Quare cuiuscunque trianguli uno latere producto, &c.
Quod erat demonstrandum.
SCHOLION
CVM demonstratum sit propositio 16. angulum externum cuiusuis trianguli maiorem esse utrolibet interno, & opposito; Hic autem, eundem externum eisdem internis simul esse æqualem, perspicuum est, alterutrum internorum, & oppositorum superari ab externo, reliquo interno angulo opposito. Vt in triangulo proposito angulus A, internus superatur ab angulo externo A C D, angulo B, interno: Et angulus B, internus superatur ab eodem externo angulo A C D, angulo A, interno, quandoquidem angulus A C D, duobus angulis A, & B, est ostensus hoc loco æqualis. Rursum, quia demonstratum est propositio 17. duos angulos cuiuslibet trianguli quomodocunque sumptos, duobus esse rectis minores; Hic vero omnes tres duobus rectis æquales esse; manifestum est, duos a duobus rectis deficere, reliquo angulo trianguli. Vt in eodem triangulo, duo anguli A, & B, a duobus rectis deficiunt angulo A C B, &c.
OMNE porro triangulum habere tres angulos duobus rectis æquales, primi omnium, ut refert Eudemus, Pythagorei demonstrarunt hac ratione. Sit triangulum A B C, & per punctum A, ducatur rectæ B C, parallela D E. Quoniam igitur anguli alterni D A B, & A B C, æquales sunt; si addantur æquales E A C, & A C B (sunt enim & hi alterni) erunt duo anguli D A B, E A C, duobus A B C, A C B, æquales. Addito ergo communi angulo B A C, erunt tres anguli D A B, B A C, C A E, æquales tribus angulis A B C, B A C, A C B. Sed anguli D A B, B A C, C A E, æquales sunt duobus rectis, ut constat ex propositione decimatertia. Igitur & in triangulo A B C, anguli A B C, B A C, A C B, duobus sunt rectis æquales, quod est propositum. Ex hoc autem facile concludemus, angulum externum A C F, si latus B C, sit protractum, æqualem esse duobus internis, & oppositis A B C, B A C. Quoniam enim anguli A B C, B A C, A C B, æquales sunt duobus rectis, ut ostensum fuit. Sunt autem & anguli A C F, A C B, duobus rectis æquales; Erunt anguli A B C, B A C, A C B, angulis A C F, A C B, æquales. Dempto igitur communi angulo A C B, remanebit angulus A C F, duobus angulis A B C, B A C, æqualis.
FACILE etiam conuerti poterit prima pars propositionis Euclidis: Hoc est, si ab uno angulo trianguli linea recta ducatur, ut angulus externus æqualis sit duobus internis, & oppositis, illam lineam esse in directum ipsi lateri constitutam. Ex C, enim ducatur C D, recta, sitque angulus A C D, æqualis duobus angulis A B C, B A C. Dico rectas B C, C D, in directum iacere. Cum enim angulus A C D, æqualis sit angulis A B C, B A C, si addatur communis angulus A C B, erunt anguli A C D, A C B, æquales angulis A B C, B A C, A C B: Sed A B C, B A C, A C B, æquales sunt duobus rectis. Igitur & anguli A C D, A C B, duobus erunt rectis æquales. Quare B C, C D, unam lineam rectam constituunt.
QVOT ANGVLIS RECTIS æquiualeant anguli omnes interni cuiuscunque figuræ rectilineæ.
DVOBVS modis ex hac propos. 32. colligemus, quotnam rectis angulis æquiualeant interni anguli figuræ cuiuslibet rectilineæ, quorum primus hic est.
OMNES anguli figuræ rectilineæ cuiusuis sunt æquales bis tot rectis angulis, quota ipsa est inter figuras rectilineas.
