You are here: BP HOME > BPG > Euclid: Elementa > fulltext
Euclid: Elementa

Choose languages

Choose images, etc.

Choose languages
Choose display
  • Enable images
  • Enable footnotes
    • Show all footnotes
    • Minimize footnotes
Search-help
Choose specific texts..
    Click to Expand/Collapse Option Complete text
Click to Expand/Collapse OptionTitle
Click to Expand/Collapse OptionPreface
Click to Expand/Collapse OptionBook I
Click to Expand/Collapse OptionBook ΙI
Click to Expand/Collapse OptionBook IΙΙ
Click to Expand/Collapse OptionBook IV
Click to Expand/Collapse OptionBook V
Click to Expand/Collapse OptionBook VI
Click to Expand/Collapse OptionBook VII
Click to Expand/Collapse OptionBook VIII
Click to Expand/Collapse OptionBook ΙΧ
Click to Expand/Collapse OptionBook Χ
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧI
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧIΙ
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧIΙΙ
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ 
THE ELEMENTS 
In nomine patris et filii et spiritus sancti. Amen. INCIPIT LIBER EUCLIDIS 
كتاب اوقليدس الفيثاغورى
نقل اسحق بن حنين شرح ابى العباس النريزى 
تحرير اقليدوس
ترجمه علامه شيرازى 
(3,1) atha rekhāgaṇitaṃ prārabhyate |
tatrāsmin granthe pañcadaśādhyāyā aṣṭasaptatyuttaracatuḥśataṃ kṣetrāṇi (2) santi
幾何原本 
 
(Or rather too much!) 
 
بسم الله الرحمن الرحيم
الحمد لله رب العالمين وصلى الله على محمد واله اجمعين
هذا كتاب اوقليدس المختصر فى علم الاصول المقدمة لعلم المساحة كتقديم علم حروف المعجم التى هى اصول الكتابة لعلم الكتاباة
وهو الكتاب الذى كان يحيى بن خلد بن برمك امر بتفسيره من اللسان الرومى الى اللسان العربى فى هلافة الرشيد ةرون ابن المهدي امير المومنين على طدى الحجاج بن يوسف مطر
فلما افضى الله بحلافته الى الامام المامون عبد الله بن هرون امير امير المومنين وكان بالعلم مفرما وللحكمة موثرا وللعلمآء مقربا واليهم محسنا راى الحجاج بن يوسف ان يتقرب اليه بتثقيف هذا الكتاب وايجازه واختصاره
فلم يدعْ فيه فضال الاحذفه ولا خلال الا سده ولا عيبا الا اصلحه واحكمه حتى ثقفه وايقنه واوجزه واختصره على ما فى هذه النسخة لاهل الفهم والعناية .. العلم من غير ان يغير من معانيه شيا وترك النسحة الاولى على حالها للعمة
ثم شرحه ابو العباس الفضل بن حاتم النريزى وهدب من الفاظه وزاد فى كل فصل من كلام اوقليدس ما يليق به ٦ من كلام غيره من المهندسين المتقدمين ومن كلام من شرح كتاب اوقليس منهم
وعلم هذا الكتاب مقدمة لعلم كتاب بطلميوس الكبير فى حساب النجوم ومعرفة الاوتار التى تقع على قسى قطع الدوائر من افلاك الكواكب التى يسميها المنجمون الكردجات لتعديل مسير الكواكب التى الطول والعرض وسرعتها وابطائها واستقامتها ورجوعها وتشريقها وتغريبها ومساقط شعاعها وعلم ساعات الليل والنهار ومطالع البروج واختلاف ذلك فى اقاليم الارض وحساب القران والاستقبال وكسوف الشمس والقمر واختتلاف النظر اليهما من آفاق الارض فى جميع نواحى السماء وغير ذلك الذى يقال له المجسطى
فمن نظر فى هذا الكتاب فى علم حذه الاصول التى فيه سهل عليه العلم بما في كتاب المجسطى حتى يحيط به علما ان شاء الله ومن لم ينظر فيه ولم يعلمْه لم يعلم ما فى المجسطى الا علم رواية وتقليل امعة
فاما علم احاطة فلا سبيل الى ذلك الا بعلم هذه الاصول وبالله لا شريق له التوفيق.
قال اوقليدس ان الاسباب التى منها يكون العلم وبمعرفتها يحاط بالمعلوم هى الخبر والمثال والخلف والترتيب والفصل والبرهان ٨ والتمام.
اما الخبر فهو الاخبار المقدم عن جملة التفسير واما المثال فهو صور الاجسام والاشكال المخبر عبها المدلول بصفتها على معنى الخبر واما الخلف فحو خلاف المثال وصرف الخبر الى ما لا يمكن واما الترتيب فهو تاليف العمل المتفق الى مراتبه فى العلم واما الفصل فهو فصل ما بين الخبر الممكن وغير الممكن واما البرهان فهو الحجة على تحقيق الخبر واما التمام فهو تمام العلم بالمعلوم التابع لجميع ما ذكرنا. 
śrī gaṇeṣāya namaḥ
śrīlakṣmīnṛsiṃhāya namaḥ ||
gaṇādhipaṃ surārcitaṃ samastakāmadaṃ nṛṇāṃ |
praśastabhūtibhūṣitaṃ smarāmi vighnavāraṇam ||1||
lakṣmīnṛsiṃhacaraṇāmburuhaṃ sureśair
vandyaṃ samastajanasevitareṇugandham |
vāgdevatāṃ nikhilamohatamopahantrīṃ
vande guruṃ gaṇitaśāstraviśāradaṃ ca ||2||
śrīgovindasamāhvayādivibudhān vṛṇdāṭavīnirgatān
yas tatraiva nirākulaṃ śucimanobhāvaḥ svabhaktyānayat |
mlecchān mānasamunnatān svatarasā nirjitya bhūmaṇḍale
jīyāc chrījayasiṃhadevanṛpatiḥ śrirajarājeśvaraḥ ||3||
karaṃ janārdanaṃ nāma dūrīkṛtya svatejasā |
bhrājate duḥsaho ’rīṇāṃ yathā graiṣmo divākaraḥ ||4||
yeneṣṭaṃ vājapeyādyair mahādānāni ṣoḍaśa |
dattāni dvijavaryebhyo gogrāmagajavājinaḥ ||5||
tasya śrījayasiṃhasya tuṣṭyai racayati sphuṭam |
dvijaḥ samrāḍ jagannātho rekhāgaṇitam uttamam ||6||
apūrvaṃ vihitaṃ śāstraṃ yatra koṇāvabodhanāt |
kṣetreṣu jāyate samyagvyutpattir gaṇite yathā ||7||
śilpaśāstram idaṃ proktaṃ brahmaṇā viśvakarmaṇe |
pāramparyavaśād etad āgataṃ dharaṇītale ||8||
tadvicchinnaṃ mahārājajayasiṃhājñayā punaḥ |
prakāśitaṃ mayā smayag gaṇakānandahetave ||9|| 
(The prefaces and translations of Clavii introductions into Chinese have not been included, but can be accessed from the resource page as e-text and image. The Definitions start here
ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ α῾ 
BOOK I. 
... 
مقالة اول
جهل وهفت شكلست و در نسخه ثابت جهل وهشت بزيادت يك شكل و ان شكل مه است 
tatra prathamādhyāyo ’ṣṭacatvāriṃśat kṣetrāṇi pradarśyante || 
幾何原本第一卷之首界說三十六公論十九求作四
泰西利瑪竇口譯
吳淞徐光啟筆受 
ΟΡΟΙ 
DEFINITIONS. 
[Definitiones] 
... 
حدود 
(3) tatra ādau paribhāṣā | 
界說三十六則
凡造論。先當分別解說論中所用名目。故曰界說。
凡歷法、地理、樂律、算章、技藝、工巧諸事。有度、有數者。皆依賴十府中。幾何府屬。凡論幾何。先從一點始。自點引之為線。線展為面。面積為體。是名三度。 
α῾ Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν. 
1. A point is that which has no part. 
Punctus est cuius pars nulla. 
النقطة هى شى لا جزء له
قال النريزى قال--- قيوس النقطة هى مبدأ المقادير ومنشأها وهى وحدة غير متجزـية ذات وضع ----------------------- 
،نقطه جیزی است کی او را جزء نباشد یعنی از جیزهایی کی قابل اشارت حسی باشد 
(4) yaḥ padārtho darśanayogyo vibhāgānarhaḥ sa binduśabdavācyaḥ | 
第一界
點者、無分。
無長短、廣狹、厚薄。如下圖。 凡圖十干為識。 干盡用十二支。 支盡用八卦八音。 
β῾ Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές. 
2. A line is breadthless length. 
Linea vero longitudo sine latitudine. 
... 
و خط طولیست کی او را عرض نباشد 
(5) yaḥ padārtho dīrgho vistārarahito vibhāgārhaḥ sa rekhāśabdavācyaḥ | (see 3,6) (7) atha rekhāpi dvividhā | eka saralā anyā vaktrā | 
第二界
線、有長無廣。
試如一平面。光照之。有光無光之間。不容一物。是線也。眞平眞圜相遇。其相遇處止有一點。行則止有一 線。線、有直、有曲。 
γ῾ Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα. 
3. The extremities of a line are points. 
Linee autem termini puncta. 
... 
،و بنقطه منتهی شود 
Cf. next record 
第三界
線之界、是點。凡線有界者。兩界必是點。 
δ῾ Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ᾽ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται. 
4. A straight line is a line which lies evenly with the points on itself. 
Recta linea est que ex equo eis que in ipsa punctis iacet. 
... 
،و خط مستقیم خطی بود کی جمله نقطهایی کی برو فرض کنند بر محاذات یکدیکر باشند 
(8) atha saralarekhālakṣaṇam | (9) yasyāṃ nyastā bindavo ’valokitāḥ santa ekabindunācchāditā iva (10) dṛśyate sā saralā rekhā jñeyānyathā kuṭilā
第四界
直線止有兩端。 兩端之間。 上下更無一點。
兩點之間。 至徑者直線也。 稍曲則繞而長矣。 直線之中。 點能遮兩界。 凡量遠近、皆用直線。甲乙丙是直線。甲丁丙、甲戊丙、甲己丙皆是曲線。 
ε῾ Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει. 
5. A surface is that which has length and breadth only. 
Superficies vera est quod longitudinem et latitudinem solam habet. 
... 
و سطح و انرا بسیط نیز خوانند انست کی او را طول و عرض باشد 
(6) yac ca vistāradairghyābhyāṃ bhidyate tad dharātalakṣetrasaṃjñaṃ bhavati | 
第五界
面者止有長有廣。
一體所見為面。凡體之影極似於面。 無厚之極。想一線橫行、所留之迹卽成面也。 
ς῾ Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί. 
6. The extremities of a surface are lines. 
Superficiei autem termini linee. 
... 
،محسب1 و بخط منتهی شود 
Cf. next record 
第六界
面之界是線。 
ζ῾ Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ᾽ ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται. 
7. A plane surface is a surface which lies evenly with the straight lines on itself. 
Plana superficies est que ex equo eis que in ipsa rectis iacet. 
... 
و سطح مستوی ان بود کی جمله خطوط مستقیم کی برو فرض کنند بر محاذات  یکدیکر باشد 
(11) atha dharātalalakṣaṇam api dvividham | (12) ekaṃ jalavat samaṃ dvitīyaṃ viṣamaṃ | tad yathā | bindūn likhitvā (13) sūtraṃ niḥsārayet tad yadi sarvatra saṃlagnaṃ syāt tadā tad dharātalaṃ (14) samaṃ jñeyam anyathā viṣamam
第七界
平面一面平在界之內。
平面中間線能遮兩界。平面者。 諸方皆作直線。試如一方面。 用一直繩施於一角。 繞面運轉。 不礙不空。 是平面也。若曲面者。 則中間線不遮兩界。 
η῾ Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ᾽ εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις. 
8. A plane angle is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line. 
Planus autem angulus est in plano duarum linearum contingentium se alternatim et non in directo linee iacentium ad invicem linearum inclinatio. 
... 
 و زاویه مسطحه موضع انحداب سطحی باشد کی واقع بود میان دو خط کی متصل شده باشند بر یک نقطه بی انک یک خط کشته باشند 
(15) atha koṇalakṣaṇam | (16) dharātale rekhādvayayogāt sūcy utpadyate saiva koṇaḥ | (17) sa ca dvividhaḥ samo viṣamaś ca | tau yathā | (see 3,17-18) (4,1) (see 4,2) (2) (see 4,1) (3) samātirikto viṣamakoṇo bhavati | 
第八界
平角者。 兩直線於平面縱橫相遇交接處。
凡言甲乙丙角。 皆指平角。
如上甲乙丙二線。平行相遇。 不能作角。
如上甲乙,乙丙二線。 雖相遇。 不作平角。 為是曲線。所謂角。 止是兩線相遇。 不以線之大小較論。] 
θ῾ Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύγραμμος καλεῖται ἡ γωνία. 
9. And when the lines containing the angle are straight, the angle is called rectilineal. 
Quando vera continentes angulum recte fuerint, rectilineus vocatur angulus. 
... 
و زاویه بعضی مستقیمه الخطین باشند و بعضی غیران 
(4) iha samakoṇaḥ saralarekhābhyām eva bhavati | (5) viṣamakoṇaḥ saralarekhābhyāṃ saralakuṭilarekhābhyāṃ kuṭilarekhābhyāṃ ca (6) bhavati. 
第九界
直線相遇作角。為直線角。
平地兩直線相遇。為直線角。本書中所論止是直線角。但作角有三等。今附蓍於此。
一直線角。二曲線角。三雜線角。 如下六圖。(p. 五) 
ι῾ Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ᾽ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ᾽ ἣν ἐφέστηκεν. 
10. When a straight line set up on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is right, and the straight line standing on the other is called a perpendicular to that on which it stands. 
Quando autem recta linea stans super rectam eos qui deinceps angulos equales alternis facit, rectus est uterque equalium angulorum, et recta superstans cathetus appellatur in eam cui superstat. 
... 
و زاویه قایمه یکی از دو زاویه متساوی باشد کی حادث شده باشند از دو جانب خطی مستقیم کی قایم شده باشد بر مثل خویش و ان خط قایم را عمود خوانند 
samānarekhāyāṃ lambayogā(18)d utpannau koṇau pratyekaṃ samakoṇau bhavataḥ rekhe ca mitho lambarūpe staḥ | 
第十界
直線垂於橫直線之上。若兩角等。必兩成直角。而直線下垂者。謂之橫線之垂線。
量法。常用兩直角。及垂線。垂線加於橫線之上。必不作說角及鈍角。
若甲乙線至丙丁上。則乙之左右作兩角相等。為直角。而甲乙為垂線。
若甲乙為橫線。則丙丁又為甲乙之垂線。何者。丙乙與甲乙相遇。雖止一直角。然甲線若垂下過乙。則丙線上下定成兩直角。所以丙乙亦為甲乙之垂線。如今用矩尺。一縱一橫。互相為直線。互相為垂線。凡直線上有兩角相連是相等者。定俱直角。中間線為垂線。
反用之。若是直角。則兩線定俱是垂線。 
ια῾ Ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς. 
11. An obtuse angle is an angle greater than a right angle. 
Obtusus angulus est qui maior recto. 
... 
و زاویه حاده انست کی کوجکتر باشد از قایمه2  
(2)samakoṇādhiko ’dhikoṇo bhavati 
第十一界
凡角大於直角。為鈍角。
如甲乙丙角與甲乙丁角不等。而甲乙丙大於甲乙丁。則甲乙丙為鈍角。(p. 六) 
ιβ῾ Ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς. 
12. An acute angle is an angle less than a right angle. 
Acutus vero qui minor recto. 
... 
و منفرجه انک بزرکتر خواه مستقیمه الخطین باشند و خواه نی3  
(1)tatra samakoṇān nyūno ’lpakoṇo bhavati 
第十二界
凡角小於直角。為銳角。
如前圖甲乙丁是。
通上三界論之。直角一而已。鈍角銳角。其大小不等。乃至無數。
是後凡指言角者。俱用三字為識。其第二字。卽所指角也。 如前圖甲乙丙三字。第二乙字。卽所指鈍角。若言甲乙丁。卽第二乙字。是所指銳角。 
ιγ῾ Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας. 
13. A boundary is that which is an extremity of anything. 
Terminus est quod alicuius est finis. 
... 
حد نهایتست 
 
第十三界
界者。一物之始終。
今所論有三界。點為線之界。線為面之界。面為體之界。體不可為界。 
ιδ῾ Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον. 
14. A figure is that which is contained by any boundary or boundaries. 
Figura est quod sub aliquo vel aliquibus terminis continetur. 
... 
و شکل جیزی است کی یک حد یا بیشتر باو محیط باشد 
(7) atha kṣetralakṣaṇam | (8) tatra dharātale rekhayā rekhābhyāṃ rekhābhir vā vṛttaṃ kṣetrasaṃjñaṃ bhavati |
(9) tac ca vṛttakodaṇḍatryasracaturasrādibhedena bahubhedaṃ jñeyam | 
第十四界
或在一界、或在多界之間。為形。
一界之形。如平圜、立圜等物。多界之形。如平方、立方、及平立、三角、六、八角等物。 圖見後卷。 
ιε῾ Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ᾽ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. 
15. A circle is a plane figure contained by one line such that all the straight lines falling upon it from one point among those lying within the figure are equal to one another; 
Circulus est figura plana sub una linea contenta que vocatur periferia ad quam ab uno punctorum intra figuram iacentium omnes accidentes recte eque sibi invicem sunt. 
... 
دایره شکلی است مسطح کی یک خط باو محیط باشد و در اندرون او نقطه باشد کی جمله خطوط مستقیم کی از ان نقطه بان خط کشند متساوی باشند و ان خط محیط دایره باشد 
(10) atha vṛttalakṣaṇam | (11) samadharātale binduṃ kṛtvā tasmāt samāni sūtrāṇi sarvataḥ kṛtvā (12) cakrākārā kuṭilā rekhā kāryā sā samānāntareṇa bindutaḥ sūtrāṇāṃ (13) sparśe kariṣyati saiva vṛttasaṃjñā bhavati | (14) tadākrāntaṃ dharātalaṃ vṛttakṣetraṃ bhavati | 
第十五界
圜者一形於平地居一界之間。自界至中心作直線俱等若甲乙丙為圜。丁為中心。則自甲至丁、與乙至丁、丙至丁其線俱等。(p. 七)外圜線為圜之界。內形為圜。
一說。圜是一形。乃一線屈轉一周。復於元處所作。如上圖甲丁線轉至乙丁。乙丁轉至丙丁。丙丁又至甲丁。復元處其中形卽成圜。 
ις῾ Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται. 
16. And the point is called the centre of the circle. 
Centrum vero circuli punctus appellatur. 
... 
و ان نقطه مرکز او 
(5,1) binduś ca kendrasaṃjñaḥ | 
第十六界
圜之中處。為圜心。。 
ιζ῾ Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ᾽ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον. 
17. A diameter of the circle is any straight line drawn through the centre and terminated in both directions by the circumference of the circle, and such a straight line also bisects the circle. 
Diametros vero circuli est recta quedam per centrum ducta atque terminata in utrasque partes circuli periferia que et in duo equa secat circulum. 
... 
و خطی مستقیم کی بر مرکز کذشته باشد و در هر دو جهت بمحیط رسیده قطر او و قطر دایره را بدونیم کند 
(2) kendroparigataṃ sūtram ubhayataḥ pālisaṃlagnaṃ vyāsasaṃjñaṃ syāt | (3) vyāsasūtraṃ vṛttakṣetrasya samānaṃ bhāgadvayaṃ karoti | 
第十七界
自圜之一界作一直線。過中心至他界。為圜徑。徑分圜兩平分。
甲丁乙戊圜。自甲至乙、過丙心、作一直線。為圜徑。 
ιη῾ Ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ᾽ αὐτῆς περιφερείας. κέντρον δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν. 
18. A semicircle is the figure contained by the diameter and the circumference cut off by it. And the centre of the semicircle is the same as that of the circle. 
Semicirculus est figura contenta sub diametro et deprehensa sub ipsa periferia. Portio circuli est figura contenta sub recta et circuli periferia vel maiore vel minore semicirculo. 
... 
و با هر یکی از دو نصف محیط محیط شود بنصفی از دایره ،، من میکویم مناسب ان بودی کی این حکم را در اصول موضوعه کفتندی نه در حدود و اکر خطی مستقیم در هر دو جهت بمحیط رسیده باشد و بمرکز نکذشته محیط شود با هر دو پاره محیط بدو قطعه یکی کوجکتر از نیمه و یکی بزرکتر از ان 
(4) yā rekhā kendragā syāt kiṃ ca pālilagnā syāt tad ubhayataḥ khaṇḍa(5)dvayaṃ viṣamaṃ bhavati sā rekhā ca_apakarṇasaṃjñā pūrṇajyāsaṃjñā ca bhavati | 
第十八界
徑線與半圜之界所作形。為半圜。 
ιθ῾ Σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόμενα. 
19. Rectilineal figures are those which are contained by straight lines, trilateral figures being those contained by three, quadrilateral those contained by four, and multilateral those contained by more than four straight lines. 
Figure rectilinee sunt que sub rectis continentur, trilatere que sub tribus, quadrilatere que sub quattuor, multilatere vero que sub pluribus quam quattuor rectis continentur. 
... 
اشکال مستقیمه الاضلاع انست  کی بایشان خطوط مستقیم باشد 
(6) atha saralarekhākṛtāni kṣetrāṇy ucyante
第十九界
在直線界中之形。為直線形。
第二十界
在三直線界中之形。為三邊形。
第二十一界(p. 八)
在四直線界中之形為四邊形。
第二十二界
在多直線界中之形為多邊形。五邊以上俱是。 
κ῾ Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς. 
20. Of trilateral figures, an equilateral triangle is that which has its three sides equal, an isosceles triangle that which has two of its sides alone equal, and a scalene triangle that which has its three sides unequal. 
Trilaterarum figurarum isopleurum quidem trigonum est quod tria equalia habet latera, isoskeles vero quod duo sola, scalenon quod tria inequalia habet latera. 
... 
و اول ان مثلث است و او یا متساوی الاضلاع باشد یا متساوی الساقین فقط یا مختلف الاضلاع 
(7) tatrādau tribhujam ucyate | (8) tat trividham | ekaṃ samatribāhukam | dvitīyaṃ samadvibāhukam | (9) tṛtīyaṃ viṣamatribāhukam
第二十三界
三邊形三邊線等。為平邊三角形。
第二十四界
三邊形。有兩邊線等。為兩邊等三角形。或銳或鈍。(p. 九)
第二十五界
三邊形。三邊線俱不等。為三不等三角形。 
κα῾ Ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ ἔχον ἀμβλεῖαν γωνίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας. 
21. Further, of trilateral figures, a right-angled triangle is that which has a right angle, an obtuse-angled triangle that which has an obtuse angle, and an acuteangled triangle that which has its three angles acute. 
Amplius trilaterarum figurarum orthogonium trigonum est quod habet rectum angulum, ambligonium autem est quod habet obtusum angulum, oxigonium vero quod tres acutos habet angulos. 
... 
و دیکر مثلث قایمه الزاویه باشد اکر قایمه درو باشد و منفرجه الزاویه اکر منفرجه درو بود ، و حاد الزوایا اکر هیج یکی ازین دو درو نباشد 
(10) punas tat koṇair api tribhujaṃ trividhaṃ bhavati | tad yathā | (11) yasminn ekaḥ samakoṇo ’nyau nyūnakoṇau tat samakoṇatribhujaṃ jñeyam | (12) yasyaiko ’dhikakoṇo ’nyau nyūnau stas tad adhikakoṇatribhujaṃ jñeyam | (6,1) yasya ca trayo ’pi nyūnakoṇās tan nyūnakoṇatribhujaṃ syāt | 
第二十六界
三邊形。有一直角。為三邊直角形。
第二十七界
三邊形。有一鈍角。為三邊鈍角形。(p. 一〇)
第二十八界
三邊形。有三銳角。為三邊各銳角形。
凡三邊形。恆以在下者為底。在上二邊為腰。
 
