Triangula igitur super eadem basi, & c.
Quod erat demonstrandum.
SCHOLION
CONVERSA huius propositionis demonstrabitur ab Euclide propos. 39. Porro ex hac propositione facile cum Proclo demonstrabimus: Triangula, quorum duo latera unius æqualia sint duobus lateribus alterius, utrumque utrique, & angulus unius illis lateribus contentus maior angulo alterius, aliquando esse æqualia, & aliquando inæqualia: Id quod ad propositionem 24. polliciti sumus. Sint enim duo triangula A B C, D E F, & latera A B, A C, æqualia lateribus D E, D F, & angulus A, maior angulo E D F, sintque primum hi duo angulis duobus rectis æquales. Dico triangula esse æqualia. Producatur enim E D, ad H, & F D, ad I; fiatque angulus E D G, æqualis angulo A, versus angulum acutum D F E. Nam semper alter angulorum D E F, D F E, acutus erit, cum ambo minores sint duobus rectis, & recta D G, rectæ D F, seu A C; ducanturque rectæ E G, G F, cadetque semper E G, supra F, ob angulum acutum D F E, ut ad finem scholii propositio 24 ostendimus. Quoniam igitur duo anguli A, & E D F, ponuntur æquales duobus rectis, & angulus E D G, æqualis factus est angulo A; erunt & anguli E D G, E D F, duobus rectis æquales: Sunt autem & anguli E D G, G D H, duobus rectis æquales. Igitur ænguli E D G, E D F, angulis E D G, G D H, æquales erunt. Quare ablato comumni angulo E D G, remanebit angulo E D F, æqualis angulus G D H: Est autem eidem angulo E D F, æqualis angulus H D I. Igitur & anguli G D H, H D I, æquales erunt; atque adeo angulus G D H, dimidium erit totius anguli G D I. Rursus quia latera D F, D G, sunt æqualia in triangulo D F G; erunt anguli D F G, D G F, æquales; qui cum æquales sint externo angulo G D I, erit uterlibet eorum, nempe D G F, dimidium anguli G D I: Ostensum est autem, angulum G D H, dimidium quoque esse eiusdem anguli G D I. Quare anguli G D H, D G F, æquales erunt. Et quia sunt alterni inter E H, F G; erunt E H, F G, parallela. Quamobrem triangula D E G, D E F, æqualia erunt, cum habeant eandem basin D E, sintque inter easdem parallelas D E, F G. Quoniam vero triangulum D E G, æquale est triangulo A B C, propterea quod latera D E, D G, æqualia sunt lateribus A B, A C, & angulo A, æqualis angulus E D G; erit & triangulum A B C, triangulo D E F, æquale, quod est propositum.
SINT deinde anguli A, & E D F, duobus rectis maiores. Dico triangulum A B C, quod maiorem habet angulum, minus esse triangulo D E F. Producatur enim E D, ad H, & F D, ad I; fiatque angulus E D G, æqualis angulo A, & recta D G, rectæ D F, seu A C, æqualis, ducanturque recta E G, G F. Quoniam igitur anguli A, & E D F, ponuntur maiores duobus rectis, erunt & anguli E D G, E D F, duobus rectis maiores: Sunt autem anguli E D G, G D H, æquales duobus rectis. Igitur anguli E D G, E D F, maiores sunt angulis E D G, G D H. Quare ablato communi E D G, remanebit angulus E D F, maior angulo G D H. Quoniam vero angulus E D F, angulo H D I, æqualis est, erit quoque H D I, maior quam G D H; atque adeo G D H, minor, quam dimidium anguli G D I. Rursus quia latera D G, D F, æqualia sunt: erunt anguli D F G, D G F, æquales: qui cum sint æquales externo G D I, erit uteruis eorum, nempe D G F, dimidium anguli G D I: Ostensum est autem, angulum G D H, minorem esse dimidio eiusdem G D I. Quare D G F, maior erit, quam G D H. Abscindatur exangulo D G F, angulus D G K, æqualis angulo alterno G D H. Erit ergo G K, parallela ipsi D E, secabitque G K, rectam, E F. Ducatur ex D, ad K, ubi G K, secat rectam E F, recta D K. Erit igitur triangulum D E G, æquale triangulo D E K. Quoniam autem triangulum D E G, æquale est triangulo A B C, propterea quod latera D E, D G, æqualia sunt lateribus A B, A C, & angulo A, angulus E D G, æqualis; erit & triangulum A B C, triangulo D E K, æquale. Cum igitur D E K, minus sit triangulo D E F; erit quoque A B C, triangulum triangulo D E F, minus. Quod est propositum.
SINT tertio anguli A, & E D F, duobus rectis minores. Dico triangulum A B C, quod maiorem habet angulum, maius esse triangulo D E F. Producatur E D, ad H, & F D, ad I; fiatque angulus E D G, æqualis angulo A, & recta D G, rectæ D E, seu A C; ducanturque rectæ E G, F G. Quoniam igitur anguli A, & E D F, ponuntur minores duobus rectis, erunt quoque anguli E D G, E D F, duobus rectis minores. Sunt autem anguli E D G, G D H, duobus rectis æquales. Igitur E D G, E D F, minores sunt, quam E D G, G D H; demptoque communi E D G, remanebit E D F, minor, quam G D H. Est autem E D F, æqualis ipsi H D I. Quare & H D I, minor erit, quam G D H; atque adeo G D H, maior est dimidio anguli G D I. Quoniam autcm D G F, dimidium est eiusdem anguli G D I, ut iam supra ostensum fuit; erit G D H maior, quam D G F. Fiat igitur angulus D G K, æqualis angulo G D H, ducta recta G K, quæ secabit rectam E F, protractam in K; & ducatur recta D K. Erit ergo, ut prius, G K, parallela ipsi D E; triangulumque D E G, triangulo D E K, æquale: Est autem iterum D E G, æquale ipsi A B C. Igitur & A B C, æquale est ipsi D E K. Quocirca cum D E K, maius sit, quam D E F; erit & A B C, maius, quam D E F. Quod demonstrandum erat.
EX his perspicuum est, cur Euclides in propos. 24. solum collegerit inæqualitatem basium, non autem triangulorum, ut ibidem admonuimus.
Complete text
Book I