædictis quatuor differunt, ita vt neque later a omnia æqualia, neque omnes angulos æquales, seu rectos, neque latera bina opposita; neque angulos binos oppositos habeant inter sese æquales, generali vocabulo Trapezia nominat: quæ quidem cum infinitis modis variari queant, rectè irregulares nuncupabuntur. Possunt enim duo anguli esse recti, vel vnus obtusus, & aly acuti, vel duo obtusi, & alij acuti, & c. Eademqúe fieri potest quasi diuisio penes latera: Nam vel aliqua æqualia inter se sunt, vel nullum alters est equale, & c. Determinatas porro trapeziorum species nonnullas afferemus post definitionem linearum parallelarum, seuæquidistantium, & parallelogrammi.

第二十九界
四邊形。四邊線等而角直。為直角方形。
第三十界
直角形。其角俱是直角。其邊兩兩相等。
如上甲乙丙丁形。甲乙邊與丙丁邊自相等。甲丙與乙丁自相等。
第三十一界
斜方形。四邊等。但非直角。(p. 一一)
第三十二界
長斜方形其邊兩兩相等。但非直角。
第三十三界
已上方形四種。謂之有法四邊形。四種之外。他方形。皆謂之無法四邊形。(p. 一二)

23. Parallel straight lines are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction.

XXXIV. PARALLELÆ rectæ lineæ sunt, quæ cum in eodem sint plano, & ex vtraque parte in infinitum producantur, in neutram sibi mutuo incidunt.
VT duæ, vel plures rectæ lineæ dicantur parallelæ siue æquidistantes, non sat is est, vt in quamcunque partem, etiam spatio infinito, product æ nunquam ad vnum punctum coeant; sed necesse quoque est, vt in vna plana superficie existant. Multæ siquidem lineærectæ non existentes in eadem superficie plana productæ ad spatium infinitum, nunquam in vnum conueniunt, & tamen non sunt parallelæ dicendæ; quales sunt, exempli gratia, duæ rectæ lineæ in transuersum positæ in medio aëre, & non se tangentes; Hæ etenim nunquam coire possunt. Dicuntur autem duæ rectæ lineæ in eadem existere planæ superficie, quande superficies aliqua plana vni earum accommodata, ita vt omnia puncta illius tangat, & circa illam immobilem circumuoluta, alteri quoque accommodari potest secundum omnia eius puncta, quamuis re ipsa in duabus superficiebus diuersis reperiantur; Vt propositis duabus rectis lineis A B, C D, si superficies aliqua plana rectæ A B, applicetur, omnia cius tangens puncta, ita vt circa illam circumducta tangat quoque omniæ puncta alterius rectæ C D; dicentur huiusmods rectæ duæ lineæ in eadem superficie plana existere, alias non. Si igitur hæ duærectæ lineæ eædem non coëant, etiamsi infinitè producantur tam ad partes A, C, quàm ad B, D, appellabuntur parallellæ, siue æquidistantes. Cæterum planius, perfectiusque intelliges in x i. liber quo modo duæ rectæ lineæ, vel etiam plures in eadem dicantur superficie existere: Satis sit hoc loco breuiter admonuisse, rectè ab Euclide vtramque conditionem esse positam in definitione linearum parallelarum. Debent enim in eodem existere plano, & productæ in vtramuis partem nunquam in vnum conuenire, quanquam hæc productio continuetur ad spatium infinitum. Quod si duæ rectæ lineæ per immensum aliquod spatium extensæ non cernantur coire, constet tamen, eas tandem ex vna parte longius protractas in vnum punctum conuentur as, quamuis ex altera semper magis ac magis inter sedistent, ac disiungantur, nequaquam appellandæ erunt par allelæ. Quotiescunque ergo duæ line æ rectæ dicuntur à quopiam esse parallelæ, is necesse est concedat, illas in vna, eademqúe superficie iacere, & nunquam posse coire. Similiter, si quis concludere velit, duas rectas lineas esse parallelas, hic demonstret prtus oportet, eas in eodem existere plano, & in neutram partem productas coniungi posse. Qua in re non pauci videntur hallucinari, qui ex eo duntaxat conantur ostendere, aliquas rectas lineas esse parallelas, quod in neutram partem coeant, etiamsi infinitè produæantur, nullæ facta prorsus mentione alterius conditionis, quæ easdem lineas in eodem requirit existere plano.