κβ῾ Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ὀρθογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρον μέν, οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον· τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω. 
22. Of quadrilateral figures, a square is that which is both equilateral and right-angled; an oblong that which is right-angled but not equilateral; a rhombus that which is equilateral but not right-angled; and a rhomboid that which has its opposite sides and angles equal to one another but is neither equilateral nor right-angled. And let quadrilaterals other than these be called trapezia. 
Quadrilaterarum autem figurarum tetragonum quod est quod et equilaterum est et orthogonium; eteromikes vero quod orthogonium quidem, non autem quod equilaterum; rombos autem quod equilaterum quidem, non vera orthogonium; romboides vero quod que ex opposito et latera et angulos equales alternis habet quod neque equilaterum neque orthogonium est; que vero preter hec quadrilatera trapezia vocentur. 
... 
و بس از مثلث دو اربعه الاضلاعست و ان مربع باشد اکر متساوی الاضلاع قایم الزوایا بود ، و مستطیل اکر قایم الزوایا غیر متساوی الاضلاع بود ،، و معین اکر متساوی الاضلاع غیر قایم الزوایا باشد ،، و شبیه بمعین اکر اضلاع و زوایاش متساوی نباشد و لکن هر دو متقابل از اضلاع و زوایای او متساوی باشند ،، و منحرف اکر قاعدا این باشد ،، ? اضلاع او از جهار در کذرد کثیر الاضلاع باشد 
(2) atha caturbhujam | (3) yasya bāhucatuṣṭayaṃ samānaṃ koṇacatuṣṭayam api samānaṃ tac caturasraṃ samakoṇaṃ (4) samacaturbhujaṃ jñeyam | (5) yasya koṇacatuṣṭayaṃ samānaṃ sanmukhabāhudvayaṃ ca mithaḥ samānaṃ tad vi(6)ṣamacaturbhujam āyatasaṃjñam | (7) yasya koṇacatuṣṭayaṃ viṣamaṃ bhujacatuṣṭayaṃ samaṃ tad viṣamakoṇasa(8)macaturbujaṃ jñeyam | (7,1) yasya koṇacatuṣṭayaṃ viṣamaṃ bhujacatuṣṭayaṃ ca viṣamaṃ tad viṣamakoṇa(2)viṣamacaturbhūjaṃ jñeyam | 
第二十九界
四邊形。四邊線等而角直。為直角方形。
第三十界
直角形。其角俱是直角。其邊兩兩相等。
如上甲乙丙丁形。甲乙邊與丙丁邊自相等。甲丙與乙丁自相等。
第三十一界
斜方形。四邊等。但非直角。(p. 一一)
第三十二界
長斜方形其邊兩兩相等。但非直角。
第三十三界
已上方形四種。謂之有法四邊形。四種之外。他方形。皆謂之無法四邊形。(p. 一二) 
κγ῾ Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ᾽ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις. 
23. Parallel straight lines are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction. 
Parallile sunt recte que in eadem epipedo existentes et emisse in infinitum in utrasque partes in neutras concidunt sibi invicem. 
بين الخطين المتوازيين هو عمود عليهما وذلك قد بينه اوقليدس فى الشكل الثامن واعشرين من المقالة الاشلى فيقول فجواب ذلك ان الحد لا يختاج فيه الى ذكر العمود بل يكتفى فيه بأن يقال ان البعد الذى بينهما متساو
ولتبين ذلك اختيج ان يقال ان الخط اوحد عمود عليهما جمعا
فاما الفيلسوف اغانيس فانه ذكر فى حد الخطوط المتوازية انها فى سطح واحد
فقال ان الخطوط المتوازية ةي التى فى سطح واحد واذا اخرجت اخراجا دائما غير متناه فى الجهتين جميعا كان البعد بينهما ابدا واحدا ١٠
وقد يزن ان مساوة البعس بينهما هى العلة التى لها صارت لا يلتقى ان كان كيس المعنى فى القولين جميعا واحدا ولعل ما استثنى به فى حدها من ان الخطين فى سطح واحد ليس يحتاج اليه ضرورة
فانه ان كان اذا كان البعد بينهمابعدا واحدا لم يكن لاحدهما ميل الى الاخر بتة فهما لا لا محالة فى سطح واحد اعنى لمخرج عليهما جميعا وان كان موضع احدهما منخفضا وموضش الاخر متعاليا
فاما ان البعد المحدود هو اقصر الخطوط التى تصل بين المتفرقين فقد قيل فيما تقدم
وهذا البعد هو اما فى النقطتين المتفرقتين فالخط المستقيم مطلقا الذى يصل بينهما لان الخط المستقيم اقصر الخطوط التى ---
ياتحا واحدة اعنى التى تصل بين نقطتين فاما البعد بين نقطة وخط او بين نقطة وسطح فهو العمود الذى يخرج منها اليه وهو اقصر الخطوط التى تصل بين النقطة وبهين السطح او بين الخط
واما البعد الذى بين خط وخط فانهما ان كانا متوازيين فهو بعد واحدمتساو فى كل موضع منهما اقصر الابعادالتى بينهما فهو عمود الى كل واحد منوما في كل موضع فيهما
فاما ان لمْ يكونا متوازيين فان اقصر الخطوط التى تصل بينهما مختلفة بحسب اختلاف النقط المفترضهعليهما
وهذا الخط من طريق (طريقة .ا) انه مين نقطة الى خط هو عمود على الخط الذى اخرج اليه الا انه ليس عمودا على الخط الذى فرضت النقطة اليه
ولكن هذا القول قد يحتج فى بيانه الى اقناع هندسى.
فاما قوله اذا احرجا فى الجهتين جميعا فذلك بالواجب
الخطين المستقيمين اللذين يلتقيان ١٢ فى احدى الجهحتين لا يلتقيان فى الجهة الاخرى لكن يكون بعد كل واحد عن صابه اكثر وحما غير متوازيين
واما قوله اذا اخرجا اخراجا دائما غير متناه فانه انما فاله على سبيل التخيل ليلا يلزماهما تقدير عن ذلك لا ان اخراجهما يجوز كرة الكواكب الثابتة لكن لكى لا نكون اذا وذعنا لا خراجهما آجرء لا يلتقيا فيه نحكم على خطين يمكن فيهما اذا تجاوزا ذلك الحد ان يلتقيا
فانهما لا يلتقيان
فهذا ما جرت العادت بأن يقال هذا العارض بل هو اختصار وتحصيل لما كثر فيه غير ---(غيرنا).
النقطة علة الاشياء المتصلة والواحدة علة الاشيا المفصلة النقطة اصل الخط ال ---- (المستقيم؟) واصل الدايرة.
والكرة والمخروط اصل المجسميات ع 
و خطوط متوازی خطوطی باشند مستقیم بر سطحی مستوی بر وجهی کی اکر ایشانرا در هر دو جهت بی نهایت اخراج کنند بهم نرسند 
(3) atha samānāntarālarekhālakṣaṇam | (4) yā rekhā prathamaniḥsāritarekhayā kadāpi na milati sā samānā(5)ntarā rekhā bhavati | (6) yā saralā rekhā saikayaivānyayuktā satī saralā bhaviṣyati na dvitī(7)yādirekhāyogena darśanam | 
第三十四界
兩直線於同面行至無窮。不相離。亦不相遠。而不得相遇。為平行線。
第三十五界
一形。每兩邊有平行線。為平行線方形。(p. 一三)
第三十六界
凡平行線方形。若於兩對角作一直線。其直線為對角線。又於兩邊縱橫各作一平行線。其兩平行線與對角線交羅相遇。卽此形分為四平行線方形。其兩形有對角線者。為角線方形。其兩形無對角線者。為餘方形。
甲乙丁丙方形。於丙乙兩角作一線。為對角線。又依乙丁平行。作戊己線。依甲乙平行作庚辛線。其對角線與戊己、庚辛、兩線。交羅相遇於壬。卽作大小四平行線方形矣。則庚壬己丙、及戊壬辛乙、兩方形。謂之角線方形。而甲庚壬戊、及壬己丁辛、謂之餘方形。 
AITHMATA 
POSTULATES. 
(Petitiones) 
قال اوقليدس المصادرات هى خمس ع
قال سنبليقيوس ان اوقليدس بعد ذكر الحدود الدالة على جوهر كل واحيد من المحدودات انتقل بكلامه الى تعديد المصادرات
والمصادرات بالجملة هى ما ليس مقرا به لكن يفارق المتعلما على الاقرار به على طريق المسامحة ليكون اصلا موضوعا بينه وبين المعلم مقرا به
وهذا الاصل اما ان يكون غير ممكن مثل المصادرة التى طلب ارخميذس ان يقر له بحا وهى ان يصادر على انه واقف خارج الارض
اذ يقول ايها الفتى اقر لى بانه ممكن ان ارتفع فأقف خارج الارض وانا اريك انى احرك الارض
وذلك عند افتخاره بوجدانه القوة اكهندسية
فطلب ان يصادرا على ذلك وينزل انه كذلك وإن كان غير ممكن لسياقة التعليم
فالمصادار عليه اما ان ١٤ يكون غير ممكن على ما قلنا واما ممكن معلوم عند الاستاذين مجهول عند المتعلمين يتاج ان يستعمل في اول التعليم
فان الاشياء التى تبرهن هى ايضا معلومة عند الاستاذين مجهولاة عند المتعلمين لكنها لا توضع على طريق المصادرة لانها ليست اوايل لكنها تبرهن
فاما المصادرات فانما يطلب الواذع لةا ان يصادر عليها من قبل انها مبادى فمنها ما يطلب ان يصادر عليه من قبل انه لازم فقط للتعليم كالثلاث المصادرات الاولى ومنها ما يحتاج الى بين يسير حتى تصدق بها وتقْبل بذاتها والفصل بينها وبين العلوم المتعارفة ان العلوما المتعارفة مقبولة بنفسها مع اول وقوع القكر عليها والمصادرات متوبطة(؟) فى الطبع بين المبادى الماخوذة من العلم الال والتى عللها مجهولة عند المستعملين لها كالحدود وبين العلوم المتعارفة التى يقبلها جمهع الناس على مثال واحد اذ كذت المصادرات معروفة لكن ليس عند جميع الناس با عند الاستاذين فى كل واحدة من الصناعت:
وقد ظن قوم ان المصادرات الهندسية انما قصس بها لان يسلم العنصر فقط اذ كان لا يتهيا فيه كل الاعمال فيكون قد يتهيا لمعاند ان يعاند من قبل العنصر
فيقول انه لا يمكننى ان اخرج هطا مستقيما على سطح البحر ولا يمكننى ان اخرج ايصا خطا مستقيما اخراجا دائما بلا نهاية اذ كان لا نهاية غيرموجود
ولكن اصحاب هذا القول اما اولا فانهم يظنون ان المصادرات انما يحتج اليها من كانت هندسته عنصرية فقظ ع
ومن بعد ذلك ماذا يقولون فى مساواة الزوايا القايمة كيف يوجدوننا ان ١٦ المصادرة على ذلك من قبل العنصر
وكدلك الامر فيما يتلو هذا من المصادرات
فالاجود ان يقال ان المصادرات هى ما ليس بمقبول عند المتعلم فى اول ما يقرع سمعه ويحتاج اليها فى البرهان
فمنها ما هو غير ممكن ولذلك ليس يسهل قبولها كما يسهل قبول الثلث الاول لكن انما يطلب الاقرار بها لسياقة التعليم على ما قلت ومنها ما معلوم عند الاستاذ مقبول عنده وهو عند المتعلم فى العاجل بعيد غير بين شلذلك يطلب منه الاقرار به كالخال فيما بعد الثلث من المصادرات
ومنفعة الثالث من المصادرات الاول ان لا يعوق عن البراهين ضعف العنصر وتخلافوه (تخلفه).
واما التى بعد الثلث الاول فانا قد يحتاج اليها فى براهين ما ع 
اصول موضوعه من میکویم واجب انست کی اول وضع کنند کی نقطه و خط و سطح ' و سطح و مستقیم و مستوی ازیشان و دایره موجودست 
 
求作四則
求作者。不得言不可作。 
α' Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. 
1. Let the following be postulated: To draw a straight line from any point to any point. 
Petatur ab omni puncto in omne punctum lineam rectam ducere. 
قال اوقليدس ليصدر على ان يخرج خطا مستقيما من كل نقطة الى كل نقطة.قال سنبليقيوس انما قال هذا القول لانه قد يجد لا محالة بين كل نقطتين تفرضان بوعد هو اقصر الابعاد بينهمافاذا اخرجناه كان المخرج خطا مستقيما وكانت نهايتاه النقطتين المفروضتينوليس يمكن ان يخرج خط مستقيم يمم بثلث نقط الا ان تكون النقطة الوسطى تستر النقطتين اللتين فى الطرفين اعنى انْ يكون الثلث فى سمت واحد
وقد يمكن ايضا ان يخرج من كل نقطة الى كل نقطة قوس من دايرة
فانا اذا اخرجنا الخط المستيم الذى يصل بين النقوتين مثل حط ١٨ ا ب وعملنا عليه مثلثا متساوى الاضلاع مثل مثلث ا ب ج وصيرنا نقوة ج مركزا وادرنا ببعد ج ا دائره جازت على نقطة ب لان بعد ب عن ج هو مثل بعد ا عنها فيكون خط ا ب قوسا من دائرت.
وهذا الامر بالواجب طلب ان يصادر عليه اذ كان قوام عنسر الهندسة فى التهيل
فانه لو كان فى الاجسام ذوات العنصر انفسها لكان من التقح ان يطلب ان يصادر على ان يحرج حط مستقيم من الحمل الى الموازيـان 
و ما را هست کی تعیین کنیم نقطه بر هر خطی یا سطحی کی باشد 
(5)ye ca cihne tayor upari saralaikā rekhā yojituṃ śakyate | 
第一求
自此點至彼點。求作一直線。
此求亦出上篇。蓋自此點直行至彼點。卽是直線。
自甲至乙或至丙、至丁。俱可作直線。 
β' Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ᾽ εὐθείας ἐκβαλεῖν. 
2. To produce a finite straight line continuously in a straight line. 
Et terminatam rectam in directo secundum continuum emittere. 
فاقول ان الخط الذى يخرج متصلا به على عستقامة هو معه خط واحد
برهان ذلك انه ان لام يكن الخط لذي يخرج متصلا بخط ا ب على استقامته معه خطا واحدا فانا يخرج خط ا ب ج وخط ا ب د مستقيم وندير على مركز ب وببعد ب ا دائرة ا ج د
فان كل واحد من خطى ا ب ج ا ب د خطا مستقيمافان كل واحد منهما قطر لانه يجوز على مركز الدائة فكل واحد منهما يقسم الدائرة بنصفين
فقوس ا ج د مساوية لقوس ا ج العظمى الصغرى هذا خلف لايمكن
فاذا الخط الذى يخرج على استقامة خط ا ب متصلا به هو نعه خط واحد ع 
و فرض کنیم خطی بر هر سطحی  کی باشد یا کذرنده بنقطه کیف اتفق و هر یکی از نقطه و خط مستقیم و سطح مستوی بر مثل خویش منطبق شوند و فصل مشترک میان هر دو خط نقطه باشد و میان هر دو سطح خطی ، و زاویه مساوی قایمه قایمه باشد و یک خط متصل نشود باستقامت خویش به بیشتر از یک خط مستقیم کی بعضی از ان مسامت بعضی نباشد انکاه مقدمات مذکور در اصل وضع  کنند و ان اینست ،، ما را هست کی وصل کنیم ، میان هر دو نقطه کی باشد بخطی مستقیم ،، و اخراج کنیم هر خطی مستقیم محدود کی باشد بر استقامت او 
(6)yā ca saralarekhā sā vardhituṃ śakyate | 
第二求
(p. 一四)一有界直線。求從彼界直行引長之。
如甲乙線。從乙引至丙。或引至丁。俱一直行。 
γ' Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι. 
3. To describe a circle with any centre and distance. 
Et omni puncto [centro] et diastimati circulum scribere. 
قال اوقليدس وعلى ان نخط دائرة على كل مركز وبكل بعد
قال سنبليقيوس يريد بالبعد الذى يدار عليه الدائرة البعد المتناهى فى الجهتين جميع فظاهر
انه ان كان يمكن ان يخرج من كل نقطة الى كل نقطة خط مستقيم والدائرة تكون اذا ثبتت احدى نقطتى الخط المستقيم وهو مركز الدائرة واديرت النقطة الاخرى حتى يحدث المحيط فانه ممكن ان يدار على مركز وبكل بعد دائرة. 
و رسم کنیم بر هر نقطه و بهر بعدی دایره 
(7)cihnoparyabhīṣṭarekhāvyāsārdhamitena vṛttaṃ karttuṃ śakyate | 
第三求
不論大小。以點為心求作一圜。 
δ' Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι. 
4. That all right angles are equal to one another. 
Et omnes rectos angulos equales alternis esse. 
قال اوقليدس والى ان الزوايا القائمة كلها متسوية
قال سنبليقيوس مان استعمل فى هذا القول البحث المنطقى ظهر له صحته ظهورابينا
وذلك انه ان كانت الزاوية القائمة هى التى تحدث عن الخط القائم قيلما لا ميل غيه بتة والقيام الذى لا ميل فيه بتة لا يحتمل الزيادة ولا النقصان لكنه ابدا على حال واجدة فان الزوايا القائمة هى ابدا متساوية
وقد يبينين ذلك ايضا بلخطوط الهندسية بهذا العمل.
اقول انه لا يمكن ان تكون ٢٢ زاوية قائمة اعظم من زاوية قائمة
امكن ذلك فلتكن زاويتان قائمتان مختلفتين وهما زاويتا ا ب ج ه زح ولتكن زاوية ه زح اعظم من زاوية ا ب ج
فظاهر انه اذا ركبت زاوية ا ب ج على زاوية ه زح ووضع خط ا ب على خط ه ز يقع خط ب ج داخل ـاوية ه زح لان ـاوية ه زح فرضت اعظم من زاوية ا ب ج
فلنفرض انو قد وقع داخلا وصار وضعو على خط زك فيكون زاوية ه زح اعظم من زاوية ه زك ولنخرج خط زط على استقامة زح فتكون زاوية ه زك مساوية لـاوية ه زط لانهما متتايتان
فلان خط ه ز اذ كان قائما قياما لاميل فيه بتة فالزاويتان اللتان عن جنبتيه متساويتان
ولكن زاوية ه زح اعظم من زاوية ه زك فاذا زاوية ه زط اعظم من زاوية ه زك
ولنخرج خط زل الى استقامة خط زك فتكون زاوية ه زل مساوية لزاوية ه زك لانهما متتاليتان وههما قائمتان
ولكن زاوية ه زط اعظم من زاوية ه زك فيجب ان تكون ايضا اعظم من زاوية ه زل فالاصغرى اذا العظم من العظمى هذا خلف لا يمكن
فاذا لا يمكن ان تكون زاوية قائمة اعظم من زاوية قائمة ولا اصغر منها.
فالزوايا القائمة اذا كلها متساوية
وليس كل الزوايا المتساوية قائمة الا ان تكون متتالية فانه قد يمكن ان تتساوى الزوايا وهو منفرجة وحادة.
وليس الزوايا المساوية لقائمة هى ايضا قائمة اضطرارا (الا) ان ينقل اسم الزاوية الى القسى ايضا فتصير الزوايا التى تحيط بها قسى زاوية قائمة على طريق الاستعارة
مثال ذلك ان نفرض زاوية قائمة عليها ا ب ج
ونعلم على مركز ب وباى بعد شئنا علامتين على خطى ا ب و ب ج وهما علامتا د ه
وندير على مركزى د ه وببعدى ٢٤ ه ب د ب نصف دايرة ا زب ونصف دائرة ب ط ج فتكون زاوية ا ب ز مساوية لزاوية ج ب ط لان انصاف الدوائر اذا كانت متساوية كانت زواياها متساوية
ونجل زاوية ا ب ط مشتركة فيكون جميع زاوية ا ز ب ط مساوية لزاوية ا ب ج
وزاوية ا ب ج قائمة فزاوية ا ز ب ط هلالية فقد صارة زاوية هلاليت مساوية لزاوية قائمه ع 
و جمله زوایا قایمه متساوی باشند ،، دو خط مستقیم بسطحی محیط نشوند 
(8)yāvantaḥ samakoṇās te sarve ’pi samānāḥ | 
第四求
(p. 一五)
設一度於此。求作彼度。較此度或大或小。凡言度者。或線或面。或體皆是。或言較小作大可作。較大作小不可作。何者。小之至極。數窮盡故也。此說非是。凡度與數不同。數者。可以長。不可以短。長數無窮。短數有限。如百數減半成五十。減之又減。至一而止。一以下不可損矣。自百以上。增之可至無窮。故曰可長不可短也。度者。可以長。亦可以短。長者增之可至無窮。短者減之亦復無盡。嘗見莊子稱一尺之棰。日取其半。萬世不竭。亦此理也。何者。自有而分。不免為有。若減之可盡。是有化為無也。有化為無。猶可言也。令已分者更復合之。合之又合。仍為尺棰。是始合之初。兩無能幷為一有也。兩無能幷為一有。不可言也 
ε' Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ᾽ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ᾽ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες. 
5. That, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles. 
Et si in duas rectas recta incidens interius et in eisdem partibus angulos duobus rectis minores facit, emissas duas rectas in infinitum concidere alternis, quibus in partibus sunt duobus rectis minores anguli. 
قال اوقليدس واذا وقع على خطين مستقيمين خط مستقيم فسير الزاويتيان فى الجهة التى فيها الزاويتان اللتيان هما اصغر من قائمتين
قال سنبليقيوس ان هذا المصادرة ليسه بظاهرة فى كل ذلك لكنه قد اختيج فيها الى بيان بالخطوط حطوط حتى ان انطساطوس وديودرس بيناه باشكال كثيرة مختلفة
قال النريزى قد ذكرنا تفسيرة مع زيادات اغانيس بعد برةان الشكل السادس واعشرين من المقالة الاولى.
قال اوقليدس وعلى ان خطين مستقيمين لا يحيطان بسطح
قال سنبليقيوس ان هذا المصارة ليس توجد فى النسح فى النسخ القديمة ولعل ذلك لانها ظاحرة بينة ولذلك رسمت المصادرات بانها خسم
فاما لاحدث قانهم برهنوه على هذا السبيل فقالوا انه ان امكن ان يكون خطان مستقيمان يحيطان بسطح فليخط خطا ا ج ب ا د ب المستقيمان بسطح على ما هو مرسوم
ونخرج خطى ب ه ب ز على استقامتهحا ولنرسم على مركز ب وببعد ب ا دائرة ا ه زح
فمن اجل ان نقطة ب مركز لدائرة ا ه زح يكون كل واحد من خطى ا ج ب ه ا د ب ز المستقيمين قطر الدائرة فقوس ا ز مساوية لقوس ا زه العظمى للصغرى هذا خلف لا يمكن ٢٦ فليس اذا يحيط خطان مستقيمان بسطح.
فان قال قائل ان القوس ليست مساوية للقوس لكن لكن يكسير قطعة ا د بز مساو لتكسير قطعة ا ج ب ه ز لزمه ضروة ان زاوية زا د مساوية لراوية زا ج ودلك غير ممكن
وانما لزمه دلك لانا قد بينا ان انصاف الدوائر يتطابق
وايضا فان كانت قطعة ا د ب ز مساوية لقطعة ا ج ب ه ح والمركز على نقطة ب فان كل واحدة من القطعتين نصف دائرة ويكون قطعة زب ه خرج الدائرة. 
(11) yad rekhādvayaṃ samānāntaraṃ na bhavati kin tu viṣamāntaraṃ bhavati tatra (12) yasmin pradeśe bahvantaraṃ bhavati tad diśi vardhitayo rekhayor antaram uttarottaram (13) adhikam eva bhavati yatra ca svalpam antaraṃ tad diśi vardhitayo rekhāyor antaram uttaro(14)ttaram alpam eva bhavati yāvad rekhādvayasaṃyogas tadanantaram antaraṃ vardhiṣṇu bhavati | 
 
KOINAI ENNOIAI 
COMMON NOTIONS. 
(Communes animi conceptiones) 
قال اوقليدس القضايا المقبولة والعلوم المتعارفة.
قال سنبليقيوس انا قد قلنا فيما تقدم ان العلوم المتعارفة بنبغى ان تكون مقبولة بذاتها رند الناس كلها ويصدقون بها بانفسها اعنى بغير توسظ. 
علوم متعارفه 
 
公論十九則
公論者。不可疑。 
α' Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα. 
1. Things which are equal to the same thing are also equal to one another. 
Eidem equalia et alternis sunt equalia. 
قال اوقليدس المساوية لشى واحد فبعضها مساو لبعض.
قال سنبليقيوس ان هذا القول اذا قيل في المتساوية فهو حق قريب من الفهم
واما اذا قيل على الطريق الاعم لام يكن بحق فان الاشيائ التى هى اطول من شى واحد ليس يجب اضطرار ان يكون ٢٨ بعضها اطول من بعض ولا الذين هم اخوة انسان واحد فبعضهم اخوة لبعض اذا كان ذلك الاخ الشاحد اخا لبعضهم من الاب شاخا لبعضهم من الام ودلك ينبغى ان تكون الاضحافة فى دلك بسيطة ماخوذة من چهت واحدة بعينها لا على جهات مختللفات كما مثلنا ذلك فى الاخوت ولا طريق من ظريق الاكثر والاقل كما مثلنا ذلك فى الذين هم اطول من شى واحد ع 
جیزهایي کی مساوی یک جیز معین باشند متساوی باشند 
(8) atha yasyaikarāśeḥ samānā ye ye rāśayas te mithaḥ sarve ’pi samānāḥ | 
第一論
設有多度。彼此俱與他等。則彼與此自相等。 
β' Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα. 
2. If equals be added to equals, the wholes are equal. 
Et si equalibus equalia apponantur, tota sunt equalia. 
قال اوقليدس وان زيد على المتساوية متساوية كانت مجموعاتها متساوية 
و اکر بر متساوی متساوی زیادت کنند يا نقصان حاصل متساوی باشد4  
(9) ye rāśayo mithaḥ samānās te samānarāśipramāṇayogābhyāṃ (10) samānā eva |
(11) yadi ca rāśayaḥ samānā na bhavanti te samānarāśiyogaviyogā(12)bhyām api samānā na bhavanti | 
第二論
有多度等。若所加之度等。則合幷之度亦等。 
γ' Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα. 
3. If equals be subtracted from equals, the remainders are equal. 
Et si ab equalibus equalia auferantur, que relinquuntur sunt equalia. 
وان نقص من المتساوية متساوية كانت الباقية متساوية 
... 
(13) ye rāśyaḥ samānayogaviyogābhyāṃ samānā bhavanti te ’pi pūrvaṃ (14) samānā eva santi | (15) ye ca rāśayaḥ samānarāśiyogaviyogābhyāṃ samānā na bhavanti (16) te ’pi pūrvaṃ samānā na santi | 
第三論
有多度等。若所減之度等。則所存之度亦等。(p. 一六) 
δ' [Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα. 
() 
Et si inequalibus equalia apponantur, tota sunt inequalia. Et si ab inequalibus equalia auferantur, reliqua sunt inequalia. 
واذا زيد على غير المتساوية متساويه متساوية مجوعتها غير متساويه ع واذا نقيص من غير المتساوية متساوية كانت الباقيه غير متساوية 
و اکر بر غیر متساوی متساوی زیادت کنند یا نقصان حاصل غیر متساوی باشد ،، و هر جیزی جند کی اکر متساوی بریشان زیادت کنند یا نقصان حاصل متساوی باشد ایشان متساوی باشند 
(Cf. record before previous) 
第四論
有多度不等。若所加之度等。則合幷之度不等。
第五論
有多度不等。若所減之度等。則所存之度不等。 
ε' Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. 
() 
Et eiusdem dupla equa sibi invicem sunt. 
والتى هى اضعاف لواحد بعينه فبعضها مساو لبعض 
و هر جیزی جند کی هر یکی ازیشان بیک عدت اضعاف باشند یا اجزای معین از ان یک جیز ایشان متساوی باشند5  
(Cf. previous record) 
第六論
有多度俱倍於此度。則彼多度俱等。 
ς' Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.] 
() 
Et eiusdem dimidia alternis equalia sunt. 
والتى كل واحد منها نصف لواحد بعينه فبعضها مساو لبعض 
... 
 
第七論
有多度俱半於此度。則彼多度亦等。 
ζ' Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ᾽ ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. 
4. [7] Things which coincide with one another are equal to one another. 
Et super se invicem coaptata sibi invicem equalia sunt. 
والتى يطابق بعضها بعضا فبعضها مساو لبعض 
و جیزهایی کی بر یکدیکر منطبق شوند بی تفاضلي متساوی باشند 
(17) ye rāśyaḥ ekādiguṇitānyarāśisamānā bhavanti te ’pi sarve samānā eva | 
第八論
有二度自相合。則二度必等。以一度加一度之上。 
η' Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον [ἐστιν]. 
5. [8] The whole is greater than the part. 
Et totum parte maius est. 
والكل اعظم من الجزء 
و کل اعظم باشد از جزو خویش اینست ... خواستیم کی سخن را بدان تصدیر کنیم و در مواضع دیکر تعریفات و تصدیرات دیکر کی موافق ان مواضع باشد ... بدانک جمله نقط و خطوطی کی از اول این کتاب تا اخر مقالت دهم اورده اند همه در یک سطح متسوی مفروض و موضوع است و ما جون اطلاق خط و سطح و زاویه کنیم بان مستقیم و متسوی و مستقیمه صفحه (١٩) الخطين خواهیم 
 
第九論
全大於其分。如一尺大於一寸。寸者、全尺中十分中之一分也。 
 
 
 
... 
(18) yaḥ ko ’pi rāśiḥ svakhaṇḍādika evāstīti prasiddham |
(19) cihnaṃ rekhā dharātalaṃ vṛttaṃ kṣetrāṇi ca prasiddhāni santi |
(20) rekhāyāṃ dharātale cihnaṃ rekhā ca karttuṃ śakyata iti sarvaṃ prasiddham |
(21) evaṃ cihnād api rekhā karttuṃ śakyate |
(8,1) atha cihnaṃ cihnopari rekhāyāṃ cānyā samānā rekhā dharātalaṃ svasa(2)mānadharātale ca tiṣṭhati |
(3) rekhādvayasya saṃpāta ekacihna eva bhavati |
(4) dharātaladvayasaṃpāta ekarekhāyām eva bhavati | (5) (see 8,5) (6) (8,6) (7) (see 8,7) (8) (see 8,8) 
第十論
直角俱相等。見界說十。
第十一論
(p. 一七)有二橫直線。或正或偏。任加一縱線。若三線之間。同方兩角。小於兩直角。則此二橫直線。愈長愈相近。必至相遇。
甲乙、丙丁、二橫直線。任意作一戊已縱線。或正或偏。若戊已線旁同方兩角。俱小於直角。或幷之小於兩直角。則甲乙丙丁線。愈長愈相近。必有相遇之處。
欲明此理。宜察平行線不得相遇者。界說卅四加一垂線。卽三線之間。定為直角。便知此論兩角小於直角者。其行不得不相遇矣。
第十二論
兩直線。不能為有界之形。
第十三論
兩直線。止能於一點相遇。
如雲線長界近。相交不止一點。試於丙乙二界。各出直線交於丁。假令其交不止一點。當引至甲則甲丁乙、宜為甲丙乙圜之徑。而甲丁丙、亦如之界說十七夫(p. 一八)甲丁乙。圜之右半也。而甲丁丙。亦右半也界說十七甲丁乙為全。甲丁丙為其分。而俱稱右半。是全與其分等也。本篇九。 
θ' Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν. 
 
