Therefore etc.
Q. E. D.
[Porism. From this it is manifest that, if two straight lines cut one another, they will make the angles at the point of section equal to four right angles.]
Si igitur duæ rectæ lineæ se mutuo secuerint, &c.
Quod ostendere oportebat.
COROLLARIUM. I.
EUCLIDES colligit ex demonstratione huius theorematis (ex sententia Procli, quoniam alia exemplaria hoc corollarium non habent) duas lineas rectas se mutuo secantes efficere ad punctum sectionis quatuor angulos quatuor rectis angulis æquales. Nam in demonstratione ostensum fuit, tam duos angulos A E D, D E B, quam duos A E C, C E B, duobus esse rectis æquales, per 13. propos. Omnes igitur quatuor anguli ad E, constituti æquipollent bis duobus rectis angulis. Quare quatuor rectis æquales existunt.
COROLLARIUM. II.
EADEM ratione colligemus, omnes angulos circa unum & idem punctum constitutos, quotcunque fuerint, quatuor duntaxat rectis angulis æquales esse. Si enim ex E, aliæ lineæ quotlibet educantur, diuidentur solummodo illi quatuor anguli ad E, constituti in plurimas partes, quæ omnes simul sumptæ totis suis adæquantur. Cum ergo illi quatuor anguli æquales sint quatuor rectis, ex 1. corollario, erunt quoque omnes alii simul sumpti quatuor tantum rectis æquales. Ex quo perspicuum est, omne spatium punctum aliquod in plano circumstans, æquivalere quatuor rectis angulis, ut multi auctores afferunt: quia omnes anguli, qui circa illud punctum constitui possunt, quatuor sunt rectis angulis æquales. Simili modo constat, quotlibet lineas rectas se inuicem secantes, facere ad punctum sectionis angulos æquales quatuor rectis.
EX PROCLO
SI ad aliquam rectam lineam, ad eiusque signum, duæ rectæ lineæ non ad easdem partes sumptæ, angulos ad verticem æquales fecerint; ipsæ rectæ lineæ in directum sibi inuicem erunt.
EX puncto C, rectæ A B, in diuersas partes egrediantur duæ rectæ C D, C E, facientes angulos A C E, B C D, inter se æquales: Vel etiam duos A C D, B C E. Dico duas C D, C E, efficere unam lineam rectam. Quoniam enim angulus A C E, æqualis est angulo B C D; addito communi angulo B C E, erunt duo anguli A C E, E C B, duobus angulis D C B, B C E, æquales: Sed anguli A C E, E C B, sunt æquales duobus rectis. Igitur & duo D C B, B C E, duobus erunt rectis æquales. Quamobrem C D, C E, erunt linea una recta. Hoc autem, ut vides, conuersum est propositionis decimæquintæ.
EX PELETARIO
SI quatuor rectæ lineæ ab uno puncto exeuntes binos angulos oppositos inter se æquales fecerint, erunt quælibet duæ lineæ aduersæ in rectum sibi, & continuum coniunctæ.
EX puncto A, quatuor lineæ eductæ A B, A C, A D, A E, faciant duos angulos oppositos B A E, C A D, inter se æquales: Item duos B A C, D A E, inter se æquales. Dico tam B A, A D, facere unam lineam rectam, quam C A, A E. Quoniam æquales sunt anguli B A E, C A D, si æquales illis addantur anguli B A C, D A E, erunt duo anguli B A E, B A C, æquales duobus angulis C A D, D A E. Tam ergo illi, quam hi, dimidium sunt quatuor angulorum circa punctum A, consistentium: At hi quatuor æquales sunt quatuor rectis, per 2. coroll. præcedentis propos. Igitur duo anguli B A E, B A C, æquales sunt duobus rectis; atque adeo C A, A E, unam efficient lineam rectam. Eodem pacto ostendetur, duas B A, A D, unam rectam efficere lineam. Nam eadem ratione erunt duo anguli B A E, E A D, æquales duobus angulis D A C, C A B. Quare, ut prius, concludetur propositum. Peletarius autem demonstrat hoc idem ratione ducente ad id, quod fieri nequit. Nos tamen demonstrationem nostram ostensiuam eius demonstrationi iure optimo præposuimus.
.
.
一系。推顯兩直線相交。於中點上作四角。與四直角等。
二系一點之上。兩直線相交不論幾許線、幾許角。定與四直角等。公論 \\ 十八。
增題一直線內、出不同方兩直線、而所作兩交角等。卽後出兩線、為一直線。
Complete text
Book I