Therefore through the given point A the straight line EAF has been drawn parallel to the given straight line BC.
Q. E. F.
A dato igitur puncto, datæ rectæ lineæ, &c.
Quod erat faciendum.
SCHOLION
DEBET autem punctum datum in tali esse loco situm extra lineam datam, ut hæc producta cum illo non conueniat. Quod quidem aperte colligitur ex ipsa constructione problematis. Nam ex puncto dato ducenda est linea faciens angulum aliquem cum linea data, qui fieri non posset, si punctum in directum iaceret cum ipsa linea data. Quemadmodum autem ab uno, eodemque puncto ad eandem rectam non plures perpendiculares, quam una, ducuntur, ut ostendimus propositio 17. ex Proclo; ita etiam per idem punctum, datæ rectæ plures parallelæ, quam una, duci nequeunt. Si enim duæ ducerentur, conuenirent ipsæ in puncto illo eodem, quod est absurdum, cum sint parallelæ inter se, propterea quod uni & eidem, cui parallelæ dicuntur duci, sunt parallelæ.
EX hoc porro problemate, & illo, quod propositio 23. continetur, facili negotio constituemus parallelogrammum, cuius unus angulorum æqualis sit dato angulo rectilineo, lateraque angulum illum comprehendentia datis duabus rectis lineis æqualia.
SINT enim datæ rectæ A B, oporteatque constituere parallelogrammum habens angulum æqualem dato angulo rectilineo C, lateraque circa illum angulum rectis A B, æqualia. Sumpta recta D E, quæ rectæ A, sit æqualis, fiat angulus E D F, angulo C, & recta D F, rectæ B, æqualis. Deinde per E, agatur recta E G, ipsi D F, parallela, & per F, recta F G, ipsi D E, parallela secans E G, in G. Quoniam ergo & latera D F, E G, & D E, F G, parallela sunt, ex constructione; parallelogrammum erit D E G F. Quod cum ex constructione, habeat angulum D, angulo dato C, æqualem, & latera D E, D F, circa dictum angulum D, datis rectis A, B, æqualia; factum erit, quod proponitur.
PRAXIS
SIT ducenda parallela ipsi B C, per punctum A. Ducatur recta A D, utcunque ad B C, & ex D, & A, ad idem interuallum quodlibet describantur duo arcus ad diuersas partes, unus ad partes B, alter ad partes C. Deinde beneficio circini arcui E F, abscindatur ex arcu altero arcus G H, æqualis. Si igitur ex A, per H, recta ducatur, erit hæc parallela ipsi B C. Nam anguli EDF, HAG, sunt æquales, ut constat ex praxi propos. 23. &c.
ALIO modo ducetur per idem punctum A, datum linea parallela lineæ datæ B C, hac arte. Ex centro A, ad quoduis interuallum describatur arcus secans B C, in puncto D; & eodem interuallo ex D, sumatur punctum E, in eadem recta B C. Deinde eodem interuallo ex A, & E, describantur duo arcus secantes sese in F. Nam ducta recta A F, erit parallela rectæ B C. Quoniam enim propter idem interuallum assumptum recta A F, æqualis est rectæ D E; & recta A D, rectæ E F, si ducerentur hæ lineæ; erit A F, oppositæ D E, parallela, ut postea demonstrabimus propositio 34. Quod si punctum A, vicinum fuerit rectæ B C, commodius hac lege parallela optata ducetur. Ex A, sumatur punctum D, in B C, ad quoduis interuallum; Et ex quouis puncto eiusdem rectæ B C, nempe E, quod tæmen aliquantulum distet a puncto D (Quo enim maior fuerit distantia inter D, & E, eo facilius & accuratius parallela ducetur) eodem interuallo arcus describatur ad partes A. Deinde ex A, interuallo D E, alter arcus descriptus secet priorem arcum in F. Recta namque ducta A F, erit parallela rectæ B C, ut prius; quia recta A F, æqualis est rectæ D E, ob idem interuallum; & recta A D, rectæ E F, si hæ rectæ ductæ essent, &c.
Complete text
Book I