Bibliotheca Polyglotta

I. PVNCTVM est, cuius pars nulla est.
TOTVS hic primus liber in eo positus est, vt nobis tradat ortus proprietatesque triangulorum, tum quod ad eorum angulos spectat, tum quod adlatera: quæ quidem inter se comparat interdum, interdum vero vnumquodque per se inspicit, & contemplatur. Nam aliquando ex lateribus trianguli angulos considerat, aliquando vero ex angulis latera, secundũ æqualitatem atque inæqualitatem rimatur. Idemqúe variis rationibus inquirit in duobus quandoque triangulis inter secollatis. Deinde aperit nobis parallelarum proprietates, parallelogrammorumqúe contemplatione aggreditur, tum inter se, tum etiam, vt cum triangulis inter easdem parallelas constitutis conferuntur. Vt autem hæc omnia rectius & commodius exequatur Euclides, docet diuisione anguli rectilinei, & linea rectæ in partes aquales, constitutionem lineæ perpendicularis, quo pacto angulus angulo fiat æqualis, & alia huiusmodi. Itaque vt vno verborem totam complectar, in primo libro traduntur, ex Procli sententia, rectilinearum figurarum maximè primæ, ac præcipuæ, triangula inquam, atque parallelogramma, Ante omnia vero Euclides more Mathematicorumrem propositam exorditur à principiis, initio facto à definitionibus, quarum prima punctum explicat, docensillud dici punctum in quantitate continua, quod nullas habet partes. Quæ quidem definitio planius ac facilius percipietur, si prius intelligamus, quantitatens continuam triplices habere partes, vnas secundum longitudinem, alteras secundum latitudinem, & secundum profunditatem altitudinémue alteras; quanquam non omnis quantitas omnes has partes habet, sedquædam vnicas tantum secundum longitudinem; quædam duplices, ita vt illis adijciat partes etiam latitudinis; quædam denique præter duplices has partes, tertias quoque altitudinis, siue profunditatis continet Quantitas enim omnis continua aut longa solum est, aut longa simul, & lata, aut longa, lata, atque profunda. Neque aliam dimensionem habere potest res vlla quanta, vt rectè demonstrauit Ptolemæus in libello de Analemmate, opera Federici Commandini Vrbitatis nuper in pristinam dignitatem restituto, necnon, vt ait Simplicius in libello de Dimensione, quiquidem, quod sciam, adbuc nondum est excusus. Itaque quodin quantitate continua sine magnitudine existit, intelligiturqúe sine omni parte, ita vt neque longum, neque latum, neque prosundum esse cogitetur (vt nimirum excludamus animam rationalem, Nunc vel Instans temporis, & vnitætem, quæ etiam partes non habent) id appellatur ab Euclide, & à Geometris punctum. Huius exemplum in rebus materialibus reperiri nullum potest, nisi velis extremitætem alicuius acus acuttssimæ, similitudine puncti exprimere; quod quidem omni ex parte verum non est, quoniam ea extremitas diuidi potest, & secari infinitè, punctum vero indiuiduum prorsus debet existimari. Denique in magnitudine id concipi debet esse punctum, quod in numero vnitas, quodque intempore instans. Sunt enim & hæc concipienda indiuidua.

第一界
點者、無分。
無長短、廣狹、厚薄。如下圖。凡圖十干為識。干盡用十二支。支盡用八卦八音。

2. A line is breadthless length.

II. LINEA vero, longitudo latitudinis expers.
DEFINIT bîc lineam, primam speciem magnitudinis, quam dicit esse quantitatem longam duntaxat, non autem latam, intellige ntque profundam. A qua enim quantitate excluditur latitudo, ab eadem etiam necessario profunditas remouetur, non autem contra. Lineam autem banc, siue longitudinem absque latitudine, non absurdè concipere, intelligereqúe poterimus ex termino loci alicuius partim illuminati, & partim obumbrati. Finis enim, seu termin us communis lucidi, & obumbrati, longitudo quædam est, ad longitudinem ipsiusnet luminis, & vmbræ extensa, carens omni latitudine, cum sit limes vtriusque. Mathematici quoquè, vt nobis inculcent veram lineæ intelligentiam, imaginantur punctum iam desecriptum superiore definitione, è loco in locum moueri. Cum enim punctum sit prorsus indiuiduum, relinquetur ex isto motu imaginario vestigium quoddam longum omnis expers latitudinis. Vt si punctum A, fluere intelligatur ex A, in B, vestigium effectũ A B, linea appellabitur, cum vero mteruallum inter duo puncta, A, & B, comprebensum sit longitudo quædam, carens omni latitudine, propterea quod punctum A, omnipriuatum dimensione, eam efficere nulla ratione potuerit. Hine factum est, vt alij dixerint, lineam nil esse aliud, quàm punctum fluxum: Alij vero, magnitudinem vno contentã interuallo. Potest enim linea vntcotantum modo, vtpote secundum longitudinem secari, atque diuidi.

第二界
線、有長無廣。
試如一平面。光照之。有光無光之間。不容一物。是線也。眞平眞圜相遇。其相遇處止有一點。行則止有一線。線、有直、有曲。

3. The extremities of a line are points.

III. LINEÆ autem termini, sunt puncta.
DOCET, quænam sint extrema lineæ cuiusuis, seu termini, dicens lineam terminari, sine claudi vtrinque punctis; Non quod omnis linea terminos habeat; quomodo enim lineæ infinitæ terminos assignare poterimus? qua etiam ratione in linea circulari extremum aliquod deprehendemus? Sed quod linea quælibet habens extrema, in suis extremitatibus puncta recipiat. Vt superior linea A B, extrema habet puncta A, & B. Idemqúe in omnibus lineis terminatis, ac finitis intelligendum est, ita vt earum extremitates sola esse puncta cogitemus.

第三界
線之界、是點。凡線有界者。兩界必是點。

4. A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.

IV. RECTA linea est, quæ ex æquo sua interiacet puncta.
TRIPLEX omnino est linea apud Mathematicos, recta, circularis, quam & curuam dicunt, & mixta, siue composita ex vtraque. Ex his describit hocloco Euclides lineam rectam, quam dicit esse eam, quæ æqualiter inter sua puncta extenditur, hoc est, in quanullum punctum intermedium ab extrem is sursum, aut deorsum, vel buc, atque illuc deflectendo subsultat; in qua denique nibil flexuosum reperitur. Hanc nobis ad viuum exprimit filum aliquod tenue summa vi extentum: In eo enim omnes partes mediæ cum extremis æqualem obtinent situm, neque vlla est alia sublimior, aut bumilior, sed omnes æquabiliter inter extremos fines positæ progrediuntur. Proclus bano definitionem exponens ait, tunc demum lineam aliquam ex æquo suæ interiacere puncta, quando æquale occupat spatium ei, quodinter suæ situm est puncta extrema. Vt linea A C B, dicetur recta, quoniam tantum occupat præcisè spatium, quanta est distantia puncti A, a puncto B. Lineæ vero A D B, A E B, A F B, non dicentur rectæ, cum maiora obtineant spatia, quàm sit distantia extremorum punctorum A, & B. Sic etiam vides omnia puncta lineæ A C B, inter quæ est punctum C, æqualiter inter extrema A, & B, iacere, iuxta Euclidis definitionem; quod non cernitur in alijs lineis, quoniam puncta D, E, F, subsultant ab extremis A, & B. Plato rectā lineam perpulcbrè sic definit: Linearecta est, cuius media obumbrant extrema Vt in linea A C B, sipunctū C, aut quoduis aliud modium, vim haberet occultandi, & A, extremum virtutem illuminandi, impedimento vtique esset C, punctum interiectum, ne B, extremum alterum ab A, illuminaretur: Rursus oculus in A, existens extremo, nõ videret aliud extremū B, ob interiectum punctũ C; quis quidem non contingit in lineis non rectis, vt perspicuum est in lineis A D B, A E B, A F B. Archimedes vero ait, lineam rectam esse minimam earum, quæ terminos habent eosdem; qualis est A C B, comparata cum A D B, A E B, A F B. Si enim A C B, nõ esset minima earũ quæ eosdem terminos A, & B, possident, nõ ex æquo interiaceret sua puncta, sed ea potius linea, quæ minor diceretur, quàm A C B. Campanus denique describens rectam lineam, vocat eam breuissimam ex vno puncto in aliud extensionem. Quemadmodum autem Mathematici per fluxum puncti imaginarium concipiunt describi lineam, ita per qualitatem fluxus puncti qualitate lineæ descriptæ intelligunt. Si namque punctum recta fiuere concipiatur per breuissimum spatium, ita vt neque in hanc partem, neque in illam deflectat, sed æquabilem quendam motũ, atque incessum teneat, dicetur linea illa descripta, Recta: Si vero punctum fluens cogitetur in motu vacillare, atque hinc inde titubare, appellabitur linea descripta, mixta: Si denique punctum fiuens in suo motu non vacillet, sed in orbem feratur vniformi quodam motu, atque distantia à certo aliquo pũcto, circa quod fertur, vocabitur descripta illa linea, circularis. Itaque si duo puncta moueantur similibus prorsus motibus, ita vt semper æqualiter inter se distent; describentur ab ipsis duæ lineæ similes, hoc est, si vna earum fuerit recta, erit & alteræ recta: si vero vna fuerit curua, erit & altera eodem omnino mode curua, &c. Lineas non rectas, quæomnes obliquædici possunt, non definit hoc loco Euclides, sed circularem exponet definitione decimæquinta, mistam prorsus omittens, quod eain hisce elementis Geometricis nullum habeat vsum. Sunt autem plurima gener a linearũ mistarum; quædam enim sunt vniformes, quædam difformes. Vniformium rursus alia suntin plano, aliæ in solido. In plano sunt Hyperbole, Parabole, Ellipsis, de quibus agit copiosissimè Apollonius in conicis elementis; linea Conchoideos, de qua Nicomedes; linea Helica, de qua Archimedes in libro de lineis spiralibus tractationem in stituit, & aliæ huiusmodi. In solido, seu superficie curua sunt alterius generis lineæ belicæ, quàmea ab Archimede descripta, qualis est illa, quæ circa cylindrum aliquem conisolmitur; nec nonea, quæ circa conum existit, vel etiam quæ circa sphæram, cuiusmodi sunt spiræilla, quæs Sol describit abortu in occasum, vt in sphæra docuimus. Difformium autem infinitus est numerus, quas non est opus hîcrecensere. Ex his constat, duas tantum esse lineas simplices, rectam, & circularem, omnes autem alias, quæcunque sunt, mist as appellari, quod ex illis componantur. Vnde ingeniosè concludit Aristoteles in libro de Cœlo, iuxtæ triplicem lineam, tres tantum esse motus, duos quidem simplices, rectum & circularem, tertium vero mistum, siue ex illis duobus compositum.
Sed quoniam lineas rectas regula ducere solemus, doceamus, quæ ratione regulam propositam examinare possimus, num linea per illam descripta recta sit, necns. Sit ergoregula A B, secundum cuius latus C D, recta C D, describatur ex puncto C, in punctum D. Deinde conuertatur regula, vt manente eadem parte superiore, punctum C, statuatur in D, & punctum D, in C: & secundum idem latus regulæ C D, recta ducatur ex eodem puncto C, in punctum D. Nam si posterior hæc linea priori omni ex parte congruet, dubitari non debet, quin regulæ A B, in lineis rectis ducendis fidere possimus: Si vero non congruet omni ex parte, latus illud C D, perfectè rectum non erit, sed corrigendum erit diligentius.

第四界
直線止有兩端。兩端之間。上下更無一點。
兩點之間。至徑者直線也。稍曲則繞而長矣。直線之中。點能遮兩界。凡量遠近、皆用直線。甲乙丙是直線。甲丁丙、甲戊丙、甲己丙皆是曲線。

5. A surface is that which has length and breadth only.

V. SVPERFICIES est, quæ longitudinem, latitudinemque tantum habet.
POST lineam, quæ est prima quantitatis continuæ species, vnicamqúe habet dimensionem, definit superficiem, quæ secundam magnitudinis speciem constituit, additqúe primæ dimensioni secundum longitudinem, alteram secundum latitudinem. Nam in superficie reperitur non solum longitudo, vt in linea, verum etiam latitudo, sine tamen omni profunditate. Vt quantitas A B C D, inter lineas A B, B C, C D, D A, comprehensa, considerataque secundum longitudinem A B, vel D C, & secundum latitudinem A D, vel B C, omnis expers profunditatis, appellatur superficies. Hanc nobis refert latitudo extremæ cuiusque corporis, si ab ea omnis soliditas intellectu auferatur. Non incongruè etiam, vt ait Proclus, imaginem quasi expressam superficiei nobis exhibent vmbræ corporum. Hæ enim cum interiorem terræ partem penetrare non possint, longæ tantum erunt, & latæ. Mathematici vero, vt nobis eam ob oculos ponant, monent, vt intelligamus lineam aliquam in transuersum moueri: Vestigium enim relictum ex ipso motuerit quidem longum, propter longitudinem lineæ, latum quoque propter motum, qui in transuersum est factus; nulla vero ratione profundum esse poterit, cum linea ipsum describens omni careat profunditate; quare superficies dicetur. Vt si linea A B, fluat versus D C, efficietur superficies A B C D. Alij describentes superficiem dicunt, eam esse corporis terminum: Alij vero, magnitudinem duo bus constantem interuallis. Potest enim superficies diuidi, & secari duobus modis, vno quidem secundum longitudinem, altero vero secundum latitudinem.

第五界
面者止有長有廣。
一體所見為面。凡體之影極似於面。無厚之極。想一線橫行、所留之迹卽成面也。

6. The extremities of a surface are lines.

VI. SVPERFICIEI autem extrema sunt lineæ.
NON dissimilis est hæc definitio superiori, qua termini lineæ fuere explicati. Vult enim extremitates superficiei esse lineas, quemadmodum lineæ fines extitere puncta. Vt superioris superficiei A B C D, extrema sunt lineæ A B, B C, C D, D A. Eodemque modo in quacunque altera superficie, quæ extrema habet, lineas cogitare oportet in extremitatibus: Non autem in superficie infinita, vel etiam sphærica, quæ corpus sphæricum circumdat. Potest etiã superficies aliqua claudi, & terminari vnica tantum linea, qualis est circularis superficies, vt dicemus in definitione circuli.

第六界
面之界是線。

7. A plane surface is a surface which lies evenly with the straight lines on itself.

VII. PLANA superficies est, quæ ex æquo suas interiacet lineas.
HÆC quoque definitio similitudinem quandam descriptionis lineæ rectæ gerit. Superficies enim, quæ ex æquo lineas suas interiacet, ita vt mediæ partes ab extremis sursum, deorsúmue subsultando, non recedant, appellabitur plana: qualis est superficies perpoliti alicuius marmoris, in qua partes omnes in rectum sunt collocatæ, ita vt nihil habeat incisum angulis, nibil anfractibus, nihil eminens, nihil lacunosum: In hac enim partes intermediæ cum extremis æqualem adeptæ sunt situm, nec vlla est alia sublimior, humiliórue, sed omnes æquabiliter protenduntur. Alij superficiem planam definiunt, dicentes eam esse, cuius partes mediæ obumbrant extrema: Vel esse minimam, siue breuissimam omnium, quæ eadem habent extrema: Vel cuius omnibus partibus recta linea accommodari potest, vt placet Heroni antiquo Geometræ. Vt superficies A B C D, tum demum plana dici debet, quando linea recta A E, circa punctũ A, immobile circumducta, ita vt nunc eadem sit, quæ A B, nune eadem, quæ A F, nunc eadem, quæ A G, & nune eadem, quæ A H, nihil in superficie offendit depressum, aut sublatum, sed omnia puncta superficiei à linearecta tanguntur, & quodammodo raduntur. Quod si minima superficiei particula alus humilior à linea rectanõ tangeretur, vel ipsa linea recta liberè non posset circumduci, propter aliquem tumorem, seu eminentiam in superficie occurrentem, tam non posset nuncupari plana. Itaque vt sit plana, requiritur vt omnibus modis possit recta linea commensurari, hoc est, vt ei applicari possit recta linea secundum A B, & A F, & denique secundum omnes partes. Hæc autem superficies sola erit ea, quam imaginari, & intelligere possumus describi ex motu lineæ rectæ in transuersum, qui super duas alias lineas rectas conficitur. Vt si linea recta A B, per duas rectas A D, B C, feratur, efficietur superficies perfectè plana, iuxta omnes definitiones. Non enim difficile erit huic superficiei traditas descriptiones accommodare. Solent Mathematici superficiem planam frequenter appellare planum, ita vt quando loquuntur de plano, intelligenda semper sit superficies plana. Cæteræomnes superficies, quibus non omni ex parte accommodari potest linea recta, qualis est superficies interior alicuius fornicis, vel exterior alicuius globi, columnæve rotundæ, vel etiam coni, &c. appellantur curuæ, & non planæ. Quamuis enim superficiei columnæ rotundæ se@@ cylindri secundũ longitudinem adaptari possit linearecta, tamen secũdum latitudinem minimè potest. Idemqúe dicendũ est de aliis. Superficies autem curua duplex est, conuexa videlicet, vt exterior superficies sphæræ, vel eylindri; & concaua, vt interior fornicis, siue aicus alicuius. Quoniam vero omnium harum contemplatio pertinet ad Stereometriam, idcirco Euclides hoc primo libro solum planam nobis explicauit, de qua est disputaturus prioribus sex libris.

