Bibliotheca Polyglotta

SVPER data recta linea terminata triangulum æquilaterum constituere.
IN omni problemate duo potissimùm sunt consideranda, constructio illius, quod proponitur, & demonstratio, quâ ostenditur, constructionem rectè esse institutam. Vt quoniam primum hoc problema iubet constituere triangulum æquilaterum super data recta linea terminata quacunque, ita vt linea recta proposita sit vnum latus trianguli. (Tunc enim figura dicitur constitui super recta linea, quando ipsa linea efficitur vnum figuræ latus) idcirco primum oportet construere ex principiis concessis triangulum aliquod, deinde demonstrare, ipsum eâ ratione constructum, esse æquilaterum, hoc est, habere omnia tria latera inter se æqualia. Quod idem in alijs problematibus perspici potest. Hæc etiam duo reperiuntur ferè in omni Theoremate. Sæpenumerò enim vt demonstretur id, quod proponitur, construendum est, atque efficiendum prius aliquid, ceu manifestum erit in sequentibus. Pauca veró admodum sunt theoremata, quæ nullam requirant constructionem.

於有界直線上。求立平邊三角形。¹

Let AB be the given finite straight line.

Sit igitur proposita recta linea terminata A B,

法曰。甲乙直線上。

Thus it is required to construct an equilateral triangle on the straight line AB.

super quam constituere iubemur triangulum æquilaterum.

求立平邊三角形。

With centre A and distance AB let the circle BCD be described; [Post. 3] again, with centre B and distance BA let the circle ACE be described; [Post. 3] and from the point C, in which the circles cut one another, to the points A, B let the straight lines CA, CB be joined. [Post. 1]

Centro A, & interuallo rectæ A B, ¹ describatur circulus C B D: Item centro B, & interuallo eiusdem rectæ B A, alius circulus describatur C A D, secans priorem in punctis C, & D. Ex quorum vtrouis, nempe ex C, ² ducantur duæ rectæ lineæ C A, C B, ad puncta A, & B;
Eritque super rectam A B, constitutum triangulum A B C, hoc est, figura rectilinea contenta tribus rectis lineis. Dico, hoc triangulum ita constructum necessariò esse æquilaterum.

1. 3. pet. 2. 1. pet.

先以甲為心。乙為界。作丙乙丁圜。次以乙為心。甲為界。作丙甲丁圜。兩圜相交於丙於丁。末自甲至丙。丙至乙。各作直線。卽甲乙丙為平邊三角形。

Now, since the point A is the centre of the circle CDB, AC is equal to AB. [Def. 15] Again, since the point B is the centre of the circle CAE, BC is equal to BA. [Def. 15] But CA was also proved equal to AB; therefore each of the straight lines CA, CB is equal to AB. And things which are equal to the same thing are also equal to one another; [C.N. 1] therefore CA is also equal to CB. Therefore the three straight lines CA, AB, BC are equal to one another.

Quoniam rectæ A B, A C, ducuntur ex centro A, ad circumferentiam circuli C B D, ³ erit recta A C, rectæ A B, æqualis: Rursus quia rectæ B C, B A, ducuntur ex centro B, ad circumferentiam circuli C A D, erit recta B C, rectæ B A æqualis. Tam igitur A C, quàm B C, æqualis est rectæ A B. ⁴ Quare & A C, B C, inter se æquales erunt,

3. 15. def. 4. 1. pron.

論曰。以甲為心。至圜之界。其甲乙線。與甲丙、甲丁、線等。以乙為心。則乙甲線。與乙丙、乙丁、線亦等。何者。凡為圜。自心至界。各線俱等故。界說十五旣乙丙等於乙甲。而甲丙亦等於甲乙。卽甲丙亦等於乙丙。公論一三邊等。

Therefore the triangle ABC is equilateral; and it has been constructed on the given finite straight line AB.

atque idcirco triangulum A B C, erit æquilaterum. Super data ergo recta linea terminata, &c.

(Being) what it was required to do.