HOC est, omnes anguli primæ figuræ rectilineæ æquales sint bis uni recto, id est, duobus rectis; Anguli vero secundæ figuræ rectilineæ æquales sunt bis duobus rectis, nempe quatuor rectis; Anguli autem tertiæ figuræ rectilineæ æquales sunt bis tribus rectis, sex videlicet rectis. Et sic reliquis. Eum autem locum quælibet figura rectilinea obtinet inter figuras rectilineas, quem indicat numerus laterum, seu angulorum, dempto binario; quoniam duæ lineæ rectæ superficiem non concludunt, unde nec figuram constituunt, sed cum minimum tres rectæ lineæ ad figuræ constitutionem requiruntur. Ex quo fit triangulum, quia habet tria latera, totidemque angulos, esse primam inter rectilineas figuras. Nam binario dempto ex tribus, relinquitur unum. Sic erit figura habens 20. latera seu angulos, inter figuras rectilineas decimaoctaua, cum binarius subtractus ex 20. relinquat 18. Idem iudicium de aliis figuris est habendum. Itaque figura contenta 20. lateribus, cum sit decimaoctaua, habebit 20. angulos æquiualentes 36. rectis angulis, nempe bis 18. angulis rectis, ut dictum est. Ita quoque omnes 10. anguli figuræ 10. lateribus contentæ, æquiualebunt 16. angulis rectis, cum talis figura sit octaua inter rectilineas figuras. Hoc autem hac ratione demonstrabitur. Omnis figura rectilinea in tot triangula diuiditur, quota ipsa est inter figuras, seu quot ipsa habet angulos lateraue, binario dempto. Nam a quouis angulo ipsius ad omnes angulos oppositos duci possunt lineæ rectæ, solum ad duos propinques angulos non possunt duci. Quare in tot triangula distribuetur, quot ipsa habet angulos, demptis duobus illis angulis. Sic vides, triangulum non posse diuidi in alia triangula; quadrangulum vero in duo secari; quinquangulum in tria; sexangulum in quatuor, &c. Cum igitur anguli horum triangulorum constituant omnes angulos rectilineæ figuræ oppositæ, & omnes anguli cuiuslibet trianguli æquales sint duobus rectis; perspicuum est, omnes angulos figuræ cuiusuis rectilineæ æquales esse bis tot rectis, in quot triangula diuiditur, hoc est, quota ipsa est inter rectilineas figuras. Quod quidem manifeste perspicitur in propositis figuris.
Secundus modus, quo scitur valor angulorum cuiuslibet figuræ rectilineæ, hic est.
OMNES anguli figuræ rectilineæ cuiusuis, æquales sunt bis tot rectis angulis, demptis quatuor, quotipsa continet latera, seu angulos.
HOC est, anguli cuiuslibet trianguli æquales sunt bis tribus rectis, demptis quatuor, nempe duobus rectis. Ita etiam anguli figuræ continentis 20. latera æquiualebunt bis 20. angulis rectis, minus quatuor, nimirum 36. rectis angulis, &c. Demonstratio autem huius rei talis est. Si a quouis puncto intra figuram assumpto ad omnes angulos rectæ lineæ ducantur, efficientur tot triangula, quot latera, angulosue figura ipsa continet. Cum igitur anguli cuiuscunque trianguli æquales sint duobus rectis, erunt omnes anguli illorum triangulorum æquales bis tot rectis, quot latera figuram ambiunt. At anguli eorundem triangulorum circa punctum intra figuram assumptum consistentes non pertinent ad angulos figuræ rectilineæ propositæ, ut constat. Quare si hi auferantur, erunt reliqui triangulorum anguli constituentes angulos figuræ propositæ, bis quoque tot rectis æquales, demptis illis circa punctum assumptum constitutis, quot latera, vel angulos continet figura. Sunt autem illi anguli, quotquot sint, circa dictum punctum existentes æquales 4. rectis, ut collegimus ex propos. 15. Quamobrem anguli cuiusque figuræ bis tot rectis sunt æquales, ablatis quatuor, quot ipsa figura continet angulos, seu latera, quod est propositum.
EX hoc porro secundo modo liquet, si singula latera figuræ cuiusuis rectilineæ producantur ordinatim versus eandem partem, omnes angulos externos æquales esse quatuor rectis. Nam quilibet externus, & illi deinceps internus, æquantur duobus rectis; atque adeo omnes externi una cum omnibus internis æquales erunt bis tot rectis, quot latera, angulosue figura continet. Sunt autem & soli interni bis tot rectis æquales, minus quatuor, ut demonstrauimus. Si igitur interni auferantur, remanebunt externi quatuor tantum rectis æquales, qui nimirum desunt internis angulis, ut interni & externi simul bis tot rectos conficiant, quot latera figuram propositam ambiunt. Exemplum. In triangulo quouis, anguli interni & externi simul æquales sunt sex rectis. Cum igitur interni duobus sint rectis æquales, erunt soli externi æquales quatuor duntaxat rectis. In quadrilatero, anguli externi & interni simul æquales sunt octo rectis. Cum igitur interni soli æquales sint quatuor rectis, ut ostendimus, erunt & soli externi quatuor etiam rectis æquales. In pentagono, seu quinquangulo, anguli interni & externi sunt æquales 10. rectis. Quoniam vero interni adæquantur sex rectis, ut demonstrauimus, remanebunt externi æquales quatuor tantum rectis. Quæ omnia in appositis figuris conspiciuntur. Eademque est ratio in aliis omnibus figuris.