第七界
平面一面平在界之內。
平面中間線能遮兩界。平面者。諸方皆作直線。試如一方面。用一直繩施於一角。繞面運轉。不礙不空。是平面也。若曲面者。則中間線不遮兩界。

8. A plane angle is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.

VIII. PLANVS vero angulus, est duarum linearum in plano se mutuo tangentium, & non in directum iacentium, alterius ad alteram inclinatio.
DECLARAT, quidnam sit angulus planus, dicens; Quandocunque duæ lineæ in plana aliqua superficie inuicem concurrunt, & non in directum constituuntur, efficietur ex huiusmodi concursu, seu inclinatione vnius ad alteram, angulus, qui diciturplanus, propterea quodin plana constituatur superficie. Verbi gratia, quia duælineæ A B, A C, concurrunt in A, & non iacent iu directum, ideo efficiunt angulum A, planum in eadem existent\-e superficie, in qua duæ illæ lineæ constituuntur. Dicentur autem duæ lineæ non in directum iacere, quando altera earum versus concursum protensa non coincidit cum altera, sed veleam secat, vel certè statim post punctum concursus ab earecedit. Quod dixerim propter angulum contactus, qui fit, quando duo circuli secontingunt, veletiam, quando linea recta circulum tangit. Protracta enim recta linea post punctum contactus, quanquam non secet circulum, tamen statim post illud ab eo seiungitur. Eodem pacto circularis illa linea secundum propriam dispositionem, ac formam extensareoedit à recta tangente, quamuis eam non secet. Vnde verè est angulus constitutus in illo contactu: qua de re plura scribemus in proposiiione 16. tertij liber contra Iacobum Peletarium, qui contendit, eam non esse angulum. Quod si duæ lineæ se mutuo tangant iacentes in directum; ita vt alterutra producta congruat toti alteri, non fiet vllus angulus ex illo concursu, cum nulla sit inclinatio, sed ambæ vnam integram lineam constituent. Vt quia recta A B, producta conuenit cum recta B C, non efficietur angulus in B. Sic etiam non fiet angulus in B, ex lineis curuis A B, B C, quia alterutra secundum suam inflexionem, & obliquum ductum extensa, cum altera coincidit. Quare in directũ dicentur iacere. It aque vt lineæ rectæ efficiant angulum, necesse est, vt post concursum productæ se mutuo secent: Curuæ autem lineæ, vel quarum altera curua, altera vero recta existit, angulum constituere verè possunt, etiamsinon se mutuo intersecent; sufficit enim, quod sese contingant, ita vt statim post contactum altera ab alter a separetur, quemadmodum & ante eundem semotæ cernuntur. Consistit autem anguli cuiusuis quantitas in sola inclinatione, non in longitudine linearum; lineæ etenim longius excurrentes non augent suam inclinationem, igitur neque anguli magnitudinem. Sunt & aliaduo genera angulorum, quorum prius solidos comprehendit, de quibus Euclides disserit in Stereometria, quique in corporibus existunt; Posterius vero sphærales, quiin superficie sphæræ constituuntur ex circulorũ maximorũ circumferentiis, & de quibus copiosè agitur in sphæricis elementis Menelai. Horum autem omniũ explicatio in alium locum à nobis reijcitur, cum hîc de solis planis angulis sit futurus sermo.

第八界
平角者。兩直線於平面縱橫相遇交接處。
凡言甲乙丙角。皆指平角。
如上甲乙丙二線。平行相遇。不能作角。
如上甲乙，乙丙二線。雖相遇。不作平角。為是曲線。所謂角。止是兩線相遇。不以線之大小較論。]

9. And when the lines containing the angle are straight, the angle is called rectilineal.

IX. CVM autem, quæ angulum continent lineæ, rectæ fuerint, rectilineus ille angulus appellatur.
ANGVLVS omnis planus conficitur aut ex lineis duabus rectis, qui quidem rectilineus dicitur, & de quo solum hîc agit Euclides: aut ex duabus curuis, quem curuilineum vocare licet; aut ex vna curua & altera recta, qui non ineptè mixtus appellatur. Ex hisce porro lineis possunt curuilinei anguli tribus variari modis, & mixti duobus, pro varia inclinatio ne, seu habitudine linearum curuarum, vtpote secundum conuexum, & concauum, ceu in propositis angulis planè, & apertè perspicitur. Rectilineus vero variari non potest ratione inclinationis, habitudinis ve linearum, nisi matorem, vel minorem inclinationem variam velimus dicere habitudinem, quod est absurdum; cum hoc modo augeatur tantum angulus rectilineus, aut diminuatur, quod & aliis εommune est, non autem ita varietur, vt aliud constituat genus.

第九界
直線相遇作角。為直線角。
平地兩直線相遇。為直線角。本書中所論止是直線角。但作角有三等。今附蓍於此。
一直線角。二曲線角。三雜線角。　如下六圖。(p. 五)

10. When a straight line set up on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is right, and the straight line standing on the other is called a perpendicular to that on which it stands.

X. CVM vero recta linea super rectam consistens lineam eos, qui sunt deinceps, angulos æquales intersecerit, rectus est vterque æqualium angulorum: Et quæ insistit recta linea, perpendicularis vocatur eius, cui insistit.
VSVS frequentissimus reperitur in Geometria angulirecti, & lineæ perpendicularis, nec non anguli obtusi, & acuti, propterea docet hoc loco Euclides, quisnam angulus rectilineus apud Geometras appelletur rectus, & quænam linea perpendicularis: In sequentibus autem duabus definitionibus explicabit angulum obtusum, & acutum. Non enim alius dari potest angnlus rectilineus, præter rectum, obtusum, & acutum, Igitur si recta linea A B, rectæ C D, insistens essiciat duos angulos prope punctum B, (qui quidem ideo dicuntur à Maìbematicis esse deinceps, quod eos eadem linea C D, protracta, propo idem punctum B, efficiat) inter se æquales, quod tum demum fiet, quandorecta A B, non magis in C, quam in D, inclinabit, sed æquabiliter rectæ C D, insistet, vocabitur vterque angulus B, rectus, & recta A B, perpendicularis recta C D, cui insistit, Eadem ratione nominabitur recta C B, perpendicularis recta A B: quamuis enim C B, tantum faciat cum A B, vnum angulum, tamen si A B, extenderetur inrectum & continuum versus punctum B, efficeretur alter angulus æqualis priori. Qua vero arte linea duci debeat efficiens cum alter a duos angulos æquales, decebit Euclides propositione 11. & 12. buius primi libri. Itaque vt in Geometria concludamus angulum aliquem esse rectum, aut lineam, quæipsum essicit, ad aliam esse perpendicularem, requiritur, & sufficit, vt probemus angulum, qui est ei deinceps, æqualem illi esse. Pariratione, si dicatur aliquis angulus rectus, aut linea, quæ ipsum constituit, perpendicularis ad aliam, colligere licebit, angulum illi deinceps æqualem quoque esse. Quando enim anguli, qui sunt deinceps, fuerint inter se æquales, nuncupatur vterque illorum rectus, & linea ipsos efficiens, perpendicularis, iuxta banc 10. definitionem: quando autem non fuerint æquales, non dicitur quisquam illorum rectus, vt constabit ex sequentibus duabus definitionibus, & propterea neque linea eos constituens perpendicularis appellatur. Hæc dixerim, vt videas, quidnam liceat ex hac definitione colligere in rebus Geometricis, & quemnam vsum babeant apud Geometr as descriptiones vocabulorum. Non enim magno laborebæc quæ diximus, ad alias definitiones poterunt transferri.

第十界
直線垂於橫直線之上。若兩角等。必兩成直角。而直線下垂者。謂之橫線之垂線。
量法。常用兩直角。及垂線。垂線加於橫線之上。必不作說角及鈍角。
若甲乙線至丙丁上。則乙之左右作兩角相等。為直角。而甲乙為垂線。
若甲乙為橫線。則丙丁又為甲乙之垂線。何者。丙乙與甲乙相遇。雖止一直角。然甲線若垂下過乙。則丙線上下定成兩直角。所以丙乙亦為甲乙之垂線。如今用矩尺。一縱一橫。互相為直線。互相為垂線。凡直線上。有兩角相連是相等者。定俱直角。中間線為垂線。
反用之。若是直角。則兩線定俱是垂線。

11. An obtuse angle is an angle greater than a right angle.

XI. OBTVSVS angulus est, qui recto maior est.
QVANDO recta A B, rectæ C D, insistens non fecerit angulos ad punctum B, æquales, & obeam causam neutrum rectum, sed vnum quidem recto maiorem, alterum vero minorem, dicitur maior angulus obtusus, qualis est angulus B, ad punctum C, vergens, quicontinetur rectis lineis A B, B C.

第十一界
凡角大于直角。為鈍角。
如甲乙丙角與甲乙丁角不等。而甲乙丙大於甲乙丁。則甲乙丙為鈍角。(p. 六)

12. An acute angle is an angle less than a right angle.

XII. ACVTVS vero, qui minor est recto.
VT in præcedenti figura, minor angulus B, ad punctum D, vergens, qui continetur rectis lineis A B, B D, vocatur acutus, Itaque angulus rectus, vt ex dictis colligitur, nullam patitur varietatem, vt vnus altero maior, minórue detur, cum lineaperpendicularis eum efficiens non debeat mag is in vnam partem inclinare, quàm in alteram: Obtusus vero, & Acutus augeri possunt, & minui infinitis modis, cum ab illa inflexibilitate lineæ perpendicularis infinitis etiam modis recta line a possit recedere, vt per spicuum est. Quoniam vero ad quemuis angulum planum constituendum concurrunt duæ lineæ, & aliguando in vno puncto plures existunt anguli, solent Mathematici, vt tollatur confusio, angulum quemlibet exprimere tribus literis, quarum media ostendit punctum, in quo lineæ conficiunt angulum, extremæ vero significant initia linearum, quæ angulum continent. Exempli gratia, in superiore figura angulum obtusum intelligunt per angulum A B C, acutum vero, per angulum A B D, quod diligenter est notandum, vt facile dignoscamus angulos, quorum mentio fit in demonstr ationibus.
IAM vero proposito nobis angulo aliquorectilineo, si experivi velimus, num rectus sit, an obtusus, acutúsue, efficiemus id boc modo. Contineant duæ rectæ A B, A C, angulum A. Ductarecta B C, vtcunque, quæ angulum subtendat, & diuisa bifariam in D, describatur ex D, vt centro ad interuallum D A, circumferentia circuli; quæ siper puncta B, C, transeat, ¹ erit angulus A, rectus, vtpote qui in semicir culo B A C, existat: si vero idem semicirculus rectam B C, secet in E, F, erit angulus B A C, obtusus; propterea quod, du ctis rectis E A, F A, ² angulus E A F, in semicirculo E A F, rectus est, qui quidem pars est anguli B A C. Si denique idem semicirculus rectam B C, productam secet in E, F, erit angulus B A C, acutus; propterea quod ductis rectis E A, F A, ³ angulus E A F, in semictrculo E A F, rectus est, qui quidem maior est angulo B A C.
ALITER idem assequemur boc modo. Describatur ex puncto D, quodrectam B C, dato angulo A, subtensam secat bifariam, semicirculus ad interuallum D B, vel D C: qui si transeat per punctum A, ⁴ datus angulus erit rectus, vtpote qui in semicirculo existat. Si vero idem semicirculus transeat supra punctum A, datus angulus erit obtusus, Ducta enim recta D A, secante circumferentiam in E, iungantur rectæ E B, E C; ⁵ eritqúe angulus B E C, in semicirculo rectus. Cum ergo angulus B A C, ⁶ datus maior sit angulo B E C, erit angulus datus A, recto maior, boc est, obtusus, Si denique semicirculus idem secet rect as A B, A C, erit datus angulus acutus, Sumpto namque puncto E, inter rect as A B, A C, in circumferentia, iungantur rectæ E B, E C; ⁷ erit que angulus B E C, rectus in semicirculo: ⁸ quicum maior sit angulo dato A, erit datus angulus A, recto minor, id est, acutus. Non videatur autem mirum cuipiam, quod ad demonstrationem assumamus propositiones, quæ posterius demonstrantur ab Euclide; quod alienum esse videtur à puritate demonstrationum Geometricarum: Non videatur, inquam, mirum, quia cum id, quod boc loco ostendimus, necessarium non sit ad sequentes demonstrationes, poterit commodè differri, donec propositiones requisitæ sint demonstratæ. Satis est, vt praxis huiusce rei boc loco intelligatur. Idem obseruabimus in nonnullis praxibus problematum. Eas enim propriis in locis, quoad eius sieri poterit, proponemus, vt diuisionem angulirectilinei in quotuis partes æquales eo in loco docebimus, vbi Euclides docet diuisionem eiusdem anguli in duas æquales partes, &c. quanquam ad earum praxium demonstrationes necessariæ sint propositiones posterius demonstratæ. FACILIVS idem cognoscemus beneficio nermæ alicuius accuratè fabricatæ, qualem refert instrumentum A B C, constans duabus regulis A E, A F, ad angulum rectum in A, coniunctis. Nam si latus A B, buius normæ, rectæ A B, applicetur, cadente puncto A, in punctum A; si quidem & normæ latus A C, rectæ A C, congruat, erit angulus A, rectus: si vero citra rectam A C, cadat normæ latus A C, erit angulus A, obtusus; si denique latus normæ A C, vltra rectam A C, cadat, acutus erit angulus, vt perspicuum est.
ITA autem norm am examinabimus, num accuratè sit fabricata, nec ne. Descripto semicirculo B A C, ex centro G, cuiusuis magnitudinis, ductaqúe diametro B C, ponatur angulus A, in aliquo puncto circumferentiæ, vt in A, latusqúe vnum normæ, vt A B, per B, punctum extremum diametri transeat. Nam si alterum tunc latus A C, per alterum punctum extremum C, transeat, ritè fabricata erit norma A B C; ⁹ quod tunc angulus B A C, in semicirculo B A C, rectus 31. ter tij. sit: si vero latus A C, non per C, transeat, emendanda erit norma; quia eius angulus A, tunc rectus non erit. Eadem ratione interiorem partem normæ examinabimus, si angulum D, circumferentiæ applicemus, & latera D E, D F, punctis extremis B, C, &c.

1. 31. tertij.; 2. 31. tertij.; 3. 31. tertij.; 4. 31. tertij.; 5. 31. tertij.; 6. 21. primi; 7. 31. tertij.; 8. 21. primi; 9. 31. tertij.

第十二界
凡角小於直角。為銳角。
如前圖甲乙丁是。
通上三界論之。直角一而已。鈍角銳角。其大小不等。乃至無數。
是後凡指言角者。俱用三字為識。其第二字。卽所指角也。　如前圖甲乙丙三字。第二乙字。卽所指鈍角。若言甲乙丁。卽第二乙字。是所指銳角。

13. A boundary is that which is an extremity of anything.

XIII. TERMINVS est, quod alicuius extremum est.
TRES sunt termini iuxta banc definitionem. Punctum enim cerminus est, seu extremum lineæ: Line a superficiei: & superficies corporis. Corpus autem terminare amplius nibil potest, quod non reperiatur alia quantit as plures babens dimensiones, quam tres. Omne siquidem terminatum super at terminum suum vna dimensione, vt perspicuum est ex adductis exemplis.

第十三界
界者。一物之始終。
今所論有三界。點為線之界。線為面之界。面為體之界。體不可為界。

14. A figure is that which is contained by any boundary or boundaries.

XIV. FIGVRA est, quæ sub aliquo, vel aliquibus terminis comprehenditur.
NON omnis quantit as terminos possidens Figura dici potest, ne lineam finitam figuram appellare cogamur: Sedeæ solum magnitudines, quæ latitudinem babent, nempe superficies terminatæ, & quæ profunditdtem adeptæ quoque sunt, vt solida finita Figuræ nomine appellabuntur. Hæ enim proprie terminis comprebendi dicuntur. Nam linea finita non proprie dicitur punctis extremis comprebendi, cum puncta lineam non ambiant, sed potius punctis terminari dicitur. Itaque termini debent quantitatem, quæ figura dicitur, ambire, & non tantum terminare. Superficies quoque infinita, vel etiam corpus, cum nullis terminis comprebendatur, Figura vocari nulla ratione potest, Figuræ vnico comprebensæ termino sunt, Circulus, Ellipsis, sphæra, sphæroides, & aliæ huiusmodi: Pluribus vero terminis inclusæ figuræ sunt, Triangulum, Quadratum, Cubus, Pyramis, &c. Superficies terminatæ nuncupantur figuræ planæ: solida autem circumscripta, figuræ solidæ, siue corporeæ. Porro quia formas, seu typos variarum figurarum in spicies quamplurimas in sequentibus, planarum quidem in prioribus 10. libris, solidarum vero in posterioribus quinque, propterea nulla hoc loco figura depingenda esse videtur.

