Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΗΘ:
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ:
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ τῶν ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ μείζονές εἰσιν.
ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
[καὶ] αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.
αἱ δὲ ἀπ᾽ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπίπτουσιν:
αἱ ἄρα ΑΒ, ΓΔ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπεσοῦνται:
οὐ συμπίπτουσι δὲ διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς ὑποκεῖσθαι:
οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ: ἴση ἄρα.
ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΕΗΒ ἐστιν ἴση:
καὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση.
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ:
αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἴσαι εἰσίν.
ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν:
καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
For, if the angle AGH is unequal to the angle GHD, one of them is greater.
Let the angle AGH be greater.
Let the angle BGH be added to each;
therefore the angles AGH, BGH are greater than the angles BGH, GHD.
But the angles AGH, BGH are equal to two right angles; [I. 13]
therefore the angles BGH, GHD are less than two right angles.
But straight lines produced indefinitely from angles less than two right angles meet; [Post. 5]
therefore AB, CD, if produced indefinitely, will meet;
but they do not meet, because they are by hypothesis parallel.
Therefore the angle AGH is not unequal to the angle GHD, and is therefore equal to it.
Again, the angle AGH is equal to the angle EGB; [I. 15]
therefore the angle EGB is also equal to the angle GHD. [C.N. 1]
Let the angle BGH be added to each;
therefore the angles EGB, BGH are equal to the angles BGH, GHD. [C.N. 2]
But the angles EGB, BGH are equal to two right angles; [I. 13]
therefore the angles BGH, GHD are also equal to two right angles.
Si enim inequalis est angulus AIT angulo ITD, unus ipsorum maior est.
Esto maior AIT.
Et quoniam maior est AIT quam ITD, communis adiaceat angulus BIT,
anguli ergo AIT et BIT angulis BIT et ITD maiores sunt.
Sed et anguli AIT et TIB duobus rectis sunt equales.
Et anguli ergo BIT et ITD duobus rectis minores sunt.
Recte vero a minoribus quam sint duo recti educte in infinitum concident.
(Recte ergo AB et GD educte in infinitum concident.)
Non autem concident eo quod equidistantes ipse subiaceant.
Non ergo inequalis est angulus AIT angulo ITD. Equalis ergo.
Verum angulus AIT angulo EIB est equalis.
Et angulus ergo EIB angulo ITD est equalis.
Communis adiaceat angulus BIT,
anguli ergo EIB et BIT angulis BIT et ITD sunt equales.
Verum EIB et BIT duobus rectis sunt equales.
Et anguli ergo BIT et ITD duobus rectis equales sunt.
برهان انا نبين اولا ان زاوية (ا ح ط) مساوية لزاوية (ح ط د) المتبادلتين فان لم يكن مثلها فاحداهما اعظم
فلتكن زاوية (ا ح ط) اعظم ان كان يمكن
ونجعل زاوية (ب ح ط) مشتركاة
فمجموع زاوية (ا ح ط) (ب ح ط) اعظم من مجموع زاويتى (ا ح ط) (ب ح ط)
لكن بحسب برهان (يج) من (ا) يكون مجموع زاويتى (ا ح ط) (ب ح ط) مثل زاويتين قائمتين
فمجموع زاويتى (ب ح ط) (ح ط د) اصغر من مجموع زاويتين قائمتين
لكن بحسب ما صادر به اوقليدس وبحسب ما برهان عليه اغانيس فى الاشكال المتقدمة انه اذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين فكانت الزاويتان الداخلتان اللتان فى جهة طاحدة اقل من قائمتين فان الخطين اذا اخرجا فى جهة الزاويتين اللتين هما اقل من قائمتين التقيا
فخط (ا ب) (ج د) اذن يلتقيان فى جهة نقطتى (ب د)
وهما متوازيان فهذا محال غير ممكن
فليس يمكن ان تكون زاوية (ا ح ط) اعظم من زاوية (ح ط د) ولا اصغرمنها فهى اذن مساوية لها زاوية (ا ح ط) ماسوية لزاوية (ح ط د) المتبادلتان
وايضا فلان خطى (ا ب) (ه ز) يتقاطعان على (ه=ح) فبحسب برهان (يه) من (ا) تكون زاوية ١٣٦ (ا ح ط) مساوية لزاوية (ه ح ب)
لكن زاوية (ا ح ط) قد بينا انها مساوية لزاوية (ح ط د) والمساوية لشى واحد فهى متساوية فزاوية (ه ح ب) لخارجة مثل زاوية (ح ط د) الداخلة المتقابلتان
وايضا فقد نبين ان زاوية (ه ح ب) الخارجه مثل زاوية (ح ط د) الداخلة فنجعل زاوية (ب ح ط) مشتركة
فمجموع زاويتى (ه ح ب) (ب ح ط) مثل مجموع زاويتى (ب ح ط) (ح ط د)
لكن مجموع زاويتى (ه ح ب) (ب ح ط) مثل مجموع زاويتين قائمتين ببرهان (يج) من (ا)
فمجموع زاويتى (ب ح ط) (ح ط د) اذن مثل مجموع زاويتين قائمتين وهما فى جهة واحدة
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
atha yadi samānau na bhvaiṣyataḥ
tadā ajhavakoṇo ’dhikakoṇaḥ kalpitaḥ |
punaḥ bajhavakoṇasya ajhavakoṇena yogaḥ kāryaḥ dvajhakoṇenāpi yogaḥ kāryaḥ |
tatra prathamayogaḥ dvayoḥ samakoṇayoḥ samānaḥ dvitīyayogād adhiko bhavati |
tadā dvitīyayogaḥ dvayoḥ samakoṇayor nyūno jātaḥ | yathā abajadarekhayoḥ hajhavarekhayā saṃpātaḥ kṛtaḥ tatra bajhavakoṇadavajhakoṇayor yogo dvayoḥ samakoṇayor nyūno jātas
tadā abarekhājadarekhe badadiśi miliṣyataḥ |
punaḥ hajhaba havadakoṇena samāno ’sti | kutaḥ hajhabakoṇaajhavakṇayoḥ samānatvāt |
punaḥ bajhavakoṇadvajhakoṇayor yogao dvayoḥ samakoṇayoḥ samāna ’sti | kutaḥ | bajhavakoṇaajhavakoṇayogasya dvayoḥ samakoṇayoḥ samānatvāt |
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Complete text
Book I