You are here: BP HOME > BPG > Euclid: Elementa > fulltext
Euclid: Elementa

Choose languages

Choose images, etc.

Choose languages
Choose display
  • Enable images
  • Enable footnotes
    • Show all footnotes
    • Minimize footnotes
Search-help
Choose specific texts..
Euclid: Elementa
    Click to Expand/Collapse Option Complete text
Click to Expand/Collapse OptionTitle
Click to Expand/Collapse OptionPreface
Click to Expand/Collapse OptionBook I
Click to Expand/Collapse OptionBook ΙI
Click to Expand/Collapse OptionBook IΙΙ
Click to Expand/Collapse OptionBook IV
Click to Expand/Collapse OptionBook V
Click to Expand/Collapse OptionBook VI
Click to Expand/Collapse OptionBook VII
Click to Expand/Collapse OptionBook VIII
Click to Expand/Collapse OptionBook ΙΧ
Click to Expand/Collapse OptionBook Χ
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧI
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧIΙ
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧIΙΙ
Back to library
ΙΕʹ 
Proposition 15. 
15 
اشكل الخامس عشر من القالة الاولى 
. 
atha pañcadaśaṃ kṣetram | 
第十五題 
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσιν. 
If two straight lines cut one another, they make the vertical angles equal to one another. 
Si due recte secent se invicem, eos qui ad verticem angulos alternis equales faciunt. 
كل خطين (ء) مستقيمين يتقاطعان (فكل زاوية تحدث من تقاطعهما مساوية للتى تقابلها) فان كل زاويتين تتقابلان متساويتان (ط) والزاويا الاربع معادلة (ط) لاربع زاويا قائمة 
. 
tatra rekhādvayasaṃpātād utpannaṃ koṇacatuṣṭayaṃ parasparasanmukhaṃ (14) koṇadvayaṃ samānaṃ bhavati | 
凡兩直線相交作四角。每兩交角必等。 
Δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον:  λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΕΔ. 
For let the straight lines AB, CD cut one another at the point E;  I say that the angle AEC is equal to the angle DEB, and the angle CEB to the angle AED. 
Due enim recte AB et GD secent se invicem ad punctum E.  Dico quoniam equalis est angulus quidem AEG angulo DEB, angulus vero GEB angulo AED. 
مثله ان خطا (ا ب) (ج د) يقاطعا على نقطة (ه)  فاقول ان زاوية (ا ه ج) مساوية لزاوية (ب ه د) وزاوية (ا ه د) مساوية لزاوية (ج ه ب) والزوايا الاربع (ا ه ج) (ج ه ب) (ب ه د) ٨٢ (د ه ا) معادلات لاربع زوايا قائمة 
.  . 
yathā abarekhājadarekhābhyāṃ hacihne saṃ(16)pātaḥ kṛtaḥ |  tatra jahabakoṇaahadakoṇau para(17)sparasanmukhau samānau staḥ | 
.  . 
Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΕ ἐπ᾽ εὐθεῖαν τὴν ΓΔ ἐφέστηκε γωνίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.  πάλιν, ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΔΕ ἐπ᾽ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ ἐφέστηκε γωνίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ,  αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.  ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι:  αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ ταῖς ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ ἴσαι εἰσίν.  κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΕΔ:  λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΕΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ ἴση ἐστίν:  ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΓΕΒ, ΔΕΑ ἴσαι εἰσίν. 
For, since the straight line AE stands on the straight line CD, making the angles CEA, AED, the angles CEA, AED are equal to two right angles [I. 13]  Again, since the straight line DE stands on the straight line AB, making the angles AED, DEB,  the angles AED, DEB are equal to two right angles. [I. 13]  But the angles CEA, AED were also proved equal to two right angles;  therefore the angles CEA, AED are equal to the angles AED, DEB. [Post. 4 and C. N. 1]  Let the angle AED be subtracted from each;  therefore the remaining angle CEA is equal to the remaining angle BED. [C. N. 3]  Similarly it can be proved that the angles CEB, DEA are also equal. 
Quoniam enim recta AE stat super rectam GD angulos faciens GEA et AED, anguli ergo GEA et AED duobus rectis sunt equales.  Rursus quoniam recta DE stat super rectam AB angulos faciens AED et DEB,  anguli ergo AED et DEB duobus rectis sunt equales.  Demonstrati vero sunt et GEA et AED duobus rectis equales.  Anguli ergo GEA et AED angulis AED et DEB sunt equales.  Communis auferatur AED,  reliquus ergo GEA reliquo BED equalis est.  Similiter autem ostendetur quoniam anguli GEB et DEA sunt equales. 
برهامه ان خط (ا ه) قائم على خط (ج د) فببرهان يج من (ا) تكون زاويتا (ا ه ج) (ا ه د) معادلتين لقائتين  وايضا خط (ج ه) قائم على خط (ا ب)  فزاويتا (ا ه ج) (ج ه ب) معادلتان لزاويتين قائمتين  فننقص زاوية (ا ه ج) المشتركة فتبقى زاوية (ا ه د) مساوية لزاوية (ج ه ب)  ايضا فان خط (ج ه) قائم على خط (ا ب) فزاويتا (ا ه ج) (ج ه ب) معادلتان لزاويتين قائمتين  فنسقط زاوية (ج ه ب) المشتركة  فتبقى زاوية (ا ه ج) مساوية لزاوية (ب ه د)  ... 
.  .  .  .  .  .  .  . 
kutaḥ | bahajakoṇa(18)jahaakoṇayor yogaḥ samakoṇadvayatulyo ’sti |      punar jahaakoṇaahadakoṇayor yogo ’pi samako(20)ṇadvayasamāno ’sti |    jahaakoṇaś ca ubhayoḥ koṇayor milito ’sti 1 sa dūrī(21)kriyate  cet tadā bahajakoṇaahadakoṇāv api śeṣau samānau staḥ |   
.  .  .  .  .  .  .  . 
Ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσιν:  ὅπερ ἔδει δεῖξαι.  [Πόρισμα
Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς πρὸς τῇ τομῇ γωνίας τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσουσιν.] 
Therefore etc.  Q. E. D.  [Porism. From this it is manifest that, if two straight lines cut one another, they will make the angles at the point of section equal to four right angles.] 
Si ergo due recte se alternas secuerint, ad verticem angulos equales alternis facient.  Quod oportet ostendere.   
فقد تبين ان الزوايا المتقابلة متساوية
وقد تبين ايضا مما وصفنا ان الزوايا الاربع معادلة لاربع زوايا قائمة  وذلك ما اردنا ان نبين.  See the record before the previous 
.  .  . 
    tadā (22) rekhādvayasaṃpātāt utpannaṃ catuṣṭayaṃ caturbhiḥ samakoṇaiḥ samānaṃ jātam |
(23) idam evāsmākam iṣṭam |
(22,1) atha ca yasmiṃś chihne 2 yāvatyo rekhā militās tatrotpannā ye koṇās te caturbhiḥ samakoṇaiḥ samānā bhavanti || 
2. cinhe 
.  .  一系。推顯兩直線相交。於中點上作四角。與四直角等。
二系一點之上。兩直線相交不論幾許線、幾許角。定與四直角等。公論　\\　十八。
增題一直線內、出不同方兩直線、而所作兩交角等。卽後出兩線、為一直線。 
 
Permanent link
Go to Wiki Documentation
Enhet: Det humanistiske fakultet   Utviklet av: IT-seksjonen ved HF
Login