You are here: BP HOME > BPG > Euclid: Elementa > fulltext
Euclid: Elementa

Choose languages

Choose images, etc.

Choose languages
Choose display
  • Enable images
  • Enable footnotes
    • Show all footnotes
    • Minimize footnotes
Search-help
Choose specific texts..
    Click to Expand/Collapse Option Complete text
Click to Expand/Collapse OptionTitle
Click to Expand/Collapse OptionPreface
Click to Expand/Collapse OptionBook I
Click to Expand/Collapse OptionBook ΙI
Click to Expand/Collapse OptionBook IΙΙ
Click to Expand/Collapse OptionBook IV
Click to Expand/Collapse OptionBook V
Click to Expand/Collapse OptionBook VI
Click to Expand/Collapse OptionBook VII
Click to Expand/Collapse OptionBook VIII
Click to Expand/Collapse OptionBook ΙΧ
Click to Expand/Collapse OptionBook Χ
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧI
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧIΙ
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧIΙΙ
ΚΘʹ 
Proposition 29. 
29 
الشكل اتاسع واعشرون من المقالة الاولى 
athaikonatriṃśattamaṃ kṣetram | 
第二十九題 
Ἡ εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας. 
A straight line falling on parallel straight lines makes the alternate angles equal to one another, the exterior angle equal to the interior and opposite angle, and the interior angles on the same side equal to two right angles. 
In equidistantes rectas recta incidens et permutatim angulos equales alternis facit et eum qui exterius ei qui interius et ex adverso et in easdem partes equalem et eos qui interius et in easdem partes duobus rectis equales. 
اذا اخرج خط (ع) مستقيم على خطين مستقيمين متوازيين فان الزاويتين المتبادلتين متساويتان (ط) والزاويتان (ط) الخارجة والداخلة ١٣٤ التى تقابلها متساويتان والزاويتيان (ط) الداخلتان فى اى الجتين كانتا فان مجموعهما يعدل مجموع زاويتين قائمتين 
samānāntararekhayor yadi tṛtīyā rekhā saṃpātaṃ karoti tatraikakoṇo ’antargato ’bhīṣṭadiśy utapanno dvitīyarekhāntargatakoṇaś ca dvitīyadikkaḥ etau samānau bhavataḥ | evaṃ bahirgatakoṇo dvitīyarekhāyā antargatakoṇena samāno bhavati | evam ekadikkam antargatakoṇadvayaa antargatakoṇadvayaṃ dvayoḥ samakoṇayoḥ samānaṃ bhavati | 
三支
兩平行線。有他直線交加其上。則內相對兩角、必等。外角與同方相對之內角、亦等。同方兩內角、亦與兩直角等。 
Εἰς γὰρ παραλλήλους εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπιπτέτω ἡ ΕΖ:  λέγω, ὅτι τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΗΘ, ΗΘΔ ἴσας ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας. 
For let the straight line EF fall on the parallel straight lines AB, CD;  I say that it makes the alternate angles AGH, GHD equal, the exterior angle EGB equal to the interior and opposite angle GHD, and the interior angles on the same side, namely BGH, GHD, equal to two right angles. 
In equidistantes enim rectas AB et GD recta incidat EZ.  Dico quoniam et eos qui permutatim sunt angulos AIT et ITD equales facit et exteriorem angulum EIB ei qui interius et ex adverso et in easdem partes ITD equalem, et eos qui interius et in easdem partes qui sunt BIT et ITD duobus rectis equales. 
مثاله ان خطى (ا ب) (ج د) متوازيان وقد اخرج عليهما خط مستقيم وهو (زه)  فاقول ان زاويتى (ا ح ط) (ح ط د) المتبادلتين متساويتان وان زاويتى (ه ح ب) (ح ط د) الخارجة والداخلة المتقابلتين متساويتان وان مجموع زاويتى (ب ح ط) (ح ط د) الداخلتين اللتين فى جهة واحدة معادلتان لمجموع زاويتين قائمتين 
yathā abarekhāyāṃ jadarekhāyāṃ hajhavarekhayā saṃpātaḥ kṛtaḥ |  tatra ajhavakoṇadavajhakoṇau sanau koṇau bhaviṣyataḥ | 
Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.  ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΗΘ:  κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ:  αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ τῶν ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ μείζονές εἰσιν.  ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.  [καὶ] αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.  αἱ δὲ ἀπ᾽ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπίπτουσιν:  αἱ ἄρα ΑΒ, ΓΔ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπεσοῦνται:  οὐ συμπίπτουσι δὲ διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς ὑποκεῖσθαι:  οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ: ἴση ἄρα.  ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΕΗΒ ἐστιν ἴση:  καὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση.  κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ:  αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἴσαι εἰσίν.  ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν:  καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. 