Quod faciendum erat.
SCOLIUM
VT autem videas, plures demonstrationes in vna propositione contineri, placuit primam hanc propositionem resoluere in prima sua principia, initio facto ab vltimo syllogismo demonstratiuo. Si quis igitur probare velit, triangulum A B C, constructum methodo prædicta, esse æquilaterum, vtetur hoc syllogismo demonstrante.
Omne triangulum habens tria latera æqualia, ⁵ est æquilaterum.
Triangulum A B C, tria habet æqualia latera.
Triangulum igitur A B C, est æquilaterum. Minorem confirmabit hoc alio syllogismo. Quæ eidem æqualia sunt, ⁶ inter se quoque sunt æqualia.
Duo latera A C, B C, æqualia sunt eidem lateri A B.
Igitur & duo latera A C, B C, inter se æqualia sunt.
Ac propterea omnia tria latera A B, B C, A C, æqualia existunt.
Minorem verò huius syllogismi hac ratione colliget.
Lineæ rectæ à centro ductæ ad circumferentiam circuli, ⁷ inter se sunt æquales.
Lineæ A B, A C, sunt ductæ à centro A, ad circumferentiam C B D.
Sunt igitur lineæ A B, A C, æquales inter se. Eademqúe ratione erunt lineæ A B, B C, æquales, cùm ducantur à centro B, ad circumferentiam C A D. Quamobrem minor præcedentis syllogismi tota confirmata erit.
Non aliter resolui poterunt omnes aliæ propositiones non solùm Euclidis, verùm etiam cæterorum Mathematicorum.
Negligunt tamen Mathematici resolutionem istam in suis demonstrationibus, eò quòd breuiùs ac faciliùs sine ea demonstrent id, quod proponitur, vt perspicuum esse potest ex superiori demonstratione.
SI quis autem super data recta desideret constituere triangulum quoque Isosceles, & scalenum, id cum Proclo in hunc modum efficiet. Sit recta linea A B, circa quam ex centris A, & B, describantur duo circuli, vti prius. ⁸ Deinde producatur A B, in tramque partem ad circumferentias vsque ad puncta C, & D. Atque centro A, interuallo vero A D, ⁹ describatur circulus E D F. Item centro B, interuallo vero B C, circulus E C F, secans priorem in punctis E, & F. Ex quorum vtrolibet, nempe ex E, ¹⁰ ducantur ad puncta A, & B, duæ rectæ E A, E B. Factumque erit super recta A B, ¹¹ triangulum A B E; quod dico esse Isosceles, nimirum duo later a A E, B E, esse & æqualia inter se, & maiora latere A B. Cùm enim rectæ A E, A D, ducantur è centro A, ad circumferentiam E D F, ¹² erit A E, æqualis rectæ A D. Item cùm rectæ B E, B C, ducantur è centro B, ad circumferentiam E C F, ¹³ erit B E, æqualis rectæ B C. Sunt autem rectæ A D, B C, æquales inter se (vtraque enim A C, & B D, æqualis est rectæ A B; cum A B, A C, ex eodem centro A, ad circumferentiam ducantur; Item B A, B D, ex eodem centro B, ad circumferentiã quoque egrediantur. ¹⁴ Quare A C, B D, æquales inter se erunt. Addito igitur communi recta A B, ¹⁵ erit tota A D, toti B C, æqualis.) ¹⁶ Igitur A E, 2 B E æquales quoque inter se erunt. Quòd verò vtraque A E, B E, ¹⁷ maior sit quàm A B, perspicuum est, cum A D, æqualis ostensa ipsi A E, maior sit quàm A B; Item B C, æqualis demonstrata ipsi B E, ¹⁸ maior quoque sit, quàm A B. Constitutum igitur est super recta A B, Isosce. 9. pron les A B E, babens duo latera A E, B E, æqualia inter se, & maiora listere A B, quod faciendum erat. Atque hæc est demonstratio Procli, aliorumque interpretum Euclidis.
BREVIVS tamen videtur mihi posse demonstrari, triangulum A B E, esse Isosceles, hac ratione. ¹⁹ Quoniam A E, æqualis est rectæ A D, & recta A D, est dupla rectæ A B, propterea quòd B A, B D, æquales inter se sunt; erit & A E, dupla rectæ A B. Rursus quia B E. 15. def æqualis est rectæ B C, & B C, dupla est ipsius A B, propterea quòd A B, ²⁰ A C, æquales sunt inter se, erit & B E, dupla ipsius A B. Cùm igitur vtraque ²¹ A E, B E, dupla sit eiusdem A B, erunt A E, B E, inter se æquales, maioresque, propterea recta A B. Isosceles ergo est triangulum A B E.
