Omnis ergo trianguli maior angulus maiori lateri subtenditur;
Quod demonstrandum proponebatur.
EX PROCLO
POSSVMVS hoc idem theorema ostendere affirmatiua demonstratione, sine adminiculo præcedentis, si tamen prius demonstretur hoc sequens theorema.
SI trianguli angulus bifariam sectus fuerit, secansque angulum recta linea ad basin ducta in partes inæquales ipsam diuidat; Latera illum angulum continentia inæqualia erunt, & maius quidem illud, quod cum maiori basis segmento coincidit, minus vero, quod cum minori.
TRIANGVLI A B C, angulus B A C, diuidatur bifariam per rectam A D, quæ secet basin B C, in partes inæquales, maiusque segmentum sit D C. Dico latus A C, maius esse latere A B. Producatur enim A D, ad E, ut sit D E, æqualis ipsi A D. Deinde ex maiori segmento D C, auferatur recta D F, æqualis minori segmento D B, & per F, ex E, extendatur recta E F G. Quoniam igitur latera A D, D B, trianguli A D B, æqualia sunt lateribus E D, D F, trianguli E D F, utrumque utrique, per constructionem; sunt autem & anguli A D B, E D F, dictis lateribus contenti æquales: Erunt bases A B, & E F, æquales, & angulo B A D, angulus E F D, æqualis: Est vero & angulus C A D, angulo B A D, æqualis, per hypothesin: Igitur anguli C A D, G E A, trianguli A G E, æquales erunt, ideoque latera A G, E G, æqualia erunt. Est autem recta A C, maior quam A G: quare & A C, maior erit, quam E G. Et quia E G, maior est, quam E F, erit & A C, multo maior, quam E F. Cum igitur demonstratum sit rectam E F; æqualem esse rectæ A B, erit A C, latus maius latere A B, quod erat ostendendum.
HOC ostenso theoremate, ita propositio 19. demonstrabitur. In triangulo A B C, angulus A B C, maior sit angulo C. Dico latus A C, maius esse latere A B. Divia enim recta B C (super quam constituti sunt dicti anguli inæquales) bifariam in D, ex A per D, extendatur recta A D F, ut sit D E, æqualis ipsi A D: ducaturque recta B E. Quoniam igitur latera A D, D C, trianguli A D C, æqualia sunt lateribus E D, D B, trianguli E D B, utrumque utrique, per constructionem, sunt autem & anguli A D C, E D B, dictis comprehensi lateribus æquales: Erunt bases A C, & B E, æquales, angulusque A C D, angulo E B D, æqualis: Et quia angulus A C D, ponitur esse minor angulo A B C, erit & angulus E B D, minor eodem angulo A B C. Ideoque angulus A B E, per rectam B D, diuidetur in partes inæquales. Si igitur bifariam secetur per rectam B F, cadet B F, supra E D, eo quod angulus A B D, maior sit angulo E B D. Quia vero E F, maior est quam E D, & E D, posita est aqualis ipsi A D, erit E F maior quam A D. Sed adhuc A D, maior est quam A F. Multo igitur maior erit E F, quam A F. Itaque quia recta B F, diuidens angulum A B E, bifariam, secat basin A E, inæqualiter in F, estque maius segmentum E F, minus autem A F; erit per theorema a Proclo proxime demonstratum, latus B E, maius latere A B. Ostensum est autem B E, æquale esse lateri A C. Igitur & A C, latus latere A B, maius erit. Quod erat demonstrandum.
SCHOLION
HAEC propositio 19. conuersa est propositionis 18. ut perspicuum est. Campanus autem duarum istarum propositionum ordinem prorsus inuertit, ita ut ea, quæ apud nos est 18. apud ipsum sit 19. & contra. Quarum utramque ostendit ducendo ad id, quod fieri nequit, cum tamen Euclides propositionem 18. directe & ostensiue confirmauerit, ut ex dictis liquido constat.
POTERIMVS quoque theorema a Proclo demonstratum conuertere, hocmodo.
SI trianguli duo latera inæqualia fuerint, linea recta bifariam diuidens angulum ipsis contentum, secabit basin in partes inæquales, maiusque segmentum erit prope maius latus.
DVO latera A B, A C, trianguli A B C, sint inæqualia; A C, maius, & A B, minus. Recta autem A D, diuidens angulum B A C, bifariam, secet basin B C, in D. Dico segmentum D C, maius esse segmento D B. Si enim non est maius, erit vel æquale, vel minus. Si dicatur esse æquale; producatur A D, ad E, ut D E, æqualis sit ipsi D A, ducaturque recta E C. Quoniam igitur latera A D, D B, æqualia sunt lateribus E D, D C, utrumque utrique; A D, videlicet ipsi E D, per constructionem, & D B, ipsi D C, per hypothesin aduersarii. Sunt autem & anguli ad D, dictis lateribus contenti æquales: erit basis A B, basi E C, æqualis & angulo B A D, angulus C E D. Positus autem est & angulo B A D, angulus C A D, æqualis. Igitur & anguli C E D, C A D, æquales erunt. Ideoque latus A C, lateri E C, æquale. Cum igitur ostensum sit, lateri E C, æquale esse quoque latus A B, erunt latera A C, A B, æqualia; quod est absurdum, quia A C, maius ponebatur, quam A B. Non erit igitur segmentum D C, segmento D B, æquale. Quod si D C, dicatur esse minus, & D B, maius; erit per theorema Procli, latus A B, maius latere A C. Ponebatur autem minus, quod multo magis est absurdum. Non igitur minus erit D C, quam D B. Quare erit necessario maius.
EODEM modo demonstrari poterit hoc theorema.
SI trianguli angulum recta linea bifariam diuidens, basin bifariam quoque secet, erunt duo latera angulum continentia inter se æqualia: Quod si latera æqualia fuerint, basin etiam bifariam secabit linea recta, quæ angulum bifariam diuidit.
PRIMO recta A D, secans angulum B A C, bifariam diuidat quoque basin B C, in D, bifariam. Dico latera A B, A C, inter se æqualia esse. Hoc autem demonstrabimus eadem ratione, qua in præcedenti theoremate ostensum fuit, latus A C, æquale esse lateri A B, si D C, segmentum segmento D B, æquale ponatur, dummodo figuram eodem modo construas. Cum enim latera A D, D B, æqualia sint lateribus E D, D C, & anguli ad D, dictis lateribus contenti æquales; erunt bases A B, E C, æquales, & angulus C E D, angulo B A D, hoc est, angulo C A D, æqualis. Quare A C, æquale erit ipsi E C, hoc est, ipsi A B.
SECVNDO sint latera A B, A C, æqualia, & recta A D, secans basin B C, in D, diuidat angulum B A C, bifariam. Dico segmentum D C, æquale esse segmento D B. Cum enim latera A D, A B, æqualia sint lateribus, A D, A C, utrumque utrique, & anguli quoque ad A, contenti dictis lateribus æquales per hypothesim, erunt bases B D, D C, æquales.
Complete text
Book I