Si igitur in duas rectas lineas recta incidens linea externum angulum, &c.
Quod erat demonstrandum.
SCHOLION
IAMDVDVM pronuntiatum undecimum a principiorum numero reieciemus. Cum igitur sequens propositio 29. illi innitatur, ita ut absque eo demonstrari non posse, necesse est, ut illud ex hactenus demonstratis theorematibus, qua ex eo nulla ratione dependent, cum Proclo confirmemus, ut antea polliciti sumus. Hoc autem facile præstabimus, si prius duo explicemus, quorum primum hoc sit.
SI ab uno puncto duæ rectæ lineæ angulum facientes infinite producantur, ipsarum distantia omnem finitam magnitudinem excedet.
EXEANT a puncto A, duæ rectæ A B, A C, facientes angulum A. Quoniam igitur puncta D, & E, plus inter se distant, quam F, & G. Item punctæ B, & C, plus quam D, & E, & ita deinceps, si producantur ultra rectæ lineæ A B, A C, perspicuum est, extrema earum puncta infinito spatio inter se distare, si infinite ipsæ producantur. Si enim non infinito spatio distarent, augeri posset eorum distantia; igitur & lineæ ipsæ ultra produci, quod est absurdum, cum ponantur infinite iam esse productæ. Quare si dictæ lineæ A B, A C, producantur infinite, ipsarum distantia excedet omnem finitam distantiam. Hoc pronunciato usus est & Aristoreles liber I. de cœlo, ubi demonstrauit, mundum non esse infinitum. Secundum quod debes explicari, ita se habet.
SI duarum parallelarum rectarum linearum alteram secet quædam recta linea, reliquam quoque productam secabit.
SINT duæ parallelæ A B, C D, & recta E F, secet ipsam A B, in G. Dico rectam E F, si producatur, secturam esse quoque ipsam C D. Quoniam duæ rectæ G B, G F, in puncto G, angulum faciunt, si producantur infinite, excedent omnem finitam distantiam; igitur & distantiam, qua parallelæ A B, a parallela C D, distat, cum hac distantia sit finita, alias enim non essent lineæ parallelæ. Quare quando distantia G B, a G F, maior iam fuerit ea, quæ inter parallelas est, necesse est rectam G F, productam secuisse rectam C D. Nam quamdiu G F, continebitur inter duas parallelas, minori distantia a G B, remouebitur, quam C D, ab eadem G B, ut constat. His igitur ita expositis, facile demonstrabitur hoc theorema, quod est apud Euclidem, tertium decimum pronunciatum.
SI in duas rectas lineas altera recta incidens internos, ad easdemque partes, angulos duobus rectis minores faciat; Duæ illæ rectæ lineæ infinite productæ sibi mutuo incident ad eas partes, ubi sunt anguli duob rectis minores.
IN rectas A B, C D, incidens recta E F, faciat internos angulos ad partes B, & D, vt B G H, D H G, duobus rectis minores. Dico rectas A B, C D, coire ad easdem partes B, & D. Quoniam enim duo anguli B G H, D H G, minores ponuntur esse duobus rectis: Sunt autem duo anguli D H G, D H F, duobus rectis æquales: Erunt duo anguli D H G, D H F, maiores duobus angulis D H G, B G H. Ablato ergo communi angulo D H G, remanebit angulus D H F, maior angulo B G H. Si igitur ad rectam F G, & ad punctum, G, constituatur angulus K G H, æqualis angulo D H F, cadet G K. supra G B, secabitque producta rectam A B. Quoniam igitur in duas rectas I K, C D, recta incidens E F, facit angulum externum D H F, æqualem interno, & opposito K G H. Erunt rectæ I K, C D, parallelæ. Secat autem recta A B, ipsam I K, in G. Producta igitur secabit quoque ipsam C D, ut demonstratum est. Quare A B, cum C D, conueniet ad partes B, & D, nimirum in puncto L. quod est propositum.
QVAMVIS autem, concesso principio nostro, optime a nobis demonstratum sit tertiumdecimum hoc axioma, & a Proclo etiam, si eius principium difficilius quidem, quam nostrum, admittatur, ut iure optimo inter theoremata, & non inter principia possit connumerari; tamen ne ordinem Euclidis in quoquam immutemus, utemur eo in omnibus propositionibus, quarum demonstrationes ex ipso pendent, tanquam pronunciato, praesertim cum facile ei assensus præberi queat, intellecta prius recte propositione 28. Si enim lineæ rectæ propositæ parallelæ sunt, ita ut nunquam coeant, sed semper æquali inter se distantia progrediantur, etiamsi infinite producantur, quando recta in eas incidens facit duos angulos internos, ad easdem partes duobus rectis æquales, ut demonstratum fuit; quis non videt, si eadem incidens in duas rectas faciat anulos internos, ad easdem partes duobus rectis minores, alteram alteri appropinquare, ad eas partes, ad quas sunt interni anguli duobus rectis minores; quandoquidem æquali distantia procederent, si iidem anguli paulo maiores essent, duobus videlicet rectis æquales, ut hæc propositio 28. demonstrauit?
Complete text
Book I