Quod est propositum.
CADAT deinde E G, in ipsam E F. Et quia rursus, ut prius basis E G, æqualis est basi B C: & E G, maior quam E F, quod est propositum.
CADAT tertio E G, infra E F, producanturque rectæ D F, D G, usque ad H, & I, & ducatur recta F G. Erit autem rursus, ut prius basis E G, basi B C, æqualis. Deinde quia duo latera D F, D G, æqualia sunt inter se, per constructionem, erunt anguli G F H, F G I, infra basin F G, æquales: Est autem angulus F G I, maior angulo F G E. Igitur & angulus G F H, eodem angulo F G E, maior erit. Quare multo maior erit totus angulus E F G, eodem angulo F G E. In triangulo ergo E F G, maius erit latus E G, latere E F. Est autem ostensum E G, æquale esse ipsi B C. Maior igitur erit quoque B C, basis basi E F. Si igitur duo triangula duo latera duobus lateribus, &c. Quod erat ostendendum.
SCHOLION
SI quis forte roget, cur in 4. propositione Euclides ex eo, quod duo latera unius trianguli æqualia sint duobus lateribus alterius trianguli, utrumque utrique, & anguli contenti dictis lateribus æquales, concluserit non solum æqualitatem basium, verum etiam triangulorum, & reliquorum angulorum; hic autem ex eo, quod duo latera unius trianguli æqualia sint duobus lateribus alterius trianguli, utrumque utrique, anguli vero lateribus illis comprehensi inæquales, colligat tantum inæqualitatem basium, non autem triangulorum, & reliquorum angulorum: Huic respondendum est, necessario id ab Euclide peritissimo Geometra esse factum. Nam ex antecedente huius theorematis semper consequitur basium inæqualitas, ita ut basis illius trianguli, cuius angulus contentus lateribus assumptis est maior, superet basin alterius, cuius angulus minor existit, ut demonstratum est; non autem necesse est, triangulum illud maius hoc esse. Vt enim clarissime ex Proclo demonstrabimus ad propos. 37. huius primi libri, Triangulum maiorem habens angulum aliquando æquale est triangulo minorem habenti angulum, aliquando vero minus eodem, & aliquando maius. Non igitur potuit in uniuersum inferri, ex eo, quod angulus unius trianguli maior est angulo alterius, triangulum etiam maius esse, cum modo æquale sit, modo minus, & modo maius. Idem dici potest de angulis reliquis. Nam in prima figura huius theorematis angulus A B C, minor est semper angulo D E F; cum angulus D E G, (qui æqualis est per 4. propos. angulo A B C,) minor sit eodem angulo D E F, pars toto. In secunda autem figura, existit quidem angulus A B C, angulo D E F, æqualis, per 4. propos. At vero angulus A C B, minor est angulo D F E, cum angulus D F E, maior sit angulo D G F, externus interno, & opposito; & angulus D G F, æqualis sit angulo A C B. In tertia denique figura angulus A B C, maior quidem est angulo D E F, propterea quod angulus D E G. (æqualis existens per 4. propos. angulo A B C,) maior est eodem angulo D E F, totum parte. Sed angulus A C B, minor est angulo D F E. Nam si recta E F, producatur secans rectam D G, in K, fiet angulus D F E, maior angulo D K E, externus interno; Est autem & angulus D K E, maior adhuc angulo D G E, externus quoque interno, & opposito. Multo igitur mator erit angulus D F E, angulo D G E, qui per 4. propos. æqualis est angulo A C B. Quare neque certi quicquam colligi potuit de inæqualitate reliquorum angulorum, cum modo unus altero sit maior, modo minor, & modo æqualis.
Complete text
Book I