Et due recte spatium non continent. 
وخطان مستقيمان لا يحيطان بسطح 
... 
(9) saralarekhādvayaṃ dharātalaṃ vyāptuṃ na śaknoti |
(10) kuṭilarekhādvayam atha vā kuṭilasaralarekhādvayaṃ dharātalam āvṛṇoti | (11) (see 8,11-14) 
第十四論
有幾何度等。若所加之度各不等。則合幷之差。與所加之差等。
甲乙、丙丁、線等。於甲乙加乙戊。於丙丁加丁己。則甲戊大於丙己者。庚戊線也。而乙戊大於丁己。亦如之。 
 
 
 
قال سنبليقيوس قوله ان زيد على المتساوية متساوية صارت كله متساوية هذا لمعنى ٣٠ يتبين بالاعداد بيانا واضحا وان كان فى نفسه بغير اعداد بيانا مقبولا
والقضايا المقبولة توجد فى النسخ القديمة ثلثا فقد واما فى النسخ الحديثت فانه قد زيد
فيها هذه وهى بينة لا وحتاج الى شرح
وذلك التى بعده بينة ظاهرة وذه اوضاع ليلا يكون فى الهندسة شى مبرهن باوائل غير مقر بها
فاما بنبس فانه قد زاد هذا المعنى ايصا على انه منالقضايا المقبولة وهو ان امتساوية اذا زيد عليها مختلفة كان تفاضل المجتمع من ذلك مساويا لتفاضل المحختلف بالمزيد
وذلك يتبين بحذا العمل
نفرض مقدارين متساويين وهما ا ب ج د
ولنزد عليهما مقدارين مختلفين وهما ه ا زج
وليكن ه ا اعظمهما
فاقول ان زيادة ه ب على زد مساوية لزيادة ا ه على زج
برهان ذللا انا نفصل من ا ه مقدارا مساويا لمقدار زج وهو ا ح
فمن اجل ان زيادة ه ب على ب ح هى ح ه و ب ح مثل ج ز صارة زيادة ب ه على ب ح هى زيادة ه ا على ج ز
ع
وايضا ان زيد على المختلفة متساوية كان تفاضلةا بعد الزيدة مساويا لتفاضللها قبل الزيادة
ومثل ذلك انا ان زدنا على مقدارى ه ا جز المختلفين مقدارى ا ب ج د المتساويين كان تفاضل ه ب زد مساويا لتفاضل ه ا زج
وذلك قد بيناه قبيل.
وزاد اوضا بنبس اشياء اخر.
وهى هذه ان البسيظ يقاطع البسيط على خط فان كان البسيطان المتقاطران مسطحين كان نقاطعهما على خط مستقيم والخط يقاطع الخط على نقطة.
فانا قد نختاج الى هذا المعنى فى الشكل الاول
والخط المستقيم والبسيط المسطح قد يمكن من اجل استواهما ٣٢ ان يحرج احراجا دائما ابدا.
وقد ينبغى ايضا ان تقدم من قبل الطرق الجزءية هذه الاشياء
فنقول ان غرض الهندسة كما تقدم من من قولنا الابانة عن المقادير والاشكال والوضع ونسب هذه بعضها عند بعض
وقصدها فى كل واحد اما علمى واما عملى
وما كان قصدها فيه افادة علم سمى علما وما كان قصدها فيه افادة عمل سمى عملا
فالعلمى هو ما كانت غايته ان تعرف شيا ما مثل الشكل الرابع من المقالة الاولى
وما كان شبيها به وهذه الاشكال هى التى من عادتهم ان يقولوا فى اواخرها وذللا ما اردنا ان نبين.
واما العملى فهو ما كانت غايته فيما يظحر ان تعمل شيا
وهذه هى الشكال التى من عادتهم ان يقولوا فى اواخرها ودلكا ما اردنا ان نعمل.
ولعله ان يقول لنا فكيف تقول ان الهندست انما قصرها كله ان تفيدنا علوما اذ كانت قد توجد علوما واعملا معا
فنقول فى ذلك ان غاية هذه الاعمال ايضا ان تفيدنا معرفة
فنقول فان عمل مثلث متساوى الاضلاع مطلفا هو افادة معرفة لا افادة صنعة باليد
فانا قد نجد العلام بهذا العمل لا يقدر ان يعمله فى عنصر ولا يضع هذه الصورة فيه لكن يكون عنده ان يصف تريق العمل وحيلته فقط لا غير ذلك فان كان ذلك قد يصير مبداء واولا لصناعات اخر تعالج باليد فليس بمنكر فان الهندسة قد تكون لصناعت كثيرة مبداء واولا وايضا
فان الاعمال التى فى صناعة الهندسة تقوم عند العلوم مقام المقدمات التى توطا لها ويشبه ان تكون انما تتقدم فيستعمل بسببها
وبعض الناس قد صير فى الاشكال فصلا ثالثا ٣٤ سماه الوجدان وهو اذا لم نجعل قصدنا ان نعلم ولا ان نعمل بل ان نقف على ما هو موجود مثل قصدنا فى الشكل الاول من المقالة الثالثة فان قصدنا فيه ان نجد مركز دائرة مفروضة
فالفصل بينا الذجدان وبين العمل ان الوجدان انما غيته الوقوف على اشى الذى هو موجود ليس ان نستخرج شيا ليس هو موجودا واما الفصل بينه وبين العمل فهو ان المعنى الذى نفيده بالعلم لا نعلم انه موجود او ليس هو موجود قبل ان يبرهن مثل ان زوايا المثلث مساويات لزاويثين قائمتين واما فى الوجدان فانا نعلم ان للدائرة مركزا شلكنا نطلب ان نجد موضعة
الا ان يقول قائل ان الشى الذى يلتمس وجوده ايضا لا يعلم هل وجوده ممكن ام غير ممكن مثل ملتمس لو التمس ان ترسيم دائرة مفروضة.
وقد سمى الاشلكال كلها علوما واعمالا باسم مشرك
وكل واحد من هذا اعنى العلم واعمل والوجدان ين كان شيا اخر غيرهما ينقسم بسمتة اقسام وهى مقدمة ومثال وتفصيل وعلم يبرهان ونتيجة
اما المقدمة فى هذا الموضع فهى الشى الذى يسميه المنطقيون الموضوع لان يبين وهى والنتيجة فى المغنى شى واحد بعينه مثل ان نقول ان كل مثلث فان زواياه الثلثمعادلات لزاويتين قائمتين فهذا هو المقدمة وهو ايضا النتيجة لانا متى برهنا ان زوايا المثلث الثلث معادلات لزاويتين قائمتين نكون قد حققنا هذا الخبر فيصير نتيجة وهو ان نقول انه قد نبين ان زوايا كل مثلث معادلات لزاويتين قائمتين
وليس هذه المقدمة جزء من القياس الموتلف وحدها انها قول يقدم لنا المعنى الذى ٣٦ نزيد ان نعلم او نعمله او نجده
فان فى ذلك المغنى شى نعطا وشى وطلب منا كالحال فى الشكل الاول فانا اعطنا فيه خطا مستقيما وطلب منا ان نعمل عليه مثلث متساوى الاضلاع
فانه يحتج ان يذكر فى المقدمة المعطى والمطلوب جميعا
واما المثل فهو الذى يوقع المعطى فى المقدمة تحت ابصر
واما التفصيل فهو الدى يفصل المطلوب فى المقدمة الموضوع فى المثال من جنسه المشترك ويطلب ان يعمل ويبرهن
واما العمل فهو الذى يرسمالشيا التى نحتاج اليها فى البرهان بخطوط ويعمل الاشياء التى امرنا ان نعملها وذلك مثل ما فى الشكل الاول من اخراج اضلاع المثلث المتساوى الاضلاع ورسم الدوائر التى نكون بها صنعة المثلث والبرهان عليه
فهذه الاشياء المقدمة التى قدمت لتنتج لنا المطلوب
واما البرهان فهو الذى يجمع المطلوب والاشياء قد تقدم الاقرار بها
فربما كان من معانى اوالية فى العقل واقدم بالطبع وعند دلك سمى برهان - - - - - مثل برحان الشكل الاول فان الدوائر المتساوية الخطوط التى تخرج من مراكزها الى محيطاتها متساوية وبهذا القول يتبين المطلوب فيه والدائرة اقدم من المثلث
وربما كان البرهان من استدلال مثل ان نبين ان زوايا المثلث الثلث مساوية لزاويتين قائمتين اذ كان هذا لامعنى انما يتبين من ان كل مربع ونقسم الى مثلثين فان المربع هو بعد المثلث بالطبع
واما النتيجة فهو الذى يفيد المقدمة مثل ان تقول فقد نبين ان كل مثلث فان زواياه الثلثمعادلات لزاويتين فائمتين فنذكرها بثقة اذ قد تبرهنت
ولذلك لا نزيدفيها شيا ٣٨ بتة اكثر من فاذا.
والشكال الكاملة يتم بهذه الستة معنى ومنها ما يتم بخمسة فقط مثل الشكل الابع من المقالة الاولى اذ كان ليس يحتاج فيه الى عمل ومنها ما يتم باربعة فقط اذا لم يكن فى الشكل شى يفرض فانه عند ذلك يسمقط المثال والتفصيل كما ذلك موجود فى الشكل السابع من المقالة الاولى
والبرهان والنتيجة فلا بد منهما فى جميع الاشكال
وقد ينبغى ان نبين ايضا حذه الاياءما الماخوذه وما الفائدة وما اختلاف الوقوع و ما العتاد وما صرف المعنى الى ما لا يمكن
فاقول ان الماخوذة هى الشى الذى وان كان فى نفسه علما وشكال فانه انما يوخذ لان يبين به شى آخر مثل ما اخذنا فى الشكل الثانى ضلعى المثلثين فيظهر بي ذلك الشى ظهورا سهلا
ولذلك ينبغى ان يقدم ٤٠ قبل ذلك الشى او يوضع تابعا له ان سلم فى البرهان فى العاجل
واما الفائدة فهى التى تتبين مع برهان ما قصد لاقامة البرهان عليه فيفاد بذلك البرهان
وامااختلاف الوقوع فهو وضع صور المعنى على وجوه كثيرة يختلف لها البرهان
واما الاعتاد فهو القول المقاوم للبرهان المانع لخروجه الى غايته.
واما صرف المعنى الى ما لا يمكن فهو ان نضع نقيض المعنى ونبين انه يعرف من ذلك شى اخر غير ممكن مثل اخذنا فى الشكل السادس ان احد الضلعين اعظم ان امكن فيتبين بذلك بطلان بفرض المعنى وصحة المعنى الموضوع نفسه
تمت اكمعانى التى قدمها سنبيقيوس فى تفسير مصادرة اوقليدس للمقالة الاولى من كتاب الاصول وتتلوه المقالة الاولى من كتاب الاصول ع 
جون در بیان اشکال [حد] ثبت کنیم ... حوالت باشد به حدود و [ص] باصول موضوعه و [ع] بعلوم متعارفه و [ا] ... حواله باشکال انست کی اکر شکل موقوف علیه هم در ان مقاله باشد کی شکل موقوفست رقم عدد شکل موقوف علیه تنها ثبت کرده شود بجهت جون [ا] تنها جه این صورت در هر مقاله دلالت کند بر شکل اول ان و اکر در مقاله دیکر باشد دو رقم ثبت باید کرد اول از ان شکل و دوم از ان مقاله جون (د ب) یعنی شکل جهارم از مقاله دوم و هم برین قیاس ... حوالات را معلوم باید کرد 
(15) yatra koṇaśabdas tatra saralarekhākṛta eva koṇo jñeyaḥ |
(16) yatra rekhāśabdas tatra saralaiva rekhā jñeyā |
(17) yatra ca bhūmitalaśabdas tatra jalasamīkṛtam eva bhūtalaṃ jñeyaṃ |
(18) iti paribhāṣā || 
第十五論
有幾何度不等。若所加之度等。則合幷所贏之度。與元所贏之度等。
如下圖反說之。戊乙、己丁、線不等。於戊乙加乙甲。於己丁加丁丙。則戊甲大於己丙者。戊庚線也。而戊乙大於己丁。亦如之。(p. 一九)
第十六論
有幾何度等若所減之度不等。則餘度所贏之度。與減去所贏之度等。
甲乙丙丁、線等。於甲乙減戊乙。於丙丁減己丁。則乙戊大於丁己者。庚戊也。而丙己大於甲戊。亦如之。
第十七論(p. 二〇)
有幾何度不等。若所減之度等。則餘度所贏之度。與元所贏之度等。
如十四論反說之。甲戊、丙己、線不等。於甲戊減甲乙。於丙己減丙丁。則乙戊長於丁己者。亦庚戊也。與甲戊長於丙己者等矣。
第十八論
全與諸分之井等。
第十九論
有二全度。此全倍於彼全。若此全所減之度。倍於彼全所減之度。則此較亦倍於彼較。相減之餘曰較。
如此度二十。彼度十。於二十減六。於十減三。則此較十四彼較七。(p. 二一) 
Αʹ1  
Proposition 1. 
٤٢ المقالة الاولى من كتاب اوقليدس
الشكل الاول خمسة اشكال شكل لاوقليدس واربعة اشكال لايرن 
اشکال
6 (ا) 
(19) atha prathamaṃ kṣetram
幾何原本第一卷本篇論三角形計四十八題
第一題 
Ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι. 
On a given finite straight line to construct an equilateral triangle. 
Super datam rectam terminatam trigonum isopleurum constituere. 
قال اوقليدس نريد ان نبين كيف نعمل على خط مستقيم مفروض معلوم مثلثا متساوى الاضلاع 
... 
(20) tatra yadā samatribhujaṃ kṣetraṃ kartavyam asti
於有界直線上。求立平邊三角形。 
Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ. 
Let AB be the given finite straight line. 
Esto data recta terminata AB. 
فليكن الخط الفروض (ا ب) 
می خواهیم کی بر خطی محدود چون (ا ب) مثلثى متساوی الاضلاع بسازیم 
(21) tatra abarekhā ca jñātāsti 
法曰。甲乙直線上。 
Δεῖ δὴ ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι. 
Thus it is required to construct an equilateral triangle on the straight line AB. 
Oportet ergo super AB rectam trigonum isopleurum constituere. 
ونبين كيف نعمل مثلثا متساوى الاضلاع ع 
tadupari tri(22)bhujaṃ kriyate | (23) tad yathā | 
求立平邊三角形。 
Κέντρῳ μὲν τῷ Α διαστήματι δὲ τῷ ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΓΔ,  καὶ πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΓΕ,  καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου, καθ᾽ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ κύκλοι, ἐπὶ τὰ Α, Β σημεῖα ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΓΑ, ΓΒ. 
With centre A and distance AB let the circle BCD be described; [Post. 3]  again, with centre B and distance BA let the circle ACE be described; [Post. 3]  and from the point C, in which the circles cut one another, to the points A, B let the straight lines CA, CB be joined. [Post. 1] 
Centro quidem A, diastimati vero AB circulus scribatur GDB.  Et rursum centro B, spatio vero AB circulus scribatur GAE.  Et a puncto G secundum quod secant se invicem circuli in A, B puncta copulentur recte GA et GB. 
فلنجعل نقطة (ا) مركزافنخط ببعد (ا ب) دائرة (ب ج د)  ثم نجعل نقطة (ب) مركزا ونخط ببعد (ب ا) دائرة (ا ج د)  ونخرج من نقطة (ج) وهى على تقاطع الدائرتين خطى (ا ج) و(ج ب) وليكونا مستقيمين 
(بر هر یکی از دو نقطه (ا ب) ببعد (ا ب) دایره بکشیم [ص] چون (ب ج د) (ا ج ه  ...8   و(ا ج) (ب ج) وصل کنیم 
8.  
(9,1) aṃ kendraṃ kṛtvā abavyāsārdhena vṛttaṃ kāryaṃ |  (2) evaṃ baṃ kendraṃ kṛtvā baavyāsārdhena dvitīyaṃ (3) vṛttaṃ kāryaṃ |  yatra vṛttadvayasaṃpātas tatra jacihnaṃ (4) kāryaṃ | tatra ajarekhā bajarekhā ca kāryā |
(5) evam abajatribhujaṃ samānatribhujaṃ jātam |
(6) kutaḥ | 
先以甲為心。乙為界。作丙乙丁圜。  次以乙為心。甲為界。作丙甲丁圜。兩圜相交於丙於丁。  末自甲至丙。丙至乙。各作直線。 
Καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΒ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ·  πάλιν, ἐπεὶ τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΑΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΑ.  ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΓΑ τῇ ΑΒ ἴση·  ἑκατέρα ἄρα τῶν ΓΑ, ΓΒ τῇ ΑΒ ἐστὶν ἴση.  τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα·  καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἐστὶν ἴση·  αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΓΑ, ΑΒ, ΒΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. 
Now, since the point A is the centre of the circle CDB, AC is equal to AB. [Def. 15]  Again, since the point B is the centre of the circle CAE, BC is equal to BA. [Def. 15]  But CA was also proved equal to AB;  therefore each of the straight lines CA, CB is equal to AB.  And things which are equal to the same thing are also equal to one another; [C.N. 1]  therefore CA is also equal to CB.  Therefore the three straight lines CA, AB, BC are equal to one another. 
Et quoniam A punctus centrum est circuli GAE, equalis est AG recte AB.  Rursus quoniam B punctus centrum est circuli GAE,  equalis est BG recte BA. Ostensa est autem et GA recte AB equalis.  Utraque ergo rectarum GA et GB recte AB est equalis.  Eidem vero equalia, et alternis equalia sunt.  Et GA ergo recte GB est equalis.  Tres ergo recte GA, AB, BG equales sibi invicem sunt. 
فلان نقطة (ا) مركز لدائرة (ب ج د) وقد خرج منها خطان مستقيمان الى محيطها وهما (ا ج) (ا ب) فهما اذا متساويان  وايضا فلان نقطة (ب) مركز لدائرة (ا ج د) وقد خرج منها خطان مستقيمان الى محيطها وههما خطا (ب ا) (ب ج)  فهما اذا متساويان  فخط (ب ج) مساو لخط (ب ا) وكل واحد من خطى (ا ج) و(ج ب) مساو لخط (ا ب)  وامساوية لشى واحد متساوية  فخط (ا ج) مساو لخط (ب ج)  فالخطوط الثلثة اذا متساوية (ا ج) (ب ج) (ا ب) 
‫[ص] کی مثلث (ا ب ج) متساوی الاضلاع باشد بجهت آنک (ا ب) (ا ج) کی از مرکز (د ج ب) بمحیط او رفته اند متساوی اند  ‫[حد]‫ وهمچنین (ب ا) (ب ج) بسبب انک از مرکز (ه ج ا) بمحیط او رفته اند بس (ا ج) (ب ج)  بسبب انک هر دو مساوی (ا ب) اند متساوی باشند  ...  ...  ...  ... 
(7) atra abarekhā ajarekhāsamānāsti | yato bajavṛttasya vyāsā(8)rdham asti |  punar bajarekhā baarekhāsamānāsti ajavṛttasya vyāsārdha(9)tvāt |  Cf. previous record      punar bajaṃ ajasamānaṃ jātaṃ abatulyatvāt |  tasmād bhujarekhātrayaṃ (10) mithaḥ samānaṃ jātam | 
             
Ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον,  καὶ συνέσταται ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τῆς ΑΒ. 
Therefore the triangle ABC is equilateral;  and it has been constructed on the given finite straight line AB. 
Equilaterum ergo est ABG trigonum.  Et constitutum est super datam rectam terminatam AB. 
فمثلث (ا ب ج) متساوى ٤٤ الاضلاع  وقد عمل خط (ا ب) المفروض 
ع* ومثلث (ا ب ج) متساوی الاضلاع  ... 
Cf. above line 9,5   
卽甲乙丙為平邊三角形。   
[Ἐπὶ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον ἰσόπλευρον συνέσταται]·  ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. 
  (Being) what it was required to do. 
  Quod oportebat facere. 
...  وذلك ما اردنا ان نبين.
قال ايرن ان قيل لنا لم قصد اوقليدس لان نبين كيف نعمل على خط مثلث متساوى الاضلا وقد كان يكتفى فى اعمل بالمثلث المتساوى الساقين دونه قلنا ان ذلك ليس هو بمجز عن عمل المثلث المتساوى الساقين لكن لان عمل المثلث المتساوى الاضلاع ااسهل على المبتدى بالتعلم واوجز
واذا حصل هذا حصل ذاك وليس يحصل هذا اذا حصل ذاك وقد نبهنا عمل مثلث متساوى الساقين على خط مستقيم معلوم ابتداء بهذا الوجه
وليكن الخط (ا ب)
ونجعل (ا) مركزا ونخط ببعد (ا ب) قوس (ج) ثم نجعل (ب) مركزا ونخط ببعد (ب ا) قوس (د)
ونخرج خط (ا ب) على الاسقامة فى الجهتين الى قوس (ج د)
ف(ا ج) مثل (ا ب) و(ا ب) مثل (ب د) ف(ا ج) مثل (ب د)
ونجعل (ا ب) مشتركا ف(ج ب) اذا مثل (ا د)
ثم نجعل (ا) مركزا وندير ببعد (ا د) دائرة (د زح) تم نجعل (ب) مركزا ونخط ببعد (ب ج) دائرة (ج زح) ونخرج من نقطة (ز) التى هىنقاطع الدائرتين خطى (زا) (زب)
فلان نقطة (ا) مركز دائر( (زد ح) وقد خرج منها خطان مستقيمان الى محيطها فهما اذا متساويان فخط (ا ز) مساو لخط (ا د) وايضا فلان نقطة (ب) مركز لدائرة (ج زح) وقد خرج منها الى المحيط خطا (ب ز) و(ب ج) فهما اذا متساويان
فخط (ا ز) مساو لخط (ب ز)
ودلك ما اردنا ان نبين ع
والنحو الشانى على انيكون الخط المفروض اقصر من كل واحد من الخطين حتى الباقيين
فليكون (ب د) مثل (ا ب) وكذلك (ا ج) مثل (ا ب) على ما عملنا فى المتساوى الساقين
ونجعل نقطة (ا) مركز ونخط ببعد (ا د) دائرة (د ه ح)
ثم نجعل نقطة (ب) ونخط ببعد (ب ج) دائرة (ج ه ط ح) ونخرج (ط ا) و(ب ط)
فخط (ا ط) اطول من خط (ا د) اعنى من خط (ب ج) فهو اذا اطول من خط (ب ا) كثيرا
وخط (ط ب) مثل (ب ج) فخط (ط ا) اطول ايضا من خط (ط ب)
ومن البين ان خط (ط ب) اطول من خط (ب ا) اذ كان مساويا لخط (ب د).
والنحو الثالث ان يكون الخط المفروض اطول من كل واحد من الخطين
فليكن الخط المفروض خط (ا ب)
ونجعل نقطة (ا) مركزا ونخط ببعد (ب ا) دائرة (د ج ب ه) ثم نجعل نقطة (ب) مركزا ونخط ببعد (ا ب) دائرة (ا د ه)
ونخرج خطى (ا ج) (ب ح) يتقاطعان على نقطة (ز)
فمن البين ان خط (ا ب) اطول من كل واحد من خطى (ا ز) (ب ز)
وذلك ما اردنا ان نبين. ٤٨ 
...  وهو المراد 
   
  論曰。以甲為心。至圜之界。其甲乙線。與甲丙、甲丁、線等。以乙為心。則乙甲線。與乙丙、乙丁、線亦等。何者。凡為圜。自心至界。各線俱等故。界說十五旣乙丙等於乙甲。而甲而甲丙亦等於甲乙。卽甲丙亦等於乙丙。公論(p. 二二)
一三邊等。如所求。凡論有二種。此以是為論者。正論也。下倣此。
其用法。不必作兩圜。但以甲為心。乙為界。作近丙一短界線。乙為心。甲為界。亦如之。兩短界線交處。卽得丙。
諸三角形。俱推前用法作之。詳本篇廿二。(p. 二三) 
Βʹ 
Proposition 2. 
الشكل الثانى من المقالة الاولى 
(ب) 
(11) atha dvitīyaṃ kṣetram
第二題 
Πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι. 
To place at a given point (as an extremity) a straight line equal to a given straight line. 
A dato puncto date recte equam rectam ponere. 
نريد ان نبين كيف نصل بنقطة (ط) معلومة (ع) خطا مستقيما مساويا لخط مستقيم مفروض 
 