IAM verò, si ex puncto A, ²² ducatur linea recta A G, ad circumferentiam E G F, quæ non sit eadem quæ A E, vel A D, secans circumferentiam E H D, in puncto H, & ex G, ad B ²³ ducatur aliæ recta G B, constitutum erit triangulum A B G, super recta A B, 20. def quod dico esse scalenum. Quoniam ²⁴ A G, maior est quàm A H: ²⁵ Sunt autem A H, A E, ex centro A, ductæ, inter se æquales; erit & A G, maior quàm A E, hoc est, quàm B E, quæ ostensa est æqualis ipsi A E, igitur & maior erit A G, quàm B G, cùm B G, sit æqualis ipsi B E. Est autem & B G, maior quàm A B. , propterea quòd tota B C, æqualis ipsi B G, ²⁶ maior est quàm A B, pars. Omnia ergo tria 9. pron later a trianguli A B G, inæqualia sunt, ideoque scalenum est ex definitione; quoderat faciendum.
BREVIVS quoque ostendemus, triangulum A G B, esse scalenum, hac ratione. Quoniam tam ²⁷ A H, A D, ex centro A, ductæ sunt æquales, quàm B G, B C, ex centro B, ductæ: Sunt autem A D. B C, ipsius A B, duplæ, quod A B, vtrique B D, A C, æqualis sit; erunt quoque A H, B G, ipsius A B, duplæ, ac propterea maiores, quàm A B. Cùm ergo ²⁸ A G, maior sit, quàm A H, siue quàm B G, scalenum 9 pron erit triangulum A G B, habens latus A G, maximum, B G, medium, & A B, minimum.
PRAXIS.
CONABIMVR in singulis ferè problematibus Euclidis tradere praxin quandam facilem, & breuem, qua effici possit id, quod Euclides pluribus verbis, atque lineis contendit construere; ldqúe in ijs præsertim obseruabimus, quæ frequentiorem vsum habent apud Mathematicos, & in quibus praxis compendium aliquodsecum videtur afferre.
ITAQVE triangulum æquilaterum ita facilè construetur super data recta A B. Ex centris A, & B, interuallo vero datæ rectæ A B, describantur duo arcus circulorum seintersecantes in puncto C, siue hoc infra lineam contingat, siue suprà. Post bæc ducantur duæ rectæ A C, B C, ex puncto C, ad puncta A, & B, factumqúe erit, quod proponitur. Cuius recadem est demonstrasio cum superiori, simodò circuli essent integri, acperfecti. Transirent enim necessariò per puncta A, & B.
ISOSCELES ita conficietur. Ex centris A, & B, interuallo vero maiore quám A B, si datam rectam esse velimus minus latus; veminore, si eandem in latus maius cligamus, describantur duo arcus secantes se in C. Postea ducantur recta A C, & B C, constructumqúe erit Isosceles: quoniam A C, B C, æquales erunt, propter æquale interu allum assumptum, maius scilicet, aut minus quàm recta A B.
SCALENVM denique hoc modo fabricabitur super data recta A B. Ex centro B, interuallo vero maiore, quam B A, describatur arcus aliquis. Item ex centro A, interuallo vero adhuc maiore, quàm prius assumptum, describatur alter arcus priorem secans in C. Deinde ducantur rectæ A C, B C; constitutumqúe erit Scalenum, vt constat ex inæqualitate interuallorum, quæ assumpta fuerunt in constructione.
CAETERVM quo pacto triangulum constitui debeat habens tria latera æqualia tribus datis lineis quibuscunque, singula singulis, latrùs explicabimus propositio 22. huius libri.

5. 23. def. 6. 1. pron. 7. 15. def. 8. 2. pet. 9. 3. pet. 10. 1 pet. 11. 20 def. 12. 15. def 13. 15. def 14. 1. pron 15. 2. pron 16. 1. pron 17. 1. pron 18. 9. pron 19. 15. def. 20. 15. def. 21. 6. pro. 22. 1. petit. 23. 1. pet. 24. 9. pro. 25. 15. def. 26. 9. pro. 27. 15. def. 28. 9. pron.

如所求。凡論有二種。此以是為論者。正論也。下倣此。
其用法。不必作兩圜。但以甲為心。乙為界。作近丙一短界線。乙為心。甲為界。亦如之。兩短界線交處。卽得丙。
諸三角形。俱推前用法作之。詳本篇廿二。

1. dummy

Permanent link

http://www2.hf.uio.no/common/apps/permlink/permlink.php?app=polyglotta&context=ctext&uid=a9f17e16-561b-11df-870c-00215aecadea

Choose languages

Choose images, etc.

Choose languages

Choose display