第十四界
或在一界、或在多界之間。為形。
一界之形。如平圜、立圜等物。多界之形。如平方、立方、及平立、三角、六、八角等物。　圖見後卷。

15. A circle is a plane figure contained by one line such that all the straight lines falling upon it from one point among those lying within the figure are equal to one another;

XV. CIRCVLVS, est figura plana sub vna linea comprehensa, quæ peripheria appellatur, ad quam ab vno puncto eorum, quæ intra figuram sunt posita, cadentes omnes rectæ lineæ inter se sunt æquales.
DEFINIT hic circulum, figuram inter planas perfectissimam, docens figur am illam planam, quæ vnica linea circumscribitur; ad quam lineam omnes rectæ lineæ ductæ ab vno puncto, quod intr a figuram existit, sint æquales, vocari circulum. Vt si superficies, seu spatium concludatur vnica linca A B C, babueritqúe hanc conditionem, vt ab aliquo puncto intus suscepto, vtpote à D, omnes rectæ lineæ cadentes ad terminum A B C, quales sunt D A, D B, D C, inter se sint æquales, appellabitur talis figura plana, circulus, alias non, Qua vero ratione in circulo punctum illud medium reperiri debeat, docebit Euclides propositione 1. tertij liber Adiungit quoque Euclides, lineam extrem am circuli, qualis est A B C, appellari Peripberiam, seu, vt Latini exponunt, circumferentiam. Potest circulus etiam bac ratione describi. Circulus est figura plana, quæ describitur à linea rect a finita circa alterum punctum extremum quiescens circumducta, cum in eundem rursus locum restituta fueru, vnde moueri cœperat. Quæ quidem descriptio persimilis est ei, qua ab Euclide spbæra describitur liber 11. Vt si intelligatur recta A D, circa punctum D, quiescens moueri, donec ad eundem redeat locum, à quo dimoueri cœpit, describet ipsarect a totum spatium circulare; punctum vero alterum extremum A, delineabit peripberiam A B C: Erit quoque punctum quiescens D, illud, à quo omnes linea cadentes in peripberiam sunt inter se æquales, propterea quod recta A D, circumducta, omnes lineas, quæ ex D, possunt educi ad peripheriam, æquè metiatur. Igitur Ellipsis, quamuis figura sit planæ vna linea circumscripta, tamen quia in ea non datur punctum, à quo ad ipsam lineam terminantem omnes rectæ lineæ sint æquales. circulus. dici nequit.

第十五界
圜者一形於平地居一界之間。自界至中心作直線俱等若甲乙丙為圜。丁為中心。則自甲至丁、與乙至丁、丙至丁其線俱等。(p. 七)外圜線為圜之界。內形為圜。
一說。圜是一形。乃一線屈轉一周。復於元處所作。如上圖甲丁線轉至乙丁。乙丁轉至丙丁。丙丁又至甲丁。復元處其中形卽成圜。

16. And the point is called the centre of the circle.

XVI. HOC vero punctum, centrum circuli appellatur.
HOC ET, punctum illud intra circulum, à quo omnes lineæ rectæ ad circumferentiam ducta sunt æquales, appellari centrum circuli; quale est præcedentis figuræ punctum D. Vnde perspicuum est, polum alicuius circuli in sphæra, à quo omnes rectæ ad peripberiam circuli cadentes sunt æquales, vt ait Theodosius in sphæricis elementis, nom dici debere centrum circuli, cum punctum illud, quod polus dicitur, existat in superficie spbæræ, non autem in superficie circuli; quæ tamen est necessario requisita conditio, vt punctum aliquod centrum vocetur. Cæterum, vtpunctum aliquod circuli dicatur centrum, satis est, vt œb eo tres duntaxat lineæ cadentes in peripheriam sint æquales inter se, vt demonstrat Euclides propositione 9, lib. 3. Hac enim ratione fiet, vt omnes aliæ ab eodem puncto emissæ inter se sint æquales.

第十六界
圜之中處。為圜心。。

17. A diameter of the circle is any straight line drawn through the centre and terminated in both directions by the circumference of the circle, and such a straight line also bisects the circle.

XVII. DIAMETER autem circuli, est recta quædam linea per centrum ducta, & ex vtraque parte in circuli peripheriam terminata, quæ circulum bifariam secat.
SI in circulo ducatur recta linea A B, per centrum C, it a vt extrema eius A, & B, terminentur in peripheria, appellabitur ea circuli diameter. Non igitur omnis in circulorecta line a ducta diameter dicetur, sed ea solummodo, quæ per centrum vsque ad peripheriam vtrinque extenditur. Vnde plures assignari poterunt in circulo diametri, vnum vero centrum duntaxat. Quod autem Euclides addit, circulum bifariam secari a diametro, perspicuum ex eo esse potest, quod diameter per medium circulum, vtpote per centrum, ducitur. Hinc enim fit, vt propter directum diametriper centrum transitum, vtrinque æquales circumferentiæ abscindantur. Quod tamen Thaletem Milesium hac ratione demonstrasse testatur Proclus. Concipiamus animo, portionem A D B, accommodari, & coaptari portioni reliquæ A E B, itæ vt diameter A B, communis sit vtrique portioni: Si igitur circumferentia A D B, congruat penitus circumferentiæ A E B, manifestum est, duas illas portiones a diametro factas, esse inter se æquales, quandoquidem neutra alteram excedit: Si vero circumferentia A D B, non omni ex parte cadere dicatur super circumferentiam A E B, sed vel extra eam, velintra, vel partim extra, partim intra; tunc ductarecta à centro C, secante circumferentiam A D B, in D, & circumferentiam A E B, in E, erunt duærectæ C D, C E, ductæ ex centro ad circumferentiam eiusdem circuli æquales, per circuli definitionem, cum tamen vna sit pars alterius, quod est ab surdum. Non ergo cadet vna cir cumferentia extra aliam, vel intra, vel partim extra, partim intra, sed ambæ inter se aptabuntur, ideoqúe æquales erunt. quod demonstrandum proponebatur.
EX hac demonstratione constat, diametrum non solum circumferentiam, verum etiam totam aream circuli seoare bifariam. Cum enim semicir cumferentiæ sibi mutuo congruant, vt ostensum est, congruent etiam superficies ipsæ inter diametrum, & vtramque circumferentiam comprehensæ, cum neutra alteram excedat. Quare æquales inter se erunt.

第十七界
自圜之一界作一直線。過中心至他界。為圜徑。徑分圜兩平分。
甲丁乙戊圜。自甲至乙、過丙心、作一直線。為圜徑。

18. A semicircle is the figure contained by the diameter and the circumference cut off by it. And the centre of the semicircle is the same as that of the circle.

XVIII. SEMICIRCVLVS verò est figura, quæ continetur sub diametro, & sub ea linea, quæ de circuli peripheria aufertur.
EXEMPLI gratia, in superiori circulo figura A D B, contentæ sub diametro A B, & peripheria A D B, dicitur semicirculus, quia, vt in præcedenti definitione ostendimus, ea est dimidiata pars circuli. Eadem ratione erit figura A E B, semicirculus. Idem autem punctum C diametrum secans bifariam, centrum est in circulo, & in semicirculo.
QVOD sirecta linea B D, nontranseat per centrum E, secabitur circulus ab ea non bifariam, sed in duas portiones inæquales B A D, B C D, quarum ea, in qua centrum circuli existit, cuiusmodi est portio B A D, maior est, quàm alia B C D, extra quàm centrum E, reperitur, Esse autem portiones B A D, B C D, inæquales, it a probari potest. Concipiatur per centrum E, ducta diameter ad rectam B D, perpendicularis A G. Si igitur dictæ portiones dicantur esse æquales, & portio B C D, intelligatur moueri circarectam B D, vt super portionem B A D, cadat, congruet illa portio huic, & recta F C, rectæ F A, congruet, ob angulos rectos ad F, qui omnes inter se æquales sunt ex defin. 10. cum sint sibi mutuo deinceps. Recta ergo F C, quæ nune eademest, quæ F A, maior erit, quàm E A, pars ipsius F A. Cumergoipsi E A, sit æqualis E C, quod ambæ ducantur è centroad circumferentiam, erit quoque F C, maior quàm E C, pars quàm totum, quod est absurdum. Non igitur portio B C D, portioni B A D, congruet, sed intra eam cadet, cuiusmodi est portio B G D, vt recta F G, eadem tunc existens, quæ F C, minor possit esse quàm E A, vel E C. Sinamque diceretur cadere extra, vt si circulus esset B C D G, cuius centrum E, & portio B C D, caderet extra B G D, qualis est portio B A D, esset rursus F A, eadem tunc existens, quæ F C, maior quàm E G, hoc est, quàm E C, atque ita pars F C, maior rursum foret toto E C. quod absurdum est. Ex quo patet, portionem B A D, in qua cextrum E, existit, maiorem esse reliqua portione B C D, cum hæc æqualis sit portioni B G D, quæ pars est portionis B A D. Cum enim osten sum sit, portionem B C D, circa rectam B D, circumductam non posse congruere portiont B A D, nequé cadere extra, cadet omnino intra, qualis est B G D.

第十八界
徑線與半圜之界所作形。為半圜。

19. Rectilineal figures are those which are contained by straight lines, trilateral figures being those contained by three, quadrilateral those contained by four, and multilateral those contained by more than four straight lines.

XIX. RECTILINEÆ figuræ sunt, quæ sub rectis lineis continentur.
POST definitionem circuli, traditurus iam Euclides descriptiones variarum figurarum, explicat prius, quænam figuræ dicantur rectilineæ. De his enim potissimum sermo futurus est in hisce libris. Omnes igitur figuræ planæ, quæ vndique rectis clauduntur lineis, rectilineæ nuncupantur. Ex quo perspicuum est, figur as plan as curuis lineis comprehensas, dici curuilineas. Eas vero, quæ partim curuis, partim rectis circumscribuntur, appellari mixtas. V aria autem nun@ genera figurarum rectilinearum ab Euclide describentur.
XX. TRILATERÆ quidem, quæ sub tribus.
AFFIRMANS Euclides, eas rectilineas figuras dici trilateras, quætribus rectis lineis circumscribuntur, apertè nobis innuit, quonam modo Triangulum definiri debeat. Cum enim in rectilineis figuris tot sint anguli, quot latera, seurectæ lineæ, ex quibus constant, dicetur triangulum, figura tribus rectis lineis contenta, cuius omnes species iam iam adducentur.
XXI. QVADRILATERÆ verò, quæ sub quatuor.
EADEM ratione erit Quadrangulum, figur a quatuer rectis lineis contenta, cuius variæ species mox subsequentur.
XXII. MVLTILATERÆ autem, quæ sub pluribus, quàm quatuor, rectis lineis comprehenduntur.
QVONIAM species rectilinearum figur arum sunt innumer abiles, propter infinitum numerorum progressum: Nam tres rectæ lineæ claudentes figuram efficiunt primam speciem, sub qua omnia triangula continentur; quatuor constituunt secundam, quæ omnia quadrangula complectitur; quinque tertiam componunt speciem; sex quartam, atque it a deinceps infinitè: Ideo Euclides, ne infinitatem hanc figur arum cogatur persequi, vocat omnes alias figur as rectilineas, quæ pluribus, quàm quatuor, rectis lineis circumscribuntur, generali vocabulo Multilater as; contentus denominatione trilater arum figurarum & quadrilaterarum, fortassis eam ob causam, quod præcipuè in prioribus his libris de Triangulis, atque Quadrangulis sermo habeatur, & quod facilè ad similitudinem harum duarum specierum cæter a omnes à quolibet definiri possint. Quis enim ex dictis non colligat, figuram quinque lineis rectis contentam appellari quinquilateram, & sex lineis comprehensam sexilateram, atque reliquas eodem modo? Sicetiam dici poterunt huiusmodi figur æ quinquangulæ, sexangulæ, septangulæ, &c.

第十九界
在直線界中之形。為直線形。
第二十界
在三直線界中之形。為三邊形。
第二十一界(p. 八)
在四直線界中之形為四邊形。
第二十二界
在多直線界中之形為多邊形。五邊以上俱是。

20. Of trilateral figures, an equilateral triangle is that which has its three sides equal, an isosceles triangle that which has two of its sides alone equal, and a scalene triangle that which has its three sides unequal.

XXIII. TRILATERARVM autem figurarum, Æquilaterum est triangulum, quod tria latera habet æqualia.
DESCENDIT iam ad singulas species triangulorum. Quia verò triangula diuidi possunt vel habita ratione laterum, vel angulorum, declar at prius species prioris diuisionis, quæ tres sunt duntaxat, quod tria latera tribus tantum modis sese possint habere. Aut enim omnia æqualia sunt; aut duo tantum, tertio existente vel matore, vel minore; aut omnia inæqualia. Quando igitur omnia tria latera inter se æqualia sunt, dicitur triangulum Æquilaterum. Porro ex æqualitate omnium trium laterum trianguli æquila teri infertur, omnes tres eius angulos æquales quoque esse, ceu ad quiætam propositionem huius libri demonstrabimus.
XXIV. ISOSCELES autem est, quod duo tantum æqualia habet latera.
EX hac rursum æqualitate duorum laterum trianguli Isoscelis efficitur, duos angulos super reliquum latus etiam esse æqualles, vt demonstrabit Euclides propos 5 huius Iibri. Apposuimus autem duo triangula psoscelia, quorum prius habet tertium latus vtrouis æqualium maius, losterius autem idem minus obtinet: ita vt duæ sint species triangui Isoscelis; alterum, cuius tertium latus sit vtrouis æqualium maius, & alterum, cuius tertium latus vtrouis æqualium minus sit.
XXV. SCALENVM vero est, quod tria inæqualia habet latera.
HIC denique exinæqualitate omnium laterum trianguli Scaleni colligitur omnium angulorum inæqualitas, vt ostendetur propositio 18. huius 1. liber Porro ex his constat, eodem modo potuisse diuidi triangulum in tres speties, si æqualitatis angulorum ratio haberetur Cum enim aut omnes tres anguli sint inter se æquales; aut duo tantum, tertio maiore, vel minore existente; aut omnes tres inæquales; erit omne triangulum vel æquiangulum, habens tres omnes angulos æquales: vel duorum tantum angulorum æqualium: vel omnium angulorum inæqualium; quorum primum quidem Æ quilatero, secundum vero Isosceli, tertium denique Scalenorespondet triangulo. Cæterum quanam arte construenda sint triangula huius partitionis super quauis data recta linea finita, trademus propositio 1. huius liber.

第二十三界
三邊形三邊線等。為平邊三角形。
第二十四界
三邊形。有兩邊線等。為兩邊等三角形。或銳或鈍。(p. 九)
第二十五界
三邊形。三邊線俱不等。為三不等三角形。

21. Further, of trilateral figures, a right-angled triangle is that which has a right angle, an obtuse-angled triangle that which has an obtuse angle, and an acuteangled triangle that which has its three angles acute.

XXVI. AD hæc etiam, trilaterarum figurarũ, Rectangulum quidem triangulum est, quod rectum angulum habet.
NVNC exponit triangulorum species iuxta posteriorem diuisienem, habitaratione vartetatis angulorum. Quia vero tria tantummodo sunt angulorum rectilineorum genera diuersa; (Omnis enim angulus rectilineus vel est rectus, vel obtusus, vel acutus, vt supra diximus,) fit vt tres quoque species triangulorum sub hac consideratione reperiantur. Nam aut vnus angulus trianguli est rectus, & ob eam rem reliqui acuti, vt ex 17 propositio 1. liber constabit; aut obtusus, & ob eandem causam reliqui acuti, aut denique nullus rectus, nullusqúe obtusus, sed omnes acuti. Quando igitur triangulum aliquod habet angulum vnum rectum, vocatur ab Euclide, & aliis Geometris Rectangulum. Potest autem triangulum huiusmodi esse Isosceles, vel scalenum, vt hæ figuræ indicant, æquilaterum autem nulla ratione. Propter æqualitatem enim laterum essent perea, quæ propositio 5. dicemus, omnes etiam anguli æquales, ideoque, cum vnus concedatur rectus, omnes tres recti, quod pugnat cum propositio 17. & 32. huius libri.
XXVII. AMBLYGONIVM autem, quod obtusum angulum habet.
TRIANGVLVM Amblygonium, siue obtusangulum esse quoque potest vel Isosceles, vel scalenum, vt in his figuris cernitur, non autem æquilaterum, alias eadem ratione essent omnes tres anguli per ea, quæ propositio 5. ostendemus, æquales, ideoque cum vnus ponatur obtusus, omnes tres obtusi, quod mulio magis pugnat cum propositio 17. & 32. huius libri.
XXVIII. OXYGONIVM vero, quod tres habet acutos angulos.
OMNE triangulum Oxygonium, siue acutangulum, potest esse vel æquilaterum, vel Isosceles, vel scalenum, vt cernere licet in triangulis quæ in speciebus prioris diuisionis spectanda exhibuimus, nc eadem hic frustra repetantur. Ex dictis igitur palam fit, triangulum quodcunque æquilaterum, esse necessarie Oxygonium: At omne triangulum tam Isosceles, quàm Scalenum, esse vel Rectangulum, vel Amblygonium, vel Oxygonium; atque Isosceles Oxygonium rursum duplex, Isosceles nimirum Oxygontum habens tertium latus vtrouis æqualium maius, atque Isosceles Oxygonium habens tertium latus vtrouis æqualium minus: Vt vnica sit species trianguli æquilateri, quatuor vero Isoscelis, & tres Scaleni: atque in vniuersum octo triangulorum genera; æquilaterum, quod perpetuo Oxygonium esse diximus, Isosceles rectangulum, Isosceles Amblygonium, Isosceles Oxygonium habens tertium latus vtrouis æqualium maius, Isosceles Oxygonium habens tertium latus vtrouis æqualium minus, Scalenumrectangulum, Scalenum Amblygonium, & Scalenum Oxygonium Quæ etiam hisce licebit nominibus immutatis appellare, Rectangulum Isosceles, Rectangulum Scalenum, Amblygonium Isosceles, Amblygonium Scalenum, Oxygonium æquilaterum, Oxygonium Isosceles habens tertium latus vtrouis æqualium maius, Oxygonium Isosceles habens tertium latus vtrouis æqualium minus, & Oxygonium Scalenum. Quare perspicuum est, quamnam connexionem, siue affinitasem habeant inter setriangula vtriusque partitionis. Posse autem daritriangulum Isosceles Oxygonium, cuius duorum laterum æqualium vtrumuis tertio sit minus, vt rectè animaduertit Franciscus Barocius in sua Cosmographia, ostendemus ad propositionem 15. liber 4. In omni porro triangulo, cuius duo quæcunque later a expressè nominantur, solet reliquum latus tertium à Mathematicis appellari Basis, siue illud in situ insimum occupet locum, siue supremũ, & c Hoc te breuiter monere volui, ne putares aliquid latere mysterij in base triãguli, intelligeresque quodlibet latus, omni discrimine remoto, basis nomine posse nũcupari.