(12) tatraikābhīṣṭā rekhā kṛtāsti tad anyatrakṛtabindutas tattulyā rekhā (13) kartavyāstīti | 
一直線。線或內、或外、有一點。求以點為界。作直線。與元線等。 
Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ·  δεῖ δὴ πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι. 
Let A be the given point, and BC the given straight line.  Thus it is required to place at the point A (as an extremity) a straight line equal to the given straight line BC. 
Esto datus quidem punctus A. Data vero recta BG.  Oportet ergo a puncto A recte BG equam rectam ponere. 
فنجعل النقطة المفرضة (ا) والخط المفروض خط (ب ج)  ونبين كيف نصل نتقطة (ا) المفروضة خطا مستقيما مساويا الخط (ب ج) 
  می خواهیم کی از نقطه مفروض جون (ا) خطی محدود جون (ب ج) اخراج کنیم̈9  
(14) tatra binduḥ acihnaṃ kalpitaṃ rekhā bajaṃ kalpitam |  (15) acihnāt bacihnaparyantaṃ rekhā kāryā | 
法曰。有甲點。及乙丙線。  求以甲為界。作一線。與乙丙等。先以丙為心。乙為界。乙為心丙為界亦可作。作丙乙圜。第三求 
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ Β σημεῖον εὐθεῖα ἡ ΑΒ,  καὶ συνεστάτω ἐπ᾽ αὐτῆς τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΑΒ,  καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπ᾽ εὐθείας ταῖς ΔΑ, ΔΒ εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΒΖ,  καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΗΘ,  καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ Δ καὶ διαστήματι τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ. 
From the point A to the point B let the straight line AB be joined; [Post. 1]  and on it let the equilateral triangle DAB be constructed. [I. 1]  Let the straight lines AE, BF be produced in a straight line with DA, DB; [Post. 2]  with centre B and distance BC let the circle CGH be described; [Post. 3]  and again, with centre D and distance DG let the circle GKL be described. [Post. 3] 
Copuletur enim a puncto A in punctum B recta AB  et constituatur super ipsam trigonum equilaterum DAB.  Et educantur in directo rectis DA et DB recte AE et BZ.  Et centro quidem B, diastimati vero BG circulus scribatur GIT.  Et rursus centro D et spatio DI circulus scribatur IKL. 
فنصل بين نقطة (ا ب) بخط (ا ب)  ونعمل عليه مثلث متساوى الاضلاع كما عملنا فى الشكل الاول من هذا المقال وليكن مثلث (ا د ب)  ونخرج خطى (د ا) (د ب) على الاستقامة الاستقمة ولا نجعل لهما حدا  ثم نجعل نقطة (ب) مركزا ونخط ببعد (ب ج) دائرة (ج ه ز)  ثم نجعل نقطة (د) مركزا ونحظ ببعد (د ه) دائرة (د ه ط) 
میان (ا) و یکی از دو طرف خط به (ا ب) وصل کنیم  ص* و بر (ا ب) مثلث (ا ب د) متساوی الاضلاع بسازیم  ا* و (د ا) و (د ب) تا (ه) (ز) اخراج کنیم  ص* و بر (ب) ببعد (ب ج) دایره (ج ح ز) بکشیم  و بر (ب) ببعد (ب ج) دایره (ج ح ز) بکشیم ص* و بر (د) ببعد (د ز) دایره (ز ط ه) بس (ا ه) مراد باشد 
  (16) abarekhopari samatribhujaṃ abadaṃ kāryaṃ |    ba(17)kendrakaṃ bajena vṛttaṃ jajhavasaṃjñaṃ kāryaṃ |  da(18)barekhā dīrghā vṛttapālimilitā jhasaṃlagnā ca (19) kāryā | punar dajhena dakendrakaṃ hajhatavṛttaṃ (20) kāryam | daarekhā dīrghā bṛhadvṛttapāliha(21)saṃlagnā kāryā |
(22) tatra aharekhā bajarekhayā samānā jātā | (23) kutaḥ | 
次觀甲點、若在丙乙之外。則自甲至丙。作甲丙線。第一求如上前圖。或甲在丙乙之內。則截取甲至丙一分線。如上後圖。兩法俱以甲丙線為底。  任於上下作甲丁丙平邊三角形。本篇一。  次自三角形兩腰線引長之第二求其丁丙、引至丙乙圜界而止。為丙戊線。其丁甲、引之出丙乙圜外、稍長。為甲己線。  As did Clavius  末以丁為心。戊為界。作丁戊圜。其甲己線、與丁戊圜、相交於庚。 
Ἐπεὶ οὖν τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΗΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ.  πάλιν, ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΚΛΗ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΔΗ, ὧν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν.  λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΛ λοιπῇ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση.  ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ ἴση·  ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΛ, ΒΓ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση.  τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα·  καὶ ἡ ΑΛ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστὶν ἴση. 
Then, since the point B is the centre of the circle CGH,BC is equal to BG.  Again, since the point D is the centre of the circle GKL, DL is equal to DG. And in these DA is equal to DB;  therefore the remainder AL is equal to the remainder BG. [C.N. 3]  But BC was also proved equal to BG;  therefore each of the straight lines AL, BC is equal to BG.  And things which are equal to the same thing are also equal to one another; [C.N. 1]  therefore AL is also equal to BC. 
Quoniam ergo B punctus centrum est circuli GIT, equalis est recta BG recte BI.  Rursus quoniam D punctus centrum est circuli IKL, equalis est recta DL recte DI, quarum DA recte DB equalis est,  reliqua ergo AL relique BI equalis est.  Ostensa est autem et BG recta recte BI equalis.  Utraque ergo rectarum AL et BG recte BI est equalis.  Que vero eidem equalia, et alternis equalia sunt.  Et recta ergo AL recte BG est equalis. 
فلان نقطة (ب) مركز لدائرة (ج ه ح) وقد خرج منها خطا (ب ج) (ب ه) الى محيطها فمن البين انهما متساويان.  وايضا فان نقطة (د) مركز لدائرة (زه ج ط) وقد خرج منها خطا (د ذ) (د ه) الى محيط الدائرة فمن البين انهما متساويان وقد كنا عملنا مثلث (ا ب د) متساويين الاضلاع نخط (د ا) مساو لخط (د ب) فاذا اسقطناهما من خطى (د ه) (د ز)  يبقى خط (ا ز) مساويا لخط (ب ه)  وقد كنا بينا ان خط (ب ج) مساو لخط (ب ه)  فكل واحد من خطى (ا ز) (ب ج) مساو لخط (ب ه)  والمساوية لشى واحد متساوية  فخط (ا ز) اذا مساو لخط (ب ج) 
باشد بجهت انک (ب ج) (ب ز) متساویانند جه از مرکز (ج ح ز) بمحیط او رفته اند  حد* و همجنین (د ه) (د ز) بجهت انک از مرکز (ز ط ه) بمحیط او رفته اند و (د ا) مساوی (د ب) بود  بس (ب ز) (ا ه) متساوی شوند  ع* بس (ا ه) (ب ج) کی مساوی (ب ز) اند متساوی باشند10     ...  ... 
  (10,1) daharekhādajharekhayoḥ samānatvam asti | (2) tatra daarekhā dabarekhāsamānāsti |  tasmāt (3) aharekhā bajharekhā ca samānā jātā |  punar bajha(4)rekhā bajarekhā ca samānāsti |      tasmāt (5) aharekhā bajarekhāsamānāstīti siddham || 
卽甲庚線、與乙丙線等。  論曰。丁戊、丁庚線。同以丁為心。戊、庚、為界。故等。界說十五於丁戊線減丁丙。丁庚線減丁甲。其所減兩腰線等。則所存亦等。公論三  夫丙戊、與丙乙。同以丙為心。戊、乙、為界。亦等。界說十五  卽甲庚、與丙乙等。公論一。 (p. 二四)    See previous Chinese sentence  See above 
Πρὸς ἄρα τῷ δοθέντι σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴση εὐθεῖα κεῖται ἡ ΑΛ·  ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. 
Therefore at the given point A the straight line AL is placed equal to the given straight line BC.  (Being) what it was required to do. 
A dato ergo puncto A date recte BG equa recta iacet AL.  Quod oportebat facere. 
فقد وصلنا بنقطة (ا) المفروضة خط (ا ز) المستقيم مساويا لخط (ب ج) المفروض الموضوع  وذلك ما اردنا ان نبين.
قوله نريد ان نصل بنقطة موفروض خطا انما عنى به ان يكون النقطة طرف الخط الذى وصل بها

فان ذلك هو الذى احطج اليه فى المعل فى هذا الكتاب وقدمه ٥٠ ولى سائر الاتصالات منها
ان يكون الخط المفروض مثل خط (ب ج) والنقطة المفروضة يكون وضعها على الخط نفسه مثل مقطة (ا)
نريد ان نل بنقطة (ا) خطا مستقيما مساويا لخط (ب ج) ولتكن نهاية الخط اعنى طرفه تنتى الى نقطة (ا) فنعمل على احد قسم الخط اعنى قسم (ا ب) مثلث متساوى الاضلاع وذلك بحسب برهان الشكل الاول من هذا المقلاة وليكن مثلث (ا ب د)
ونخرج خطى (د ب) (د ا) على الاستقامة ولا نعجل الخراجهما حدا حتى اذا ادرنا الدوائر فضل من الخطين فضول
ثم نجعل نقطة (ب) مركزا ونخط ببعد (ب ج) دائرة (ج ه ز)
فمن البين ان خط (ب ج) مساو لخط (ب ز)
وايضا فانن نجعل نقطة (د) مركزا ونجل ببعد (د ز) دائرة (زح ط) فمن البين ان خط (د ز) مساو لخط (د ح)
فاذا سقطنا خطى (د ا) (د ب) المتساويين من خطى (د ز) و(د ح) امتساويين بقى خط (ب ز) مساويا لخط (ا ح)
وقد كنا بينا ان خط (ب ز) والمساوية لشى واحد متساوية
فخط (ا ح) اذا مثل خط (ب ج)
فقد وصلنا بنقطة (ا) خط (ا ح) مساويا لخط (ب ج) ونقطة (ا) نهاية
وذلك ما اردنا ان نبين. ع
وايضا فلا يكونن نقطة (ا) فى نهاية الخط المطلوب ولكن يجتز عليها
فنعمل على خط (ب ا) مثلث متساوى الاضلاع وهو (ا د ب) ونخرج خطى (د ا) (د ب) غلى استقامة ونجعل نقطة (ا) مركزا ونخط ببعد (ا ج) قوس (ج ه)
فمن البين ان خط (ا ج) مثل خط (ا ه) وخط (ب ا) مثل خط (د ا)
فخط (ب ج) مثل خط (د ه)
وذلك ما اردنا ان نبين. ٥٢ 
...  ع* و هوالمراد
و من می کویم این شکل را اختلاف وقوع است جه نقطه مفروضه شاید کی بر خط محدود نباشد و حینئذ یا مسامت خط نباشد جنانک رفت یا باشد و شاید کی بر خط محدود باشد یا برو یا بر طرف او و این جهار وضع است بیان اول جنانک رفت و (ا ب) یا اقصر باشد از (ب ج) و مثلث داخل دایره (ج ح ز) افتد جنانک ٢١رفت یا مساوی او باشد و دایره بهر دو نقطه (ا د) بکذرد یا اطول ازو و محیط او هر دو ضلع (ا ب) (ب د) قطع کند و ایشان برین وجه باشند بیان دوم همجون بیان اولست و درو سه صورت افتد برین وجه و در بیان سیوم احتیاج توصل کردن میان نقطه و طرف خط نباشد جه (ا ب) بعضی از (ب ج) باشد و درو جز یک صورت واقع نشود برین وجه و در بیان جهارم هیج احتیاج نیست الا بانک بر طرف خط ببعد او دایره بکشیم و از مرکز خطی تا بمحیط بیرون بریم 
   
  若所設甲點。卽在丙乙線之一界。其法尤易。假如點在丙。卽以丙為心。作乙戊圜。從丙至戊、卽所求。 
Γʹ 
Proposition 3. 
الشكل الثلاث من المقالة الاولى 
[ج] 
(6) atha tṛtīyaṃ kṣetram
第三題 
Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην εὐθεῖαν ἀφελεῖν. 
Given two unequal straight lines, to cut off from the greater a straight line equal to the less. 
A duabus rectis inequalibus a maiore minori equalem rectam auferre. 
نريد ان نبين كيف نفصل (ع) من اطول خطين مختلفين مفرضين مثل اقصرهما (ط) 
 
(7) yatra bṛhadrekhā laghurekhā ca jñātāsti tatra laghurekhātulyaṃ (8) khaṇḍaṃ bṛhadrekhātaḥ bhinnaṃ karttavyam astīti cet
兩直線。一長一短。求於長線、減去短線之度。 
Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, Γ, ὧν μείζων ἔστω ἡ ΑΒ·  δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάσσονι τῇ Γ ἴσην εὐθεῖαν ἀφελεῖν. 
Let AB, C be the two given unequal straight lines, and let AB be the greater of them.  Thus it is required to cut off from AB the greater a straight line equal to C the less. 
Sint due date recte inequales AB, G quarum maior sit AB.  Oportet ergo a maiore AB minori g equalern rectam auferre. 
الخطين المفروضين خطى (ا ب) (ب ج)  ونبين كيف نفصل من (ا ب) الاطول مثل (ب ج) الاقصر 
  می خواهیم که فصل کینم از درازترین دو خط جون (ا ب) مساوی کوتاه ترین ایشان جون (ج) 
(9) tadā bṛhadrekhā abasaṃjñā laghurekhājasaṃjñā kalpitā |   
法曰。甲短線。乙丙長線。  求於乙丙、減甲。 
Κείσθω πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ Γ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΑΔ·  καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Α διαστήματι δὲ τῷ ΑΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΕΖ. 
At the point A let AD be placed equal to the straight line C; [I. 2]  and with centre A and distance AD let the circle DEF be described. [Post. 3] 
Iaceat a puncto A recte G recta equalis AD.  Et centro quidem A, diastimati vero AD circulus scribatur DEZ. 
فنصل بنقطة (ا) التى هى طرف خط (ا ب) خطا مساويا لخط (ب ج) كما بين ببرهان (ب) من (ا) ويكن خط (ا د)  ثم نجعل نقطة (ا) مركزا ونخط ببعد (ا د) دائرة (د ه ز) 
از نقطه (ا) (ا د) بیرون اریم مساوی (ج) ب*  بر (ا) ببعد (ا د) دایره (د ه ز) بکشیم ص* 
tatra acihnāt (10) adarekhā jasamānā niṣkāśanīyā pūrvoktaprakāreṇa |  (11) punaḥ akendraṃ kṛtvā adena (12) dahajhavṛttaṃ kāryam | 
先以甲為度。從乙引至別界。作乙丁線。本篇二  次以乙為心。丁為界。作圜。第三求圜界與乙丙、交於戊。 
Καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΑΔ·  ἀλλὰ καὶ ἡ Γ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση.  ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΕ, Γ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση·  ὥστε καὶ ἡ ΑΕ τῇ Γ ἐστιν ἴση. 
Now, since the point A is the centre of the circle DEF, AE is equal to AD. [Def. 15]  But C is also equal to AD.  Therefore each of the straight lines AE, C is equal to AD;  so that AE is also equal to C. [C.N. 1] 
Et quoniam a punctus centrum est circuli DEZ, equalis est recta AE recte AD.  Sed et G recta recte AD est equalis.  Utraque ergo rectarum AE et G recte AD est equalis.  Quare et AE recte G equalis est. 
فمن البين ان خط (ا ه) مثل خط (ا د)  وكنا وصلنا (ا د) بنقطة (ا) على انه مساو لخط (ب ج)  فخطا (ب ج) (ا ه) كل واحد منهما مساو لخط (ا د)
ومساوية لشى واحد فهى متساوية 
فخط (ا ه) مثل خط (ب ج) 
...  ...  ... 
Cf. next record  Cf. next record  idaṃ abarekhātaḥ (13) adarekhāsamānaṃ ajharekhāṃ pṛthak (14) karoti |  tasmāt ajharekhā jare(15)khāsamānā jātā || 
卽乙戊、與等甲之乙丁等。蓋乙丁、乙戊。同心、同圜故。界說十五。  See previous  See previous  See previous 
Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων τῶν ΑΒ, Γ ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάσσονι τῇ Γ ἴση ἀφῄρηται ἡ ΑΕ·  ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. 
Therefore, given the two straight lines AB, C, from AB the greater AE has been cut off equal to C the less.  (Being) what it was required to do. 
Datis ergo duabus rectis inequalibus AB et GA maiore AB minori G equalis recta ablata est AE.  Quod oportebat ostendere. 
فقد فصلنا من خط (ا ب) الاعظم مثل خط (ب ج) الاصغر  وذلك ما اردنا ان نبين 
جه منفصل شود بمحیط او از (ا ب) (ا ز) مساوی (ا د) حد* اعنی (ج)   و هوالمراد ،، و من می کویم این شکل را اختلاف وقوع است جه (ا ب) و (ج) یا متلاقی نباشد جنانک رفت یا باشند در طرف هر دو یا وسط هر دو یا طرف اطول و وسط اقصر یا عکس ان و عمل در اول ان است کی بر نقطه (ا) ببعد (ا ج) دایره (ج ز) بکشیم و در باقی انک از (ا) (ا ه) بیرون اریم مساوی (ج د) و بر (ا) ببعد (ا ه) دایره (ز ه) بکشیم جه (ا ز) جدا شود از (ا ب) مساوی (ج د) و هوالمراد 
   
  (p. 二五) 
Δʹ 
Proposition 4. 
الشكل الرابع من المقالة الاولى 
(د) 
(16) atha caturthaṃ kṣetram
第四題 
Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς [ταῖς] δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἕξει, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ᾽ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. 
If two triangles have the two sides equal to two sides respectively, and have the angles contained by the equal straight lines equal, they will also have the base equal to the base, the triangle will be equal to the triangle, and the remaining angles will be equal to the remaining angles respectively, namely those which the equal sides subtend. 
Si duo trigona duo latera duobus lateribus equalia habent, utrumque utrique, et angulum angulo equalem habent sub illis equalibus rectis contentum, et basim basi equam habebunt. Et trigonum trigona equale erit et reliqui anguli reliquis angulis equales erunt, uterque utrique, quibus equalia latera subtenduntur. 
اذا تساوت زاويتان (ع) من مثلثين وتساوت اضلاعهما المخيطة بهحما كل ضلع ونظيته تساوت (ط) قاعدتاهما وسائر زواياهما كل زاوية ونظيرتها وتساوى المثلثان 
هر کاه کی دو ضلع از مثلثی و زاویه کی میان ایشان باشد مساوی دو ضلع باشد از مثلثی دیکر و زاویه کی میان ایشان بود  
(17) yatra tribhujadvayam asti tatraikatribhujasya bhujadvayaṃ tadantarga(18)takoṇaś ca dvitīyatribhujasya bhujadvayena tadantargatakoṇena ca (19) samānaṃ bhavati tadā prathamatribhujasya śeṣakoṇadvayaṃ tṛtīya (11,1) bhujaś ca dvitīyatribhujasya koṇābhyāṃ tṛtīyabhujena ca samānaṃ (2) bhavati | 
兩三角形。若相當之兩腰線各等。各兩腰線間之角等。則兩底線必等。而兩形亦等。其餘各兩角相當者俱等。 
Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δυσὶ πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ καὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσην.  λέγω, ὅτι καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν,  καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἔσται,  καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ᾽ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν,  ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ. 
Let ABC, DEF be two triangles having the two sides AB, AC equal to the two sides DE, DF respectively, namely AB to DE and AC to DF, and the angle BAC equal to the angle EDF.  I say that the base BC is also equal to the base EF,  the triangle ABC will be equal to the triangle DEF,  and the remaining angles will be equal to the remaining angles respectively, namely those which the equal sides subtend,  that is, the angle ABC to the angle DEF, and the angle ACB to the angle DFE. 
Sint duo trigona ABG et DEZ, duo latera AB et AG duobus lateribus DE et DZ equa habentia, utrumque utrique, AB quidem ei quod est DE atque AG ei quod est DZ et angulum BAG angula EDZ equalem.  Dico quoniam et basis BG basi EZ equalis est  et ABG trigonum DEZ trigono equale erit.  Et reliqui anguli reliquis angulis equales erunt, uterque utrique, quibus equalia latera subtenduntur.  Angulus quidem ABG angula DEZ, angulus vero AGB angulo DZE. 
مثاله ان زاويتى (ب ا ج) (ه د ز) مثلثى (ا ب ج) (د ه ز) متساويتان وضلع (ا ب) مثل ضلع (د ه) وضلع (ا ج) مثل ضلع (د ز)  فاقول ان قاعدة (ب ج) موساوية لقاعدة (ه ز)      وزاوية (ا ب ج) مساوية لزاوية (د ه ز) وزاوية (ا ج ب) مساوية لزاوية (د ز ه) ومثلث (ا ب ج) مساو لمثلث (د ه ز) 
هر یکی هر نظیر خود را جون (ا ب) (د ه) را و (ا ج) (د ز) را و زاویه (ا) زاویه (د) را  ان دو ضلع دیکر  ...  و زوایا باقیه متساوی باشد  ... 
(3) tatra prathamatribhujaṃ abajaṃ dvitīyatribhujaṃ dahajhaabadahasamaṃ ajaṃ (4) dajhasamaṃ ca kalpitaṃ akoṇadakoṇau (5) ca samau kalpitau |  tadā bajahajhasamaṃ (6) bhaviṣyanti      bakoṇahakoṇau samānau (7) jakoṇajhakoṇau ca samānau bhaviṣyataḥ (8) kṣetraṃ ca kṣetrasamānaṃ bhaviṣyati | 
解曰甲乙丙、丁戊已、兩三角形之甲、與丁、兩角等。甲丙、與丁己、兩線。甲乙、與丁戊、兩線。各等。  題言乙丙、與戊己、兩底線必等。  而兩三角形亦等。    甲乙丙、與丁戊己、兩角。甲丙乙、與丁己戊、兩角。俱等。(p. 二六) 
Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Α σημείου ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον τῆς δὲ ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΔΕ, ἐφαρμόσει καὶ τὸ Β σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ τῇ ΔΕ·  ἐφαρμοσάσης δὴ τῆς ΑΒ ἐπὶ τὴν ΔΕ ἐφαρμόσει καὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΔΖ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΔΖ·  ὥστε καὶ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον ἐφαρμόσει διὰ τὸ ἴσην πάλιν εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΔΖ.  ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Β ἐπὶ τὸ Ε ἐφηρμόκει· ὥστε βάσις ἡ ΒΓ ἐπὶ βάσιν τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει.  εἰ γὰρ τοῦ μὲν Β ἐπὶ τὸ Ε ἐφαρμόσαντος τοῦ δὲ Γ ἐπὶ τὸ Ζ ἡ ΒΓ βάσις ἐπὶ τὴν ΕΖ οὐκ ἐφαρμόσει, δύο εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσιν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.  ἐφαρμόσει ἄρα ἡ ΒΓ βάσις ἐπὶ τὴν ΕΖ καὶ ἴση αὐτῇ ἔσται·  ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἐπὶ ὅλον τὸ ΔΕΖ τρίγωνον ἐφαρμόσει καὶ ἴσον αὐτῷ ἔσται,  καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἐπὶ τὰς λοιπὰς γωνίας ἐφαρμόσουσι καὶ ἴσαι αὐταῖς ἔσονται,  ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ. 
For, if the triangle ABC be applied to the triangle DEF, and if the point A be placed on the point D and the straight line AB on DE, then the point B will also coincide with E, because AB is equal to DE.  Again, AB coinciding with DE, the straight line AC will also coincide with DF, because the angle BAC is equal to the angle EDF;  hence the point C will also coincide with the point F, because AC is again equal to DF.  But B also coincided with E; hence the base BC will coincide with the base EF.  [For if, when B coincides with E and C with F, the base BC does not coincide with the base EF, two straight lines will enclose a space: which is impossible.  Therefore the base BC will coincide with EF] and will be equal to it. [C.N. 4]  Thus the whole triangle ABC will coincide with the whole triangle DEF, and will be equal to it.  And the remaining angles will also coincide with the remaining angles and will be equal to them,  the angle ABC to the angle DEF, and the angle ACB to the angle DFE. 
Coaptato enim ABG trigono super DEZ trigonum et posito a quidem puncto super D punctum, recta vera AB super rectam DE, coaptabit et B punctus super punctum E eo quod equalis est recta AB recte DE.  Coaptata vero recta AB super rectam DE, coaptabitur et AG recta super rectam DZ eo quod equalis sit BAG angulus angulo EDZ.  Quare et G punctus super Z punctum coaptabitur eo quod equalis rursus sit recta AG recte DZ.  Sed et B super E coaptatum erat. Quare basis BG super basim EZ coaptabitur.  Si enim B quidem super E coaptato, G vero super Z, basis BG super basim EZ non coaptabitur, due recte spatium continebunt. Quod est impossibile.  Coaptabitur ergo basis BG super EZ et equalis ipsius erit.  Quare et totum ABG trigonum super totum DEZ trigonum coaptabitur et equale ipsius erit.  Et reliqui anguli super reliquos angulos coaptabuntur et equales ipsis erunt.  Angulus quidem ABG angulo DEZ, angulus vero AGB angulo DZE. 
برهان انا اذا ركبنا مثلث (ا ب ج) على مثلث (د ه ز) فانا نبتدى فنركب نقطة (ا) على نقطة (د) وخط (ا ب) على خط (د ه) فاذا فعلنا ٥٤ ذلك تركبت نقطة (ب) على نقطة (ه) لان خط (ا ب) مثل خط (د ه)  وايضا اذا ركبنا زاوية (ب ا ج) على زاوية (ه د ز) تركبتا لانهما متساويتان وتركب خط (ا ج) على خط (د ز)  وتركبت نقطة (ج) على نقطة (ز) لان خطى (ا ج) (د ز) متساويان  ...  ...  فمن البين ان خط (ب ج) يتركب على خط (ه ز)  ويتركب المثلت على المثلت  ...  فتصير زاوية (ا ب ج) مساوية لزاية (د ه ز) وزاوية (ا ج ب) مساوية لزاوية (د زه) 
جه ما جون توهم کنیم تطبیق (ب ا) بر (ه د) (ب) بر (ه) منطبق کردد *ص و (ب ا) بر (د ه) بسبب استقامت ایشان ص* و (ا) بر (د) بسبب تساوی خطین *ع   ص* و (ا) بر (د) بسبب تساوی خطین *ع و زاویه (ا) بر زاویه (د) بسبب مساواة *ع و (ا ج) بر (د ز) بسبب استقامت *ص و (ج) بر (ز) بسبب تساوی خطین *ع   ...  ...  و بضرورت (ب ج) بر (ه ز) منطبق کردد والا دو خط مستقیم بیک سطح محیط شوند و این باطل است *ص  ...    بس انطباق حق باشد و ازینجا تساوی باقی زوایا و هر دو مثلث لازم اید بسبب انطباق ایشان بر نظایر ایشان  ... 
  (9) atropapatti | (10) tatra abarekhā daharekhāyāṃ nyastā akoṇo dakoṇe nyastaḥ ajaṃ (11) dajhopari ca nyastam |        evaṃ kṛte bajahajhopari sthāsyati yato rekhādvayaṃ (12) saralam |      bajakoṇau hajhakoṇayoḥ sthāsyatas tadā kṣetraṃ kṣetrasamānaṃ (13) bhaviṣyati || 
論曰。如云乙丙、與戊己、不等。卽令將甲角置丁角之上。  兩角必相合、無大小。甲丙、與丁己。甲乙、與丁戊。亦必相合,無大小。公論八 此二俱等。  Cf. previous record.    而云乙丙、與戊己、不等。必乙丙底或在戊己之上、為庚。或在其下、為辛矣。戊己旣為直線而戊庚己又為直線則兩線當別作一形是兩線能相合為形也辛倣此。公論十二此以非為論者。駁論也。下倣此。         
Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς [ταῖς] δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἕξει, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ᾽ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·  ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 
Therefore etc.  (Being) what it was required to prove. 
Si ergo duo trigona duo latera duobus lateribus equa habent, utrumque utrique, et angulum angulo equalem habent et que deinceps.  Quod oportebat ostendere. 
فقد تساوى المثلثان  وذلك ما اردنا ان نبين ع
فان تركب ضلع (ا ب) على ضلع (د ه) وزاوية (ا) على زاوية (د) وضلع (ا ج) على ضلع (د ز) ولم تتركب قاعدة (ه ز) على قاعدة (ب ج) وصار وضقاعدة (ب ج) من قاعدة (ه ز) كوضع خط (زح ه) وخط (زح ه) مستقيم فقد احاط بسطح (زح) المستقيم الحطوط خطان مستقيمانوذلك غير ممكن.1  
...  و هوالمراد  
   