For, if the angle AGH is unequal to the angle GHD, one of them is greater.  Let the angle AGH be greater.  Let the angle BGH be added to each;  therefore the angles AGH, BGH are greater than the angles BGH, GHD.  But the angles AGH, BGH are equal to two right angles; [I. 13]  therefore the angles BGH, GHD are less than two right angles.  But straight lines produced indefinitely from angles less than two right angles meet; [Post. 5]  therefore AB, CD, if produced indefinitely, will meet;  but they do not meet, because they are by hypothesis parallel.  Therefore the angle AGH is not unequal to the angle GHD, and is therefore equal to it.  Again, the angle AGH is equal to the angle EGB; [I. 15]  therefore the angle EGB is also equal to the angle GHD. [C.N. 1]  Let the angle BGH be added to each;  therefore the angles EGB, BGH are equal to the angles BGH, GHD. [C.N. 2]  But the angles EGB, BGH are equal to two right angles; [I. 13]  therefore the angles BGH, GHD are also equal to two right angles. 
Si enim inequalis est angulus AIT angulo ITD, unus ipsorum maior est.  Esto maior AIT.  Et quoniam maior est AIT quam ITD, communis adiaceat angulus BIT,  anguli ergo AIT et BIT angulis BIT et ITD maiores sunt.  Sed et anguli AIT et TIB duobus rectis sunt equales.  Et anguli ergo BIT et ITD duobus rectis minores sunt.  Recte vero a minoribus quam sint duo recti educte in infinitum concident.  (Recte ergo AB et GD educte in infinitum concident.)  Non autem concident eo quod equidistantes ipse subiaceant.  Non ergo inequalis est angulus AIT angulo ITD. Equalis ergo.  Verum angulus AIT angulo EIB est equalis.  Et angulus ergo EIB angulo ITD est equalis.  Communis adiaceat angulus BIT,  anguli ergo EIB et BIT angulis BIT et ITD sunt equales.  Verum EIB et BIT duobus rectis sunt equales.  Et anguli ergo BIT et ITD duobus rectis equales sunt. 
برهان انا نبين اولا ان زاوية (ا ح ط) مساوية لزاوية (ح ط د) المتبادلتين فان لم يكن مثلها فاحداهما اعظم  فلتكن زاوية (ا ح ط) اعظم ان كان يمكن  ونجعل زاوية (ب ح ط) مشتركاة  فمجموع زاوية (ا ح ط) (ب ح ط) اعظم من مجموع زاويتى (ا ح ط) (ب ح ط)  لكن بحسب برهان (يج) من (ا) يكون مجموع زاويتى (ا ح ط) (ب ح ط) مثل زاويتين قائمتين  فمجموع زاويتى (ب ح ط) (ح ط د) اصغر من مجموع زاويتين قائمتين  لكن بحسب ما صادر به اوقليدس وبحسب ما برهان عليه اغانيس فى الاشكال المتقدمة انه اذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين فكانت الزاويتان الداخلتان اللتان فى جهة طاحدة اقل من قائمتين فان الخطين اذا اخرجا فى جهة الزاويتين اللتين هما اقل من قائمتين التقيا  فخط (ا ب) (ج د) اذن يلتقيان فى جهة نقطتى (ب د)  وهما متوازيان فهذا محال غير ممكن  فليس يمكن ان تكون زاوية (ا ح ط) اعظم من زاوية (ح ط د) ولا اصغرمنها فهى اذن مساوية لها زاوية (ا ح ط) ماسوية لزاوية (ح ط د) المتبادلتان  وايضا فلان خطى (ا ب) (ه ز) يتقاطعان على (ه=ح) فبحسب برهان (يه) من (ا) تكون زاوية ١٣٦ (ا ح ط) مساوية لزاوية (ه ح ب)  لكن زاوية (ا ح ط) قد بينا انها مساوية لزاوية (ح ط د) والمساوية لشى واحد فهى متساوية فزاوية (ه ح ب) لخارجة مثل زاوية (ح ط د) الداخلة المتقابلتان  وايضا فقد نبين ان زاوية (ه ح ب) الخارجه مثل زاوية (ح ط د) الداخلة فنجعل زاوية (ب ح ط) مشتركة  فمجموع زاويتى (ه ح ب) (ب ح ط) مثل مجموع زاويتى (ب ح ط) (ح ط د)  لكن مجموع زاويتى (ه ح ب) (ب ح ط) مثل مجموع زاويتين قائمتين ببرهان (يج) من (ا)  فمجموع زاويتى (ب ح ط) (ح ط د) اذن مثل مجموع زاويتين قائمتين وهما فى جهة واحدة 
atha yadi samānau na bhvaiṣyataḥ  tadā ajhavakoṇo ’dhikakoṇaḥ kalpitaḥ |  punaḥ bajhavakoṇasya ajhavakoṇena yogaḥ kāryaḥ dvajhakoṇenāpi yogaḥ kāryaḥ |  tatra prathamayogaḥ dvayoḥ samakoṇayoḥ samānaḥ dvitīyayogād adhiko bhavati |    tadā dvitīyayogaḥ dvayoḥ samakoṇayor nyūno jātaḥ | yathā abajadarekhayoḥ hajhavarekhayā saṃpātaḥ kṛtaḥ tatra bajhavakoṇadavajhakoṇayor yogo dvayoḥ samakoṇayor nyūno jātas     tadā abarekhājadarekhe badadiśi miliṣyataḥ |        punaḥ hajhaba havadakoṇena samāno ’sti | kutaḥ hajhabakoṇaajhavakṇayoḥ samānatvāt |        punaḥ bajhavakoṇadvajhakoṇayor yogao dvayoḥ samakoṇayoḥ samāna ’sti | kutaḥ | bajhavakoṇaajhavakoṇayogasya dvayoḥ samakoṇayoḥ samānatvāt | 
Ἡ ἄρα εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας:  ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 
Therefore etc.  Q. E. D. 
Si ergo in equidistantes etc.  Quod oportet (ostendere). 
فقد تبين انه اذا اخرج خط مستقيم على خطين مستقيمين متوازيين فان الزوايتين المتبادلتين متساويتان والزاويتان الداخلة والخارجة التى تقابلها متساويتان والزاويتان الداخلتان فى اى الجهتين كانتا فان مجموعهما مثل مجموع زاويتين قائمتين  وذلك ما اردنا ان نبين. 
punaḥ davajhakoṇaajhavakoṇau samānau jātau |  idam evāsmākam abhīṣṭam || 
 
Go to Wiki Documentation
Enhet: Det humanistiske fakultet   Utviklet av: IT-seksjonen ved HF
Login