You are here: BP HOME > BPG > Euclid: Elementa > fulltext
Euclid: Elementa

Choose languages

Choose images, etc.

Choose languages
Choose display
  • Enable images
  • Enable footnotes
    • Show all footnotes
    • Minimize footnotes
Search-help
Choose specific texts..
    Click to Expand/Collapse Option Complete text
Click to Expand/Collapse OptionTitle
Click to Expand/Collapse OptionPreface
Click to Expand/Collapse OptionBook I
Click to Expand/Collapse OptionBook ΙI
Click to Expand/Collapse OptionBook IΙΙ
Click to Expand/Collapse OptionBook IV
Click to Expand/Collapse OptionBook V
Click to Expand/Collapse OptionBook VI
Click to Expand/Collapse OptionBook VII
Click to Expand/Collapse OptionBook VIII
Click to Expand/Collapse OptionBook ΙΧ
Click to Expand/Collapse OptionBook Χ
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧI
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧIΙ
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧIΙΙ
Μςʹ 
Proposition 46. 
46 
الخامس والاربعون من المقالة الاولى 
atha ṣaḍcatvāriṃśattamaṃ kṣetram | 
第四十六題 
Ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τετράγωνον ἀναγράψαι. 
On a given straight line to describe a square. 
A data recta quadratum describere. 
نريد ان نبين كيف نعمل على خط مستقيم معلوم سطحا مربعا قائم الزاويا 
tatra ekasyāṃ rekhāyāṃ samakoṇaṃ caturbhujaṃ kṣetraṃ karttavyam asti | 
一直線上。求立直角方形。 
Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ: δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας τετράγωνον ἀναγράψαι. 
Let AB be the given straight line; thus it is required to describe a square on the straight line AB. 
Esto data recta AB. Oportet ergo ab AB recta tetragonum describere. 
فليكن الخط المفروض (ا ب) 
 
Ἤχθω τῇ ΑΒ εὐθείᾳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ σημείου τοῦ Α πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΓ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΔ:  καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ σημείου τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΕ, διὰ δὲ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΕ.  Παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ:  ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΒΕ.  ἀλλὰ ἡ ΑΒ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση:  αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΔ, ΔΕ, ΕΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν:  ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ παραλληλόγραμμον.  λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον.  ἐπεὶ γὰρ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΒ, ΔΕ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΔΕ γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.  ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ: ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΕ.  τῶν δὲ παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν:  ὀρθὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ἀπεναντίον τῶν ὑπὸ ΑΒΕ, ΒΕΔ γωνιῶν:  ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ.  ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον. 
Let AC be drawn at right angles to the straight line AB from the point A on it [I. 11], and let AD be made equal to AB;  through the point D let DE be drawn parallel to AB, and through the point B let BE be drawn parallel to AD. [I. 31]  Therefore ADEB is a parallelogram;  therefore AB is equal to DE, and AD to BE. [I. 34]  But AB is equal to AD;  therefore the four straight lines BA, AD, DE, EB are equal to one another;  therefore the parallelogram ADEB is equilateral.  I say next that it is also right-angled.  For, since the straight line AD falls upon the parallels AB, DE, the angles BAD, ADE are equal to two right angles. [I. 29]  But the angle BAD is right; therefore the angle ADE is also right.  And in parallelogrammic areas the opposite sides and angles are equal to one another; [I. 34]  therefore each of the opposite angles ABE, BED is also right.  Therefore ADEB is right-angled.  And it was also proved equilateral. 
Ducatur recte ABA puncto A quod in ipsa ad rectos recta AG. Iaceatque recte AB equalis recta AD.  Et per D quidem punctum recte AB equidistans ducatur recta DE. per B vero punctum recte AD equidistans ducatur recta BE.  Parallilogrammum ergo est ADEB.  Equalis ergo est recta quidem AB recte DE. Recta vero AD recte BE.  Verum recta AB recte AD est equalis.  Quattuor ergo que sunt BA et AD et DE et EB alternis sunt equales.  Equilaterum ergo est ADEB parallilogrammum.  Dico ergo quoniam et orthogonium.  Quoniam enim in equidistantes AB et DE recta incidit AD, anguli ergo BAD et ADE duobus rectis sunt equales.  Rectus vero angulus BAD, rectus ergo et ADE.  Parallilogrammorum vero spatiorum que ex adverso et latera et anguli alternis sunt equalia.  Rectus ergo et uterque eorum que ex adverso angulorum ABE et BED.  Orthogonium ergo est ADEB.  Demonstratum vero est et equilaterum. 
فنخرج من نقطة (ا) خطا على زاوية قائمة مساويا لخط (ا ب) كما بين ببرهان الشكل المضاف الى (يا) وليكن خط (ا ج)  ونخرج خط (ب د) موازيا لخط (ا ج) يلقى خط (ج د) على نقطة (د)  فسطح (ا ب ج د) متوازى الاضلاع  وببرهان (لد) فان السطوح المتوازية الاضلاع كل ضلعين منها يتقابلان او زاويتين تتقابلان فهما متساويان فضلع (ب د) مثل ضلع (ا ج)  وكنا اخررجنا ضلع (ا ج) مثل ضلع (ا ب)  فضلع (ب د) مثل ضلع (ا ب) وضلع ١٧٢ (ج د) مثل ضلع (ا ب)  فالاضلاع الاربعة متساوية  ...  وزاوية (د) مثل زاوية (ا)  وزاوية (ا) عملناها قائمة فزاوية (د) قائمة  وزاوية (ب) مثل زاوية (ج) وعملنا زاوية (ج) قائمة  فزاوية (ب ا د) قائمة فالزاويا الاربع كل واحدة منها قائمة  فسطح (ا ب ج د) متساوى الاعضلاع قائم الزاويا   
yathā abarekhāyāṃ acihnāt abatulyaḥ ajalambaḥ kāryaḥ |  bacihnāt ajarekhāsamānāntarā abatulyā badarekhā kāryā | jadarekhā saṃlagnā kāryā |          adacaturbhujaṃ samānāntarabhujaṃ samabhujaṃ samakoṇaṃ jātaṃ |  1              
Τετράγωνον ἄρα ἐστίν: καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας ἀναγεγραμμένον:  ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. 
Therefore it is a square; and it is described on the straight line AB.  Q. E. F. 
Tetragonum ergo est. Et est ab AB recta descriptum.  Quod oportet facere. 
فقد عملنا على خط (ا ب) سطحا مربعا قائم الزاويا  وذلك ما اردنا ان نبين 
  idam evāsmākam abhīṣṭam | 
 
Go to Wiki Documentation
Enhet: Det humanistiske fakultet   Utviklet av: IT-seksjonen ved HF
Login