You are here: BP HOME > BPG > Euclid: Elementa > fulltext
Euclid: Elementa

Choose languages

Choose images, etc.

Choose languages
Choose display
  • Enable images
  • Enable footnotes
    • Show all footnotes
    • Minimize footnotes
Search-help
Choose specific texts..
    Click to Expand/Collapse Option Complete text
Click to Expand/Collapse OptionTitle
Click to Expand/Collapse OptionPreface
Click to Expand/Collapse OptionBook I
Click to Expand/Collapse OptionBook ΙI
Click to Expand/Collapse OptionBook IΙΙ
Click to Expand/Collapse OptionBook IV
Click to Expand/Collapse OptionBook V
Click to Expand/Collapse OptionBook VI
Click to Expand/Collapse OptionBook VII
Click to Expand/Collapse OptionBook VIII
Click to Expand/Collapse OptionBook ΙΧ
Click to Expand/Collapse OptionBook Χ
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧI
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧIΙ
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧIΙΙ
ΛΒʹ 
Proposition 32. 
32 
الشكل الثانى والثلثون من المقالة الاولى 
atha dvātriṃśattamaṃ kṣetram | 
第三十二題 
Παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν, καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. 
In any triangle, if one of the sides be produced, the exterior angle is equal to the two interior and opposite angles, and the three interior angles of the triangle are equal to two right angles. 
Omnis trigoni uno laterum educto exterior angulus duobus qui interius et ex adverso est equalis. Et interiores tres anguli trigoni duobus rectis sunt equales. 
كل مثلث يخرج (ع) ضلع من اضلاعه على استقامة فان الزاوية التى تحدث خارج المثلث مثل (ط) مجموع زاويتيه الداخلتين اللتين تقابلانها وزوايا المثلث الثلث اذا جمعت مثل مجموع زاويتين قائمتين 
tatreṣṭatribhujasyaiko bhuja varddhanīyaḥ punas tatraiva yo bahiḥ sthitaḥ koṇaḥ sa sanmukhāntargatakoṇadvayayogena samāno bhavati | antargatakoṇatrayayogo ’pi dvayoḥ samakoṇayoḥ samāno bhavati | 
凡三角形之外角、與相對之內兩角幷、等。凡三角形之內三角幷、與兩直角等。 
Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ προσεκβεβλήσθω αὐτοῦ μία πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ:  λέγω, ὅτι ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ,  καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. 
Let ABC be a triangle, and let one side of it BC be produced to D;  I say that the exterior angle ACD is equal to the two interior and opposite angles CAB, ABC,  and the three interior angles of the triangle ABC, BCA, CAB are equal to two right angles. 
Esto trigonum ABG. Et educatur ipsius unum latus BG in punctum D.  Dico quoniam exterior angulus AGD equalis est duobus interioribus et oppositis qui sunt GAB et ABG,  et interiores trigoni tres anguli qui sunt ABG et BGA et GAB duobus rectis sunt equales. 
مثاله ان مثلث (ا ب ج) قد اخرج ضلع من الضلاعه وهو ضلع (ب ج) على استقامة الى نقطة (د)  فاقول ان زاوية (ا ج د) مثل مجموع زاويتى (ا ب ج) (ب ا ج)  وان زوايا (ا ب ج) (ب ج ا) (ج ا ب) الثلث اذا جمعت مساوية لمجموع زاويتين زائمتين 
yathā abajatribhuje bajabhujo daparyantaṃ varddhitaḥ  tatra ajadakoṇo bahiḥstaḥ baakoṇadvayayogena samāna ’sti |   
Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΓΕ. 
For let CE be drawn through the point C parallel to the straight line AB. [I. 31] 
Ducatur enim per G punctum recte AB equidistans GE. 
برهانه انا نخرج من نقطة (ج) خط (ج ه) موازيا لضلع (ب ا) كما بين اخراجه ببرهان (لا) من (ا) 
yato jacihnāt baarekhyāyāḥ samānāntarā jaharekhā kāryā | 
Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΑΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.  πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΒΔ, ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΓΔ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΑΒΓ.  ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση:  ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνία ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΒΓ. 
Then, since AB is parallel to CE, and AC has fallen upon them, the alternate angles BAC, ACE are equal to one another. [I. 29]  Again, since AB is parallel to CE, and the straight line BD has fallen upon them, the exterior angle ECD is equal to the interior and opposite angle ABC. [I. 29]  But the angle ACE was also proved equal to the angle BAC;  therefore the whole angle ACD is equal to the two interior and opposite angles BAC, ABC. 
Et quoniam equidistans est recta AB recte GE et in ipsas incidit recta AG, anguli ergo BAG et AGE qui permutatim alternis sunt equales.  Rursum quoniam equidistans est recta AB recte GE et in ipsas incidit recta BD, exterior angulus EGD equalis est interiori et opposito qui est ABG.  Demonstratus autem et angulus AGE angulo BAG equalis.  Totus ergo AGD exterior angulus equalis est duobus qui interius et ex adverso qui sunt BAG et ABG. 
فخط (ا ج) مخرج على خطى (ا ب) (ج ه) المتوازيين فببرهان (كط) من (ا) زاويتا (ب ا ج) (ا ج ه) المتبادلتان متساويتان  وايضا فانه قد اخرج خط على خطى (ا ب) (ج ه) المتوازيين فزاويتا (ا ب د) (ه ج د) المتقابلتان متساويتن ببرهان (كط) من (ا)  وقد بينا ان زاوية (ا ج ه) مساوية لزاوية (ب ا ج)   
tatra ajahakoṇo baajakoṇena tulyo jātaḥ |  hajadakoṇo bakoṇena tulyo jātaḥ |    bahiḥstaḥ baakoṇadvayayogena tulyo jātaḥ | 
Κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ:  αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ ἴσαι εἰσίν.  ἀλλ᾽ αἱ ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν:  καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, ΓΒΑ, ΓΑΒ ἄρα δυσίν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. 
Let the angle ACB be added to each;  therefore the angles ACD, ACB are equal to the three angles ABC, BCA, CAB.  But the angles ACD, ACB are equal to two right angles; [I. 13]  therefore the angles ABC, BCA, CAB are also equal to two right angles. 
Communis adiaceat angulus AGB,  anguli ergo AGD et AGB tribus angulis ABG et BGA et BAG sunt equales.  Verum anguli AGD et AGB duobus rectis sunt equales.  Et anguli ergo AGB et GBA et BAG duobus rectis sunt equales. 
فنجعل زاوية (ا ج ب) مشتركة  فمجموع زاويتى (ا ج د) (ا ج ب) مساويت لمجموع زوايا (ا ج ب) (ا ب ج) (ب ا ج) الثلثة  لكن مجموع زاويتى (ا ج ب) (ا ج د) مثل زاويتين قائمتين بحسب برهان (يج) من (ا)  فزوايا المثلث الثلث عانى (ا ج ب) (ا ب ج) (ب ا ج) اذا جمعت مثل مجموع زاويتين قائمتين 
    punaḥ ajadakoṇaḥ ajabakoṇayoukto dvayoḥ samakoṇayoḥ samāno ’sti |  tadāntargatakoṇatrayayogo dvayoḥ samakoṇayoḥ samāno jātaḥ | 
Παντὸς ἄρα τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν, καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν:  ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 
Therefore etc.  Q. E. D. 
Omnis ergo trigoni uno laterum educto etc.  Quod oportet (ostendere). 
  وذلك ما اردنا ان نبين. 
  idam evāsmākam abhīṣṭam ||
      punaḥ prakārāntaram |
   tatra acihnāt badarekhāyāḥ samānāntarā ajharekhā kāryā | tadā jhaabakoṇo bakoṇena tulyo jātaḥ | punaḥ jhaajakoṇaḥ ajadakoṇena tulyo jātaḥ | tadā ajadakoṇaḥ abakoṇayos tulyo jātaḥ || idam eveṣṭam || 
 
Go to Wiki Documentation
Enhet: Det humanistiske fakultet   Utviklet av: IT-seksjonen ved HF
Login