第二十六界
三邊形。有一直角。為三邊直角形。
第二十七界
三邊形。有一鈍角。為三邊鈍角形。(p. 一〇)
第二十八界
三邊形。有三銳角。為三邊各銳角形。
凡三邊形。恆以在下者為底。在上二邊為腰。

22. Of quadrilateral figures, a square is that which is both equilateral and right-angled; an oblong that which is right-angled but not equilateral; a rhombus that which is equilateral but not right-angled; and a rhomboid that which has its opposite sides and angles equal to one another but is neither equilateral nor right-angled. And let quadrilaterals other than these be called trapezia.

XXIX. QVADRILATERARVM autem figurarum, Quadratum quidem est, quod & æquilaterum, & rectangulum est.
POST figurarum trilaterarum species, exponit iam singulatim quadrilater as figuras, recensendo quinque tantummodo eorum genera, quorum quatuor priora regularia sunt, postertus autem, & quintum irregulare. Prima figura quadrilatera dicitur Quadratum, cuius quidem omnia quatuor latera inter se æqualia existunt, omnesqúe anguli recti. It aque quadrangulum æquilaterum, & non rectangulum; vel contra, rectangulum, & non æquilaterum, nequaquam Quadratum appellabitur. Docebit autem Euclides propositio 46. huius liber quonam modo construendum sit quadratumsuper recta linea proposita finita.
XXX. ALTERA vero parte longior figura est, quæ rectangula quidem, at æquilatera non est.
SECVNDA figura quadrilatera appellatur Altera parte longior, in qua quidem anguli sunt recti, at latera non sunt inter se æqualia, quamuis bina opposita inter se æqualia existant. Vt in altera parte longiori A B C D, latera A B, D C, inter se, & A D, B C, inter se quoque æqualia sunt, cum A B C D, propter angulorum rectitudinem, parallelogrammum sit, vt in boc liber ad propos. 34. ostendemus.
XXXI. RHOMBVS autem, quæ æquilatera, sed rectangula non est.
HÆC figura tertia inter quadrilateras, quæ Rhombus dicitur, oppositas prorsus habet conditiones. & diuersas a conditionibus figuræ altera parte longioris. Habet enim omnia latera æ qualia, angulos vero non rectos, & inæquales, quamuis binioppositi inter se æquales existant. Vt in Rhombo A B C D, anguli A, & C, inter se, & B, & D, quoque inter se æquales sunt, cum A B C D, propter æqualitatem laterum, parallelogrammum sit, ceu ad eandem propositio 34. huius libri demonstrabitur.
XXXII. RHOMBOIDES verò, quæ aduersa & latera, & angulos habens inter se æquales, neque æquilatera est, neque rectangula.
EST hæc figura, quæ Rhomboides vocatur, quadrato omni ex parte opposita. Nam neque eius latera omnia æqualia sunt, neque vllus angulus rectus, sedtan en latera bina opposita, qualia sunt A B, D C, & A D, B C, in Rhomboide A B C D, æqualia inter se, item anguli bini oppositi, quales sunt A, C, & B, D, inter se existunt æquales Hæ igitur quatuor figure quadrilateræ dici possunt regulares; cæteræ vero omnes, quæcunque sint, irregulares.
XXXIII. PRÆTER has autem, reliquæ quadrilateræ figuræ, trapezia appellentur.
RELIQVAS omnes figuras quadrilateras, quæ à prædictis quatuor differunt, ita vt neque later a omnia æqualia, neque omnes angulos æquales, seu rectos, neque latera bina opposita; neque angulos binos oppositos habeant inter sese æquales, generali vocabulo Trapezia nominat: quæ quidem cum infinitis modis variari queant, rectè irregulares nuncupabuntur. Possunt enim duo anguli esse recti, vel vnus obtusus, & aly acuti, vel duo obtusi, & alij acuti, & c. Eademqúe fieri potest quasi diuisio penes latera: Nam vel aliqua æqualia inter se sunt, vel nullum alters est equale, & c. Determinatas porro trapeziorum species nonnullas afferemus post definitionem linearum parallelarum, seuæquidistantium, & parallelogrammi.

第二十九界
四邊形。四邊線等而角直。為直角方形。
第三十界
直角形。其角俱是直角。其邊兩兩相等。
如上甲乙丙丁形。甲乙邊與丙丁邊自相等。甲丙與乙丁自相等。
第三十一界
斜方形。四邊等。但非直角。(p. 一一)
第三十二界
長斜方形其邊兩兩相等。但非直角。
第三十三界
已上方形四種。謂之有法四邊形。四種之外。他方形。皆謂之無法四邊形。(p. 一二)

23. Parallel straight lines are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction.

XXXIV. PARALLELÆ rectæ lineæ sunt, quæ cum in eodem sint plano, & ex vtraque parte in infinitum producantur, in neutram sibi mutuo incidunt.
VT duæ, vel plures rectæ lineæ dicantur parallelæ siue æquidistantes, non sat is est, vt in quamcunque partem, etiam spatio infinito, product æ nunquam ad vnum punctum coeant; sed necesse quoque est, vt in vna plana superficie existant. Multæ siquidem lineærectæ non existentes in eadem superficie plana productæ ad spatium infinitum, nunquam in vnum conueniunt, & tamen non sunt parallelæ dicendæ; quales sunt, exempli gratia, duæ rectæ lineæ in transuersum positæ in medio aëre, & non se tangentes; Hæ etenim nunquam coire possunt. Dicuntur autem duæ rectæ lineæ in eadem existere planæ superficie, quande superficies aliqua plana vni earum accommodata, ita vt omnia puncta illius tangat, & circa illam immobilem circumuoluta, alteri quoque accommodari potest secundum omnia eius puncta, quamuis re ipsa in duabus superficiebus diuersis reperiantur; Vt propositis duabus rectis lineis A B, C D, si superficies aliqua plana rectæ A B, applicetur, omnia cius tangens puncta, ita vt circa illam circumducta tangat quoque omniæ puncta alterius rectæ C D; dicentur huiusmods rectæ duæ lineæ in eadem superficie plana existere, alias non. Si igitur hæ duærectæ lineæ eædem non coëant, etiamsi infinitè producantur tam ad partes A, C, quàm ad B, D, appellabuntur parallellæ, siue æquidistantes. Cæterum planius, perfectiusque intelliges in x i. liber quo modo duæ rectæ lineæ, vel etiam plures in eadem dicantur superficie existere: Satis sit hoc loco breuiter admonuisse, rectè ab Euclide vtramque conditionem esse positam in definitione linearum parallelarum. Debent enim in eodem existere plano, & productæ in vtramuis partem nunquam in vnum conuenire, quanquam hæc productio continuetur ad spatium infinitum. Quod si duæ rectæ lineæ per immensum aliquod spatium extensæ non cernantur coire, constet tamen, eas tandem ex vna parte longius protractas in vnum punctum conuentur as, quamuis ex altera semper magis ac magis inter sedistent, ac disiungantur, nequaquam appellandæ erunt par allelæ. Quotiescunque ergo duæ line æ rectæ dicuntur à quopiam esse parallelæ, is necesse est concedat, illas in vna, eademqúe superficie iacere, & nunquam posse coire. Similiter, si quis concludere velit, duas rectas lineas esse parallelas, hic demonstret prtus oportet, eas in eodem existere plano, & in neutram partem productas coniungi posse. Qua in re non pauci videntur hallucinari, qui ex eo duntaxat conantur ostendere, aliquas rectas lineas esse parallelas, quod in neutram partem coeant, etiamsi infinitè produæantur, nullæ facta prorsus mentione alterius conditionis, quæ easdem lineas in eodem requirit existere plano.
HIC finem imponit Euclides definitionibus primi libri. Quoniams vero hoc eodem libro mentio fiet figuræ, quæ Parallelogrammum, necnon earum, quæ complementa parallelogrammi dicuntur, necessarium esse duximus, duabus definitionibus adiunctis explicare, quid sit Parallelogrammum, & quæ sint parallelogrammi complementa, vt facilius dem on strationes percipiantur.
XXXV. PARALLELOGRAMMVM est figura quadrilatera, cuius bina opposita latera sunt parallela, seu æquidistantia.
VT figura quadrilatera A B C D, siquidem latus A B, æquidistet lateri D C, & latus A D, lateri B C, nuncupatur Parallelogrammum. Sunt autem quatuor solum parallelogramma; Quadratum, figura alter a parte longior, Rhombus, & Rhomboides, quorũ priora duo rectangula, quod omnes angulos habeant rectos, posteriora vero duo non rectangula vocantur, quod nullus in eis angulus existat rectus. Cæterum, quatuor has figuras esse parallelogramma, ostendenus ad propositionem 34. huius liber Itaque possumus quadrilater as figur as, (vt & antiqui Geometræ) diuidere in Parallelogrammum, & Trapezium. Parallelogrammum rursus in rectangulum, & æquilaterum, quale est Quadratum: in nec rectangulum, nec æquilaterum, quale est Rhomboides; in rectangulum, sed non æquilaterum, qualis est figura altera parte longior: & in æquilaterum, sed non rectangulum, cuiusmodi est Rhombus. Trapeziorum quoque aliud quidem habet duo latera opposita parallela, alia vero minimè aliud autem nulla opposita latera habet parallela. Præterea illud prius vel habet duo illa latera quæ non sunt parallela, inter se æqualia, diciturqúe Trapez ium Isosceles: vel inæqualia, Trapeziumqúe Scalenum appellatur. Itaque ex his omnibus septem genera figurarum quadrilaterarum constitus possunt; Quadratum, figura altera parte longior, Rhombus, Rhomboides, Trapezium Isosceles, Trapezium Scalenum, & Trapezium illud irregulare, in quo nulla latera sunt parallela.
XXXVI. CVM vero in parallelogrammo diameter ducta fuerit, duæque lineæ lateribus parallelæ secantes diametrum in vno eodemque puncto, ita vt parallelogrammum ab hisce parallelis in quatuor distribuatur parallelogramma; appellantur duo illa, per quæ diameter non transit, complementa; duo vero reliqua, per quæ diameter incedit, circa diametrum consistere dicuntur.
SIT parallelogrammum A B C D, in quo diameter A C, & linea E F, secans diametrum in G, & parallela existens la teribus A D, B C. Item linea H I, secans diametrum in eodem puncto G, parallelaque lateribus A B, D C, existens. Quæ cum it a sint, per spicuum est, parallelogrammum totum diuisum esse in quatuor par allelogramma, quorum quidem duo E B I G, G F D H, per quæ diameter A C, non transit, vocantur a Geometris complementa siue supplementa reliquorum duorum A E G H, G I C F. quæ dicuntur circa diametrum consisiere, quippecum perea diameter transeat, vt videre est in præsenti figura.

第三十四界
兩直線於同面行至無窮。不相離。亦不相遠。而不得相遇。為平行線。
第三十五界
一形。每兩邊有平行線。為平行線方形。(p. 一三)
第三十六界
凡平行線方形。若於兩對角作一直線。其直線為對角線。又於兩邊縱橫各作一平行線。其兩平行線與對角線交羅相遇。卽此形分為四平行線方形。其兩形有對角線者。為角線方形。其兩形無對角線者。為餘方形。
甲乙丁丙方形。於丙乙兩角作一線。為對角線。又依乙丁平行。作戊己線。依甲乙平行作庚辛線。其對角線與戊己、庚辛、兩線。交羅相遇於壬。卽作大小四平行線方形矣。則庚壬己丙、及戊壬辛乙、兩方形。謂之角線方形。而甲庚壬戊、及壬己丁辛、謂之餘方形。

POSTULATES.

PETITIONES, SIVE POSTULATA

求作四則
求作者。不得言不可作。

1. Let the following be postulated: To draw a straight line from any point to any point.

I. POSTVLETVR, vt à quouis puncto in quoduis punctum, rectam lineam ducere concedatur.
PRIMVM hoc postulatum planum admodum est, sirectè considerentur ea, quæ paulo ante de linea scripsimus. Nam cum linea sis fluxus quidam puncti imaginarius, atque adeo linea recta fluxus directo omnino itinere progrediens, fit vt sipunctum quodptam ad aliud directo moueri intellexerimus, ducta sane sit à puncto ad punctum recta linea: Id quod prima hac petitione postulat Euclides, quemadmodum hic vides à puncto A, ductamesse rectam lineam ad punctum B; ab eodemque aliam ad punctum C; Item aliam ad punctum D; & sic innumere aliæ ab eodem puncto educi possunt ad alia atque aliæ puncta.

第一求
自此點至彼點。求作一直線。
此求亦出上篇。蓋自此點直行至彼點。卽是直線。
自甲至乙或至丙、至丁。俱可作直線。

2. To produce a finite straight line continuously in a straight line.

II. ET rectam lineam terminatam in continuum recta producere.
QVOD sipunctum illud ferri adhuc cogitauerimus motu directo, & qui omnis inclinationis sit expers, producta erit ipsa recta linea terminata, & nunquam erit finis huius productionis, cum punctum illud intelligere possimus moueri ad infinitam distantiam. Sic lines recta A B, producta est primo in continuum ad punctum C. Deinde ad punctum D, &c.

第二求
(p. 一四)一有界直線。求從彼界直行引長之。
如甲乙線。從乙引至丙。或引至丁。俱一直行。

3. To describe a circle with any centre and distance.

III. ITEM quouis centro, & interuallo circulum describere.
IAM vero, si terminatam rectam lineam cuiuscunque quantitatis mente conceperimus applicatam esse secundum alterum extremũ ad quoduis punctum, ipsamque circa hoc punctum fixum circumduci, donec ad eum reuertatur locum, à quo dimoueri cœpit; descriptus erit circulus, essectumqúe, quod tertia petitio iubet. Exemplum habes in his quinque lineis A B, A C. A D, A E, A F, quæ singulæ citra centrum A, circumulutæ singulos circulos descripserunt iuxta quantitatem, seu interuallum ipsarum.
PRÆTER hæc tria postulata, quibus Euclides contentus fuit, sunt multa alia æquè facilia, è quibus duntaxat in medium proferre decreui illud, quod frequentius repetendum erit in progressu totius Geometriæ. Reliqua enim prudens lector ex se vel facilè intelliget.

第三求
不論大小。以點為心求作一圜。

4. That all right angles are equal to one another.

IV. ITEM quacunque magnitudine data, sumi posse aliam magnitudinem vel maiorem, vel minorem.
OMNIS enim quantitas continua per additionem augeri, per diuisionem vero diminui potest infinitè: Vnde nunquam dabitur quantitas continua adeo magna, quin ea maior dari possit: neque tam parua, quin minor ea possit exhiberi. Hoc idem in numeris verum est, quod ad additionem pertinet. Nam quilibet numerus per continuam additionem vnitatis augeri potest infinitè: quamuis in eius diminutione ad vnitatem indiuiduam deueniatur. ¹⁰

10. The fourth postulate of Clavius is not corresponding to the fourth postulate in the earlier versions. The theme of this dictum is rather related to the next paragraph on CUMMVNES NOTIONES. Also the famous parallel postulate is left out by Clavius, see the next record

第四求
(p. 一五)
設一度於此。求作彼度。較此度或大或小。凡言度者。或線或面。或體皆是。或言較小作大可作。較大作小不可作。何者。小之至極。數窮盡故也。此說非是。凡度與數不同。數者。可以長。不可以短。長數無窮。短數有限。如百數減半成五十。減之又減。至一而止。一以下不可損矣。自百以上。增之可至無窮。故曰可長不可短也。度者。可以長。亦可以短。長者增之可至無窮。短者減之亦復無盡。嘗見莊子稱一尺之棰。日取其半。萬世不竭。亦此理也。何者。自有而分。不免為有。若減之可盡。是有化為無也。有化為無。猶可言也。令已分者更復合之。合之又合。仍為尺棰。是始合之初。兩無能幷為一有也。兩無能幷為一有。不可言也

5. That, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.

COMMON NOTIONS.

CUMMVNES NOTIONES SIVE Axiomata, quæ & Pronunciata dici solent, vel Dignitates.

公論十九則
公論者。不可疑。

1. Things which are equal to the same thing are also equal to one another.

I. QVÆ eidem æqualia, & inter se sunt æqualia.
Et quod vno æqualium maius est, aut minus; maius quoque est, aut minus altero æqualium. Et si vnum æqualium maius est, aut minus magnitudine quapiam, alterum quoque æqualium eadem magnitudine maius est, aut minus.
FIERI nulla ratione potest, vt duæ quantitates inæquales, æquales sint alteri quantitati. Si enim minor illarum propositæ quantitati æqualis extiterit, excedet eandem necessario maior illarum. Et si maior æqualis fuerit propositæ quantitati, superabitur minor ab esdem. Quare rectè colligitur, quantitates, quæ eidem quantitati æquales fuerint, inter se æquales quoque esse. Reliquæ quoque partes axiomatis à nobis adiectæ, quod frequentem vsum habeant, clarissimæ sunt.