   
Εʹ 
Proposition 5. 
الشكل الخامس من المقالة الاولى 
(ه) 
(14) atha pañcamaṃ kṣetram
第五題 
Τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, 2   καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται. 
In isosceles triangles the angles at the base are equal to one another,  and, if the equal straight lines be produced further, the angles under the base will be equal to one another. 
Equicrurium trigonorum anguli qui ad basim equales sibi invicem sunt.  Et eductis equalibus rectis anguli qui sub basi equales altemis erunt. 
كل مثلث مستساوى (ع) الساقين فان زاويتيه اللتين تقعان فوق القاعدة متساويتان (ط)  وان اخرج ضلعاه (ع) المتساويان فان ازاويتين اللتين تقعان تحت القاعدة ايضا متساويان (ط) 
دو زاویه کی بر قاعده مثلث متساوی الساقین باشند   
(15) tatra yasya tribhujasya bhujadvayaṃ samānaṃ tasya tṛtīyabhujopari (16) saṃlagnakoṇadvayaṃ samānaṃ bhavati atha bhujadvayaṃ svamārgavṛddham (17) sat tṛtīyabhujādhaḥsamutpannakoṇadvayam api samānaṃ bhavati
三角形。若兩腰等。則底線兩端之兩角等。  而兩腰引出之。其底之外兩角亦等。 
Ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ πλευρὰν τῇ ΑΓ πλευρᾷ,  καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ἐπ᾽ εὐθείας ταῖς ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι αἱ ΒΔ, ΓΕ·  λέγω, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΕ. 
Let ABC be an isosceles triangle having the side AB equal to the side AC;  and let the straight lines BD, CE be produced further in a straight line with AB, AC. [Post. 2]  I say that the angle ABC is equal to the angle ACB, and the angle CBD to the angle BCE. 
Sit trigonus isoskeles ABG equum habens latus AB ei lateri quod est AG.  Et educantur in directo rectis abet AG recte BD et GE.  Dico quoniam angulus quidem ABG angulus AGB est equalis. Angulus autem GBD angulo BGE. 
مثاله ان مثلث (ا ب ج) متساوى الساقين وهما ساقا (ا ب) (ا ج)  وقد اخرجا على الاستقامة الى نقطتى (د ه)  فاقول ان زاويتى (ا ب ج) [ا ب ج] اللتين فوق القاعدة متساويان وان زاويتى (ج ب د) و(ب ج ه) ايض متساويتان. 
    جون (ا ب ج) (ا ج ب) متساوی باشند و همچنین دو زاویه کی در شیب قاعده حادث شوند جون (د ب ج) (ه ج ب) اکر اخراج ساقان کنند جون (ا ب) (ا ج) متساوی تا (د) و (ه) 
(18) atha abajatribhuje abaajasamānam asti tadā (19) abajakoṇaajabakoṇau samānau bhaviṣyataḥ |  punaḥ (20) abarekhā daparyantaṃ haparyantaṃ ajarekhā ca vardhitā |  (21) tataḥ samutpannau bajahakoṇajabadakoṇau bajarekhādhaḥ (22) sthitau samānau bhavataḥ | 
解曰。甲乙丙三角形。其甲丙、與甲乙、兩腰等。    題言甲丙乙與甲乙丙兩角等, 又自甲丙線任引至戊, 甲乙線任引至丁, 其乙丙戊與丙乙丁兩外角亦等。 
Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΔ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΕ τῇ ἐλάσσονι τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ, ΗΒ εὐθεῖαι. 
Let a point F be taken at random on BD; from AE the greater let AG be cut off equal to AF the less; [I. 3] and let the straight lines FC, GB be joined. [Post. 1] 
Sumatur enim in recta BD quodlibet punctum sitque Z et auferatur a maiore AE minori AZ equalis AI et copulentur ZG et IB recte. 
برهانه انا نعلم (نعمل) على خط (ا د) نقطة من خط (ا ه) خط (ا ح) مساويا ٥٦ لخط (ا ز) كما بين ببرهان (ج) من (ا) وضل خطا (ج ز) (ب ح) 
جه تعیین کنیم بر (ب د) نقطه (ز) کیف اتفق *ص و فصل کنیم از (ج ه) (ج ح) مساوی (ب ز) *ج و وصل کنیم (ب ح) (ج ز) *ص 
(23) atropapattiḥ | (24) badarekhāyāṃ jhacihnaṃ1 kuryāt | jaharekhāyāṃ bajharekhāsamānā java(12,1)rekhā pṛthak kāryā | bavarekhā jajharekhā ca kāryā | 
論曰。試如甲戊線稍長。卽從甲戊截取一分。與甲丁等。為甲己。本篇三 次自丙至丁乙至己。各作直線。第一求卽甲己乙、甲丁丙、兩三角形必等。 
Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΖ τῇ ΑΗ ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΑΓ, δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΗΑ, ΑΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·  καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν ὑπὸ ΖΑΗ·  βάσις ἄρα ἡ ΖΓ βάσει τῇ ΗΒ ἴση ἐστίν,  καὶ τὸ ΑΖΓ τρίγωνον τῷ ΑΗΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται,  καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ᾽ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν,  ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΗ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΖΓ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ.  καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ ΑΖ ὅλῃ τῇ ΑΗ ἐστιν ἴση, ὧν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ λοιπῇ τῇ ΓΗ ἐστιν ἴση.  ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΓ τῇ ΗΒ ἴση·  δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΓ δυσὶ ταῖς ΓΗ, ΗΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·  καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση, καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΒΓ·  καὶ τὸ ΒΖΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΓΗΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ᾽ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·  ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ.  ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΖ γωνίᾳ ἐδείχθη ἴση,  ὧν ἡ ὑπὸ ΓΒΗ τῇ ὑπὸ ΒΓΖ ἴση,  λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση·  καί εἰσι πρὸς τῇ βάσει τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.  ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἴση·  καί εἰσιν ὑπὸ τὴν βάσιν. 
Then, since AF is equal to AG and AB to AC, the two sides FA, AC are equal to the two sides GA, AB, respectively;  and they contain a common angle, the angle FAG.  Therefore the base FC is equal to the base GB,  and the triangle AFC is equal to the triangle AGB,  and the remaining angles will be equal to the remaining angles respectively, namely those which the equal sides subtend,  that is, the angle ACF to the angle ABG, and the angle AFC to the angle AGB. [I. 4]  And, since the whole AF is equal to the whole AG, and in these AB is equal to AC, the remainder BF is equal to the remainder CG.  But FC was also proved equal to GB;  therefore the two sides BF, FC are equal to the two sides CG, GB respectively;  and the angle BFC is equal to the angle CGB, while the base BC is common to them;  therefore the triangle BFC is also equal to the triangle CGB, and the remaining angles will be equal to the remaining angles respectively, namely those which the equal sides subtend;  therefore the angle FBC is equal to the angle GCB, and the angle BCF to the angle CBG.  Accordingly, since the whole angle ABG was proved equal to the angle ACF,  and in these the angle CBG is equal to the angle BCF,  the remaining angle ABC is equal to the remaining angle ACB;  and they are at the base of the triangle ABC.  But the angle FBC was also proved equal to the angle GCB;  and they are under the base. 
Quoniam ergo equalis est recta quidem AZ reete AI, recta vero AB recte AG, duo que sunt ZA et AG duobus que sunt IA et AB equalia sum, utrumque utrique,  et angulum communem continent qui est ZAT,  basis ergo Z basi IB equalis est  et AZG trigonum trigono AIB equale erit  et reliqui anguli reliquis angulis equales erunt, uterque utrique, quibus equalia latera subtenduntur.  Angulus quidem AGZ angulo ABI, angulus vero AZG angulo AIB.  Et quoniam tota AZ toti AI est equalis quarum recta AB recte AG est equalis, reliqua ergo BZ relique GI est equalis.  Ostensa vero est et ZG recte BI equalis,  due ergo que sunt BZ et ZG duabus que sunt GI et IB sunt equales, utraque utrique,  et angulus BZG angulo GIB equalis et basis ipsorum communis BG,  et BZG ergo trigonum trigono GIB equale erit et reliqui anguli reliquis angulis equales erunt, uterque utrique, quibus equa latera subtenduntur.  Equalis ergo est angulus quidem ZBG angulo IGB, angulus vero BGZ angulo GBI.  Quoniam ergo totus ABI angulus toti AGZ ostensus est equalis  quorum angulus GBI angulo BGZ equalis,  reliquus ergo ABG reliquo AGB est equalis  et sunt ad basim ABG trigoni.  Ostensus est autem et angulus ZBG angulo IGB equalis  et sunt sub basi. 
فلان خط (ا ز) مثل خط (ا ح) وخط (ا ب) مثل خط (ا ج) فضلع (ا ز) (ا ج) من مثلث (ا ج ز) مساويان لضلعى (ا ح) (ا ب) من مثلث (ا ب ح) كل ضلع مساو لنظير  وزاوية (ا) مستركة لمثلثى (ا ج ز) (ا ب ح)  لانها تحيط بها الاضلاع المتساوية فمن اجل برهان (د) من (ا) تكون قاعدة (ج ز) مساوية لقاعدة (ب ح)  ومثلث (ا ج ز) مثل (ا ب ح)  وسائر الزوايا مثل سائر الزوايا  زاوية (ا زج) مثل زاوية (ا ح ب) وزاوية (ا ج ز) مثل زاوية (ا ب ح)  ولانا كنا فصلنا خط (ا ح) مثل خط (ا ز) وساف (ا ب) فرض مساويا لساف (ا ج) فاذا اسقطنا (ا ب) (ا ج) المتساويين من (ا ز) (ا ح) المتساويين فمن البين بحسب المصادرة ان يبقى خط (ب ز) مثل خط (ج ح)  وقد بينا ان خط (ج ز) مثل خط (ب ح)  ...  وان زاوية (ب زج) مثل زاوية (ج ه ب) وقاعدة (ب ج) مشتركة  فبحسب برهان (د) من (ا) يكون مثلث (ج زب) مثل مثلث (ب ح ج) وسائر الزوايا مثل سائر الزاويا كل زاوية مثل نطيرتها  فزاوية (ج ب ز) التى تحت القاعدة مثل زاوية (ب ج ح) التى تحت القاعدة وزاوية (ب ج ز) مثل زاوية (ج ب ح)  وقد كنا بينا ان زاوية (ا ب ح) مساوية لزاوية (ا ج ز)  فاذا اسقطنا زاويتى (ب ج ز) (ج ب ح) المتساويتين  بقيت زاوية (ا ب ج) التى فوق القاعدة مساوية لزاوية (ا ج ب)  التى تحت فوق القاعدية  وقد تبين ان زاوية (ج ب ز) التى تحت القايدة مثل زاوية (ب ج ح)  التى تحت القايدة 
بس بسبب انک (ج ا) (ا ز) و زاویه (ا) مساوی (ب ا) (ا ج) است *ع     و زاویه (ا) ضلع (ج ز) جند (ب ح) باشد  ...  ...  و زاویه (ا ج ز) جند (ا ب ح) و زاویه (ز) جند (ح) *د  ...  ...  و دیکر بسبب انک (ب ز) (ز ج) و زاویه (ز) مساوی (ج ح) (ح ب) و زاویه (ح) است    ...  زاویه (ز ج ب) (ح ب ج) زاویه (ز ب ج) (ح ج ب) کی متساوی باشند   باشند و جون ایشانرا از زاویه (ا ج ز) (ا ب ح) متساوی تحت القاعده اند متساوی باشند *د  ...  بیندازیم باقی اعنی زاویه (ا ج ب) (ا ب ج)   کی بر قاعده اند   و هم بدین سبب متساوی باشند *ع  ... 
(2) ajajhatribhuje abavatribhuje jaabhujaḥ ajhabhujaḥ (3) akoṇaś ca baabhujena avabhujena akoṇena krameṇa (4) samānāḥ |  (Cf. previous record)  jajhabhujaḥ bavabhujaḥ etau samānau jātau |  Cf. above 12,2    (5) ajajhakoṇaabavakoṇau ca samānau jātau | jhako(6)ṇavakoṇāv api samānau jātau |      punaḥ jabajhatribhuje (7) bajavatribhuje ca bajhabhujaḥ jhajabhujaḥ jhakoṇaḥ krameṇa (8) javabhujena vababhujena vakoṇena samānāḥ |  Cf. previous record  tadā jabajhakoṇaḥ baja(9)vakoṇaḥ imau dvau samānau jātau |  punaḥ jhajabakoṇaḥ vabajakoṇaḥ imau (10) samānau jātau |  etau ajajhakoṇaabavakoṇayoḥ śodhitau |    śeṣau (11) ajabaabajakoṇau samānau bhavataḥ |       
論曰。試如甲戊線稍長。卽從甲戊截取一分。與甲丁等。為甲己。本篇三 次自丙至丁乙至己。各作直線。第一求卽甲己乙、甲丁丙、兩三角形必等。  何者此兩形之甲角同。 
Τῶν ἄρα ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν,  καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται·  ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 
Therefore etc.    Q. E. D. 
Equicrurium ergo trigonorum anguli qui ad basim equales sibi invicem sunt.  Et eductis equalibus rectis anguli qui sub basi equales alternis erunt.  Quod oportebat ostendere. 
...  ...  وذلك ما اردنا ان نبين. 
...  ...  و هوالمراد  
    idam evāsmākam iṣṭam || 
 
 
 
السكل الزائد ان قيل لنا لم قال البرهان على الزاويتين اللتين تحت القاعدة ولم نجده استعملهما فى كتابه قلنا انه علم ما يتشكك فى الشكل السبع وفى الشكل التاسع فقدم بيان ذلك ليحل به الذك سنبين ٥٨ ذلك فيهما
فانه قد كان يتهيأ ان نبين ان الزاويتين اللتين على القاعدة متساويتان غير استعمال تساوى سللين تحت القاعدة على هذا الطريق
ليكن ساقا (ا ب) (ا ج) من مثلث (ا ب ج) متساويين
فاقول ان زاوية (ا ب ج) مثل زاوية (ا ج ب)
برهان انا نعلم على خط (ا ب) نقطة (د) ونفصل من خط (ا ج) خط (ا ه) مساويا لخط (ا د)
ونحرج خطوط (د ه) (د ج) (ه ب)
فلان (ب ا) مثل (ا ج) وخط (ا د) مثل خط (ا ه) فان كل ضلعى (ا ج) (ا د) من مثلث (ا ج د) كل ضلع مساو لنظيرهوزاوية (ا) مشتركة للمثلثين
فبحسب برهان (د) من (ا) تكون قاعدة (ب ه) مثل قاعدة (ج د) وزاية (ا ه ب) مثل زاويدة (ا د ج) وزاوية (ا ب ه) مثل زاوية (ا ج د)
فنسقط خطى (ا د) (ا ه) المتساويين من خطى (ا ب) (ا ج) امتساويين فيبقى خط (د ب) مثل خط (ه ج)
وقد كنا بينا ان خط (ب ه) مثل خط (ج د) وان زاوية (د ب ه) مثل زاوية (ه ب د)
وقاعده (د ه) مشتركة
فبحسب برهان (د) من (ا) تكون زاوية (ب د ه) مثل زاوية (ج ه د)
وزاوية (ب ه د) مثل زاوية (ج د ه) فاذا اسقطناهما من زاويتى (ب د ه) و(ج ه د) المتساويتين بقيت زاوية (ب د ج) مساوية لزاويه (ب ه ج)
والاضلع المحيطة بهما متساوية كل ضلع مساو لنظيره وقاعدمة (ب ج) مشتركة لهما
فبحسب برهان (د) من (ا) تكون زاوية (ا ب ج) مثل زاوية (ا ج ب)
وذلك ما اردنا ان نبين.
 
و من می کویم این شکل را شکل مامونی خوانند  
(12) prakārāntareṇa pañcamaṃ kṣetram |
(13) tatra abarekhāyāṃ dacihnaṃ2 kāryam | adarekhātulyā aharekhā bhinnā (14) kāryā | tato daharekhā dajarekhā habarekhā (15) ca kāryā |
(16) adajatribhuje daabhujaḥ ajabhujaḥ a(17)koṇaś ca ahabatribhujasthena haabhujena a(18)babhujena akoṇena krameṇa samānaḥ |
tato (19) baharekhā dajarekhā parasparaṃ samānā jātā | abahakoṇaḥ ajadako(20)ṇaś caitāv api samānau jātau |
evaṃ badahatribhuje dababhujaḥ bahabhujaḥ (21) dabahakoṇaś ca dahajatribhujasya jahabhujena jadabhujena hajadakoṇena (22) samānaḥ |
punaḥ badahakoṇajajadakoṇau parasparaṃ samānau staḥ | bahada(23)koṇaḥ jadahakoṇaś ca parasparaṃ samānaḥ |
punaḥ badajakoṇaḥ bahajakoṇaś cai(24)tāv api samānau |
evaṃ badajatribhuje badabhujaḥ dajabhujaḥ badajakoṇaś ca (25) vahajatribhujasya jahabhujena hababhujena jahabakoṇena ca samānaḥ |
tato (26) abajakoṇaajabakoṇau samānau jātau |
tad evam abhīṣṭau koṇau siddhau || 
ς' 
Proposition 6. 
الشكل السادسن من المقالة الاولى 
(و) 
atha ṣaṣṭaṃ kṣtram
第六題 
Ἐὰν τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίαις ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται. 
If in a triangle two angles be equal to one another, the sides which subtend the equal angles will also be equal to one another. 
Si trigoni duo anguli equales alternis fuerint, et que angulis equalibus latera subtenduntur equalia alternis erunt. 
اذا تساوت (ع) زاويتان من مثلث فهو متساوى (ط) الساقين 
جون دو زاویه از مثلثی متساوی باشند جون (ب) و (ج) ان دو ضلع کی وتر ایشان باشند 
tatra yasya tribhujasya koṇadvayaṃ samānaṃ tatkoṇasaṃbandhi bhuj(2)advayaṃ api samānaṃ bhavati
三角形。若底線兩端之兩角等。則兩腰亦等。 
Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΑΓΒ γωνίᾳ:  λέγω, ὅτι καὶ πλευρὰ ἡ ΑΒ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση. 
Let ABC be a triangle having the angle ABC equal to the angle ACB;  I say that the side AB is also equal to the side AC. 
Esto trigonum ABG equum habens angulum ABG angulo AGB.  Dico quoniam et latus AB lateri AG est equale. 
مثاله ان زاويتى (ا ب ج) (ا ج ب) من مثلث (ا ب ج) متساويتان  فاقول ان ساف (ا ب) مثل ساف (ا ج) 
  جون (ا ج) (ا ب) متساوی باشند 
atropapattiḥ |
tatra abajatribhuje bajakoṇau sa(6)mānau | 
abaajam api samānam | 
Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ, ἡ ἑτέρα αὐτῶν μείζων ἐστίν.  ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάττονι τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΔΒ,  καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ. 
For, if AB is unequal to AC, one of them is greater.  Let AB be greater; and from AB the greater let DB be cut off equal to AC the less;  let DC be joined. 
Si enim inequalis est AB ei quod est AG, altera ipsarum maior erit.  Esto maior recta AB. Et auferatur a maiore AB minori AG equalis DB  et copuletur DG. 
برهان ان امكن ان يكون الزاويتان متساويتين ٦٠ والساقان غير متساويين فليكن سف (ا ب) اعظم من ساف (ا ج)  ان امكن ذلك ونفصل من (ا ب) الاعظم مثل (ا ب) الاصغر كما بينا برهان (ج) من (ا) وليكن (ب د)  ونخرج (د ج) 
  والا فرض کنيم کی (ا ج) اطول باشد و فصل کنيم از و (ج د) مساوی (ا ب) *ج   وصل کنیم (ب د) *ص  
yadi (7) bhujadvayaṃ samānaṃ na bhavati eko bhujo ’dhikaḥ syāt  adhikabhujaḥ (8) ajaṃ kalpitaḥ | ajasamānaṃ jadaṃ bhinnaṃ kṛtvā badarekhā kāryā |   
Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῇ ΑΓ κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ,  δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΑΓ, ΓΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ,  καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση:  βάσις ἄρα ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν,  καὶ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, τὸ ἔλασσον τῷ μείζονι:  ὅπερ ἄτοπον:  οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ: ἴση ἄρα. 
Then, since DB is equal to AC, and BC is common,  the two sides DB, BC are equal to the two sides AC, CB respectively;  and the angle DBC is equal to the angle ACB;  therefore the base DC is equal to the base AB,  and the triangle DBC will be equal to the triangle ACB, the less to the greater:  which is absurd.  Therefore AB is not unequal to AC; it is therefore equal to it. 
Quoniam ergo equalis est DB recte AG, communis vero BG,  due ergo DB et BG duabus AG et GB equales sunt, utraque utrique,  et angulus DBG angulo AGB equalis est,  basis ergo DG basi AB est equalis  et DBG trigonum trigone AGB equale erit. Minus maiori.  Quod minime locum habet.  Non ergo maior est recta AB quam AG. Similiter autem demonstrabimus quoniam neque AG maior est quam AB. Equalis ergo. 
وضلع (ا ج) مثل ضلع (د ب) وناخذ ضلع (ب ج) مشتركا  فضلعا (ا ج) (ج ب) من مثلث (ا ج ب) الاعظم مثل ضلعى (د ب) (ب ج) من مثلث (د ج ب) الاصغر كل ضلع مساو لنظيره  وزاوية (ا ج ب) مثل زاوية (ج ب د)  فيما بينا ببرهان (د) من (ا) تكون قاعدة (ا ب) مساوية لقاعدة (ج د)  ومثلث (ا ب ج) الاعظم مساويا لمثلث (د ج ب) لاصغر  وهذا خلف غير ممكين  فقد تبين انه لا يمكن ان يكون (ا ب) اعظم من (ا ج) و لا اصغر فهو اذا مثله 
...  بس بجهت انک (ا ب) (ب ج)  و زاویه (ب) همجند (د ج) (ج ب) و زاویه (ج) است  ...  مثلث (ب د ج) همجند مثلث (ب ا ج) باشد *د الجز و مثل الکل  و این محالست  ... 
See the next record.  a(9)jabatribhuje ababhujo bjabhujaḥ abajakoṇaḥ dabajatribhujasya daja(10)bhujena jababhujena dajababhujena jababhujena djabakoṇena samānaḥ |      evaṃ bṛhattribhujam laghutribhuja(11)samānaṃ jātam |  tad idam anupapannam | bṛhatkṣetraṃ laghukṣetreṇa kathaṃ samānaṃ bhavi(12)ṣyati  tasmāt ajaabaṃ samānam | 
Ἐὰν ἄρα τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται:  ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 
Therefore etc.  Q. E. D. 
Si ergo trigoni duo anguli equales alternis fuerint, et que angulis equalibus latera subtenduntur equalia alternis erunt.  Quod oportebat ostendere. 
...  وذلك ما اردنا ان نبين.
وخبر هذا الشكل يجوز ان يقال كل مثلث تكون الزاويهان اللتان فوق القاعدة منه متساويتين فانه متساوى الساقين
ويجوز ان يقال ايضا اذا تساوت زاويتان من مثلث فان الضلعين اللذين يورانهما متساويان.
وفى الشكل مما هو مضاف اليه.
كل مثلث تكون زاويتاه اللتان تحت القاعدة متساويتين فانه متساوى الساقين
مثاله مثلث (ا ب ج) اخرج ضلعه (ب ا) (ب ج) الى (د) والى (ه) فكانت زاوية (ج ا د) مثل زاوية (ا ج ه)
فاقول ان ضلع (ا ب) مثل ضلع (ب ج)
فان لم يكن مثله فلننزل ان (ا ب) اعظم من (ب ج) ونفصل (ا ط) مثل (ب ج) كما بين ببرهان (ج) من (ا)
ونخرج (ج ط) ونعلم على خط (ا د) نقطة (ز) ونفصل (ج ح) مثل (ا ز) كما بين ببرهان (ج) من (ا) ينصل خطى (ا ح) (ج ز)
فلانا فصلنا خط (ج ح) مثل (ا ز) وناخذ (ا ج) مشترفكلا خطى خطى (ح ج) (ج ا) مثل كلى خطى (ز ا) (ا ج)
وزاوية (ا ج ح) فرضت مثل زاوية (ج ا ز)
بين ببرهان (د) من (ا) تكون قاعدة (ا ح) ٦٢ مساوية لقاعدة (ج ز) ومثل (ا ج ز) مساويا لمثلث (ا ج ح) وزاويت (ا ز ج) مثل زاوية (ا ح ج)
وايضا فانا فصلنا (ح ج) مثل (ا ز) وفصلنا (ا ط) مثل (ج ب) فاذا زدنا على امتساوية متساوية كان خط (ز ط) مثل خط (ح ب) باسه
وقد بينا ان (ا ح) مثل (ج ز) وان زاوية (ا ج ب) مثل زاوية (ا زج)
فضلعا (ب ح) (ح ا) من مثلث (ح ا ب) مثل ضلعى (ط ز) (ز ج) من مثلث (زج ط) كل ضلع مثل نظيره وزاوية (ج) مثل زاوية (ز) فبحسب برهان (د) من (ا) يكون مثلث (ح ا ب) مثل مثلث (زج ط)
وقد كنا بينا ان مثلث (ا ح ج) مثل (ا ج ز)
فاذا اسقطنا من المتساوية متساوية بقى مثلث (ا ب ج) مثل مثلث (ا ط ج) الاعظم مثل الاصغر وهذا خلف غير ممكن
فليس يمكن ان يكون ساف (ا ب) اعظم من ساف (ب ج) علا اصغر منه غهو اذا مثله
وذلك ما اردنا ان نبين. 
بس حکم حق باشد  و هوالمراد 
tad evam upapannaṃ koṇadvayasāmya (13) tatsaktabhujadvayasāmyaṃ bhavatīti ||   
Ζʹ 
Proposition 7. 
الشكل السابع من المقالة الاولى 
(ز) 
atha saptaṃ kṣetram 
第七題 
Ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ οὐ συσταθήσονται πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις. 
Given two straight lines constructed on a straight line (from its extremities) and meeting in a point, there cannot be constructed on the same straight line (from its extremities), and on the same side of it, two other straight lines meeting in another point and equal to the former two respectively, namely each to that which has the same extremity with it. 
Super eandem rectam duabus eisdem rectis alie due recte equales, utraque utrique, non constituentur ad aliud et ad aliud punctum in easdem partes eosdem terminos habentes eis que ex principio rectis. 
اذا اخرج من طرفى خط خطان فالتقى ورفاهما على نقطة فليس يمكن ان يخرج من مخرجيهما خطان اخران مساويان لهما فى تلك الجهة يلتقى طرفاهما على غير تلك النقطة مثاله 
 
