Bibliotheca Polyglotta

Let ABC be a triangle, and let one side of it BC be produced to D; I say that the exterior angle ACD is greater than either of the interior and opposite angles CBA, BAC.

TRIANGVLI A B C, latus B A, producatur ad D. Dico angulum externum D A C, maiorem esse interno, & opposito A C B, itemque maiorem interno, & opposito A B C.

解曰甲乙丙角形。自乙甲線，引之至丁。題言外角丁甲丙。必大于相對之内角甲乙丙甲丙乙。

Let AC be bisected at E [I. 10], and let BE be joined and produced in a straight line to F; let EF be made equal to BE[I. 3], let FC be joined [Post. 1], and let AC be drawn through to G [Post. 2].

Dividatur ¹ enim A C, bifariam in E; & ex B, per E, extendatur recta B E F, ita ut E F, ² abscissa sit æqualis rectæ E B; ducaturque recta F A.

1. 10. primi. 2. 3. primi.

論曰。欲顯丁甲丙角，大于甲丙乙角。試以甲丙線兩平分于戊本篇十自乙至戊。作直線，引長之。從戊外截取戊己，與乙戊等本篇三次自甲至己，作直線。

Then, since AE is equal to EC, and BE to EF, the two sides AE, EB are equal to the two sides CE, EF respectively; and the angle AEB is equal to the angle FEC, for they are vertical angles. [I. 15] Therefore the base AB is equal to the base FC, and the triangle ABE is equal to the triangle CFE, and the remaining angles are equal to the remaining angles respectively, namely those which the equal sides subtend; [I. 4] therefore the angle BAE is equal to the angle ECF. But the angle ECD is greater than the angle ECF; [C. N. 5] therefore the angle ACD is greater than the angle BAE. Similarly also, if BC be bisected, the angle BCG, that is, the angle ACD [I. 15], can be proved greater than the angle ABC as well.

Quoniam igitur latera C E, E B, trianguli C E B, æqualia sunt lateribus A E, E F, trianguli A E F, utrumque utrique, per constructionem; Sunt autem & anguli ad E, dictis lateribus comprehensi, ³ inter se æquales, cum sint circa verticem E, & oppositi: Erit ⁴ basis C B, æqualis basi A F, & angulus E C B, angulo E A F; Est autem angulus D A C, externus maior angulo E A F, totum videlicet parte. Igitur & externus angulus D A C, maior erit interno, & opposito angulo A C B. Quod si latus C A, producatur ad G; & A B, diuidatur bifariam in H; extendaturque recta C H I, ut H I, æqualis sit rectæ H C, & ducatur recta I A: demonstrabitur eadem prorsus ratione, angulum externum G A B, maiorem esse interno angulo, & opposito A B C; Est autem ⁵ angulus D A C, angulo G A B, æqualis, cum lineæ B D, C G, se mutuo secent in A. Igitur & angulus D A C, maior erit interno & opposito angulo A B C. Est autem idem angulus D A C, maior quoque ostensus angulo interno & opposito A C B.

3. 15. primi. 4. 4. primi. 5. 15. primi.

即甲戊己，戊乙丙，兩角形之戊己，與戊乙，兩線等。戊甲與戊丙兩線等。甲戊己，乙戊丙，兩交角又等本篇十五。則甲己與乙丙兩底亦等本篇四兩形之各邊，各角，俱等。而己甲戊，與戊丙乙，兩角亦等矣。夫己甲戊。乃丁甲丙之分。則丁甲丙，大于己甲戊，亦大于相等之戊丙乙。而丁甲丙外角。不大于相對之甲丙乙内角乎。次顯丁甲丙，大于甲乙丙。試自丙甲線，引長之，至庚。次以甲乙線兩平分于辛本篇十。自丙至辛。作直線，引長之。從辛外截取辛壬，與丙辛等本篇三。次自甲至壬，作直線。依前論，推顯甲辛壬，辛丙乙，兩角形之各邊，各角，俱等。則壬甲辛，與辛乙丙，兩角亦等矣。夫壬甲辛。乃庚甲乙之分。必小于庚甲乙也。庚甲乙，又與丁甲丙，兩交角等本篇十五。則甲乙丙内角。不小于丁甲丙外角乎。其餘乙丙上作外角，俱大于相對之内角。

Therefore etc. Q. E. D.

Cuiuscunque ergo trianguli uno latere producto, &c. Quod demonstrandum erat.

SCHOLION
NON dixit Euclides, angulum externum D A C, maiorem esse angulo B A C, interno, qui sibi est deinceps; sed solum magnitudine superare utrumlibet A C B, A B C, internorum, sibique oppositorum: quoniam externus angulus æqualis potest esse angulo interno sibi deinceps, quando scilicet externus rectus est. Tunc enim necessario is, qui sibi est deinceps, rectus quoque erit: Potest & esse minor, quando nimirum est acutus. Hoc enim posito, angulus illi deinceps obtusus erit. Solum ergo, quando obtusus erit externus, superabit internum sibi deinceps; Hic enim necessario acutus existet. Quæ omnia facile colliguntur ex propos. 13. per quam angulus externus, & internus illi deinceps, æquales sunt duobus rectis.
ID vero, quod in scholio propos. 6. huius libri nos demonstraturos recepimus, nimirum hanc propositionem non posse conuerti; cum & uno latere figuræ quadrilateræ producto, externus angulus quolibet interno, & opposito possit esse maior; hac ratione absolvemus.
SIT figura quadrilatera A B C D, cuius angulus B A D, obtusus, & A B C, rectus constituatur, hac tamen lege, ut rectæ A B, D C, productæ ad partes B, & C, in puncto E, nec non & rectæ D A, C B, ad partes A & B, in puncto F, coeant. Dico, si A D, producatur ad G, angulum externum C D G, maiorem esse quolibet tribus internis B A D, A B C, B C D, sibi oppositis. Cum enim A D E, triangulum sit, erit angulus externus E D G, maior interno opposito D A E. Rursus cum D A B, obtusus maior sit recto A B C, maior quoque multo erit E D G, ipso A B C. Postremo, quia & in triangulo C D F, angulus externus C D G, maior est interno, & opposito F C D, manifestum est, in quadrilatero A B C D, externum angulum C D G, maiorem esse internis, & oppositis B A D, A B C, B C D. Quam ob rem propositio hæc 16. conuerti nequit, quippe cum eius antecedens, & consequens non reciprocentur, ut demonstratum est.

EX PROCLO
SEQVITVR ex hac propositione, ab eodem puncto ad unam eandemque lineam rectam non posse duci plures lineas rectas, quam duas inter se æquales. Si enim fieri potest, ducantur ex A, ad lineam B C, tres lineæ rectæ æquales A B, A C, A D. Quoniam igitur latera A B, A C, sunt æqualia, erunt anguli A C B, & A B C, æquales super basim B C. Rursus quia latera A B, A D, sunt æqualia, erunt anguli A D B, & A B D, super basim B D, æquales. Quare cum uterque angulus A C D, & A D B, æqualis sit angulo A B C, erit angulus A D B, æqualis angulo A C D, externus interno opposito, quod est absurdum, cum per hanc 16. propos. externus interno maior sit. Non ergo plures lineæ rectæ, quam duæ, inter se æquales, ex A, ad B C, possunt duci. Quod est propositum.

依此推顯。

Permanent link

http://www2.hf.uio.no/common/apps/permlink/permlink.php?app=polyglotta&context=ctext&uid=c6f3617a-28d7-11e0-8f33-001cc4df1abe

Choose languages

Choose images, etc.

Choose languages

Choose display