第一論
設有多度。彼此俱與他等。則彼與此自相等。

2. If equals be added to equals, the wholes are equal.

II. Et si æqualibus æqualia adiecta sint, tota sunt æqualia.
SI enim quantitates conflatæ, siue compositæ, inæquales forent, proculdubio maiori plus esset adiectum, quàm minori, cum antea æquales extiterint. Quare ex additione æqualium quantitatum ad quantitates æquales, conficientur quantitates quoque æquales.

第二論
有多度等。若所加之度等。則合幷之度亦等。

3. If equals be subtracted from equals, the remainders are equal.

III. ET si ab æqualibus æqualia ablata sint, quæ relinquuntur, sunt æqualia.
NAM si reliquæ quantitates forent inæquales, à minore plus fuisset detractum, quàm à maiore.

第三論
有多度等。若所減之度等。則所存之度亦等。(p. 一六)

()

IV. ET si inæqualibus æqualia adiecta sint, tota sunt inæqualia. Et, si inæqualibus inæqualia adiecta sint, maiori maius, & minori minus, tota sunt inæqualia, illud nimirum maius, & hoc minus.
QVIN &, si æqualibus inæqualia adiecta sint, tota erunt inæqualia: quoniam maior quantitas addita vr. iæqualium, maiorem constituit quantitatem, quàm minor alteri æqualium adiecta: quemadmodum & si inæqualibus æqualia adijciantur, composita quantitas ex maiore, maior est, quàm composita ex minore. Alteram partem huius axiomatis nos adiecimus, propter frequentem eius vsum.
V. ET si ab inæqualibus æqualia ablata sint, reliqua sunt inæqualia. Et si ab inæqualibus inæqualia ablata sint, à maiori minus, & à minori maius, reliqua sunt inæqualia, illud nimirum maius, & hoc minus.
SIC etiam, Si ab æqualibus inæqualia ablata sint, reliqua erunt inæqualia: quia maior quantitas ablata relinquet minorem quantitatem, quàm minor; quemadmodum residuum maioris maius est residuo minoris, si æqualia aufer antur ab inæqualibus. Cæterum Euclides non docet, quidnam simpliciter, & absolutè gignatur ex additione quantitatum inæqualium ad quantitates inæquales, vel quid relinquatur post subtractionem inæqualium quantitatum ab inæqualibus quantitatibus; propterea quod nihil certo colligi inde potest, nisi quando maiori maius additur, & à matori minus detrahitur, vt in secundaparte axiomatis dictum est, quam nos ob insignem eius vtilitatem adiecimus. Possúnt enim compositæ quantitates, vel residuæ, esse & inæquales, & æquales, Si enim ad 7 & 5. addantur 4. & 3. efficientur 11. & 8. quæ sunt inæqualia Sic etiam si ex 7. & 5. detrahantur 2. & 1. relinquentur 5. & 4. quæ sunt inæqualia. At vero, si ad 7. & 5. addantur 4. & 6. conficientur 11. & 11. quæ æqualia sunt. Item si detrahantur 3. & 1. ex 7. & 5. remanebunt 4. & 4. qua æqualia quoque existunt.
PORRO in his omnibus pronunciatis, primo excepto, nomine æqualium quantitatum intelligenda est etiam vna & eadem multis communis. Si enim æqualibus idem commune adijciatur, tota fient æqualia: Et si ab æqualibus idem commune detrahatur, residua æqualia erunt. Et si inæqualibus idem commune adijciatur; veleidem communi addantur inæqualia, tota sient inæqualia: & si ab inæqualibus idem commune detrahatur, vel ab eodem commune inæqualia auferantur, residua existent inæqualia.

第四論
有多度不等。若所加之度等。則合幷之度不等。
第五論
有多度不等。若所減之度等。則所存之度不等。

()

VI. ET quæ eiusdem duplicia sunt, inter se sunt æqualia.
Et quod vnius æqualium duplum est, duplum est & alterius æqualium. SIMILITER, quæ eiusdem sunt triplicia, vel quadruplicia, vel quintuplicia, &c. inter se sunt æqualia. Si enim inæqualia forent, & maius eorum esset duplex, vel triplex, &c. alicuius quantitatis, deficeret vtique minus à duplict vel triplici, &c. Quod si contra, minus esset duplex, vel triplex, &c. quantitatis cuiuspiam, excederet sanè maius duplex ipsum; vel triplex, &c. Hoc autem & ex secundo axiomate comprobari potest ad hunc modum. Si enim duæ quantitates æquales fuerint alieui tertiæ, & vtrique tertia illa addatur, erunt compositæ duplices illius tertiæ,¹¹ sed & inter se æquales, ob idem additamentum. Quod sirursum compositis eadem tertia adijciatur, erunt conflatæ triplices eiusdem tertiæ. Cum igitur ¹² & æquales inter se, propter idem additamentum existant; eademqúe sit ratio in cæteris multiplicibus, perspicuum erit axioma propositum. Secundam porro partem huius axiomatis nos apposuimus, quod non raro eius vsus in rebus Geometriois requiratur.

11. 2. pron; 12. 2. pron

第六論
有多度俱倍於此度。則彼多度俱等。

()

VII. ET quæ eiusdem sunt dimidia, inter se æqualia sunt.
Et contra, Quæ æqualia sunt, eiusdem sunt dimidia. PARI ratione, quæ eiusdem sunt partes tertiæ, vel quartæ, vel quintæ, &c. inter se æqualia sunt. IN his duobus pronunciatis per eandem quantitatem, intelligi debent quantitates etiam æquales. Nam quæ æqualium duplicia sunt, vel triplicia, &c. inter se æqualia quoque sunt: Item, quæ æqualium sunt dimidia, vel tertia, vel quarta, &c. & inter se æqualia necessario existunt. Partem quoque secundam huiusce axiomatis nos adiunximus, propterea quod non minus frequenter, quàm prima, à Geometris vsurpatur.

第七論
有多度俱半於此度。則彼多度亦等。

4. [7] Things which coincide with one another are equal to one another.

VIII. ET quæ sibi mutuo congruunt, ea inter se sunt æqualia.
HOC est, duæ quantitates, quarum vna superposita alteri, neutra alteram excedit, sed ambæ inter se congruunt, æquales erunt. Vt duæ lineæ rectæ dicentur esse æquales, quando vna alteri superposita, eaquæ superponitur, alteri tota congruit, ita vt eam nec excedat, nec ab ea excedatur. Sic etiam duo anguli rectilinei æquales erunt, quãdo vno alteri superposito, is qui superponitur, alterum nec excedit, nec ab eo exceditur, sed lineæ illius cum lineis huius prorsus coincidunt: Ita enim erunt inclinationes linearum æquales, quamuis lineæ interdum inter se inæquales existant.
E CONTRARIO, Quæ inter se sunt æqualia, sibi mutuo congruent, si alterum alteri superponatur. Intelligendum est autem, quantitates sibi mutuo congruentes, esse æquales, secundum id duntaxat, in quo sibi congruunt. Congruit autem longitudo longitudini tantum, superficies superficiei, solidum solido, linearum inclinatio inclinationi linearum, &c.

第八論
有二度自相合。則二度必等。以一度加一度之上。

5. [8] The whole is greater than the part.

IX. ET totum sua parte maius est.
CVM pars à toto ablata relinquat adhuc aliquid, ne totum ipsum auferatur; perspicuum est, omne totum sua esse parte maius.
IN sequentibus porro pronunciatis interrumpitur ordo Euclidis, propterea quod duo alia axiomata hoc loco inserenda esse censuimus valde necessaria, cum ex ijs axioma 12. quod Euclidi est decimum, demonstrari possit, vt ibi dicemus. In margine tamen numeros apposuimus ordini Euclidis respondentes.

第九論
全大於其分。如一尺大於一寸。寸者、全尺中十分中之一分也。

X. DVÆ lineæ rectæ non habent vnum & idem segmentum commune.
NON est difficile istud axioma, si perfectè intelligatur natura rectæ lineæ. Cum enim linea recta directo semper itinere, nullam in partem deflectendo, producatur, fieri nulla ratione potest, vt duæ lineæ rectæ habeant vnam partem, quamuis minimam, communem, præter vnicum punctum, in quo se mutuo intersecant. Quod tamen breuiter Proclus it a demonstrat. Habeant, si fieri potest, duæ rectæ A B, A C, partem communem A D. Ex centro autem D, & interuallo D A, ¹³ describatur circulus secans duas rectas propositas in punctis B, & C; ¹⁴ Erunt igitur duæ circumferentiæ A B, A B C, inter se æquales, (Sunt enim circumferentiæ semicirculorum æqualium, cum A D B, A D C, ponantur esse diametri) pars & totum, quod est absurdum. Non ergo duæ rectæ habent vnum & idem segmentum commune. Quod est propositum.
POSSVNT tamen duæ lineæ rectæ commune habere segmentum, quando vnam & eandem rectam lineam constituunt. Vt in hac figura, rectæ A D, B C, commune habent segmentum C D, quia ambæ vnam rectam constituunt lineam A B. At vero quando duæ rectæ sunt diuersæ, quales fuêre A B, A C, in superiori exemplo, non possunt possidere segmentum aliquod commune, vtrectè à Proclo fuit demonstratum.
XI. DVÆ rectæ in vno puncto concurrentes, si producantur ambæ, necessario se mutuo in eo puncto intersecabunt.
HOC etiam axioma ex natura lineæ rectæ pendet. Quodtamen ita demonstrabimus Coeant duæ rectæ A B, C B, in B. Dicoillas productas se mutuo secare in B, nempe C B, productam cadere in E, supra rectam A B, productam Nam si C B, producta non cadit supra A B, productam, congruet cum A B, producta, ita vt transeat per D, atque ita duæ rectæ A B D, C B D, habebunt idem segmentum commune B D, quod in antecedenti axiomate ostensum est fieri non posse: vel certè infra A B, productam cadet, ita vt C B, producta cadat in F, sitque vna recta linea C B F. Centro igitur B, describatur ad quoduis interuallum circulus A C F D, secans rectas A B, C B, productas in D, F. Quia ergo vtraque recta A B D, C B F, per centrum B, ducitur, erit tam A C D, quàm C F, semicirculus, per defin. 18. ac proinde æquales erunt circumferentiæ A C D, C F. vt ad defin. 17. demonstrauimus, totum & pars. Quod est absurdum. DVO proxima axiomata ab Euclide non ponuntur, quia tamen necessaria sunt ad aliorum axiomatum probationes, ea bîcinseruimus. Tria autem sequentia Euclidis sunt.
XII. ITEM, omnes anguli recti sunt inter se æquales.
Hoc axioma apertissimum esse cuilsbet potest ex 10. definitione, quâ angulus rectus describitur; propterea quod inclinatio linearum angulum rectum constituentium augeri, minuíue nequit, sed prorsus est immutabilis. Efficitur enim rectus angulus à linea perpendiculari, quæ quidem alteri lineæ rectæ ita superstat, vt faciat vtrobique angulos æquales, neque magis in vnam partem, quàm in alteram inclinet. Ex quofit, omnes angulos rectos æquales inter se esse, cum semper sit eadem inclinatio, quamuis lineæ sint inæquales interdum. Conatur tamen Proclus ex 10. definitioneid demonstrare hacratione. Sint duo angulirecti A B C, D E F, quos dico esse inter se æquales. Si enim fieri potest, sintinæquales, sitqúe A B C, maior. Si igitur mente concipiamus punctum E, applicari puncto B, & rectam D E, rectæ A B, cadetrecta E F, interrectas A B, B C, qualis est B G, propterea quod angulus D E F, minor ponitur angulo A B C. ¹⁵ Producatur C B, in rectum & con 2. petit tinuum vsque ad H. Cum igitur angulus A B C, sit rectus, ¹⁶ erit angulus A B H, illi deinceps æqualis, & rectus quoque: quare maior fin. etiam angulo A B C. ¹⁷ Producta autem G B, in rectum & continuum vsque ad 1, cadet portio producta B I, infra C B, productam, vt in præcedenti axiomate est demonstratum. Quare cum angulus A B G, ponatur rectus, ¹⁸ fiet angulus A B I, illi deinceps æqualis. Quapropter angulus A B H, maior quoqueerit angulo A B I, pars tofin. to, quod est absurdum. Non ergo inæquales sunt duo anguli recti propositi, sed æquales. Quod est propo situm: eademqúe est ratio in cæteris.
RECTE autem boc loco monet Pappus, axioma istudnon posse conuerti; non enim omnis angulus recto angulo æqualis rectus est, cum & curuilineus recto æqualis esse queat, vt in 5. lib. demon strabimus, quitamen non dicitur rectus, cum non sitrectilineus. Solus igitur angulus rectilineus æqualis angulo recto, rectus nuncupabitur: Et omnes angult recti inter se æquales erunt, sine vlla exceptione.
XIII. ET si in duas rectas lineas altera recta incidens, internos ad easdem´que partes angulos duobus rectis minores faciat, duæ illæ rectæ lineæ in infinitum productæ sibi mutuo incident ad eas partes, vbi sunt anguli duobus rectis minores.
VT si in duas lineas rectas A B, C D, incsdens alia recta E F, faciat duos angulos internos, & ex eadem parte B E F, D F E, minores duobus rectis, vult Euclides, illas tandem conuentur as esse ad aliquod punctum vnum, versus eam partem, in qua duo anguli minores existunt duobus rectis, vt appositum exemplum commonstrat. Ratio huius perspicua est, quoniam quando duo anguli internt, & ex eadem parte æquales sunt duobus rectis, duæ rectæ lineæ in neutram partem coire possunt, sed æquali semper spatio protenduntur, vt propositio 28. huius liber demonstrabitur. Quare si duo anguli interni, & ex eadem parte efficiuntur minores duobus rectis, necesse est ex ea parte dictarum linearum spatium coarctari, ex altera vero magis ac magis dilatari; ideoque eas conuentur as tandem esse aliquando in vnum punctum. Verum quia axioma hoc sub obscurum videri solet tyronibus, imo à numero principiorum reijcitur à Gemino Geometra, Proclo, & alijs, quod non facilè quiuis ei assensum præbeat; præsertim cumreperiantur aliæ quædam lineæ, quarum spatium, licet semper magis ac magis coangustetur (quemadmodum & in duabus rectis A B, C D, accidit, vt ad propositionem 28. huius liber demon strabimus) nunquam tamen in vnum punctum coeunt, etiamsi infinitè producantur, vt constat ex elementis conicis Apollonij Pergæi, & ex linea conchili Nicomedis. Idcirco pleniorem illius explicationem in scholiuns propositio 28. huius liber differimus, vbi illud ex Procli sententia Geometricè demonstrabimus, vt firmè, ac sine vlla dubitatione, tanquam verissimũ, ad propositionis 29. huius liber (vbi primum eius vsus incipit apparere) & ad aliarum propositionum demonstrationes possit assumi. Quod tamen nos aliter quàm Proclus, & quidem magis geometricè demonstrabimus, ita vt nullus dubitatione locus relinquatur.