tatraikarekhobhayapārśvayor niḥsṛtaṃ rekhādvayaṃ yatra militaṃ taccihnād anyatra tadrekhādvayasaṃpāto na bhavati kadāpīti 
一線為底。出兩腰線。其相遇止有一點。不得別有腰線與元腰線等。而於此點外相遇。 
Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ταῖς ΑΓ, ΓΒ ἄλλαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ συνεστάτωσαν πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ τῷ τε Γ καὶ Δ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι,  ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΓΑ τῇ ΔΑ τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαν αὐτῇ τὸ Α, τὴν δὲ ΓΒ τῇ ΔΒ τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαν αὐτῇ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΔ. 
For, if possible, given two straight lines AC, CB constructed on the straight line AB and meeting at the point C, let two other straight lines AD, DB be constructed on the same straight line AB, on the same side of it, meeting in another point D and equal to the former two respectively, namely each to that which has the same extremity with it,  so that CA is equal to DA which has the same extremity A with it, and CB to DB which has the same extremity B with it; and let CD be joined. 
Si enim possibile, super eandem rectam AB duabus eisdem rectis AG et GB alie due recte AD et DB equales, utraque utrique, sistantur ad aliud et ad aliud punctum G scilicet et D in easdem partes que sint G et D eosdem terminos habentes A et B,  ut equalis sit GA quidem recte DA eundem terminum habens ipsi qui sit A, recta vero GB recte DB eundem cum ipsa terminum habens B. Et copuletur GD recta. 
اانه قد اخرج من طرفى خط (ا ب) خطا (ا ج) (ب ج) والتقيا على نقطة (ج) فاقول انه غير ممكن ان يخرج من نقطة (ا) خط مساو لخط (ا ج) ومن نقطة (ب) خط مساو لخط (ب ج) فى تلك الجهة يلتقى طرفاهما على غير نقطة (ج)  برهانه ان امكن ذلك فليخرجا وليكونا (ا د) (ب د) ولننزل ان (ا د) مثل (ا ج) و(ب ج) ونخرج خط (ج د) 
جون از طرف خطی جون (ا ب) دو خط ملتقی بنقطه (ج) 11 بیرون روند جون (ا ج) (ب ج) ممکن نباشد کی از دو طرف او جهت دو خط دیکر مساوی ایشان بیرون روند هر یک مساوی نظیر خویش  جون (ا د) مساوی (ا ج) و (ب د) مساوی (ب ج) و ملتقی شوند بر غیر ان نقطه جون (د) والا وصل کنیم (ج د) *ص  
atropapattiḥ | (18) abarekhāprāntābhyāṃ ajarekhā bajarekhā ca niḥsṛtā jacihne tayo(19)r yogo jātaḥ | atha yadi tatsamānam anyad rekhā(20)dvayam anyatra cihne milati  iti kalpyate tadā (21) ajarekhātulyā adarekhā bajarekhātulyā (22) badarekhā dacihne militā syāt | punar da(14,1)jarekhā niṣkāsyā | 
Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΔ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ:  μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῆς ὑπὸ ΔΓΒ:  πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΔΒ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΔΓΒ.  πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΔΒ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΒ.  ἐδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῷ μείζων: ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. 
Then, since AC is equal to AD, the angle ACD is also equal to the angle ADC; [I. 5]  therefore the angle ADC is greater than the angle DCB;  therefore the angle CDB is much greater than the angle DCB.  Again, since CB is equal to DB, the angle CDB is also equal to the angle DCB.  But it was also proved much greater than it: which is impossible. 
Quoniam ergo equalis est AG recta recte AD, equalis est et angulus AGD angulo ADG.  Maior ergo angulus ADG angulo DGB.  Multo ergo angulus GDB maior est angulo DGB.  Rursus quoniam equalis est recta GB recte DB, equalis est et angulus GDB angulo DGB.  Ostensus est autem ipso et multo maior. Quod impossibile. 
فمثلث (ا ج د) متساوى السقين فزاويت (ا ج د) مثل زاوية (ا د ج) وهذا بين من برهان (ه) من (ا)  فزاوية (ب ج د) اذا اصغر من زاوية (ا د ج)    وايضا فان مثلث (ب ج د) ٦٤ متساوى الساقين (ب ج) مثل (ب د) فبحسب برهان (ه) تكون زاوية (ب ج د) مساوية (ب د ج) ولكن زاوية (ب د ج) اعظم من زاوية (ا د ج)  وبينا ان زاوية (ا د ج) اعظم من زاوية (ب ج د) فاذا زاوية (ب د ج) اعظم من زاوية (ب ج د) بكثير وهما متساويان هذا خلف غير ممكن 
بس زاویه (ا ج د) (ا د ج) متساوی باشند بجهت تساوی (ا ج) (ا د) *ه  و (ب ج د) اصغرست از (ا ج د) بس اصغر باشد از (ا د ج) کی اصغرست از (ب د ج)  (بس (ب ج د) اصغر باشد بسیاری از (ب د ج  (لیکن ایشان متساوی اند ه بجهت تساوی (ب ج) (ب د  و این خلف است 
tadā ajadakoṇaḥ adajakoṇena samānaḥ syāt | (2) kutaḥ | ajaadayoḥ samānatvāt |  atha (3) ca bajadakoṇaḥ ajadakoṇād alpo ’sti | (4) tadā bajadakoṇaḥ adajakoṇād alpo bhavi(5)ṣyati |    punaḥ adajakoṇaḥ badajakoṇād a(6)lpo ’sti | bajadakoṇaḥ badajakoṇād atyantam alpaḥ syāt |  imau tau (7) samānau koṇau staḥ | kutaḥ | tasmād idam anupapannaṃ (9) yataḥ samānau koṇau viṣamau jātau | 
Οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ συσταθήσονται πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις:  ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 
Therefore etc.  Q. E. D. 
Non ergo super eandem rectam duabus eisdem rectis alie due recte equales, utraque utrique, sistuntur ad aliud et aliud punctum in easdem partes eosdem terminos habentes eis que ex principle rectis.  Quod oportebat ostendere. 
فغير ممكن ان يخرج من طرفى خط خطان يلتقى طرفاهما على نقطة ويخرج من مخرجيهما خطان اخران مساويان لهما فى تلك الجهة يلتقيان على غير تلك انقطة  وذلك ما اردنا ان نبين.
ان قال قائل انه يمكن ان يخرج من طرفى خط (ا د) خطا (ا ج) (ب ج) مساويين لخطى (ا د) (ب د) حتى يكون (ا ج) مثل (ا د) و(ب ج) مثل (ب د) فنقول ان ذلك غير ممكين
فنصل خط (ج د) ونخرج خطى (ا ج) (ا د) على استقامتهما الى نقطتى (ه ز)
فمن اجل ان مثلث (ا ج د) متساوى الساقين (ا ج) مثل (ا د) فبخسب برهان (ه) من (ا) تكون الزاويتان اللتان تحت القاعدت متساويتين فزاوية (ه د ج) مثل زاوية (زج د)
فزاوية (زج د) اعظم من زاوية (ب د ج)
واوضا مثلث (ب د ج)متساوى الساقين (ب د) مثل (ب ج) فبحسب برهان (ه) من (ا) تكون الزاويتان اللتان فوق القاعدة متساويتين فزاوية (ب د ج) مثل زاوية (ب ج د)
وقد كنا بينا ان زاوية (زج د) اعظم من زاوية (ب د ج)
فيجب ان تكون زاوية (ب ج د) اعظم من زاوية (ب د ج) بكثير
وهى مثلها هذا خلف غير ممكن
فقد بان من هذا الانتفاع بما بين فى (ه) من (ا) من تساوى الزاويتين اللتين تحت القاعدة. 
بس حکم ثابت باشد  و هوالمراد
و من می کویم این شکل را اختلاف وقوع است جه (د) یا خارج مثلث (ا ج ب) افتد بر وجهی کی دو خط از خطوط اربعه خارجه از طرفین متقاطع شوند قبل الالتقا یا متقاطع بشوند یا داخل او یا بر یکی از دو ساق (ا ج) (ج ب) بی اخراج او یا بس از اخراج او و این بنج وضع است *ه اما اول کفته اند و اما دوم و سیوم برین وجه باشند و دریشان (د ج) وصل کنیم و (ا ج) (ا د) تا (ه) و (ر) بیرون بریم و بران وجه کی تقریر کرده شد بیان کنیم کی در دوم زاویه (ب د ج) کی بسیاری از (ب ج د) اصغرست مساوی او باشد و در سیوم (ب ج د) کی بسیاری کوجکترست از (ب د ج) مساوی او باشد و اما در رابع و خامس لازم اید تطابق دو خط کی از یک طرف برو رسیده باشند جون (ب ج) (ب د) مثلا و انک یکی اعظم باشد از ان دکر با فرض تساوی ایشان و این جمله محال است بس حکم ثابت باشد و این صورت هر دو باشد 
tad evam upapannaṃ jacihnād anyatra (10) bhujayogo na bhaviṣyatīti |   
Ηʹ 
Proposition 8. 
الشكل الثامن من المقالة الاولى 
(ح) 
atha aṣṭamaṃ kṣetram |  
第八題 
Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς [ταῖς] δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, ἔχῃ δὲ καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην, καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην. 
If two triangles have the two sides equal to two sides respectively, and have also the base equal to the base, they will also have the angles equal which are contained by the equal straight lines. 
Si duo trigona duo latera duobus lateribus equalia habent, utrumque utrique, habent vero et basim basi equalem, et angulum angulo equalem habebunt qui sub equalibus rectis continetur. 
كل مثلثين (ء) تساوى ضلعان من احدهما ضلعين من الاخر كل ٦٦ ضلع (ضلع) لنظيره وتساوى القاعدة القاعدة الزاويتين اللتين يخيط بهما الاضلاع المتساوية من المثلثين متساويتان (ط) 
... 
yasya tribhujasya bhujatrayam anyatri bhujasya bhujaiḥ samānam bhavati (12) tadā yasya koṇatrayam api anyatri bhujakoṇair avaśyam samānaṃ bha(13)viṣyati | 
兩三角形。若相當之兩腰各等。兩底亦等。則兩腰間角必等。 
Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ:  ἐχέτω δὲ καὶ βάσιν τὴν ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴσην:  λέγω, ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση. 
Let ABC, DEF be two triangles having the two sides AB, AC equal to the two sides DE, DF respectively, namely AB to DE, and AC to DF;  and let them have the base BC equal to the base EF;  I say that the angle BAC is also equal to the angle EDF. 
Sint duo trigona ABG et DEZ duo latera AB et AG duobus lateribus DE et DZ equalia habentia, utrumque utrique, AB quidem ei quod est DE, AG vero ei quod est DZ,  habeant autem et basim BG basi EZ equalem.  Dico quoniam et angulus BAG angulo EDZ est equalis. 
مثاله ان ضلعى مثلث (ا ب ج) مساويان لضلعى مثلث (د ه ز) ضلع (ا ب) مساو لضلع (د ه) وضلع (ا ج) مساو لضلع (د ز)  وقاعدة (ب ج) لقاعدة (ه ز)  فاقول ان زاوية (ب ا ج) مساوية لزاوية (ه د ز). 
جون هر یکی از اضلاع مثلثی دیکر باشد جون (ا ب) (د ه) را و (ا ج) (د ز) را  و (ب ج) (ه ز) را  زوایا نظایر ایشان و مثلثات متساوی باشند اغنی (ا) مساوی (د) باشد و (ب) از ان (ه) و (ج) از ان (ز) و مثلث مساوی مثلث 
tatra ekaṃ tribhujam abajaṃ dvitīyaṃ (15) dahajhaṃ ca kalpitam | atra aba(16)bhujaḥ dahabhujasamānaḥ ajabhujas tu (17) dajhabhujena samānaḥ  bajabhujaḥ (18) hajhena samānaḥ kalpitaḥ |  yadā bhujatrayaṃ jātaṃ tadā akoṇaḥ dakoṇena samānaḥ bako(20)ṇas tu hakoṇena samānaṃ jakoṇo jhakoṇena samāno bhaviṣyati | (20) kutaḥ |3  
Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Β σημείου ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον τῆς δὲ ΒΓ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει καὶ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ζ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ:  ἐφαρμοσάσης δὴ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὴν ΕΖ ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ ΒΑ, ΓΑ ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ.  εἰ γὰρ βάσις μὲν ἡ ΒΓ ἐπὶ βάσιν τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει, αἱ δὲ ΒΑ, ΑΓ πλευραὶ ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ οὐκ ἐφαρμόσουσιν ἀλλὰ παραλλάξουσιν ὡς αἱ ΕΗ, ΗΖ,  συσταθήσονται ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι.  οὐ συνίστανται δέ:  οὐκ ἄρα ἐφαρμοζομένης τῆς ΒΓ βάσεως ἐπὶ τὴν ΕΖ βάσιν οὐκ ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ ΒΑ, ΑΓ πλευραὶ ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ  ἐφαρμόσουσιν ἄρα: ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἐπὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΔΖ ἐφαρμόσει καὶ ἴση αὐτῇ ἔσται. 
For, if the triangle ABC be applied to the triangle DEF, and if the point B be placed on the point E and the straight line BC on EF, the point C will also coincide with F, because BC is equal to EF.  Then, BC coinciding with EF, BA, AC will also coincide with ED, DF;  for, if the base BC coincides with the base EF, and the sides BA, AC do not coincide with ED, DF but fall beside them as EG, GF,  then, given two straight lines constructed on a straight line (from its extremities) and meeting in a point, there will have been constructed on the same straight line (from its extremities), and on the same side of it, two other straight lines meeting in another point and equal to the former two respectively, namely each to that which has the same extremity with it.  But they cannot be so constructed. [I. 7]  Therefore it is not possible that, if the base BC be applied to the base EF, the sides BA, AC should not coincide with ED, DF;  they will therefore coincide, so that the angle BAC will also coincide with the angle EDF, and will be equal to it. 
Coaptato enim ABG trigono super DEZ trigonum, et posito B quidem puncto super E punctum, recta vero BG super EZ, coaptabitur et G punctus super Z eo quod equalis sit recta BG recte EZ.  Coaptata ergo BG super EZ coaptabuntur et recte BA et AG super ED et DZ.  Si enim basis quidem BG super basim EZ coaptabitur, latera vero BA et AG super ED et DZ non coaptabuntur, sed transmutabuntur ut EI et IZ,  sistentur super eandem rectam duabus eisdem rectis alie due recte equales, utraque utrique, ad aliud et aliud punctum in easdem partes eosdem terminos habentes.  Non vero sistebantur.  Non ergo coaptata BG basi super EZ basim non coaptabuntur et latera BA et AG super ED et DZ.  Coaptabuntur ergo. Quare et angulus BAG super angulum EDZ coaptabitur et equalis ei erit. 
برهان ان مثلث (ا ب ج) ان ركب على مثلث (د ه ز) بان تبتدى فتركب نقطة (ب) رلى نقطة (ه) وخط (ب ج) على خط (ه ز) فمن البين ان نقطة (ج) تتركب على نقطة (ز)  لان قاعدتى (ب ج) (ه ز) متساويتان فاذا تركبت قاعدة (ب ج) على قاعدة (ه ز) تركب ضلع (ا ب) على ضلع (د ه) لانهما متساويان وتركب ايضا ضلع (ا ج) على ضلع (د ز)  وتركب المثلث على المثلث وتركبت زاوية (ا) على زاوية (د) فان امكن ان تتركب القاعدة على القاعدة ولا يتركب الضلعان كما وضفنا على الضلعين فلنصير وضعهما كوضع خطى (ه ح) (ز ح)  وقد خرج من طرفى خط خطان والتقى طرفاهما على نقطة وخرج من مخرجيهما خطان اخران مساويان لهما فى تلك الجهة التقى طرفاهما على نقطة  وقد بينا ببرهان (ز) من (ا) ان هذا غير ممكن  ...  ... 
جه ما جون توهم تطبیق (ب ج) کینم بر (ه ز) و مثلث بر مثلث  واجب باشد کی ان دو ضلع باقی بر نظیر خویش منطبق شوند و مطلوب حاصل  والا میان ایشان افتد جون (ه ح) (ز ح) و لازم اید کی از طرف (ه ز) (ه د) (ز د) بیرون رفته باشند و (ه ح) (ز ح) مساوی ایشان در یک جهت با اختلاف ملتقی  ...  و این محال است *ز 
bajabhujaṃ hajabhuje sthāpyate kṣetraṃ kṣetre ca sthāpyate tadā śeṣau (21) abajau bhujau dahadajhabhujayoḥ sthāsyataḥ |  yadi na sthāsyata(22)s tadā bhinnau | yathā vahahajahau kalpitau | (23) tatra iyam anupapattiḥ  dahadajharekhe hajharekhobhayaprāntābhyāṃ niḥsṛte dacihne milite vahava(2)jharekhe purvarekhāsamāne prāntābhyāṃ (3) niḥsṛte vacihne milite |  idam a(4)nupapannam | idaṃ saptamam kṣetre prati(5)pāditam asti |  . See Proposition 7. 
Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς [ταῖς] δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἔχῃ, καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην:  ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 
If therefore etc.  Q. E. D. 
Si ergo duo trigona etc.  Quod oportebat ostendere. 
فكل مثلثين تساوى ضلعان من احدهما ضلعين من الاخر كل ضلع لنظير وتساوى القاعدة القاعدة فان الزاويتين اللتين يحيط بهما الاضلاع المتساوية متساويتان  وذلك ما اردنا ان نبين.
مضاف الى الشكل الثامن من المقالة الاولى ينسب الى بيان على غير طريق الخلف.
نركب قاعدة (ب ج) من مثلث (ا ب ج) على قاعدة (ه ز) وليقع خطا (ا ب) (ا ج) من الجهة الاخرى كخطى (ه ح) (ز ح)
ونصل (د ح)
فلان ٦٨ خط (د ه) مثل خط (ه ح) فببرهان (ه) من (ا) تكون ازاويتان اللتان فوق القاعدة متساويتين فزاوية (د ه ح) مساوية لزاوية (ح د ه)
وبهذا البتهان يتبين ان زاوية (د ح ز) مساوية لزاوية (ح د ز) فزاوية (ه د ز) باسرها مساوية لزاوية (ه ح ز)
وذلك ما اردنا ان نبين.
وقد يمكن ان يتصل خط (ا ب) بخط (د ز) على استقامة كخط (د زح)
فمن اجل ان مثلث (د ه ح) متساوى الساقين ساف (د ه) مثل ساف (ح ه) تكون زاوية (ه د ح)
(و) وضع ان خط (ا ب) كانه يتصل بخط (د ز) على استقامته وخط (ح ه) هو خط (ا ج)
وذلك ما اردنا ان نبين.
وقد يمكن ان يتصل خط (ا ب) بخط (د ز) اتصالا يحدث منه مع خط (د ز) زاوية فى الجهة الاخرى
فليكن كذلك كخط (ح ز)
ونصل خط (د ح)
فلان مثلث (د ه ح) متساوى الساقين ساف (د ه) مثل ساف (ه ح) فبرهان (ه) من (ا) تكون زاوية (ه د ح) مساوية لزاوية (ه ح د)
وايضا فلان مثلث (د زح) متساوى الساقين فببرهان (ه) تكون زاوية (ز د ح) مثل زاوية (زح د)
فاذا اسقطنا من المتساوية متساوية بقيت زاويه (ه د ز) مساوية لزاوية (ه ح ز)
وذلك ما اردنا ان نبين
ليست هذه الاشكال لازمة للبرهان لانا اذا اطبقنا القاعدة على القاعدة لم نعلم حال زاويتى (ا د). 
بس حکم ثابت باشد  و هو المراد 
tasmāt tribhujaṃ tribhu(6)jopari sthāsyaty eva | koṇā api (7) koṇasamānā bhavanty eva |  tad evam anupapannaṃ yathoktam || 
Θʹ 
Proposition 9. 
الشكل التاسع من المقالة الااولى 
(ط) 
atha navamaṃ kṣetram |  
第九題 
Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν. 
To bisect a given rectilineal angle. 
Datum angulum rectilineum in duo equalia secare. 
نريد ان نبين كيف نقسم زاوية مفروضة بنصفين 
می خواهیم کی تنصیف زاویه کنیم 
atha koṇasya samānabhāgadvayakaraṇaṃ pradarśyate 
有直線角, 求兩平分之。 
Ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ.  δεῖ δὴ αὐτὴν δίχα τεμεῖν. 
Let the angle BAC be the given rectilineal angle.  Thus it is required to bisect it. 
Sit datus angulus rectilineus bag.  Oportet ergo ipsum in duo equa secare. 
فلتكن الزاوية (ب ا ج)  ... 
(جون (ب ا ج  ... 
tad yathā baajakoṇaḥ kalpanītaḥ |   
法曰: 乙甲丙角,  求兩平分之。 
Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ:  λέγω, ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας. 
Let a point D be taken at random on AB; let AE be cut off from AC equal to AD; [I. 3] let DE be joined, and on DE let the equilateral triangle DEF be constructed; let AF be joined.  I say that the angle BAC has been bisected by the straight line AF. 
Sumatur in recta ab punctus quilibet sitque d. Et auferatur a recta AG recte AD equalis recta AE. Et copuletur DE. Et constituatur super de trigonum equilaterum DEZ et copuletur recta AZ.  Dico quoniam BAG angulus in duo equa divisus est a recta AZ. 
فتعلم على خط (ا ب) علامة (د) ونفصل من خط (ا ج) خط (ه ا) مساويا لخط (ا د) كما بين ببرهان (ج) من (ا) ونخرج خط (د ه) ونعلم على خط (د ه) مثلث متساوى الاضلاع وليكن مثلث (د زه) ٧٠ ونضل (ا ز)   
د بر ا ب تعیین کنیم کیف اتفق *ص و از ا ج، ا ه مساوی ا د فصل کنیم *ج و د ه وصل کنیم *ص و برو مثلث د ز ه متساوی الاضلاع بسازیم *ا و ا ز وصل کنیم *ص  کی او تنصیف زاویه کند 
baabhuje dacinhaṃ kṛtam | ta(11)ttulyam eva dvitīye’pi bhuje hacihnaṃ kāryam | daha(12)rekhā kāryā | daharekhopari dajhahaṃ samatribhujaṃ kāryam | (13) ajharekhā kāryā |  iyaṃ rekhā akoṇasya samaṃ bhaga(14)dvayaṃ karoti | 
先於甲乙線任截一分為甲丁, 本篇三。 次於甲丙亦截甲戊與甲丁等, 次自丁至戊作直線, 次以丁戊為底, 立平邊三角形, 本篇一。為丁戊己形, 末自己至甲作直線,   卽乙甲丙角為兩平分。 
Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΖ δυσὶ ταῖς ΕΑ, ΑΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ.  καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν:  γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΖ ἴση ἐστίν. 
For, since AD is equal to AE, and AF is common, the two sides DA, AF are equal to the two sides EA, AF respectively.  And the base DF is equal to the base EF;  therefore the angle DAF is equal to the angle EAF. [I. 8] 
Quoniam enim equalis est recta AD recte AE, communis vero recta AZ, due ergo recte DA et AZ duabus rectis EA et AZ sunt equales, utraque utrique,  et basis DZ basi EZ est equalis,  angulus ergo DAZ angulc EAZ equalis est. 
فلان ضلع (د ا) مساو لضلع (ا ز) مشترك فضلعا (د ا) و(ا ز) مساويان لضلعى (ه ا ) و(ا ز)  وقاعدة (د ز) مساوية لقاعدة (ه ز)  فببرهان (ح) من (ا) تكون زاوية (د ا ز) مساوية لزاوية (ه ا ز) 
جه اضلاع مثلث (د ا ز) (ه ا ز) متساوی اند بر تناظر بس زوایا ایشان متساوی باشند بر تناظر *ح بس زوایه (ز ا د) (ز ا ه) متساویان باشند  و بضرورت جنین است والا بر یکی ازین دو خط افتد یا خارج ازیشان برین وجه و زاویه ز د ه، ز ه د فوق القاعده متساوی شوند *ه  و ب د ه، ج ه د تحت القاعده متساوی اند *ه 
yato daajhatribhuje haajhatribhuje daabhujaḥ (16) haabhujaś ca mithaḥ samānaḥ | (15, 17) ajha ubhayor eka eva asti |  dajhabhujahajhabhujau (17) samānau |  ubhayo(18)s tribhujayor bhujāḥ samānāḥ | koṇā api samānā bhavanti | tasmāt jhaa(19)dakoṇajhaahakoṇau samānau jātau | 
Ἡ ἄρα δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας:  ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. 
Therefore the given rectilineal angle BAC has been bisected by the straight line AF.  Q. E. F. 
Datus ergo angulus rectilineus BAG in duo equa divisus est a recta AZ.  Quod oportebat ostendere. 
فقد قسمنا زاوية (ب ا ج) بنصفين بخط (ا ز)  وذلك ما ارندا ان نبين.
مضاف الى هذا الشكل ان قيل ان المثلث المتساوى الاضدلاع الذى نعمل على خط (ب ج) من مثلث (ا ب ج) يقع على خط (ا ب ز) فيكون ضلع (ب د) مساويا لكل واحد ضلعى (ب ج) (د ج)
فلان مثلث (ا ب ج) متساوى الساقين فببرهان (ه) من (ا) تكون زاوية (زب ج) مساوية لزاوية (ب ج ه) اللتان تحت القاعدة
وايضا فان مثلث (د ب ج) متساوى الساقين فببرهان (ه) من (ا) فان الزاويتين اللتين فوق القاعدة متساويتان فزاوية (ج ب د) مساوية لزاوية (ب ج د) العظمى للضغرى هذا خلف غير ممكن
وان قيل انه يخرج عن خط (ا ب زى كانت الشناعة اقبح
وذلك ما اردنا ان نبين 
و هو المطلوب و من میکویم این بیان وقتی تمام شود کی بیان کنند کی نقطه ز میان ب ا، ا ج افتد  و لازم اید کی کل القاعده اعظم از کل متساوی جزو باشد و این محال است *ع بس حکم ثابت باشد 
  tad evam upapannaṃ yathoktam |
   yadi jhacihnaṃ rekhayor antargatapradeśamadhye bhavati rekhopari vā rekhāyā bahir na bhavati tadeyam upapattir upapannā bhaviṣyati | atha jhacihnaṃ rekhayor antaḥpradeśamadhye ’vaśyaṃ bhaviṣyati | kutaḥ | yadi madhye na bhaviṣyati tadā rekhāyāṃ bahir vā bhaviṣyati | tadaitādṛśaṃ kṣetraṃ syāt taddarśanam | tatra jhadahakoṇajhahadakoṇau samānau bhaviṣyataḥ | jahadakoṇaḥ badahakoṇena samaḥ | jhacinhaṃ yadi (p. 16) badabhuje patati tadā dahajabṛhatkoṇaḥ dahajhabṛhatkoṇakhaṇḍaṃ ca imau samānau jātau | idam anupapannam |
   yadi jhacihnaṃ badabhujād bahir bhaviṣyati tadā jhadahakoṇaḥ badahakoṇān mahān bhaviṣyati | dahajakoṇād apo bhaviṣyati | yato badaha koṇo dahajakoṇaś cemau samau staḥ | jhadahaḥ mahān koṇaḥ dahajhakoṇena samo ’sti | punaḥ dahajhakoṇakhaṇḍaṃ dahajakoṇān mahaj jātam | tad idam upapannam | tasmāt jhacinhaṃ bhujayor madhya eva bhaviṣyati ||

      punaḥ prakārāntareṇa koṇasyārddhakaraṇam | |
   tatra badarekhāyāṃ jhacinhaṃ kāryam | dajharekhātulyaṃ havaṃ pṛtakkāryam | jhahavadarekhe kārye | saṃpātaḥ tasaṃjñaḥ kalpanīyaḥ | atarekhā kāryā | iyaṃ akoṇasya bhāgadvayaṃ karoti |
   atroapapattiḥ |
   tatra pañcamakṣetrakathitopapattyā jhahadakoṇaḥ vadahakoṇaś caitau samānau jātau | datahataṃ samānam | daatatribhujaṃ haatatribhujaṃ samānam | tasmāt akoṇasya bhagadvayaṃ samānaṃ jātam || 
Ιʹ 
Proposition 10. 
10 
الشكل العاشر من المقالة الاولى 
ی 
atha daśamaṃ kṣetram | 
第十題 
Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν. 
To bisect a given finite straight line. 
Datam rectam tenninatam in duo equa secare. 
نريد ان نبين كيف نقسم (ط) خطا (ع) معلوما بنصفين 
... 
tatra yad rekhāyāḥ samānaṃ bhāgadvayam apekṣitaṃ bhavati | 
一有界線。求兩平分之。 
Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ:  δεῖ δὴ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν. 
Let AB be the given finite straight line.  Thus it is required to bisect the finite straight line AB. 
Esto data recta terminata AB.  Oportet ergo AB in duo equa secare. 
فليكن خط (ا ب)  ... 
...  می خواهیم کی خطی محدود جون ا ب تنصیف کنیم 
   