HIC finem imponit Euclides definitionibus primi libri. Quoniams vero hoc eodem libro mentio fiet figuræ, quæ Parallelogrammum, necnon earum, quæ complementa parallelogrammi dicuntur, necessarium esse duximus, duabus definitionibus adiunctis explicare, quid sit Parallelogrammum, & quæ sint parallelogrammi complementa, vt facilius dem on strationes percipiantur.
XXXV. PARALLELOGRAMMVM est figura quadrilatera, cuius bina opposita latera sunt parallela, seu æquidistantia.
VT figura quadrilatera A B C D, siquidem latus A B, æquidistet lateri D C, & latus A D, lateri B C, nuncupatur Parallelogrammum. Sunt autem quatuor solum parallelogramma; Quadratum, figura alter a parte longior, Rhombus, & Rhomboides, quorũ priora duo rectangula, quod omnes angulos habeant rectos, posteriora vero duo non rectangula vocantur, quod nullus in eis angulus existat rectus. Cæterum, quatuor has figuras esse parallelogramma, ostendenus ad propositionem 34. huius liber Itaque possumus quadrilater as figur as, (vt & antiqui Geometræ) diuidere in Parallelogrammum, & Trapezium. Parallelogrammum rursus in rectangulum, & æquilaterum, quale est Quadratum: in nec rectangulum, nec æquilaterum, quale est Rhomboides; in rectangulum, sed non æquilaterum, qualis est figura altera parte longior: & in æquilaterum, sed non rectangulum, cuiusmodi est Rhombus. Trapeziorum quoque aliud quidem habet duo latera opposita parallela, alia vero minimè aliud autem nulla opposita latera habet parallela. Præterea illud prius vel habet duo illa latera quæ non sunt parallela, inter se æqualia, diciturqúe Trapez ium Isosceles: vel inæqualia, Trapeziumqúe Scalenum appellatur. Itaque ex his omnibus septem genera figurarum quadrilaterarum constitus possunt; Quadratum, figura altera parte longior, Rhombus, Rhomboides, Trapezium Isosceles, Trapezium Scalenum, & Trapezium illud irregulare, in quo nulla latera sunt parallela.
XXXVI. CVM vero in parallelogrammo diameter ducta fuerit, duæque lineæ lateribus parallelæ secantes diametrum in vno eodemque puncto, ita vt parallelogrammum ab hisce parallelis in quatuor distribuatur parallelogramma; appellantur duo illa, per quæ diameter non transit, complementa; duo vero reliqua, per quæ diameter incedit, circa diametrum consistere dicuntur.
SIT parallelogrammum A B C D, in quo diameter A C, & linea E F, secans diametrum in G, & parallela existens la teribus A D, B C. Item linea H I, secans diametrum in eodem puncto G, parallelaque lateribus A B, D C, existens. Quæ cum it a sint, per spicuum est, parallelogrammum totum diuisum esse in quatuor par allelogramma, quorum quidem duo E B I G, G F D H, per quæ diameter A C, non transit, vocantur a Geometris complementa siue supplementa reliquorum duorum A E G H, G I C F. quæ dicuntur circa diametrum consisiere, quippecum perea diameter transeat, vt videre est in præsenti figura.

第三十四界
兩直線於同面行至無窮。不相離。亦不相遠。而不得相遇。為平行線。
第三十五界
一形。每兩邊有平行線。為平行線方形。(p. 一三)
第三十六界
凡平行線方形。若於兩對角作一直線。其直線為對角線。又於兩邊縱橫各作一平行線。其兩平行線與對角線交羅相遇。卽此形分為四平行線方形。其兩形有對角線者。為角線方形。其兩形無對角線者。為餘方形。
甲乙丁丙方形。於丙乙兩角作一線。為對角線。又依乙丁平行。作戊己線。依甲乙平行作庚辛線。其對角線與戊己、庚辛、兩線。交羅相遇於壬。卽作大小四平行線方形矣。則庚壬己丙、及戊壬辛乙、兩方形。謂之角線方形。而甲庚壬戊、及壬己丁辛、謂之餘方形。

Permanent link

http://www2.hf.uio.no/common/apps/permlink/permlink.php?app=polyglotta&context=ctext&uid=a9ec995a-561b-11df-870c-00215aecadea

Choose languages

Choose images, etc.

Choose languages

Choose display