13. 3. petit; 14. 17. def; 15. 2. petit; 16. 10. defin; 17. 2. petit; 18. 10. defin

第十論
直角俱相等。見界說十。
第十一論
(p. 一七)有二橫直線。或正或偏。任加一縱線。若三線之間。同方兩角。小於兩直角。則此二橫直線。愈長愈相近。必至相遇。
甲乙、丙丁、二橫直線。任意作一戊己縱線。或正或偏。若戊己線旁同方兩角。俱小於直角。或幷之小於兩直角。則甲乙丙丁線。愈長愈相近。必有相遇之處。
欲明此理。宜察平行線不得相遇者。界說卅四加一垂線。卽三線之間。定為直角。便知此論兩角小於直角者。其行不得不相遇矣。
第十二論
兩直線。不能為有界之形。
第十三論
兩直線。止能於一點相遇。
如雲線長界近。相交不止一點。試於丙乙二界。各出直線交於丁。假令其交不止一點。當引至甲則甲丁乙、宜為甲丙乙圜之徑。而甲丁丙、亦如之界說十七夫(p. 一八)甲丁乙。圜之右半也。而甲丁丙。亦右半也界說十七甲丁乙為全。甲丁丙為其分。而俱稱右半。是全與其分等也。本篇九。

XIV. DVÆ rectæ lineæ spatium non comprehendunt.
NVLLAM prorsus habet difficultatem hoc principium. Si enim duæ rectæ lineæ ex vna parte coeant ad efficiendum angulum, necessario ex altera parte semper magis ac magis disiungétur, si producantur, vt in exemplo proposito perspicuum est. Quare vt superficies, spatiúm ve quodpiam rectilineum ex emni parte concludatur, duabus rectis lineis tertia quædam adiungenda est. Ita enim conficietur spatium triangulare, seufigurarum rectilinearum prima. Proclus tamen demon strat hoc principium, hoc modo. Si fieri potest, vt duæ lineæ rectæ claudant superficiem, comprehendãt duæ rectæ A B C, A D C, superficiem A B C D, ita vt duæ illæ rectæ coeant in duobus punctis, A, & C. Facto deinde centro C, ¹⁹ describatur circulus interuallo C A, ²⁰ & producantur rectæ A B C, A D C, in rectam, & continuum vsque ad circismferentiam, nempe ad puncta, E, & F Itaque quia rectæ A C E, A C F, transeunt per centrum C, ²¹ erunt semicirculi A E, A E F, in17. def terse æquales, & idcirco circumferentia quoque A E, circumferentiæ A E F, æqualis erit, parstoti, quod fieri non potest. Non ergo rectæ duæ lineæ spatium comprehendunt. Quod est propositum.
SED quia fortassis aduersarius dicet, rectas A B C, A D C, productas coire iterum in aliquo puncto circumferentiæ, vt in E, vel F, atque adeo non sequi, partem æqualem esse toti, demonstrabimus tune idem axioma hoc modo. Coeant ergo duæ illæ lineæ iterũ, si fieri potest, in E. Sumpto pũcto F, in recta A D C, quocunque, erit A F, minor, quàm F E, cum minor sit, quàm A F C, hoc est, quàm C H E, quæ ipsi A F C, æqualis est, atque adeo multo minor, quam F E. Circulus igitur ex F, ad interuallum F A, descriptus secabitrectam F E, in H, atque adeo C G E, in G. Quoniam igitur A F H, diameter circuliest, erit A I H, semicirculus, vt ad defin. 17. ostendimus: Portio autem A I G, quam aufert recta A B G, & in qua centrum non est, semicirculo minor, vt ad defin. 18. demonstrauimus. Est ergo circumferentia A I G, minor quàm A I H, totum quàm pars, quod est absurdũ. Quod autem minor sit portio A I G, semicirculo, ostendemus, vt suprà. Nam ducta ex centro F, ad rectam A B G, perpendiculari, & circumuoluta portione A I G, circa rectam A B G, cadet circumferentia A I G, intra circumferentiam A K G, ne pars maior sit quàm totum, vt suirà demon strauimiss.
CONSTAT hoc etiam axioma ex definitione lineæ rectæ. Cum enim recta linea sit breuissima extensio ab vno puncto ad aliud, duci poterit vnica tantum linea ab vno pũcto ad aliud. Quare si A B C, recta est, nõ erit A D C, recta. Quod etiam patet ex definitione Platonis. Nam si A B C, est recta, obumbrabũt media illius extremitates eiusde Igitur media pũcta lineæ A D C, nõ obumbrant extrema, cum visus, per rectans A B C, seratur. Non ergo recta est A D C. HIS axis maiis ab Eucl de positis adiungemus nos nonnulla alia ex aliis Geometris decerpta, non minus necessaria ad futur as demonstrationes Problematum atque Theorematum cum Euclidis, tum cæteterum Mathematicorum, quàmea, quæ nobis tradidit Euclides.

19. 3. petit; 20. 2. petit; 21. 17. def

第十四論
有幾何度等。若所加之度各不等。則合幷之差。與所加之差等。
甲乙、丙丁、線等。於甲乙加乙戊。於丙丁加丁己。則甲戊大於丙己者。庚戊線也。而乙戊大於丁己。亦如之。

XV. SI æqualibus in æqualia adjiciantur, erit totorum excessus, adiunctorum excessui æqualis.
HOC, & sequens pronunciatum desumpsit Proclus ex Pappo. Aequalibus itaque quãtit itibus A B, C D, addantur inæquales B E, D F, sitqúe B E, mator quàm D F. Et ex B E, auferatur B G, æqualis ipsi D F, vt sit G E, excessus, quo quantitas addita B E, superat quantitatem additam D F Quoniam igitur æqualibus A B, C D, addita sunt æqualia B G, D F, crunt tota AG, C F, 2. pron æqualia. Quare constat, totam quantitatem A E, superare totam C F, codem excessu G E, quo magnitudo D F, adiuncta à magnitudine adiuncta B E, superatur. Quodest propositum.
XVI. SI inæqualibus æqualia adiungantur, erit totorum excessus, excessui eorum, quæ à principio erant, æqualis.
IN eadem figura, inæqualibus quantitatibus B E, D F, addantur æquales A B, C D. Et ex maiore B E, auferatur B G, æqualis ipsi D F, vt G E, sit excessus; quo quantitas B E, quantitatem D F, superat. Quoniam igitur æqualibus B G, D F, addita sunt æqualia A B, C D, erunt tota A G, C F, æqualia. Quamobrem tota quantitas 2 pron A E, superabit totam C F, eodem excessu G E, quo maior quantitas proposita B E, minorem D F, superat. Quod est propositum.
XVII. SI ab æqualibus inæqualia demantur, erit residuorum excessus, excessui ablatorum æqualis.
AB æqualibus A B, C D, auferantur inæqualia B E, D F. Sitqúe E G, excessus, quo quantitas B E superat quantitatem D F, ita vt B G, æqualis sit ipsi D F. Quia igitur ab æqualibus A B, C D, ablata sunt æqualia B G, D F, remanebunt A G, C F, æqualia. Perspicuum 3. pro. ergo est, residuum A E, superari à residuo C F, eodem excessu E G, quo magnitudo ablata B E, ablatam magnitudinem D F, superat. Quod est propositum.
XVIII. SI ab inæqualibus æqualia demantur, erit residuorum excessus excessui totorum æqualis.
AB inæqualibus A B, C D, aufer antur æqualia A E, C F. Sitqúe B G, excessus, quo tota quantitas A B, superat totã quantitatem C D, ita vt A G, æqualis sit ipsi C D. Quoniam igitur ab æqualibus A G. C D, ablata sunt æqualia A E, C F, remanebune E G, F D, æqualia. Quare residuum E B, super abit residuum F D, eodem excessu B G, quo tota quantitas A B, superat totam quantitatem C D. Quod est propositum. IN his quoque quatuor proximè positis pronunciatis, nomine quãtitatum æqualium intelligenda est vna etiam sola quantitas multis communis. Si enim eidem communi inæqualia adijciantur, erit totorum excessus adiunctorum excessui æqualis. Et si inæqualibus idem commune adiungatur, erit totorum excessus, excessui eorum, quæ à principio erant, æqualis. Et si ab eodem communi inæqualia demantur, eritresiduorum excessus excessui ablatorum æqualis. Et si ab inæqualibus idem commune dematur, erit residuorum excessus excessui totorum æqualis. Nam in numeris, si ad 6. addas 5. & 3. fiunt 11. & 9. quorum excessus est 2. idem qui ipsorum 5. & 3. Rursus, si ad 5. & 3. addas 6. fiunt 11. & 9. quorum excessus 2. idem est, qui ipsorum 5. & 3. Item si ex 8. demas 5. & 2. relinquuntur 3. & 6. quorum excessus 3. idem est, qui ipsorum 5. & 2. Denique si ex 10. & 7. demas 3. relinquuntur 7. & 4. quorum excessus 3. idem est, qui ipsorum 10. & 7.
XIX. OMNE totum æquale est omnibus suis partibus simul sumptis.
QVONIAM omnes partes simul sumptæ constituunt totum, cuius sunt partes, manifesta est veritas huius axiomatis.
XX. SI totum totius est duplum, & ablatum ablati; erit & reliquum reliqui duplum.
VT quia totus numerus 20. duplus est totius numeri 10; Et ablatus ex illo 6. ablati ex hoc 3. propterea reliquus illius 14. duplus etiam est reliqui huius 7. In vniuersum autem hoc demon strabitur propositio 5. liber 5. nimirum. Si magnitudo magnitudinis æquè multiplex sit, atque ablata ablatæ, vt decupla, velcentupla, &c. & reliqua reliquæ æquè multiplex erit, atque tota totius.
COLLIGI potest ex dictis cum Proclo, & Gemino hoc discrimen inter postulata, & axiomata, quòd cùm vtraque sint per se nota, & indemonstrabilia, illanaturam sapiunt Problematum, propterea quòd aliquid fieri exposcant; hæc verò, Theoremata imitantur, cùm nihil fieri petant, sed solùm sententiam aliquam notissimam proponant. Differt autem postulatum à problemate, quòd constructio postulati non indigeat vlla demonstratione, problematis autem constructionem concedat nemo sine demonstratione, eo quòd difficile aliquod nobis exhibeat construendum. Idem discrimen inter Axioma, & Theorema reperitur; Illud enim demonstrari non debet, hoc verò concedendum nulla est ratione, nisi demonstretur. Nam nemo huius propositionis demonstrationem, vel etiam probationem requiret. Quæ eidem æqualia, inter se quoque æqualia sunt, Huius autem statim demonstrationem desider abit quis. Omnis trianguli tres anguli interni æquales sunt duobus rectis. Idem iudicium habeto de reliquis axiomatis, atque Theorematis, nec non de postulatis, problematisqúo.
CONSTAT quoque, Postulatorum alia propria esse Geometriæ, qualia sunt illa tria, quæ Euclides nobis proposuit; quædam verò communia & Geometriæ, & Arithmeticæ, cuiusmodi est hoc, Quantitatem posse infinitè augeri. Tam enim numerus, quàm magnitudo, per additionem augeri potest, ita vt nunquam huius incrementi finis reperiatur. Idem dices de axiomatis, siuepronunciatis. Nam octauum, decimum, vndecimum, duodecimum, tertiumdecimum, & quartumdecimum soli Geometriæ conueniunt; Reliqua verò omnia adhibentur & ad demonstrationes Geometricas & ad Arithmeticas. Quemadmodum enim magnitudines æquales ablatæ à magnitudinibus æqualibus, relinquunt magnitudines æquales, siue hæ magnitudines lineæ sint, siue superficies, siue corpora; ita quoque numeri æquales detractic numeris æqualibus relinquunt numeros æquales, &c.
HAEC dicta à nobis sint de triplici hoc genere principiorum, nune ad demonstrationes accedamus, ex quibus pleniùs perfectiúsque principiorum omnium natura percipietur. Sunt enim plurima principia Mathematicorum eiusmodi, vt planè non intelligantur, nisi priùs eorum vsus appareat in demonstrationibus; id quod satis te experientia docebit.
ANTEQVAM porrò ad propositiones Euclidis interpretandas veniamus, paucis explicandum est, quémnam ordinem, ac modum in ipsis demonstrationibus simus secuti. Primum cuilibet propositioni du s numeros affiximus, quorum alter in margine depictus significat ordinem, quem Campanus ex traditione Arabum est secutus in Euclidis propositionibus, alter verò in ipsa propositionum serie descriptus refert dispositionem propositionum ex traditione Theonis, & quam adhuc obseruari cernimus in codicibus Græcis. Id verò eo consilio à nobis est factum: quoniam cùm à quibusdam Geometris propositiones Euclidis iuxta ordinem Campani, ab alijs verò iuxta Theonis seriem citentur, maximeqúe interdum duo hi interpretes inter se discrepent, inserie, atque ordine propositionum, id quod maximè in 6. 7. & 10 liber perspicitur; necessarium esse duximus, vt vtriusque interpretis numerus apponeretur. Ita enim fiet, vt si quando numerus propositionum à Geometra quopiam citatus non respondet alteri interpreti, alteri saltem conueniat. Deinde ne cursus demonstrationum interrumperetur, citauimus principia, & propositiones Euclidis in margine, præfixa euilibet citationi semper literula aliqua alphabeti, vel alio quouis signo, cui similis literula, seu signum respondet in demonstratione, vt faciliùs cognoscatur, ad quem locum quælibet citatio sit referenda. Porrò citationes intelligendæ sunt hoc modo.
1. def. Prima definitio. & sie dealijs numeris , vt 4. def. 23. def. &c.
1. pet. Prima petitio, vel primum Postulatum.
1. Pron. Primum pronunciatum, seu axioma, & ita de reliquis numeris, vt priùs.
1. primi. Prima propositio primi libri.
23. Vndec. Vigesimatertia propositio vndecimi libri
6. tertijd. Sexta tertijdecimi libri.
9. sextid. Nona sextidecimi libri.
13. duod. Decimatertia libri duodecimi.
7. quind. Septima libri quindecimi.
5. quartid. Quinta libri quartidecimi, &c.
Ex his aliæ citationes à quolibet facilè poterunt intelligi. Eadem enim in omnibus est ratio.

第十五論
有幾何度不等。若所加之度等。則合幷所贏之度。與元所贏之度等。
如下圖反說之。戊乙、己丁、線不等。於戊乙加乙甲。於己丁加丁丙。則戊甲大於己丙者。戊庚線也。而戊乙大於己丁。亦如之。(p. 一九)
第十六論
有幾何度等若所減之度不等。則餘度所贏之度。與減去所贏之度等。
甲乙丙丁、線等。於甲乙減戊乙。於丙丁減己丁。則乙戊大於丁己者。庚戊也。而丙己大於甲戊。亦如之。
第十七論(p. 二〇)
有幾何度不等。若所減之度等。則餘度所贏之度。與元所贏之度等。
如十四論反說之。甲戊、丙己、線不等。於甲戊減甲乙。於丙己減丙丁。則乙戊長於丁己者。亦庚戊也。與甲戊長於丙己者等矣。
第十八論
全與諸分之井等。
第十九論
有二全度。此全倍於彼全。若此全所減之度。倍於彼全所減之度。則此較亦倍於彼較。相減之餘曰較。
如此度二十。彼度十。於二十減六。於十減三。則此較十四彼較七。(p. 二一)

Proposition 1.

PROBLEMA 1. PROPOSITIO 1.

幾何原本第一卷本篇論三角形計四十八題
第一題

On a given finite straight line to construct an equilateral triangle.

SVPER data recta linea terminata triangulum æquilaterum constituere.
IN omni problemate duo potissimùm sunt consideranda, constructio illius, quod proponitur, & demonstratio, quâ ostenditur, constructionem rectè esse institutam. Vt quoniam primum hoc problema iubet constituere triangulum æquilaterum super data recta linea terminata quacunque, ita vt linea recta proposita sit vnum latus trianguli. (Tunc enim figura dicitur constitui super recta linea, quando ipsa linea efficitur vnum figuræ latus) idcirco primum oportet construere ex principiis concessis triangulum aliquod, deinde demonstrare, ipsum eâ ratione constructum, esse æquilaterum, hoc est, habere omnia tria latera inter se æqualia. Quod idem in alijs problematibus perspici potest. Hæc etiam duo reperiuntur ferè in omni Theoremate. Sæpenumerò enim vt demonstretur id, quod proponitur, construendum est, atque efficiendum prius aliquid, ceu manifestum erit in sequentibus. Pauca veró admodum sunt theoremata, quæ nullam requirant constructionem.

於有界直線上。求立平邊三角形。¹

Let AB be the given finite straight line.

Sit igitur proposita recta linea terminata A B,

法曰。甲乙直線上。

Thus it is required to construct an equilateral triangle on the straight line AB.

super quam constituere iubemur triangulum æquilaterum.

求立平邊三角形。

With centre A and distance AB let the circle BCD be described; [Post. 3] again, with centre B and distance BA let the circle ACE be described; [Post. 3] and from the point C, in which the circles cut one another, to the points A, B let the straight lines CA, CB be joined. [Post. 1]

Centro A, & interuallo rectæ A B, ²² describatur circulus C B D: Item centro B, & interuallo eiusdem rectæ B A, alius circulus describatur C A D, secans priorem in punctis C, & D. Ex quorum vtrouis, nempe ex C, ²³ ducantur duæ rectæ lineæ C A, C B, ad puncta A, & B;
Eritque super rectam A B, constitutum triangulum A B C, hoc est, figura rectilinea contenta tribus rectis lineis. Dico, hoc triangulum ita constructum necessariò esse æquilaterum.

22. 3. pet. 23. 1. pet.

先以甲為心。乙為界。作丙乙丁圜。次以乙為心。甲為界。作丙甲丁圜。兩圜相交於丙於丁。末自甲至丙。丙至乙。各作直線。卽甲乙丙為平邊三角形。

Now, since the point A is the centre of the circle CDB, AC is equal to AB. [Def. 15] Again, since the point B is the centre of the circle CAE, BC is equal to BA. [Def. 15] But CA was also proved equal to AB; therefore each of the straight lines CA, CB is equal to AB. And things which are equal to the same thing are also equal to one another; [C.N. 1] therefore CA is also equal to CB. Therefore the three straight lines CA, AB, BC are equal to one another.

Quoniam rectæ A B, A C, ducuntur ex centro A, ad circumferentiam circuli C B D, ²⁴ erit recta A C, rectæ A B, æqualis: Rursus quia rectæ B C, B A, ducuntur ex centro B, ad circumferentiam circuli C A D, erit recta B C, rectæ B A æqualis. Tam igitur A C, quàm B C, æqualis est rectæ A B. ²⁵ Quare & A C, B C, inter se æquales erunt,

24. 15. def. 25. 1. pron.

論曰。以甲為心。至圜之界。其甲乙線。與甲丙、甲丁、線等。以乙為心。則乙甲線。與乙丙、乙丁、線亦等。何者。凡為圜。自心至界。各線俱等故。界說十五旣乙丙等於乙甲。而甲丙亦等於甲乙。卽甲丙亦等於乙丙。公論一三邊等。

Therefore the triangle ABC is equilateral; and it has been constructed on the given finite straight line AB.

atque idcirco triangulum A B C, erit æquilaterum. Super data ergo recta linea terminata, &c.

(Being) what it was required to do.