Συνεστάτω ἐπ᾽ αὐτῆς τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ,  καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία δίχα τῇ ΓΔ εὐθείᾳ:  λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ εὐθεῖα δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ σημεῖον. 
Let the equilateral triangle ABC be constructed on it, [I. 1]  and let the angle ACB be bisected by the straight line CD; [I. 9]  I say that the straight line AB has been bisected at the point D. 
Constituatur super ipsam trigonum equilaterum ABG  et dividatur AGB angulus in duo equa recta GD.  Dico quoniam AB recta in duo equa divisa est punctum ad D. 
ونعمل عليه مثلث متساوى الاضلاع كما بين ببرهان (ا) من (ا) وليكن مثلث (ا ب ج)  ونقسم زاوية (ا ج ب) بنصفين كما بين ببرهان (ط) من (ا)  ... 
برو مثلث (ا ج ب) متساوی الاضلاع بسازیم *ا  و زاویه ج، ج د تنصیف کنیم *ط  کی ا ب باو منصف شود 
tadā tadrekhopari samatribhuhaṃ kāryam | (1) yathā abarekhopari samaṃ abajaṃ tribhujaṃ kṛta(2)m asti |  punas tatra jakoṇasya jadarekhayā samānaṃ (3) bhāgadvayaṃ kṛtaṃ tadā jadarekhā abarekhāyā api (4) samānaṃ bhāgadvayaṃ kariṣyati | (5)   
Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΔ, δύο δὴ αἱ ΑΓ, ΓΔ δύο ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ:  καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ἐστίν:  βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΒΔ ἴση ἐστίν. 
For, since AC is equal to CB, and CD is common, the two sides AC, CD are equal to the two sides BC, CD respectively;  and the angle ACD is equal to the angle BCD;  therefore the base AD is equal to the base BD. [I. 4] 
Quoniam enim equalis est recta AG recte GB, communis vero GD, due ergo AG et GD duabus BG et GD sunt equales, utraque utrique,  et angulus AGD angulo BGD est equalis,  basis ergo AD basi BD equalis est. 
فضلع (ا ج) من مثلث (ا ج د) مثل ضلع (ب ج) من مثلث (ب ج د) ناخذ ضلع مشتركا فضلع (ا ج) (ج د) مساويان لضلعى (ب ج) (ج د) كل ضلع لنظيره  وزاويت (ا ج د) مساوية لزاوية (ب ج د)  فببرهان (د) من (ا) تكون قاعدة (ا د) مثل قاعدة (ب د) 
جه ا ج، ج د و زاویه ا ج د مساوی ب ج، ج د و زاویه ب ج د باشد  ...12   بس قاعده ا د، د ب متساوی باشند *د 
atropapattiḥ | adajatrubhuje ajabhujaḥ jadabhujaḥ ajadakoṇaś ca dajavatribhuja(6)sthena bajabhujena jadabhujena jadabhujena bajadakoṇena ca samāṇaḥ |   
Ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ:  ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. 
Therefore the given finite straight line AB has been bisected at D.  Q. E. F. 
Data ergo recta terminata AB in duo equa divisa est ad punctum D.  Quod oportebat facere. 
فقد قسمنا خط (ا ب) بنصفين على علامة (د)  وذلك ما اردنا ان نبين.٧٢ 
...  وهوالمطلوب 
tasmāt adaṃ (7) badaṃ dvayam api samānam |  tad evam upapannaṃ rekhāyāḥ samānaṃ bhāgadvayakaraṇam || 
ΙΑʹ 
Proposition 11. 
11 
الشكل الحادى عشر من المقالة الاولى. 
یا 
athaikādaśaṃ kṣetram | 
第十一題 
Τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. 
To draw a straight line at right angles to a given straight line from a given point on it. 
Date recte ab in ipsa dato puncto ad rectos angulos rectam lineam ducere. 
نريد ان نبين كيف نخرج من نقطة معلومة من خط معلوم خطا يكون عمودا عليه 
... 
tatraikarekhāyām abhīṣṭacihnāl lambo niṣkāsanīyo ’sti | 
一直線。任於一點上求作垂線。 
Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπ᾽ αὐτῆς τὸ Γ:  δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. 
Let AB be the given straight line, and C the given point on it.  Thus it is required to draw from the point C a straight line at right angles to the straight line AB. 
Esto data quidem recta AB, datus vero in ipsa punctus G.  Oportet ergo a puncto G recte AB ad rectos angulos rectam lineam ducere. 
فلننزل ان الخط المعلوم خط (ا ب) والنقطة المعلومة نقطة (ج)  ونبين كيف نخرج منها خطا يكون عمود على خط (ا ب) 
می خواهیم کی از نقطه بر خطی غیر محدود جون ج بر ا ب عمودی بر ان خط اخراج کنیم   
yathā abarekhāyāṃ jacihnaṃ datvā  tasmāl lambo (12) niṣkāsanīyo ’sti | 
法曰:甲乙直線,任指一點於丙。 
Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΓΕ,  καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΖΔΕ,  καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ:  λέγω, ὅτι τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΓ. 
Let a point D be taken at random on AC; let CE be made equal to CD; [I. 3]  on DE let the equilateral triangle FDE be constructed, [I. 1]  and let FC be joined;  I say that the straight line FC has been drawn at right angles to the given straight line AB from C the given point on it. 
Sumatur in AG fortuitus punctus D et iaceat recte GD equalis recta GE.  Et constituatur super DE trigonum equilaterum ZDE.  Et copuletur recta ZG.  Dico quoniam date recte AB ab in ipsa dato puncto G ad rectos angulos recta linea ducta est ZG. 
فنعلم على خط (ا ب) نقطة (د) ونفصل من خط (ج ب) خط (ج ه) مساويا لخط (د ج) كما بين ببرهان (ج) من (ا)  ونعمل كما عملنا ببرهان (ا) من (ا) على خط (د ه) مثلثا متساوى الاضلاع وليكن مثلث (د ه ح)  ونصل بين نقطتى (ج ح) بخط (ج ح)  ... 
بر ا ب ، د تعیین کنیم کیف اتفق *ص و ج ه جند ج د کنیم *ج  و بر د ه مثلث د ز ه متساوی الاضلاع بسازیم *ا  و ز ج وصل کنیم *ص  کی عمود باشد 
tad yathā | (13) abarekhāyām jacihnaṃ deyam | jadatulyaṃ (14) jahaṃ kāryam |  daharekhāyām samatribhujaṃ dajhahaṃ (15) kāryam |  punaḥ jhajarekhā kāryā |  iyam eva la(16)mbarūpā jātā | 
Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΖ,  δύο δὴ αἱ ΔΓ, ΓΖ δυσὶ ταῖς ΕΓ, ΓΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ:  καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΖΕ ἴση ἐστίν:  γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΓΖ ἴση ἐστίν:  καί εἰσιν ἐφεξῆς.  ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ᾽ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν:  ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΔΓΖ, ΖΓΕ. 
For, since DC is equal to CE, and CF is common,  the two sides DC, CF are equal to the two sides EC, CF respectively;  and the base DF is equal to the base FE;  therefore the angle DCF is equal to the angle ECF; [I. 8]  and they are adjacent angles.  But, when a straight line set up on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is right; [Def. 10]  therefore each of the angles DCF, FCE is right. 
Quoniam enim equalis est DG recta recte GE, communis vero GZ,  due ergo DG et GZ duabus EG et GZ equales sunt, utraque utrique,  et basis DZ basi EZ equalis est,  angulus ergo DGZ angulo EGZ equalis est.  Et sunt deinceps.  Quando vero recta stans super rectam eos qui deinceps angulos equales alternis facit, rectus uterque equalium angulorum est.  Rectus ergo est uterque angulorum qui sunt DGZ et ZGE. 
فلان ضلع (د ج) مساو لضلع (ج ه) ونخذ (ج ح) مشتركا  فضلعا (د ج) (ج ح) منن مثلث (د ج ح) مساويان لضلعى (ه ج) (ج ح) من مثلث (ج ه ح) كل ضلع لنظيره  وقاعدة (د ح) مساوية لقاعدة (ه ح)  فبحسب برهان (ح) من (ا) تكون زاوية (د ج ح) مساوية لزاوية (ه ج ح)  ...  ويحسب الالمصاادرة اذا قام خط مستقيم على خط مستقيم فكانت الزاويتان اللتان عن جنبتى الخط اقائم متساويتين فكل واحدة منهما قائمة والخط القئمة يقال له العمود  فخط (ح ج) اذا عمود على خط (ا ب) 
جه اضلاع مثلث ز ج د ، ز ج ه کی حادث شده اند  از دو جانب ز ج متساوی باشند *ح  بس ایشان قائمتان باشند  ...  ...  ...  و ز ج عمود *حد 
atropapattiḥ | (18) dajhajatribhujasya bhujatrayaṃ hajhajasya bhujaiḥ samānam asti |      jhajada(19)koṇajhajahakoṇau jacihnasya samānau |    tasmāt jasya dvau koṇau sa(20)makoṇau jātau |   
Τῇ ἄρα δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΓΖ:  ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. 
Therefore the straight line CF has been drawn at right angles to the given straight line AB from the given point C on it.  Q. E. F. 
Date ergo recte AB ab in ipsa data puncto G ad rectos angulos recta linea ducta est GZ.  Quod oportebat facere. 
فقد اخرجنا من نقطة (ج) من خط (ا ب) خطا مستقيما عمودا على خط (ا ب)  وذلك ما ادنا ان نبين.
مضاف الى هذا الشكل الايرون.
نريد ان نخرج من نقطة (ا) التى هى طرف الخط خطا مستقيما يكون عمودا على خط ة (ا ب)
نقطة (ج) ونخرج منها عمود (ج د) كما اخرجنا بحسب برهان يا من (ا) وليكن خروج (ج د) غير محدود
ونفصل (ج د) مساويا لخط (ا ج) ونخرج عمود (د ه) اخراجا غير مخدود
وقسم زاوية (ا ج د) بنصفين بخط مستقيم بحسب برهان (ط) من (ا) ٧٤ يلقى خط (د ه)
ولننزل انه لقيه على نقطة (ه)
ونصل بين نقطتى (ا ه) بخط (ا ه)
فاقول ان خط (ا ه) عمود على خط (ا ب) على نقطة (ا)
برهانه انا فصلنا (ج د) مثل (ا ج) و(ج ه) مشترك وعملنا زاوية (ا ج ه) مساوية لزاوية (د ج ه)
فمما بين ببرهان (د) من (ا) تكون زاوية (ج ا ه) مساوية لزاوية (ج د ه)
وقد كنا عملنا زاوية (ج د ه) قائمة فزاوية (ج ا ه) قائمة فزاوية (ج ا ه) قائمة
فخط (ا ه) اذن عمود على نقطة (ا) من خط (ا ب)
وذلك ما اردنا ان نبين. 
...  و هوالمراد 
tad evam upapannaṃ cihnāt lamba(21)karaṇam ||        atha prakārāntareṇa | (23)
   tatra abarekhāyāṃ acihnāt_lambakaraṇaṃ cikīrṣitam asti | tatra aba(18,1)rekhāyāṃ jacihnaṃ kāryam | punaḥ jaasamānaṃ jadaṃ kāryam | jaci(2)hnāt jahalambaḥ kāryaḥ | dacihnāt (3) dajhalambaḥ kāryaḥ | ajahakoṇasya (4) javarekhayā khaṇḍadvayaṃ samānaṃ kāryaṃ | (5) punaḥ jadajhakoṇasya daharekhayā ca (6) khaṇḍadvayaṃ kāryaṃ | tadā jaharekhādaharekyayor yoge hacihnaṃ (7) jātam | punaḥ daharekhātylyā javarekhā pṛthak kāryā | punaḥ abarekhā (8) ca kārya | iyaṃ lambarūpā jātā | (8) atropapattiḥ | (9) ajavatribhuje ajabhujaḥ javabhujaḥ ajavakoṇaś ca jadahatribhuje (10) jadabhujena dahabhujena jadahakoṇena samānaḥ | vaajakoṇaś ca hajada(11)koṇena samāno jātaḥ | punaḥ hajadaḥ samakoṇo’sti | vaajako(12)ṇo’pi samakoṇaḥ | tataḥ avarekhā lambo jātaḥ | ayam evābhīṣṭaḥ | 
ΙΒʹ 
Proposition 12. 
12 
الشكل الثانى عشر من المقالة الاشلى 
یب 
atha dvādaśaṃ kṣetram | 
第十二題 
Ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου, ὃ μή ἐστιν ἐπ᾽ αὐτῆς, κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. 
To a given infinite straight line, from a given point which is not on it, to draw a perpendicular straight line. 
Super datam rectam infinitam a dato puncta quod non est in ipsa cathetum rectam lineam ducere. 
نريد ان نبين كيف نخرج من نقطة مفروضة الى خط (ع) مستقيم معلوم غير محدود خطا (ط) يكون عمودا عليه 
می خواهیم کی اخراج کنیم عمودی از نقطه بر خطی غیر محدود کی ان نقطه برو نیست  
tatrābhīṣṭacihnāt abhīṣṭarekhāyāṃ lambaniṣkāsanaṃ karta(16)vyam asti | 
有無界直線。線外有一點。求於點上作垂線。至直線上。 
Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄπειρος ἡ ΑΒ τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον, ὃ μή ἐστιν ἐπ᾽ αὐτῆς, τὸ Γ:  δεῖ δὴ ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπ᾽ αὐτῆς, κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. 
Let AB be the given infinite straight line, and C the given point which is not on it;  thus it is required to draw to the given infinite straight line AB, from the given point C which is not on it, a perpendicular straight line. 
Esto data quidem recta infinita AB. Datus vero punctus qui non est in ipsa G.  Oportet ergo super datam rectam infinitam ABA dato puncto G qui non est in ipsa cathetum rectam ducere. 
فلننزل ان النقطة هى نقطة ج ولخط المستقيم غير المحدود خط ا ب  ... 
جون ج و ا ب  ... 
yathā jacihnāt abarekhāyāṃ lambo niṣkasito ’sti |   
 
Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τῆς ΑΒ εὐθείας τυχὸν σημεῖον τὸ Δ,  καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Γ διαστήματι δὲ τῷ ΓΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΖΗ,  καὶ τετμήσθω ἡ ΕΗ εὐθεῖα δίχα κατὰ τὸ Θ,  καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ, ΓΘ, ΓΕ εὐθεῖαι:  λέγω, ὅτι ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπ᾽ αὐτῆς, κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ. 
For let a point D be taken at random on the other side of the straight line AB,  and with centre C and distance CD let the circle EFG be described; [Post. 3]  let the straight line EG be bisected at H, [I. 10]  and let the straight lines CG, CH, CE be joined. [Post. 1]  I say that CH has been drawn perpendicular to the given infinite straight line AB from the given point C which is not on it. 
Sumatur enim in alteras partes recte AB fortuitus punctus D.  Centro G et spatio GD circulus scribatur EZI.  Et secetur EI in duo equa ad punctum T.  Et copulentur recte GI, GT, GE.  Dico quoniam super datam rectam infinitam ABA data puncta G quod non est in ipsa cathetus ducta est GT. 
فنعلم فى الجهة الاخرى من الخط نقطة كيف ما وقعت وليكن نقطة (د)  وندير على نقطة (ج) وببعد (ج د) دائرة (د ه ز)    ونخرج من نقطة ج التى هى المركز خطين الى موضع تقاطع الدائرة والخط المستقيم وليكونا خطا (ج ه) (ج ز) ونقسم خط (ه ز) بنصفين كما بينا ببرهان (ي) من (ا) على نقطة (ح) ونخرج خط (ح ج)  فاقول ان خط (ح ج) عمود على خط (ا ب) 
در جهت دیکر از خط د کیف اتفق تعیین کنیم *ص   و بر ج ببعد ج د دایره ه د ز بکشیم *ص  ولا محاله قطع خط کند بر دو نقطه جون ه ، ز و ه ز بر ح تنصیف کنیم *ی  و ج ح وصل کنیم *ص  کی عمود باشد 
tadyathā | (19)abarekhādvitīyadiśi dacihnaṃ kā(20)ryam |  jaṃ kendraṃ kṛtvā jadavyāsārddhena (21) hadajhaṃ vṛttaṃ kāryam | idaṃ vṛttaṃ abare(22)khāyāṃ hajhacihne saṃpātaṃ kariṣyati |  punaḥ hajharekhāyāḥ vacihne samānaṃ khaṇḍa(24)dvayaṃ kāryam |  punaḥ javarekhā kāryā | 4   ayam eva lambaḥ | (19,1) atropapattiḥ | 
Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΘΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΘΓ,  δύο δὴ αἱ ΗΘ, ΘΓ δύο ταῖς ΕΘ, ΘΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ:  καὶ βάσις ἡ ΓΗ βάσει τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση:  γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΘΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΘΓ ἐστιν ἴση.  καί εἰσιν ἐφεξῆς.  ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ᾽ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν,  καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται ἐφ᾽ ἣν ἐφέστηκεν. 
For, since GH is equal to HE, and HC is common,  the two sides GH, HC are equal to the two sides EH, HC respectively;  and the base CG is equal to the base CE;  therefore the angle CHG is equal to the angle EHC. [I. 8]  And they are adjacent angles.  But, when a straight line set up on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is right,  and the straight line standing on the other is called a perpendicular to that on which it stands. [Def. 10] 
Quoniam enim equalis est IT recta recte TE, communis vero GT,  due ergo IT et TG duabus ET et TG equales sunt, utraque utrique,  et basis GT basi GE est equalis.  Angulus ergo GTI angulo ETG equalis est.  Et sunt deinceps.  Quando vero recta stans super rectam eos qui deinceps angulos equales alternis facit, rectus uterque est equalium angulorum.  Et recta superstans cathetus appellatur super eam cui superstat. 
برهانه ان ضلع (ه ح) من مثلث (ج ه ح) مساو لضلع (ح ز) من مثلث (ز خ ج) وناخذ (ح ج) مشتركا  فكلا ضلعى (ه ح) (ح ج) مثل كلى ضلعى (زح) (ح ج) كل ضلع مساو لنظير  وقاعدة (ج ه) مساوية لقاعدة (ج ز) لانهما خرجا من المركز  فمما بينا ببرهان (ح) من (ا) تكون زاوية (ه ح ج) مساوية لزاوية (ج ح ز)  ...  وكل خط يقوم على خط فيصير الزاويتان اللتان عن جنبتى الخط القائم متساويتين فان كل واحدة منهما قائمة والخط القائم  يقال له العمود عمود على الخط ٧٦ الذى هو قائم عليه 
جه ما جون ج ه ، ج ز اخراج کنیم در مثلثها ج ه ح ، ج ز ح اضلاع نظایر13   ...14   ...  یک زوایا ج ح ه ، ج ح ز متساوی باشند *ح  ...15   ...  و ج ح عمود *حد 
jaharekhā jajharekhā kāryā | jahava(3)tribhuje jahajajhaṃ samānam | (4) ubhayaṃ ca vṛttasya vyāsārddhatulyam asti | havaṃ (5) bajhaṃ ubhayaṃ samānaṃ pūrvakṛtam asti | javaṃ (6) ubhayos tribhujayorbhujo ’sti |  tasmāt
hajava(7)sya trayo bhujāḥ jajhava bhujatrayeṇa samānā jātāḥ | 
...5   havajakoṇo (8) javajhakoṇena samāno jātaḥ |    vasya koṇadvayaṃ samakoṇaṃ jātaṃ |  javaṃ (9) ca lambo jātaḥ | 
5.  
Ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπ᾽ αὐτῆς, κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ:  ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. 
Therefore CH has been drawn perpendicular to the given infinite straight line AB from the given point C which is not on it.  Q. E. F. 
Super datam ergo rectam infmitam ABA dato puncto G quod non est in ipsa cathetus ducta est GT.  Quod oportebat ostendere. 
فخط عمود على خط (ا ب) فقد اخرجنا من نقطة (ج) المعلومة الى خط (ا ب) الذى ليس بمعلوم القدر خط (ج ح) عمودا عليه  وذلك ما اردنا ان نبين. 
...  و هوالمراد 
  idam evābhīṣṭam ||

punaḥ prakārāntaram |
(11)abarekhāyāṃ hacihnaṃ kāryam | hajarekhā (12) saṃyojyā | punaḥ jaṃ kendraṃ kṛtvā jahavyāsā(13)rddhena vṛttaṃ kāryam | tat hadasaṃjñaṃ bhavati | (14) vṛttasyādyantau hacihne bhavataḥ | tadā jaha(15)rekhā lambo jātaḥ | etasyopapattiṃ tṛtīyādhyāye (16) vakṣyāmaḥ ||

