Therefore the given rectilineal angle BAC has been bisected by the straight line AF.
Q. E. F.
ideoque angulus B A C, diuisus bifariam,
quod erat faciendum.
SCHOLION
QUOD si loco trianguli æquilateri construamus triangulum Isosceles, nihilo minus idem demonstrabimus. Id quod etiam in proximis tribus propositionibus, quæ sequuntur, fieri potest.
PRAXIS
DICTO citius angulus quilibet rectilineus, ut B A C, bifariam secabitur, hoc modo. Ex centro A, circino aliquo abscindantur rectæ æquales A D, A E, cuiuscunque magnitudinis. Et circino non variato (posses tamen ipsum variare, si velles) ex centris D, & E, describantur duo arcus secantes sese in F. Recta igitur ducta A F, secabit angulum B A C, bifariam. Si enim ducerentur rectæ D F, E F, essent hæ æquales, nempe semidiametri circulorum æqualium. Unde ut prius demonstrabitur, angulum D A F, æqualem esse angulo E A F. Non descripsimus autem dictas lineas, ut nudæ praxis haberetur. Id quod in aliis quoque praxibus, quoad eius fieri poterit, obseruabimus, ne linearum multitudo tenebras nobis offundat, pariatque confusionem.
SCHOLION
HINC aperte colligitur, angulum rectilineum quemvis diuidi posse etiam in 4. angulos æquales, in 8. in 16. in 32. in 64. & ita deinceps, semper procedendo per augmentum duplex. Nam postquam angulus quilibet rectilineus in duos æquales angulos fuerit diuisus, si horum uterque iterum bifariam secetur, habebimus 4. angulos æquales; Quod si singuli rursus diuidantur bifariam, obtinebimus 8. angulos æquales, & sic deinceps; Non docuit autem Euclides usquam, quanam ratione angulus rectilineus in quotvis partes æquales possit diuidi, quia id a nemine usque ad illum diem fuerat demonstratum. Ex Pappo tamen Alexandrino nos id docebimus, beneficio cuiusdam lineæ curvæ, vel inflexæ, ad finem lib. 6. Interim vero, si quis angulum rectilineum quemcunque propositum in quotvis partes æquales diuidere desideret, rudi, ut dicitur, Minerva, uti eum necesse erit circino, ut quasi attentando, & sæpius repetendo praxim ipsam ad finem desideratum perveniat; hac nimirum ratione. Sit angulus rectilineus B A C, diuidendus in 5. angulos æquales. Ex A, centro describatur arcus circuli B C, ad quodcunque intervallum, secans rectas A B, A C, in B, & C. Deinde hic arcus beneficio circini (eius crura modo dilatando magis, modo restringendo, donec debitam habeant distantiam) diuidatur in tot partes æquales, in quot angulus propositus est diuidendus, ut in exemplo proposito in quinque partes in punctis D, E, F, G. Si namque ad hæc puncta ex A, rectæ ducantur lineæ, diuisus erit angulus B A C, in quinque æquales angulos. Cum enim circino sumpta sint æqualia interualla B D, D E, &c. si ducantur rectæ B D, D E, &c. erunt hæ omnes inter se æquales. Quare erunt duo latera B A, A D, trianguli B A D, æqualia duobus lateribus E A, A D, trianguli E A D, utrumque utrique, cum omnia ex centro egrediantur ad circumferentiam usque. Basis autem B D, basi quoque D E, ut dictum fuit, æqualis est: Angulus igitur B A D, angulo E A D, æqualis existet; Eademque ratione demonstrabitur, angulum E A D, angulo E A F, æqualem esse, & sic de cæteris. Brevius autem colligetur, omnes angulos ad A, esse inter se æquales, ex 27. propositio tertii lib. propterea quod circumferentiæ B D, D E, &c. acceptæ sunt omnes æquales inter sese. Nemo vero miretur, quod praxes exhibeamus interdum, quarum demonstrationes ex sequentibus propositionibus pendent. Hoc enim, ut supra ad defin. 10. diximus, eo consilio facimus, ut quoad eius fieri potest, singula propriis in locis tractentur, diuisio nimirum anguli rectilinei cuiusvis in quotlibet partes æquales eo in loco, in quo Euclides docet diuisionem eiusdem anguli in duas partes æquales. Et diuisio lineæ rectæ in quotuis partes æquales, ubi eandem diuidit Euclides bifariam, & ita de singulis. Neque enim ad praxes huiusmodi requiruntur semper sequentes demonstrationes, sed solum, ut probetur recte esse per ipsas effectum, quod imperabatur. Quamobrem is, qui non contentus nuda praxi demonstrationem requirit, poterit regredi ad praxin quamlibet, postquam demonstrationes ad eam necessarias diligenter perceperit. Nam semper propositiones illas, quæ ad hanc rem debent adhiberi, citabimus in demonstrationibus nostrarum praxium; quemadmodum & in proxima praxi citavimus propositionem 27, tertii libri.
Complete text
Book I