Quod faciendum erat.
SCOLIUM
VT autem videas, plures demonstrationes in vna propositione contineri, placuit primam hanc propositionem resoluere in prima sua principia, initio facto ab vltimo syllogismo demonstratiuo. Si quis igitur probare velit, triangulum A B C, constructum methodo prædicta, esse æquilaterum, vtetur hoc syllogismo demonstrante.
Omne triangulum habens tria latera æqualia, ²⁶ est æquilaterum.
Triangulum A B C, tria habet æqualia latera.
Triangulum igitur A B C, est æquilaterum. Minorem confirmabit hoc alio syllogismo. Quæ eidem æqualia sunt, ²⁷ inter se quoque sunt æqualia.
Duo latera A C, B C, æqualia sunt eidem lateri A B.
Igitur & duo latera A C, B C, inter se æqualia sunt.
Ac propterea omnia tria latera A B, B C, A C, æqualia existunt.
Minorem verò huius syllogismi hac ratione colliget.
Lineæ rectæ à centro ductæ ad circumferentiam circuli, ²⁸ inter se sunt æquales.
Lineæ A B, A C, sunt ductæ à centro A, ad circumferentiam C B D.
Sunt igitur lineæ A B, A C, æquales inter se. Eademqúe ratione erunt lineæ A B, B C, æquales, cùm ducantur à centro B, ad circumferentiam C A D. Quamobrem minor præcedentis syllogismi tota confirmata erit.
Non aliter resolui poterunt omnes aliæ propositiones non solùm Euclidis, verùm etiam cæterorum Mathematicorum.
Negligunt tamen Mathematici resolutionem istam in suis demonstrationibus, eò quòd breuiùs ac faciliùs sine ea demonstrent id, quod proponitur, vt perspicuum esse potest ex superiori demonstratione.
SI quis autem super data recta desideret constituere triangulum quoque Isosceles, & scalenum, id cum Proclo in hunc modum efficiet. Sit recta linea A B, circa quam ex centris A, & B, describantur duo circuli, vti prius. ²⁹ Deinde producatur A B, in tramque partem ad circumferentias vsque ad puncta C, & D. Atque centro A, interuallo vero A D, ³⁰ describatur circulus E D F. Item centro B, interuallo vero B C, circulus E C F, secans priorem in punctis E, & F. Ex quorum vtrolibet, nempe ex E, ³¹ ducantur ad puncta A, & B, duæ rectæ E A, E B. Factumque erit super recta A B, ³² triangulum A B E; quod dico esse Isosceles, nimirum duo later a A E, B E, esse & æqualia inter se, & maiora latere A B. Cùm enim rectæ A E, A D, ducantur è centro A, ad circumferentiam E D F, ³³ erit A E, æqualis rectæ A D. Item cùm rectæ B E, B C, ducantur è centro B, ad circumferentiam E C F, ³⁴ erit B E, æqualis rectæ B C. Sunt autem rectæ A D, B C, æquales inter se (vtraque enim A C, & B D, æqualis est rectæ A B; cum A B, A C, ex eodem centro A, ad circumferentiam ducantur; Item B A, B D, ex eodem centro B, ad circumferentiã quoque egrediantur. ³⁵ Quare A C, B D, æquales inter se erunt. Addito igitur communi recta A B, ³⁶ erit tota A D, toti B C, æqualis.) ³⁷ Igitur A E, 2 B E æquales quoque inter se erunt. Quòd verò vtraque A E, B E, ³⁸ maior sit quàm A B, perspicuum est, cum A D, æqualis ostensa ipsi A E, maior sit quàm A B; Item B C, æqualis demonstrata ipsi B E, ³⁹ maior quoque sit, quàm A B. Constitutum igitur est super recta A B, Isosce. 9. pron les A B E, babens duo latera A E, B E, æqualia inter se, & maiora listere A B, quod faciendum erat. Atque hæc est demonstratio Procli, aliorumque interpretum Euclidis.
BREVIVS tamen videtur mihi posse demonstrari, triangulum A B E, esse Isosceles, hac ratione. ⁴⁰ Quoniam A E, æqualis est rectæ A D, & recta A D, est dupla rectæ A B, propterea quòd B A, B D, æquales inter se sunt; erit & A E, dupla rectæ A B. Rursus quia B E. 15. def æqualis est rectæ B C, & B C, dupla est ipsius A B, propterea quòd A B, ⁴¹ A C, æquales sunt inter se, erit & B E, dupla ipsius A B. Cùm igitur vtraque ⁴² A E, B E, dupla sit eiusdem A B, erunt A E, B E, inter se æquales, maioresque, propterea recta A B. Isosceles ergo est triangulum A B E.
IAM verò, si ex puncto A, ⁴³ ducatur linea recta A G, ad circumferentiam E G F, quæ non sit eadem quæ A E, vel A D, secans circumferentiam E H D, in puncto H, & ex G, ad B ⁴⁴ ducatur aliæ recta G B, constitutum erit triangulum A B G, super recta A B, 20. def quod dico esse scalenum. Quoniam ⁴⁵ A G, maior est quàm A H: ⁴⁶ Sunt autem A H, A E, ex centro A, ductæ, inter se æquales; erit & A G, maior quàm A E, hoc est, quàm B E, quæ ostensa est æqualis ipsi A E, igitur & maior erit A G, quàm B G, cùm B G, sit æqualis ipsi B E. Est autem & B G, maior quàm A B. , propterea quòd tota B C, æqualis ipsi B G, ⁴⁷ maior est quàm A B, pars. Omnia ergo tria 9. pron later a trianguli A B G, inæqualia sunt, ideoque scalenum est ex definitione; quoderat faciendum.
BREVIVS quoque ostendemus, triangulum A G B, esse scalenum, hac ratione. Quoniam tam ⁴⁸ A H, A D, ex centro A, ductæ sunt æquales, quàm B G, B C, ex centro B, ductæ: Sunt autem A D. B C, ipsius A B, duplæ, quod A B, vtrique B D, A C, æqualis sit; erunt quoque A H, B G, ipsius A B, duplæ, ac propterea maiores, quàm A B. Cùm ergo ⁴⁹ A G, maior sit, quàm A H, siue quàm B G, scalenum 9 pron erit triangulum A G B, habens latus A G, maximum, B G, medium, & A B, minimum.
PRAXIS.
CONABIMVR in singulis ferè problematibus Euclidis tradere praxin quandam facilem, & breuem, qua effici possit id, quod Euclides pluribus verbis, atque lineis contendit construere; ldqúe in ijs præsertim obseruabimus, quæ frequentiorem vsum habent apud Mathematicos, & in quibus praxis compendium aliquodsecum videtur afferre.
ITAQVE triangulum æquilaterum ita facilè construetur super data recta A B. Ex centris A, & B, interuallo vero datæ rectæ A B, describantur duo arcus circulorum seintersecantes in puncto C, siue hoc infra lineam contingat, siue suprà. Post bæc ducantur duæ rectæ A C, B C, ex puncto C, ad puncta A, & B, factumqúe erit, quod proponitur. Cuius recadem est demonstrasio cum superiori, simodò circuli essent integri, acperfecti. Transirent enim necessariò per puncta A, & B.
ISOSCELES ita conficietur. Ex centris A, & B, interuallo vero maiore quám A B, si datam rectam esse velimus minus latus; veminore, si eandem in latus maius cligamus, describantur duo arcus secantes se in C. Postea ducantur recta A C, & B C, constructumqúe erit Isosceles: quoniam A C, B C, æquales erunt, propter æquale interu allum assumptum, maius scilicet, aut minus quàm recta A B.
SCALENVM denique hoc modo fabricabitur super data recta A B. Ex centro B, interuallo vero maiore, quam B A, describatur arcus aliquis. Item ex centro A, interuallo vero adhuc maiore, quàm prius assumptum, describatur alter arcus priorem secans in C. Deinde ducantur rectæ A C, B C; constitutumqúe erit Scalenum, vt constat ex inæqualitate interuallorum, quæ assumpta fuerunt in constructione.
CAETERVM quo pacto triangulum constitui debeat habens tria latera æqualia tribus datis lineis quibuscunque, singula singulis, latrùs explicabimus propositio 22. huius libri.

26. 23. def. 27. 1. pron. 28. 15. def. 29. 2. pet. 30. 3. pet. 31. 1 pet. 32. 20 def. 33. 15. def 34. 15. def 35. 1. pron 36. 2. pron 37. 1. pron 38. 1. pron 39. 9. pron 40. 15. def. 41. 15. def. 42. 6. pro. 43. 1. petit. 44. 1. pet. 45. 9. pro. 46. 15. def. 47. 9. pro. 48. 15. def. 49. 9. pron.

如所求。凡論有二種。此以是為論者。正論也。下倣此。
其用法。不必作兩圜。但以甲為心。乙為界。作近丙一短界線。乙為心。甲為界。亦如之。兩短界線交處。卽得丙。
諸三角形。俱推前用法作之。詳本篇廿二。

Proposition 2.

PROBL. 2. PROPOS. 2.

第二題

To place at a given point (as an extremity) a straight line equal to a given straight line.

AD datum punctum, datæ rectæ lineæ æqualem rectam lineam ponere.

一直線。線或內、或外、有一點。求以點為界。作直線。與元線等。

Let A be the given point, and BC the given straight line. Thus it is required to place at the point A (as an extremity) a straight line equal to the given straight line BC.

SIT punctum datum A, & data recta linea B C, cui aliam rectam æqualem ponere oportet ad punctum A. Facto alterutro extremo lineæ B C, nempe C, centro ⁵⁰ describatur circulus B E, interuallo rectæ B C.

50. 3. petit

法曰。有甲點。及乙丙線。求以甲為界。作一線。與乙丙等。先以丙為心。乙為界。乙為心丙為界亦可作。作丙乙圜。第三求

From the point A to the point B let the straight line AB be joined; [Post. 1] and on it let the equilateral triangle DAB be constructed. [I. 1] Let the straight lines AE, BF be produced in a straight line with DA, DB; [Post. 2] with centre B and distance BC let the circle CGH be described; [Post. 3] and again, with centre D and distance DG let the circle GKL be described. [Post. 3]

Et ex A, ad centrum C, ⁵¹ recta ducatur A C; (nisi punctum A, intra rectam B C, fuerit: Tunc enim pro linea ducta sumetur A C, vt secunda figura indicat.) Super recta verò A C, ⁵² construatur triangulum æquilaterum A C D, sursum, aut deorsum versus, vt libuerit; cuius duo latera modò constituta D A, D C, versus rectam A C, ⁵³ extendantur; D C, quidem oppositum puncto dato A, vsque ad circumferentiam in E; D A, vero oppositum centro C, quantumlibet in F. Clavius made this circle already in the third sentence of the proposition. Deinde centro D, interuallo vero rectæ D E, per C, centrum transeuntis, ⁵⁴ alter circulus describatur E G, secans rectam D F, in G.

51. 1. petit. 52. 1. primi. 53. 2. pet. 54. 3. pet.

次觀甲點、若在丙乙之外。則自甲至丙。作甲丙線。第一求如上前圖。或甲在丙乙之內。則截取甲至丙一分線。如上後圖。兩法俱以甲丙線為底。任於上下作甲丁丙平邊三角形。本篇一。次自三角形兩腰線引長之第二求其丁丙、引至丙乙圜界而止。為丙戊線。其丁甲、引之出丙乙圜外、稍長。為甲己線。 As did Clavius 末以丁為心。戊為界。作丁戊圜。其甲己線、與丁戊圜、相交於庚。

Then, since the point B is the centre of the circle CGH,BC is equal to BG. Again, since the point D is the centre of the circle GKL, DL is equal to DG. And in these DA is equal to DB; therefore the remainder AL is equal to the remainder BG. [C.N. 3] But BC was also proved equal to BG; therefore each of the straight lines AL, BC is equal to BG. And things which are equal to the same thing are also equal to one another; [C.N. 1] therefore AL is also equal to BC.

Dico rectam A G, quæ posita est ad punctum datum A, æqualem esse datæ rectæ B C. Quoniam D E, D G, ductæ sunt ex centro D, ad circumferentiam E G, ⁵⁵ ipsæ inter se æquales erunt: Ablatis igitur D A, D C, æqualibus lateribus trianguli æquilateri A C D, ⁵⁶ remanebit A G, æqualis rectæ C E. Sed eidem C E, ⁵⁷ æqualis est recta B C. (cùm ambæ rectæ C B, C E, cadant ex centro C, ad circumferentiam B E.) Igitur rectæ A G, B C, quandoquidem vtraque æqualis est ostensa rectæ C E, inter se ⁵⁸ æquales erunt. See above

55. 15. def. 56. 3. pron. 57. 15. def. 58. 1. pron.

卽甲庚線、與乙丙線等。論曰。丁戊、丁庚線。同以丁為心。戊、庚、為界。故等。界說十五於丁戊線減丁丙。丁庚線減丁甲。其所減兩腰線等。則所存亦等。公論三夫丙戊、與丙乙。同以丙為心。戊、乙、為界。亦等。界說十五卽甲庚、與丙乙等。公論一。 (p. 二四） See previous Chinese sentence See above

Therefore at the given point A the straight line AL is placed equal to the given straight line BC. (Being) what it was required to do.

Ad datum igitur punctum. &c. quod erat faciendum.
QVOD si punctum datum fuerit in extremo datæ lineæ, quale est C, facilè absoluetur problema. Si enim centro C, & interuallo C B, ⁵⁹ describatur circulus, ad cuius circumferentiam recta ⁶⁰ ducatur vtcunque C E, erit hæc posita ad punctum datum C, ⁶¹ æqualis datæ rectæ B C, cum vtraque & B C, & C E, ex eodem centro egrediatur ad circumferentiam B E.

59. 3. petit 60. 1. pet. 61. 15. def.

若所設甲點。卽在丙乙線之一界。其法尤易。假如點在丙。卽以丙為心。作乙戊圜。從丙至戊、卽所求。

Proposition 3.

PROBL. 3. PROPOS. 3.

第三題

Given two unequal straight lines, to cut off from the greater a straight line equal to the less.

DVABVS datis rectis lineis inæqualibus, de maiore æqualem minori rectam lineam detrahere.

兩直線。一長一短。求於長線、減去短線之度。

Let AB, C be the two given unequal straight lines, and let AB be the greater of them. Thus it is required to cut off from AB the greater a straight line equal to C the less.

SINT duæ rectæ inæquales A, minor, & B C, maior, oporteat que ex maiore B C, detrahere lineam æqualem minori A.

法曰。甲短線。乙丙長線。求於乙丙、減甲。

At the point A let AD be placed equal to the straight line C; [I. 2] and with centre A and distance AD let the circle DEF be described. [Post. 3]

Ad alterutrum extremorum lineæ maioris B C, nempe ad punctum B, ⁶² ponatur aliqua linea, quæ sit B D, æqualis minori A. Deinde centro B, interuallo autem B D, circulus ⁶³ describatur secans B C, in E.

62. 2. primi. 63. 3. petit.

先以甲為度。從乙引至別界。作乙丁線。本篇二次以乙為心。丁為界。作圜。第三求圜界與乙丙、交於戊。

Now, since the point A is the centre of the circle DEF, AE is equal to AD. [Def. 15] But C is also equal to AD. Therefore each of the straight lines AE, C is equal to AD; so that AE is also equal to C. [C.N. 1]

Dico B E, detractam esse æqualem ipsi A. Quoniam B E, ⁶⁴ . æqualis est rectæ B D, & eidem B D, æqualis est recta A, per constructionem; ⁶⁵ erunt A, & B E, inter se æquales. See previous

64. 15. defin 65. 1. pronun.

卽乙戊、與等甲之乙丁等。蓋乙丁、乙戊。同心、同圜故。界說十五。 See previous See previous See previous

Therefore, given the two straight lines AB, C, from AB the greater AE has been cut off equal to C the less. (Being) what it was required to do.

Duabus igitur datis rectis, &c. quod erat faciendum.
QVOD si duæ rectæ datæ coniungantur in vno extremo, quales sunt B D, & B C, coniunctæ in extremo vtriusque B; describendus erit circulus ex B, ad interuallum minoris B D. Hic enim auferet B E, æqualem ipsi B D, vt constat ex definitione circuli.
SCHOLIUM
VARIOS etiam posse casus esse in hoc problemate, nemo ignorat, cum duæ lineæ inæquales datæ vel inter se distent, ita vt neutra alteram contingat, vel non; sed vel coniungantur ad vnum extremum, vel se mutuo secent, vel certè altera alteram suo extremo tangat duntaxat, &c. de quare lege Proclum hoc in loco.

(p. 二五)

Proposition 4.

THEOREMA 1. PROPOS. 4.

第四題

If two triangles have the two sides equal to two sides respectively, and have the angles contained by the equal straight lines equal, they will also have the base equal to the base, the triangle will be equal to the triangle, and the remaining angles will be equal to the remaining angles respectively, namely those which the equal sides subtend.

SI duo triangula duo latera duobus lateribus æqualia habeant, vtrumque vtrique; habeant verò & angulum angulo æqualem sub æqualibus rectis lineis contentum: Et basim basi æqualem habebunt: eritque triangulum triangulo æquale; ac reliqui anguli reliquis angulis æquales erunt, vterque vtrique, sub quibus æqualia latera subtenduntur.

兩三角形。若相當之兩腰線各等。各兩腰線間之角等。則兩底線必等。而兩形亦等。其餘各兩角相當者俱等。

Let ABC, DEF be two triangles having the two sides AB, AC equal to the two sides DE, DF respectively, namely AB to DE and AC to DF, and the angle BAC equal to the angle EDF. I say that the base BC is also equal to the base EF, the triangle ABC will be equal to the triangle DEF, and the remaining angles will be equal to the remaining angles respectively, namely those which the equal sides subtend, that is, the angle ABC to the angle DEF, and the angle ACB to the angle DFE.