hacihne yadi vṛttasyānto na bhavati (17) kiṃ ca jhacihne bhavati tadā hajharekhāyāṃ (18) vacihne khaṇḍadvayaṃ samānaṃ kāryam | java(19)rekhā saṃyojyā | iyaṃ lambaḥ |
(20) atropapattiḥ pūrvoktaprakāreṇa || 
ΑΓʹ 
Proposition 13. 
13 
الشكل الثالة عشر من المقلة الاولى 
یج 
atha trayodaśaṃ kṣetram | 
Ἐὰν εὐθεῖα ἐπ᾽ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ, ἤτοι δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει. 
If a straight line set up on a straight line make angles, it will make either two right angles or angles equal to two right angles. 
Quotiens recta stans super rectam angulos facit, vel duos rectos vel duobus rectis equales faciet. 
كل خط مستقيم (ع) وقوم على خط مستقيم فان الزاويتين اللتين عن جنبتى الخط القائم اما قائمتان (ط) واما معادلتان لقائمتين 
... 
tatra ekarekhopari anyarekhāyogaḥ kāryaḥ tatra rekhobhayadiśi (3) jātaṃ yat koṇadvayaṃ tat samakoṇadvayaṃ bhavati athavā koṇadva(4)yayogaḥ samakoṇadvayatulyo bhavati | 
一直線。至他直線上所作兩角。非直角。卽等於兩直角。 
Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ ἐπ᾽ εὐθεῖαν τὴν ΓΔ σταθεῖσα γωνίας ποιείτω τὰς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ:  λέγω, ὅτι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ γωνίαι ἤτοι δύο ὀρθαί εἰσιν ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι. 
For let any straight line AB set up on the straight line CD make the angles CBA, ABD;  I say that the angles CBA, ABD are either two right angles or equal to two right angles. 
Recta enim quedam AB stans super rectam GD angulos faciat GBA et ABD.  Dico quoniam GBA et ABD anguli vel duo recti sunt vel duobus rectis equales. 
مثاله ان خط (ا ب) قائم على خط (د ج)  فاقول ان زاويتى (ا ب ج) و(ا ب د) اللتين عن جنبى خط (ا ب) قائمتان او معادلتان لقائمتين 
جون خطی بر خطی قائم شود کیف اتفق جون ا ب بر ج د دو زاویه کی از دو جانب او حادث شوند جون ا ب ج ، ا ب د *ص  یا دو قائمه باشند یا با هم مساوی دو قایمه 
atha abarekhāyāṃ jadarekhāyā yogaḥ (6) kṛtas tena abajakoṇaḥ abadakoṇaś ca (7) imau samutpannau |   
Εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒΑ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ, δύο ὀρθαί εἰσιν.  εἰ δὲ οὔ, ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου τῇ ΓΔ [εὐθείᾳ] πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ:  αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ δύο ὀρθαί εἰσιν:  καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ ἴση ἐστίν, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΕΒΔ:  αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ, ΕΒΔ ἴσαι εἰσίν.  πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΒΕ, ΕΒΑ ἴση ἐστίν, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ:  αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΒΑ, ΑΒΓ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΔΒΕ, ΕΒΑ, ΑΒΓ ἴσαι εἰσίν.  ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ τρισὶ ταῖς αὐταῖς ἴσαι:  τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα:  καὶ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ ἄρα ταῖς ὑπὸ ΔΒΑ, ΑΒΓ ἴσαι εἰσίν:  ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ δύο ὀρθαί εἰσιν:  καὶ αἱ ὑπὸ ΔΒΑ, ΑΒΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. 
Now, if the angle CBA is equal to the angle ABD, they are two right angles. [Def. 10]  But, if not, let BE be drawn from the point B at right angles to CD; [I. 11]  therefore the angles CBE, EBD are two right angles.  Then, since the angle CBE is equal to the two angles CBA, ABE, let the angle EBD be added to each;  therefore the angles CBE, EBD are equal to the three angles CBA, ABE, EBD. [C. N. 2]  Again, since the angle DBA is equal to the two angles DBE, EBA, let the angle ABC be added to each;  therefore the angles DBA, ABC are equal to the three angles DBE, EBA, ABC. [C. N. 2]  But the angles CBE, EBD were also proved equal to the same three angles;  and things which are equal to the same thing are also equal to one another; [C. N. 1]  therefore the angles CBE, EBD are also equal to the angles DBA, ABC.  But the angles CBE, EBD are two right angles;  therefore the angles DBA, ABC are also equal to two right angles. 
Siquidem ergo angulus GBA equalis est angulo ABD, duo recti sunt.  Si vero non, iaceat a puncta B recte GD ad rectos recta BE.  Anguli ergo GBE et EBD duo recti sunt.  Et quoniam angulus GBE duobus GBA et ABE equalis est, communis adiaceat angulus EBD,  anguli ergo GBE et EBD tribus qui sunt GBA et ABE et EBD sunt equates.  Rursus quoniam angulus ABD duobus ABE et EBD equalis est, communis adiaceat angulus ABG,  anguli ergo DBA et ABG tribus qui sunt DBE et EBA et ABG sunt equales.  Ostensi sunt vero et anguli GBE et EBD tribus eisdem equales.  Eidem vero equalia et alternis equalia sunt.  Et anguli ergo GBE et EBD angulis DBA et ABG sunt equales.  Verum anguli GBE et EBD duo recti sunt.  Et anguli ergo DBA et ABG duobus rectis equales sunt. 
برهانه ان خط (ا ب) ان كان عمودا على خط (ج د) فان زاويتى (ا ب ج) و(ا ب د) قائمتان بحسب ما صودر به فى هذه المقاله اذ كان هذا من الاشياء الاول  وان لم يكن خط (ا ب) عمودا على خط (د ج) فانا نخرج من نقطة (ب) خطا يكون عمودا على خط (د ج) كما بينا ببرهان (يا) من (ا) وليكن خط (ب ه)  فزاويتا (ه ب ج) (ه ب د) قائمتان  وهما مساويتان للثلث الازوايا اعنى زوايا (ا ب ج) (ا ب ه) (ه ب د)  لان زاوية (ه ب ج) القائمة مثل مجموع زاويتى (ا ب ج) (ا ب ه)  وايضا فان مجموع زاويتى (ا ب د) و(ا ب ج) مثل مجموع اللثلث زاويا اعنى زوايا (د ب ه) (ه ب ا) (ا ب ج) لان زاوية (ا ب د) المنفرجة مساوية لمجموع زاويتا (ا ب ه) (ه ب د)  First in previous record  ...  والمساوية لشى واحد فهى متساوية  اعنى ان زاويتى (ه ب ج) (ه ب د) القائمتين مثل مجموع الثلث زوايا التى ذكرناها  فمجموع زاويتى (ا ب ج) و(ا ب د) مساو  لمجموع زاويتى (ه ب ج) (ه ب د) القائمتين 
جه اکر ا ب عمود باشد هر دو قایمه باشند *حد  والا از ب عمود ب ه بر ج د اخراج کنیم *یا 
abarekhā yadi lambas tadā dvau samakoṇau jātau |  yadā abarekhā (9) lambo na bhavati tadā bacihnāt bahalambaḥ kāryaḥ |  tadā koṇatrayaṃ bha(10)vati abajaṃ ekaḥ abahaṃ dvitīyaḥ habadaṃ tṛtiyaḥ | atha dvitīyakoṇaḥ (11) prathamakoṇena yuktaḥ kṛtaś cet tadā habajahabadaś caitan dvau samakoṇau (12) bhaviṣyataḥ | (12) atha dvitīyakoṇe tṛtīyakoṇaś ced yojyate tadā abaja-aba(13)dakoṇau6 yathāsthitau bhavataḥ | 7                    
Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἐπ᾽ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ, ἤτοι δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει:  ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 
Therefore etc.  Q. E. D. 
Quotiens ergo recta stans super rectam angulos facit, vel duos rectos vel duobus rectis equales faciet.  Quod oportet (ostendere). 
فقد تبين ان كل خط مستقيم يقوم على خط اخر مستقيم فان الزاويتين اللتين ٧٨ عن جنبتى الخط القائم قائمتان او معادلتان لزاويتين قائمتين  وذلك ما اردنا ان نبين. 
tasmād etatsamakoṇadvayayogaḥ samakoṇadvayatulyo jātaḥ |  idam evāsmākam abhīṣṭam | 
ΙΔʹ 
Proposition 14. 
14 
الشكل الرابع عشر من المقالة الاولى. 
atha caturdaśaṃ kṣetram | 
第十四題 
Ἐὰν πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δύο εὐθεῖαι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιῶσιν, ἐπ᾽ εὐθείας ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι. 
If with any straight line, and at a point on it, two straight lines not lying on the same side make the adjacent angles equal to two right angles, the two straight lines will be in a straight line with one another. 
Si ad aliquam rectam atque ad punctum in ipsa datum due recte non in easdem partes iacentes eos qui deinceps angulos duobus rectis equales fecerint, in directo erunt alternis ille recte. 
اذا خرج من نقطة فى خط خطان (ع) فى جهتين مختلفتين فكانت الزاويتان اللتان عن جنبتى الخط المخرج منه معادلتين لزاويتين قائمتين فان الخطين المخرجين قد (ط) اتصلا على استقامة وصارا خطا واحدا 
tatra rekhādvayaṃ digdvayataḥ samāgataṃ tadanyarekhācihne yadi (17) yogaṃ karoti tatra tadrekhādvayayogāt samakoṇadvayaṃ bhavati vā (18) koṇadvayayogaḥ samakoṇadvayatulyo bhavati tadā niṣkāsitare(19)khādvayayogāt saralaikarekhā bhavati | 
一直線。於線上一點。出不同方兩直線。偕元線、每旁作兩角。若每旁兩角、與兩直角等卽後出兩線、為一直線。 
Πρὸς γάρ τινι εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, ΒΔ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒΔ δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιείτωσαν:  λέγω, ὅτι ἐπ᾽ εὐθείας ἐστὶ τῇ ΓΒ ἡ ΒΔ. 
For with any straight line AB, and at the point B on it, let the two straight lines BC, BD not lying on the same side make the adjacent angles ABC, ABD equal to two right angles;  I say that BD is in a straight line with CB. 
Ad rectam enim AB et ad in ipsa punctum B due recte BG et BD non in easdem partes iacentes eos qui deinceps angulos ABG et ABD duobus rectis equales faciant.  Dico quoniam in directo est recte GB recta BD. 
مثاله انه قد خرج من نقطة (ب) من خط (ا ب) خطا (ب ج) (ب د) فى جهتين مختلفتين وصارت زاويتا (ج ب ا) (ا ب د) معادلتين لزاويتين قائمتين  فاقول ان خطى (ب ج) (ب د) قد اتصلا على استقامة فصارا خطا واحدا 
atra upapattiḥ | (2) jababadarekhe abarekhāyāṃ bacihne milite jāte | jabaakoṇaḥ (3) dabaakoṇaḥ etau samakoṇadvayasmānau jātau |  tadā jabadarekhā saralarekhā saralā ekā rekhā jatā | 
Εἰ γὰρ μή ἐστι τῇ ΒΓ ἐπ᾽ εὐθείας ἡ ΒΔ, ἔστω τῇ ΓΒ ἐπ᾽ εὐθείας ἡ ΒΕ.  Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΒ ἐπ᾽ εὐθεῖαν τὴν ΓΒΕ ἐφέστηκεν, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒΕ γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν:  εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι:  αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ ἴσαι εἰσίν.  κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΓΒΑ:  λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ ἐστιν ἴση, ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι:  ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.  οὐκ ἄρα ἐπ᾽ εὐθείας ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΓΒ.  ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΒΔ:  ἐπ᾽ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ. 
For, if BD is not in a straight line with BC, let BE be in a straight line with CB.  Then, since the straight line AB stands on the straight line CBE, the angles ABC, ABE are equal to two right angles. [I. 13]  But the angles ABC, ABD are also equal to two right angles;  therefore the angles CBA, ABE are equal to the angles CBA, ABD. [Post. 4 and C.N. 1]  Let the angle CBA be subtracted from each;  therefore the remaining angle ABE is equal to the remaining angle ABD, [C.N. 3] the less to the greater:  which is impossible.  Therefore BE is not in a straight line with CB.  Similarly we can prove that neither is any other straight line except BD.  Therefore CB is in a straight line with BD. 
Si enim non est recte BG in directo recta BD, esto recte BG in directo recta BE.  Quoniam ergo recta AB super rectam GE stat, anguli ergo ABG et ABE duobus rectis sunt equales.  Sunt vero et ABG et ABD duobus rectis equales.  Anguli ergo GBA et ABE angulis GBA et ABD sunt equales.  Communis auferatur GBA,  reliquus ergo ABE reliquo ABD est equalis. Minor maiori.  Quod est impossibile.  Non ergo in directo recta BE recte GB.  Similiter ergo demonstrabimus quoniam neque alia aliqua preter BD.  In directo ergo est recte GB recta BD. 
برهانه انه لا يمكن الا ذلك فان امكن ان نتصل بنقطة (ب) خطا اخر غير (ب د) ويصيرا جميعا خطا واحدا مستقيما فليكن ذلك الخط خط (ب ه)  فان امكن ان يكون خط (ب ه) قد اتصل بخط (ب ج) على استقامة وخط (ا ب) قائمة على خط (ج ب ه) فالزاويتان اللتان عن جنبتى خط (ا ب) معادلتان لزاويتين قائمتين اعنى مجموع زاويتى (ا ب ج) (ا ب د) كما بين ببرهان (يج) من (ا)  وقد كانت زاويتا (ا ب ج) (ا ب د) معادلتين لقائمتين  فمجموع زاويتى (ا ب ج) (ا ب ه) مساو لمجنوع زاويتى (ا ب ج) (ا ب د)  فنسقط زاوية (ا ب ج) المشتركة  فتبقى زاوية (ا ب د) العظمى مساوية لزاويت (ا ب ه) الصغرى  هذا خلف غير ممكن  فقد تبين انه غير ممكن ان يتصل بخط (ب ج) خط اخر  فيصير معه خطا واحدا مستقيما غير خط (ب د)  ... 
yadi saralā na bhavati tadā jabaharekhā (6) saralā rekhā bhavati |  tatra jabaahabaaḥ (7) etau dvau koṇau dvayoḥ samakoṇayoḥ samānau (8) jātau |  tadā jabaakoṇaḥ dabaakoṇaḥ etāv api koṇau dvayoḥ sama(9)koṇayos tulyau bhavataḥ |    punas tayor jabaakoṇaś cec chodyate  tadā habaa(10)laghukoṇaḥ dabaabṛhatkoṇaś caitau8 samānau syātām |  etad anupapannam |    tasmād upapannaṃ jabadarekhā saralā asti iti ||   
Ἐὰν ἄρα πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δύο εὐθεῖαι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιῶσιν, ἐπ᾽ εὐθείας ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι:  ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 
Therefore etc.  Q. E. D. 
Si ergo ad aliquam rectam etc.  Quod oportebat ostendere. 
...  وذلك ما اردنا ان نبين ع
زيادة وقد يبرهن ببرهان آخر على سبيل التوسع والارتياض
فلننزل انه قد خرج من نقطة (ب) من خط (ا ب) ٨٠ خطا (ب ج) (ب د) وصارت زاويتا (ا ب ج) (ا ب د) معادلتين لقائيمتين
فاقول انهما قد اتصلا على استقامة فصارا زطا واحدا
برهانه انه ممكن ان نخرج من نقطة (ب) التى نهاية مشتركة لختى (ج ب) (ب د) خطا يكون عمودا على نهايتيهما
لانه ان كان عمودا على احدهما دون الاخر فان زاويتى (ا ب ج) و(ا ب د) لا تكونان معادلتين لقائمتين
وليكن خط (ب ه)
ونفرض خطا اخر عليه (زح) ونعلم عليه عالمة (ط) ونخرج من نقتة (ط) خط (ط ل) (ط ك s)عمودا على خط (ز ح)
فمن البين ان زاوية (زط ك) مساوية لزاوية (د ب ه)
فاذا ركبنا زاوية (زط ك) على زاوية زاوية (ج ب ح) فان نضع نقطة (ط) على نقتة نقطة (ب) ونركب خط (ط ز) على خط (ب ج) وخط (ط ك) على خط (ب ه) ونركب ايضا زاوية (ك ط ج) على زاوية (ه ب د) لانهما ايضا متساويتان ونركب خط (ط ح) على خط (ب د) فيتركب اذن خط (زط ح) باسه على خط (ج ب د)
لكن خط (زط ح) خط واحد نستقيم
فخط (ج ب د) ايضا خط واحد مستقيم
وذلك ما اردنا ان نبين. 
   
ΙΕʹ 
Proposition 15. 
15 
اشكل الخامس عشر من القالة الاولى 
atha pañcadaśaṃ kṣetram | 
第十五題 
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσιν. 
If two straight lines cut one another, they make the vertical angles equal to one another. 
Si due recte secent se invicem, eos qui ad verticem angulos alternis equales faciunt. 
كل خطين (ء) مستقيمين يتقاطعان (فكل زاوية تحدث من تقاطعهما مساوية للتى تقابلها) فان كل زاويتين تتقابلان متساويتان (ط) والزاويا الاربع معادلة (ط) لاربع زاويا قائمة 
tatra rekhādvayasaṃpātād utpannaṃ koṇacatuṣṭayaṃ parasparasanmukhaṃ (14) koṇadvayaṃ samānaṃ bhavati | 
凡兩直線相交作四角。每兩交角必等。 
Δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον:  λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΕΔ. 
For let the straight lines AB, CD cut one another at the point E;  I say that the angle AEC is equal to the angle DEB, and the angle CEB to the angle AED. 
Due enim recte AB et GD secent se invicem ad punctum E.  Dico quoniam equalis est angulus quidem AEG angulo DEB, angulus vero GEB angulo AED. 
مثله ان خطا (ا ب) (ج د) يقاطعا على نقطة (ه)  فاقول ان زاوية (ا ه ج) مساوية لزاوية (ب ه د) وزاوية (ا ه د) مساوية لزاوية (ج ه ب) والزوايا الاربع (ا ه ج) (ج ه ب) (ب ه د) ٨٢ (د ه ا) معادلات لاربع زوايا قائمة 
yathā abarekhājadarekhābhyāṃ hacihne saṃ(16)pātaḥ kṛtaḥ |  tatra jahabakoṇaahadakoṇau para(17)sparasanmukhau samānau staḥ | 
Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΕ ἐπ᾽ εὐθεῖαν τὴν ΓΔ ἐφέστηκε γωνίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.  πάλιν, ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΔΕ ἐπ᾽ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ ἐφέστηκε γωνίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ,  αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.  ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι:  αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ ταῖς ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ ἴσαι εἰσίν.  κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΕΔ:  λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΕΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ ἴση ἐστίν:  ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΓΕΒ, ΔΕΑ ἴσαι εἰσίν. 
For, since the straight line AE stands on the straight line CD, making the angles CEA, AED, the angles CEA, AED are equal to two right angles [I. 13]  Again, since the straight line DE stands on the straight line AB, making the angles AED, DEB,  the angles AED, DEB are equal to two right angles. [I. 13]  But the angles CEA, AED were also proved equal to two right angles;  therefore the angles CEA, AED are equal to the angles AED, DEB. [Post. 4 and C. N. 1]  Let the angle AED be subtracted from each;  therefore the remaining angle CEA is equal to the remaining angle BED. [C. N. 3]  Similarly it can be proved that the angles CEB, DEA are also equal. 
Quoniam enim recta AE stat super rectam GD angulos faciens GEA et AED, anguli ergo GEA et AED duobus rectis sunt equales.  Rursus quoniam recta DE stat super rectam AB angulos faciens AED et DEB,  anguli ergo AED et DEB duobus rectis sunt equales.  Demonstrati vero sunt et GEA et AED duobus rectis equales.  Anguli ergo GEA et AED angulis AED et DEB sunt equales.  Communis auferatur AED,  reliquus ergo GEA reliquo BED equalis est.  Similiter autem ostendetur quoniam anguli GEB et DEA sunt equales. 
برهامه ان خط (ا ه) قائم على خط (ج د) فببرهان يج من (ا) تكون زاويتا (ا ه ج) (ا ه د) معادلتين لقائتين  وايضا خط (ج ه) قائم على خط (ا ب)  فزاويتا (ا ه ج) (ج ه ب) معادلتان لزاويتين قائمتين  فننقص زاوية (ا ه ج) المشتركة فتبقى زاوية (ا ه د) مساوية لزاوية (ج ه ب)  ايضا فان خط (ج ه) قائم على خط (ا ب) فزاويتا (ا ه ج) (ج ه ب) معادلتان لزاويتين قائمتين  فنسقط زاوية (ج ه ب) المشتركة  فتبقى زاوية (ا ه ج) مساوية لزاوية (ب ه د)  ... 
kutaḥ | bahajakoṇa(18)jahaakoṇayor yogaḥ samakoṇadvayatulyo ’sti |      punar jahaakoṇaahadakoṇayor yogo ’pi samako(20)ṇadvayasamāno ’sti |    jahaakoṇaś ca ubhayoḥ koṇayor milito ’sti 9 sa dūrī(21)kriyate  cet tadā bahajakoṇaahadakoṇāv api śeṣau samānau staḥ |   
Ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσιν:  ὅπερ ἔδει δεῖξαι.  [Πόρισμα
Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς πρὸς τῇ τομῇ γωνίας τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσουσιν.] 
Therefore etc.  Q. E. D.  [Porism. From this it is manifest that, if two straight lines cut one another, they will make the angles at the point of section equal to four right angles.] 
Si ergo due recte se alternas secuerint, ad verticem angulos equales alternis facient.  Quod oportet ostendere.   
فقد تبين ان الزوايا المتقابلة متساوية
وقد تبين ايضا مما وصفنا ان الزوايا الاربع معادلة لاربع زوايا قائمة 
وذلك ما اردنا ان نبين.  See the record before the previous 
    tadā (22) rekhādvayasaṃpātāt utpannaṃ catuṣṭayaṃ caturbhiḥ samakoṇaiḥ samānaṃ jātam |
(23) idam evāsmākam iṣṭam |
(22,1) atha ca yasmiṃś chihne 10 yāvatyo rekhā militās tatrotpannā ye koṇās te caturbhiḥ samakoṇaiḥ samānā bhavanti || 
10. cinhe 
一系。推顯兩直線相交。於中點上作四角。與四直角等。
二系一點之上。兩直線相交不論幾許線、幾許角。定與四直角等。公論 \\ 十八。
增題一直線內、出不同方兩直線、而所作兩交角等。卽後出兩線、為一直線。 
Ιςʹ 
Proposition 16. 
16 
الشكل السادس عشر من المقالة الاولى 
atha ṣoḍaśaṃ kṣetram | 
第十六題 
Παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνιῶν μείζων ἐστίν. 
In any triangle, if one of the sides be produced, the exterior angle is greater than either of the interior and opposite angles. 
Omnis trigoni uno laterum educto exterior angulus utroque interiorum et oppositorum maior est. 
كل مثلث يخرج ضلع من احدى زواياه ضلع من اضلاعه فان الزاوية الخارجة اعظم من كل واحدة من الداخلتين اللتين تقابلانها الزاويتين الاخرين 
tatra tribhujasyaiko bhujaḥ svamārgavṛddhaḥ kāryaḥ tata tribhujād 11 bahirutpannakoṇaḥ tribhujāntargatasvapārśvasthitānyakoṇābhyāṃ pratyekad adhiko’sti | 
凡三角形之外角。必大於相對之各角。 
Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ,  καὶ προσεκβεβλήσθω αὐτοῦ μία πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ:  λέγω, ὅτι ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, ΒΑΓ γωνιῶν. 
Let ABC be a triangle,  and let one side of it BC be produced to D;  I say that the exterior angle ACD is greater than either of the interior and opposite angles CBA, BAC. 
Esto trigonum ABG.  Et emittatur unum latus BG super D.  Dico quoniam exterior angulus AGD maior est utroque interiorum ex adverso positorum angulorum qui sunt GBA et BAG. 
مثاله ان مثلث (ا ب ج)  قد اخرج ضلع من اضلاع على استقامة وهو ضلع (ب ج) الى نقطة (د)  فاقول ان زاوية (ا ج د) الخارج اعظم من كل واحد من زاويتى (ا ب ج) (ب ا ج) 
yathā abajatrubhuje  bajabhujaḥ dapa(8)ryantaḥ nītaḥ |  tatra tribhujād bahir utpannaḥ (9) ajadakoṇaḥ tribhujāntargataakoṇāt ba(10)koṇāc ca pratyekād adhiko’sti | 
Τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε,  καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΕ ἐκβεβλήσθω ἐπ᾽ εὐθείας ἐπὶ τὸ Ζ,  καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΖ,  καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ,  καὶ διήχθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Η. 
Let AC be bisected at E [I. 10],  and let BE be joined and produced in a straight line to F;  let EF be made equal to BE[I. 3],  let FC be joined [Post. 1],  and let AC be drawn through to G [Post. 2]. 
Dividatur recta AG in duo equa ad punctum E.  Et copulata recta BE educatur in Z.  Iaceatque recte BE equalis EZ.  Et copuletur ZG.  Et protrahatur AG recta super I. 
برهانه انا نقسم ضلع (ا ج) بنصفين على نقطة (ه) كما بين ببرهان (ي) من (ا)  ونخرج خط (ب ه ز)  ونجعل خط (ه ز) مثل خط (ب ه)  ونزرج خط (ج ز)  ... 
atropapattiḥ | tatra ajabhujasya hacihne khaṇḍadvayaṃ samānaṃ karyām |  baharekhā ca kāryā | baharekhā varddhitā bahasamānā jhaparyantaṃ neyā |  See the previous record.  jajharekhā ca kārya | tadā (14) abahatribhujaṃ jātam | evaṃ hajajha tribhujaṃ jātam | 12   punaḥ ajabhujaḥ vacihnaparyantaṃ neyaḥ | 
Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ:  καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΓ ἴση ἐστίν:  κατὰ κορυφὴν γάρ:  βάσις ἄρα ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν,  καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΕΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον,  καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ᾽ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν:  ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΕΓΖ.  μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ τῆς ὑπὸ ΕΓΖ:  μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ.  ὁμοίως δὴ τῆς ΒΓ τετμημένης δίχα δειχθήσεται καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΑΓΔ, μείζων καὶ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ. 
Then, since AE is equal to EC, and BE to EF, the two sides AE, EB are equal to the two sides CE, EF respectively;  and the angle AEB is equal to the angle FEC,  for they are vertical angles. [I. 15]  Therefore the base AB is equal to the base FC,  and the triangle ABE is equal to the triangle CFE,  and the remaining angles are equal to the remaining angles respectively, namely those which the equal sides subtend; [I. 4]  therefore the angle BAE is equal to the angle ECF.  But the angle ECD is greater than the angle ECF; [C. N. 5]  therefore the angle ACD is greater than the angle BAE.  Similarly also, if BC be bisected, the angle BCG, that is, the angle ACD [I. 15], can be proved greater than the angle ABC as well. 
Quoniam ergo equalis est AE quidem recta recte EG, recta vero BE recte EZ, due AE et EB duabus GE et EZ sunt equales, utraque utrique,  et angulus AEB angulo ZEG est equalis,  ad verticem enim.  Basis ergo AB basi ZG est equalis  et AEB trigonum trigono ZEG equale erit  et reliqui anguli reliquis angulis equales erunt, uterque utrique, quibus equalia latera subtenduntur.  Equalis ergo est angulus quidem BAE angulo EGZ.  Maior vero est angulus EGD angulo EGZ.  Maior ergo AGD angulo BAE.  Similiter ergo recta BG divisa in duo equa demonstrabitur BGI, hoc est AGD, maior angulo ABG. 
فضلع (ا ه) من مثلث (ه ا ب) مساو لضلع (ه ج) من مثلث (ه ج ز) وضلع (ه ب) مثل ضلع (ه ز)  وزاوية (ا ه ب) مساوية لزاوية (ج ه ز) وذلك بين من برهان (يه) (ا)  ...  ...  ...  ...  ومما تبين من برهان (د) من (ا) تكون زاوية (ب ا ه) مساوية لزاوية (ه ج ز)  ...  فان زدنا عليها زاوية (د ج ز) صارت زاوية ٨٤ (ا ج د) باسرها اعظم من زاوية (ج ا ب)
وايضا تبين انها اعظم من زاوية (ب ج ا) انا نخرج خط (ا ج) الى نقطة (ح) وقسم ضلع (ب ج) بنصفين على نقطة (ك) كما بين ببرهان (ي) من (ا)
ونخرج (ك ل) ونجعله مثل (ا ك) ونخرج (ل ج) 
فبمثل هذا البرهان المتقدم بذلك الاستشهاد يتبين ان زاوية (ب ج ه) مساوية لزاوية (ا ج د) كما بين ببرهان (يه) من (ا)فزاوية (ا ج د) اذا اعظم من زاوية (ا ب ج) 
tatra bahabhujaḥ (15) hajhabhujena samānaḥ | ahabhujaś ca hajabhujena samānaḥ |  bahaakoṇa (16) jhahajakoṇena samānaḥ |      Cf. San 22,13-14 13     tasmāt baāhakoṇaḥ hajajhakoṇena samāno jātaḥ |  tadā ajadabahirgatakoṇaḥ ajajhakoṇād adhiko ’sti |  ako(18)ṇād api adhikaḥ |  tadā bajava(19)koṇaḥ bakoṇād adhikaḥ | bajavakoṇaś ca ajadakoṇaś ca etau samānau jātau | (20) ajadakoṇo’pi bakoṇād adhiko jātaḥ | 
Παντὸς ἄρα τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνιῶν μείζων ἐστίν:  ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 
Therefore etc.  Q. E. D. 
Omnis ergo trigoni uno laterum producto etc.  Quod oportet ostendere. 
...  وذلك ما اردنا ان نبين. 
  idam eva asmakam abhiṣṭam |
(21) anena idam api jñātam ekacihnād utpannaṃ rekhādvayaṃ tṛtīyarekhayā yadi yogaṃ (22) karoti tadā tatrotpannaikadikoṇadvayaṃ kadāpi samānaṃ na bhavati | dig atra (23) cihnotpannarekhāto grahyā | yathā acihnāt abarekhā ajarekhā ca ni(2)sṛtā badarekhāyāṃ bajacihne militā | tadā a(3)bajakoṇaajadakoṇau caikadiśi utpannau samānau (4) na bhavataḥ | yato rekhātrayayogena abajatribhujaṃ (5) jātam | ajadakoṇaḥ tribhujād bahiḥsthaḥ aba(6)jakoṇād adhiko asti | idaṃ pūrvakṣetre pratipā(7)ditam asti | tasmād uktam evopapannam | 
IZʹ 
Proposition 17. 
17 
الشكل السابع عشر من مقاله الاولى 
atha saptadaśaṃ kṣetram | 
第十七題 
Παντὸς τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι. 
In any triangle two angles taken together in any manner are less than two right angles. 
Omnis trigoni duo anguli duobus rectis minores supersint omnifariam transsumpti. 
كل مثلث فان مجموع كل زاويتين من زواياه اصغر من زاويتين قائمتين 
tatra tribhūjasya koṇadvayayogaḥ samakoṇadvayayogād alpo bhavati | 
凡三角形之每兩角。必小於兩直角。 
Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ:  λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι. 
Let ABC be a triangle;  I say that two angles of the triangle ABC taken together in any manner are less than two right angles. 
Esto trigonum ABG.  Dico quoniam ABG trigoni duo anguli duobus rectis minores sunt omnifariam transsumpti. 
مثاله مثلث (ا ب ج)  فاقول ان مجموع زاويتى (ا ب ج) (ب ا ج) اصغر من زاويتين قائتين ومجموع زاويتى (ا ب ج) (ب ج ا) اصغر من قائمتين ومجموع زاويتى (ب ا ج) (ا ج ب) اصغر من قائمتين 
  yathā abajatribhūje bajakoṇau samakoṇadvayān nyūnau staḥ | 
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ.  Καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ ἐκτός ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ, μείζων ἐστὶ τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῆς ὑπὸ ΑΒΓ.  κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ:  αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ μείζονές εἰσιν.  ἀλλ᾽ αἱ ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν:  αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.  ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι καὶ ἔτι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ. 
For let BC be produced to D. [Post. 2]  Then, since the angle ACD is an exterior angle of the triangle ABC, it is greater than the interior and opposite angle ABC. [I. 16]  Let the angle ACB be added to each;  therefore the angles ACD, ACB are greater than the angles ABC, BCA.  But the angles ACD, ACB are equal to two right angles. [I. 13]  Therefore the angles ABC, BCA are less than two right angles.  Similarly we can prove that the angles BAC, ACB are also less than two right angles, and so are the angles CAB, ABC as well. 
Educatur enim recta BG in punctum D.  Et quoniam trigono ABG extra est angulus AGD, maior est interiori et opposito ABG.  Communis adiaceat AGB,  anguli ergo AGD et AGB angulis ABG et BGA sunt maiores.  Verum anguli AGD et AGB duobus rectis sunt equales.  Anguli ergo ABG et BGA duobus rectis sunt minores.  Similiter ergo demonstrabimus quoniam anguli BAG et AGB duobus rectis minores sunt et adhuc GBA et BAG. 
برهانه انا نخرج خط (ب ج) على استقامة الى نقطة (د)  فبما بين ببرهان (يو) تكون زاوية (ا ج د) الخارلة اعظم من (ا ب ج)  وناخذ زاوية (ا ج ب) مشتركة  فمجموع زاويتى (ا ج د) (ا ج ب) اعظم من مجموع زاويتى (ا ج ب) (ا ب ج)  لكن بما بينا من برهان (يج) من (ا) يكون مجموع زاويتى (ا ج د) (ا ج ب) مساويا لمجوع زاويتين قائمتين  ...  وبمثل هذا البرهان والاستشهاد يتبين ان مجوع زاويتى (ب ا ج) (ا ج ب) اصغر من مجموع قائمتين واما ان مجموع زاويتى (ا ب ج) (ب ا ج) اصغر من مجموع زاويتين قائمتين
فانا نخرج خط (ا ب) الى علامة (ه) ونبين كما بينا قبل 
bajabhujaḥ daparyantaṃ neyaḥ | kutaḥ |      ajadakoṇas tu bakoṇādhikaḥ |  ajadakoṇaajabakoṇayor yogaḥ samakoṇadvayasamāno ’sti |  punar bakoṇayor yogaḥ samakoṇadvayān nyūno ’sti |  evam anyakoṇeṣv api jñeyam | 
Παντὸς ἄρα τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι:  ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 
Therefore etc.  Q. E. D. 
Omnis ergo trigoni duo anguli etc.  Quod oportebat ostendere. 
...  وذلك ما اردنا ان نبين. ٨٦ 
  tad evam upapannaṃ yathoktam | 
IHʹ 
Proposition 18. 
18 
الشكل الثامن عشر من المقالة الاولى 
athāṣṭādaśaṃ kṣetram | 
第十八題 
Παντὸς τριγώνου ἡ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει.  Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΓ πλευρὰν τῆς ΑΒ:  λέγω, ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΓΑ. 
In any triangle the greater side subtends the greater angle.  For let ABC be a triangle having the side AC greater than AB;  I say that the angle ABC is also greater than the angle BCA. 
Omnis trigoni maius latus maiorem subtendit angulum.