Quamobrem, si parallelogrammum cum triangulo, &c.
Quod erat demonstrandum.
SCHOLION
HINC sequitur, si triangulum duplam habuerit basin, fueritque in eisdem parallelis cum parallelogrammo, triangulum parallelogrammo æquale fore. Nam si basis C D, producatur ad F, ut sit D F, æqualis ipsi C D, ducaturque recta F B, erit triangulum B C F, duplum trianguli B C D, quod triangula B C D, B D F, æqualia sint: Est autem & parallelogrammum A C D E, duplam eiusdem trianguli B C D. Igitur æqualia erunt triangulum B C F, & parallelogrammum A C D E.
IDEM hoc theorema Euclidis demonstrari potest eodem modo, si parallelogrammum, & triangulum æquales habuerint bases, & non eandem, fuerintque in eisdem parallelis, ut cernis in parallelogrammo A C D E, & triangulo B F G, quorum bases C D, F G, æquales sunt. Ducta enim diametro A D, in parallelogrammo, erunt triangula A C D, B F G, æqualia. Cum igitur parallelogrammum A C D E, duplum sit trianguli A C D: quod diameter A D, secet parallelogrammum A C D E, bifariam: erit quoque idem trianguli B F G, duplum. Eadem ratione si basis F G, duplicaretur, & recta ad B, duceretur, fieret triangulum parallelogrammo æquale, quoniam triangulum hoc esset duplum etiam trianguli B F G, &c.
CONVERSVM huius theorematis duplex est, hoc modo.
SI trianguli parallelogrammum duplum fuerit, eandemque habuerint basin, vel æquales, & ad easdem partes constituta; Erunt ipsa in eisdem parallelis. Et si parallelogrammum duplum fuerit trianguli, in eisdemque parallelis: erunt bases æquales, si non sit eadem.
SIT parallelogrammum A B C D, duplum trianguli E B C, siue eandem habeant basin, siue æquales. Dico parallelam A D, productam cadere in E, punctum. Nam alias cadet aut supra E, aut infra. Vnde, ut in 39. vel 40. propositio ostendetur pars æqualis toti, ut & figura indicat. Nam erit quoque parallelogrammum A B C D, trianguli B F C, vel B G C, duplum. Quare triangula E B C, F B C, vel triangula E B C, G B C, æqualia erunt, pars & totum. Quod est absurdum.
SIT deinde parallelogrammum A B C D, duplum trianguli E F G, in eisdemque parallelis. Dico bases B C, F G, esse æquales. Nam si altera, nempe B C, sit maior, abscissa æquali C H, & ducta H I, parallela ipsi A B, demonstrabimus parallelogramma A B C D, I H C D, esse æqualia, totum & partem; (quia utrumque duplum est trianguli E F G; illud quidem per hypothesin, hoc vero per 41. propositio) Quod est absurdum. Idem ostendemus si basis F G, maior dicatur. Si enim abscindatur ipsi B C, æqualis B H, ducaturque recta H E, erunt triangula E F H, E F G, æqualia, pars & totum; (Nam utrumque dimidium est parallelogrammi A B C D; Illud quidem per propositio 41. hoc vero per hpothesin.) Quod est absurdum.
EX PROCLO
SI triangulum, & trapezium super eadem basi, & in eisdem fuerint parallelis, maior autem linea parallela trapezii sit basis trianguli; erit trapezium minus duplo trianguli: Si vero minor linea parallela trapezii basis sit trianguli, erit trapezium maius duplo trianguli.
INTER lineas parallelas A E, B C, sint constituta trapezium A B C D, & triangulum E B C, super basim B C, eandem, quæ sit tamen maior, qua altera linea A D, parallela in trapezio dato. Dico trapezium A B C D, minus esse duplo trianguli E B C. Cum enim A D, minor ponatur quam B C, sumatur A F, æqualis ipsi B C, & ducatur recta C E, quæ erit parallela ipsi A B; atque adeo parallelogrammum erit A B C F, quod duplum est trianguli E B C. Quare trapezium A B C D, cum sit pars parallelogrammi, minus erit duplo eiusdem trianguli E B C, quod est propositum.
SINT rursus trapezium, & triangulum, ut prius, sed basis B C, sit minor, quam reliqua lineæ parallela A D, in trapezio dato. Dico trapezium A B C D, maius esse duple trianguli E B C. Cum enim A D, maior sit, quam B C, abscindatur D F, æqualis ipsi B C, & ducatur recta B F, quæ erit parallela ipsi C D; atque adeo parallelogrammum erit B C D F: quod duplum est trianguli E B C. Quare totum trapezium A B C D, quod superat parallelogrammum B C D F, maius erit duplo eiusdem trianguli E B C. quod est propositum.
IDEM concludetur, si trapezium, & triangulum constituta fuerint super æquales bases, ita tamen ut nunc quidem basis trapezii sit maior latere opposito parallelo, nunc vero minor.
TRAPEZIVM habens duo latera opposita parallela, duplum est trianguli, quod basin habet unum latus trapezii coniungens duas parallelas, verticem vero in medio puncto lateris oppositi.
SIT trapezium A B C D, cuius duo latera opposita A B, D C, sint parallela, & super basin B C, constituatur triangulum E B C, verticem E, habens in medio puncto E, lateris A D. Dico tiapezium A B C D, duplum esse trianguli E B C. Producatur enim unum latus trianguli ad verticem, nempe B E, donec coeat cum C D, protracto in F. Et quia parallelæ sunt A B, C F, erunt anguli alterni B A E, F D E, æquales: Sunt autem & anguli A E B, D E F, æquales, quippe qui ad verticem E; & latus A E, trianguli A B E, lateri D E, trianguli D E F, æquale, per hypothesin. Igitur & reliqua latera A B, B E, reliquis lateribus, D F, F E, æqualia erunt, utrumque utrique, & reliqui anguli A B E, D F E, æquales: atque idcirco triangula A B E, D F E, ex corollarium propositio 26. buius liber æqualia erunt. Quare addito communi triangulo C D E, erunt triangulo C E F, æqualia triangula simul A B E, C D E. Est autem & triangulum B C E, eidem triangulo C E F, æquale, quod bases B E, E F, ostensæ sint æquales, & ipsa triangula inter easdem sint parallelas, si per C, duceretur parallela ipsi B F. Igitur triangulum C B E, æquale erit triangulis A B E, C D E; & propterea C B E, triangulum dimidium erit trapezii A B C D, quod est propositum.
Complete text
Book I