EX CAMPANO
SI pentagoni singula latera producantur in partem utramque, ita ut quælibet duo extra pentagonum coeant, efficientur quinque anguli ex lateribus coeuntibus æquales duobus solum rectis.
IN pentagono A B C D E, latera in utramque partem producta coeant in punctis F, G, H, I, K. Dico quinque angulos F, G, H, I, K, æquales tantum esse duobus rectis. In triangulo enim B H K, cum latus H B, sit protractum ad F, erit externus angulus F B K, duobus internis, & oppositis H, K, æqualis. Eadem ratione in triangulo A I G, erit externus angulus F A G, æqualis duobus internis, & oppositis I, G. Quare duo anguli F B A, F A B, æquales sunt quatuor angulis G, H, I, K. Addito igitur communi angulo F, erunt tres anguli A, B, F, trianguli A B F, æquales quinque angulis F, G H I K. Sed anguli A, B, F, trianguli A B F, æquales sunt duobus rectis. Igitur & quinque anguli F, G, H, I, K, duobus sunt rectis æquales. Quod est propositum.
COROLLARIVM I
EX hac propos. 32. colligitur, tres angulos cuiuslibet trianguli simul sumptos æquales esse tribus angulis cuiusque alterius trianguli simul sumptis: Quoniam tam illi tres, quam hi, æquales sunt duobus angulis rectis. Unde si duo anguli unius trianguli fuerint æquales duobus angulis alterius trianguli, erit & reliquus illius reliquo huius æqualis, æquiangulaque erunt ipsa triangula.
COROLLARIVM II
CONSTAT etiam, in omni triangulo Isoscele, cuius angulus lateribus æqualibus comprehensus rectus fuerit, quemlibet reliquorum esse semirectum; Nam reliqui duo simul conficiunt unum rectum, cum omnes tres sint æquales duobus rectis: & tertius ille ponatur rectus. Quare cum duo reliqui inter se sint æquales, erit quilibet eorum semirectus. At vero si angulus æqualibus lateribus contentus fuerit obtusus, quemlibet aliorum esse semirecto minorem. Reliqui enim duo simul minores erunt uno recto, &c. Si denique dictus angulus extiterit acutus, utrumque reliquorum maiorem esse semirecto. Quoniam reliqui duo simul maiores erunt uno recto.
COROLLARIVM III
PERSPICVVM quoque est, quemuis angulum trianguli æquilateri esse duas tertias partes unius recti, vel tertiam partem duorum rectorum. Duo enim anguli recti, quibus æquales sunt tres anguli trianguli æquilateri, diuisi in tres angulos, faciunt duas tertias partes unius recti.
COROLLARIVM IIII
LIQVET etiam, si ab uno angulo trianguli æquilateri perpendicularis ad latus oppositum ducatur, constitui duo triangula scalena, quorum unumquodque habet unum angulum rectum prope perpendicularem; alium duas tertias partes unius recti, illum scilicet, qui est, & angulus trianguli æquilateri; reliquum denique tertiam partem unius recti.
SCHOLION
PORRO ex tertio corollario depromi potest methodus, qua angulus rectus in tres angulos æquales diuidatur. Sit enim angulus rectus A B C. Super rectam A B, constituatur triangulum æquilaterum A B D. Et quia per corollarium 3. angulus A B D, facit duas tertias partes anguli recti A B C; erit angulus C B D, pars tertia eiusdem recti. Diuiso igitur angulo A B D, bifariam, per rectam B E, erit uterque angulus A B E, E B D, tertia quoque pars recti. Quare rectus angulus A B C, diuisus est in tres angulos æquales. Quod est propositum.
Complete text
Book I