SINT duo triangula A B C, D E F, & vnius vtrumque latus A B, A C, æquale sit alterius vtrique lateri D E, D F, hoc est, A B, ipsi D E, & A C, ipsi D F; angulusqúe A, contentus lateribus A B, A C, æqualis angulo D, contento lateribus D E, D F. Dico basim B C, æqualem quoque esse basi E F; & triangulum A B C, triangulo D E F; & vtrumque angulum B, & C, vtrique angulo E, & F, id est, angulos B, & E, qui opponuntur lateribus æqualibus A C, D F, inter se; & angulos C, & F, qui opponuntur æqualibus lateribus A B, D E, inter se quoque esse æquales.

解曰甲乙丙、丁戊己、兩三角形之甲、與丁、兩角等。甲丙、與丁己、兩線。甲乙、與丁戊、兩線。各等。題言乙丙、與戊己、兩底線必等。而兩三角形亦等。甲乙丙、與丁戊己、兩角。甲丙乙、與丁己戊、兩角。俱等。

For, if the triangle ABC be applied to the triangle DEF, and if the point A be placed on the point D and the straight line AB on DE, then the point B will also coincide with E, because AB is equal to DE. Again, AB coinciding with DE, the straight line AC will also coincide with DF, because the angle BAC is equal to the angle EDF; hence the point C will also coincide with the point F, because AC is again equal to DF. But B also coincided with E; hence the base BC will coincide with the base EF. [For if, when B coincides with E and C with F, the base BC does not coincide with the base EF, two straight lines will enclose a space: which is impossible. Therefore the base BC will coincide with EF] and will be equal to it. [C.N. 4] Thus the whole triangle ABC will coincide with the whole triangle DEF, and will be equal to it. And the remaining angles will also coincide with the remaining angles and will be equal to them, the angle ABC to the angle DEF, and the angle ACB to the angle DFE.

Quoniam enim recta A B, rectæ D E, ponitur æqualis, fit, vt si altera alteri superponi intelligatur, collocato puncto A, in puncto D, ⁶⁶ ipsæ sibi mutuo congruant, punctumque B, in punctum E, cadat. Neque enim dicere quis poterit, partem rectæ A B, rectæ D E, congruere, & partem non, quia tunc duæ rectæ haberentidem segmentum commune, ⁶⁷ quod est impossibile. Quod si quis dicat, posito puncto A, in D, cadere quidem punctum B, in E, sed rectam A B, cadere vel ad dextram, vel ad sinistram D E, claudent duæ rectæ lineæ superficiem, ⁶⁸ quod fieri non potest. Quare recta A B, rectæ D E, congruet, vt dictum est. Cum ergo angulus A, angulo D, ponatur æqualis, congruet quoque alter ⁶⁹ alteri, hoc est, recta A C, rectæ D F, congruet, punctumqúe C, in punctum F, cadet, ob æqualitatem rectarum A C, D F. Basis igitur B C, basi E F, congruet quoque: alias si supra caderet, aut infra, vt efficeretur recta E G F, vel E H F, clauderent duæ rectæ E F, E G F; vel E F, E H F, superficiem, (negare enim nemo poterit, tam E G F, quàm E H F, rectam esse, cum vtraque ponatur esse eadem, quæ recta B C.) quod est absurdum. Duæ enim rectæ superficiem ⁷⁰ claudere non possunt. Quocirca ⁷¹ basis B C, basi E F, æqualis erit, cum neutra alteram excedat; & triangulum A B C, triangulo D E F; & angulus B, angulo E; & angulus C, angulo F, æqualis, ob eandem causam, existet.

66. 8 pronun. 67. 10. pronun. 68. 14. pronun. 69. 8. pronun. 70. 14. pronun. 71. 8. pronun.

論曰。如云乙丙、與戊己、不等。卽令將甲角置丁角之上。兩角必相合、無大小。甲丙、與丁己。甲乙、與丁戊。亦必相合，無大小。公論八此二俱等。而云乙丙、與戊己、不等。必乙丙底或在戊己之上、為庚。或在其下、為辛矣。戊己旣為直線而戊庚己又為直線則兩線當別作一形是兩線能相合為形也辛倣此。公論十二此以非為論者。駁論也。下倣此。

Therefore etc. (Being) what it was required to prove.

Quare si duo triangula duo latera duobus lateribus æqualia habeant, &c. Quod demonstrandum erat.
RECTE Euclides duas conditiones posuit in antecedente huius theorematis, quarum prima est, vt duo latera vnius trianguli æqualia sint duobus lateribus alterius trianguli, vtrumque vtrique; Secunda, vt angulus etiam vnius contentus illis lateribus æqualis sit angulo alterius contento lateribus, quæ is iis sunt æqualia. Deficiente enim alterutra harum conditionum, neque bases, neque reliqui anguli poterunt vnquam esse æquales, vt probe hoc loco à Proclo demonstratur: Triangula verò ipsalicet possint esse æqualia, posteriore duntaxat conditione deficiente, vt ex scholio propos, 37. huius liber constabit, tamen rarò admodum illud continget. Sint enim triangulorum A B C, D E F, anguli A, & D, æquales, nempe recti, & latera A B, A C, æqualia lateribus D E, D F, non quidem vtrumque vtrique, sed illa simul sumpta hisce simul sumptis, sitque A B, 3. A C, 4. vt ambo simul efficiant 7. At verò D E, sit 2. & D E, 5. vt ambo quoque simul 7. constituant. Quibus posisitis, erit basis B C, 5, & b isis E F, radix quadrata huius numeri 29. quæ maior quidem est quam 5. minor autem, quam 6. Item area trianguli A B C, erit 6. area verò trianguli D E F, 5. Anguli denique super basim B C, inæquales erunt angulis super basim E F. Quæ quidem omnia ita esse, hic ostenderemus, nisi adeorum demonstrationem requirerentur multa, quæ nondum sunt confirmata. Vides igitur omnia inæqualia esse, propterea quod non vtrumque latus vtrique lateri æquale existit in dictis triangulis A B C, D E F.
RVRSVS triangulorum A B C, D E F, latera A B, A C, æqualia sint lateribus D E, D F, vtrumque vtrique, sitqúe vnumquodque 5. anguli verò A, & D, contenti dictis lateribus inæquales, sitqúe A, maior quam D. Quibus concessis, erit basis B C, maior base E F, vt propositio 24. huius libri ostendetur. Quod si basim B C. ponamus esse 8. basim autem E F, 4. erit area trianguli A B C, 12. area verò trianguli D E F, radix quadrata huius numeri 84. quæ maior quidem est quam 9. minor verò, quam 10. id quod notissimum est Geometris. Vt igitur duorum triangulorum & bases, & anguli, nec non triangula ipsa æqualia inter se sint, necesse est, vt vtrumque latus vnius æquale sit vtrique lateri alterius, & anguli quoque dictis lateribus contenti æquales existant, vt optimè dixit Euclides.

Proposition 5.

THEOR. 2. PROPOS. 5.

第五題

In isosceles triangles the angles at the base are equal to one another, and, if the equal straight lines be produced further, the angles under the base will be equal to one another.

ISOSCELIVM triangulorum, qui ad basim sunt, anguli inter se sunt æquales: Et productis æqualibus rectis lineis, qui sub basi sunt, anguli inter se æquales erunt.

三角形。若兩腰等。則底線兩端之兩角等。而兩腰引出之。其底之外兩角亦等。

Let ABC be an isosceles triangle having the side AB equal to the side AC; and let the straight lines BD, CE be produced further in a straight line with AB, AC. [Post. 2] I say that the angle ABC is equal to the angle ACB, and the angle CBD to the angle BCE.

SIT triangulum Isosceles A B C, in quo latera A B, A C, inter se sint æqualia. Dico angulos A B C, A C B, supra basim B C, æquales inter se esse: Item si latera æqualia A B, A C, producantur quantum libuerit, vsque ad puncta D, & E, angulos quoque D B C, E C B, infra basim eandem B C, esse æquales.

解曰。甲乙丙三角形。其甲丙、與甲乙、兩腰等。題言甲丙乙與甲乙丙兩角等, 又自甲丙線任引至戊, 甲乙線任引至丁, 其乙丙戊與丙乙丁兩外角亦等。

Let a point F be taken at random on BD; from AE the greater let AG be cut off equal to AF the less; [I. 3] and let the straight lines FC, GB be joined. [Post. 1]

Ex linea enim A E, producta infinite abscindatur A F, æqualis ipsi ⁷² A D, & ducantur rectæ B F, C D. Confiderentur deinde duo triangula A B F, A C D.

72. 3 primi.

論曰。試如甲戊線稍長。卽從甲戊截取一分。與甲丁等。為甲己。本篇三次自丙至丁乙至己。各作直線。第一求卽甲己乙、甲丁丙、兩三角形必等。

Then, since AF is equal to AG and AB to AC, the two sides FA, AC are equal to the two sides GA, AB, respectively; and they contain a common angle, the angle FAG. Therefore the base FC is equal to the base GB, and the triangle AFC is equal to the triangle AGB, and the remaining angles will be equal to the remaining angles respectively, namely those which the equal sides subtend, that is, the angle ACF to the angle ABG, and the angle AFC to the angle AGB. [I. 4] And, since the whole AF is equal to the whole AG, and in these AB is equal to AC, the remainder BF is equal to the remainder CG. But FC was also proved equal to GB; therefore the two sides BF, FC are equal to the two sides CG, GB respectively; and the angle BFC is equal to the angle CGB, while the base BC is common to them; therefore the triangle BFC is also equal to the triangle CGB, and the remaining angles will be equal to the remaining angles respectively, namely those which the equal sides subtend; therefore the angle FBC is equal to the angle GCB, and the angle BCF to the angle CBG. Accordingly, since the whole angle ABG was proved equal to the angle ACF, and in these the angle CBG is equal to the angle BCF, the remaining angle ABC is equal to the remaining angle ACB; and they are at the base of the triangle ABC. But the angle FBC was also proved equal to the angle GCB; and they are under the base.

Quia ergo duo latera A B, A F, trianguli A B F, æqualia sunt duobus lateribus A C, A D, trianguli A C D, utrumque utrique, nempe A B, ipsi A C, ex hypothesi, & A F, ipsi A D, ex constructione; angulusque A, contentus lateribus A B, A F, æqualis est angulo A, contento lateribus A C, A D, immo angulus A, communis est utrique triangulo: Erit basis B F, æqualis basi C D; & angulus F, angulo D; & angulus A B F, angulo A C D; cum & priores duo, & posteriores opponantur æqualibus lateribus in dictis triangulis, ut patet. Rursus considerentur duo triangula B D C, C F B. Quoniam vero rectæ A D, A F, æquales sunt, per constructionem, fit ut, si auferantur ex ipsis æquales A B, A C, & reliquæ B D, & C F, sint æquales. Quare duo latera B D, D C, trianguli B D C, æqualia sunt duobus lateribus C F, F B, trianguli C F B, utrumque utrique, videlicet B D, ipsi C F, & D C, ipsi F B, ut probatum est. Sunt autem & anguli D, & F, contenti dictis lateribus æqualibus æquales, ut ostensum etiam fuit. Igitur erit angulus D B C, angulo F C B, æqualis; & angulus B C D, angulo C B F. Tam enim priores duo, quam posteriores, æqualibus opponunturlateribus, existuntque supra communem basim B C, utriusque trianguli B D C, C F B. Quod si ex totis angulis æqualibus A B F, A C D, (quos æquales esse iam demonstrauimus in prioribus triangulis) detrahantur anguli æquales C B F, B C D, (quos itidem in posterioribus triangulis modo probauimus esse æquales) remanebunt anguli A B C, A C B, supra basim B C, æquales. Ostensum est autem in posterioribus triangulis, & angulos D B C, F C B, qui quidem sunt infra eandem basim B C, esse æquales.

論曰。試如甲戊線稍長。卽從甲戊截取一分。與甲丁等。為甲己。本篇三次自丙至丁乙至己。各作直線。第一求卽甲己乙、甲丁丙、兩三角形必等。何者此兩形之甲角同。 . . . . . . . . . . . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Igitur & anguli supra basim inter se, & anguli infra eandem inter se sunt æquales; Ac propterea isoscelium triangulorum, qui ad basim sunt anguli, &c. Quod erat demonstrandum.

. . .

SCHOLION
HÆC propositio vera etiam est in triangulis æquilateris, cum in quolibet reperiantur duo laterainter se æqualia, licet eam Euclides solis isoscelibus triangulis videatur accommodasse. Existentibus enim duobus lateribus A B, A C, trianguli A B C, æqualibus; siue reliquum latus B C, ipsis quoque sit æquale, ut contingit in triangulo æquilatero, siue inæquale, ut in isoscele accidit, necessario consequitur, & angulos supra basim inter se, & angulos infra eandem inter se quoque esse æquales, vt constat ex demonstratione prædicta. Solet autem theorema hoc tyronibus subdifficile, & obscuriusculum videri, propter multitudinem linearum, & angulorum, quibus nondum sunt assueti. Verum tamen, si diligenter theorematis præcedentis uis ac demonstratio ponderetur, non multo labore boc, quod præ manibus babemus, a quolibet percipietur, si modo memor sit, illos angulos triangulorum probari æquales esse in antecedenti theoremate, qui æqualibus lateribus opponuntur. Quod quidem, quoniam Campanus non apposuit, causa fuit, ut confusa esse videatur, & subobscura eius demonstratio.
COROLLARIUM
Ex hac propofitione quinta liquet, omne triangulum æquilaterum esse æquiangulum quoque: Hoc est, tres angulos cuiuslibet trianguli æquilateri esse inter se æquales. Sit enim triangulum æquilaterum A B C. Quoniam igitur duo latera A B, A C, sunt æqualia, erunt duo anguli B, C æquales. Item quia duo latera A B, B C, sunt æqualia, erunt & anguli C, & A, æquales. Quare omnes tres A, B, & C, æquales erunt. Quod ostendendum erat.

Proposition 6.

THEOR. 3. PROPOS. 6.

第六題

If in a triangle two angles be equal to one another, the sides which subtend the equal angles will also be equal to one another.

SI trianguli duo anguli æquales inter se fuerint: & sub æqualibus angulis subtensa latera æqualia inter se erunt.

三角形。若底線兩端之兩角等。則兩腰亦等。

Let ABC be a triangle having the angle ABC equal to the angle ACB; I say that the side AB is also equal to the side AC.

IN triangulo A B C, sint duo anguli A B C, A C B, super latus B C, æquales. Dico duo latera illis opposita A B, A C, esse quoque æqualia.

解曰：甲乙丙三角形。其甲乙丙，與甲丙乙，两角等。題言甲乙，與甲丙，两腰亦等。

For, if AB is unequal to AC, one of them is greater. Let AB be greater; and from AB the greater let DB be cut off equal to AC the less; let DC be joined.

Si enim non credantur æqualia, existentibus nihilominus angulis dictis æqualibus, erit alterum maius altero; sit igitur A B, maius quam A C, si fieri potest: Et ex A B,⁷³ abscindatur in D, recta B D, æqualis rectæ A C, (quæ minor dicitur esse, quam A B,) ducaturque recta C D.

73. 3. primi.

論曰。如云两腰線不等，而一長一短。試辯之。若甲乙為長線。即令比甲丙線截去所長之度，為乙丁線。

Then, since DB is equal to AC, and BC is common, the two sides DB, BC are equal to the two sides AC, CB respectively; and the angle DBC is equal to the angle ACB; therefore the base DC is equal to the base AB, and the triangle DBC will be equal to the triangle ACB, the less to the greater: which is absurd. Therefore AB is not unequal to AC; it is therefore equal to it. Therefore etc.

Considerentur iam duo triangula A C B, D B C. In quibus cum duo latera A C, C B, trianguli A C B, æqualia sint duobus lateribus D B, B C, trianguli D B C, utrumque utrique, nempe A C, ipsi D B, (abscidimus enim ex A B, ipsi A C, concessu aduersarij, æqualem D B,) & C B, ipsi B C, cum sit unum & idem; Sint autem & anguli A C B, D B C, contenti dictis lateribus æquales, per hypothesin: ⁷⁴ Erunt triangula A C B, D B C, æqualia, totum, & pars; quod fieri non potest. Non igitur erunt latera A B, A C, inæqualia, si anguli B, & C, super latus B C, æquales sunt, ne totum parti æquale esse concedamus: sed æqualia existent. Quare si trianguli duo anguli, &c.

74. 4. primi.

而乙丁，與甲丙等本篇三。次自丁至丙作直線。則本形成两三角形。其一為甲乙丙。其一為丁乙丙。而甲乙丙全形，與丁乙丙分形同也。是全與其分等也公論九。何者。彼言丁乙丙分形之乙丁，與甲乙丙全形之甲丙，两線既等。丁乙丙分形之乙丙，與甲乙丙全形之乙丙，又同線。而元設丁乙丙，與甲丙乙，两角等。則丁乙丙，與甲乙丙，两形亦等也本篇四是全與其分等也。故底線两端之两角等者。两腰必等也。

Q. E. D.

Quod demonstrandum erat.

SCHOLION
CONVERTIT hoc theorema primam partem præcedentis. Nam ibi demonstratum est, si duo latera trianguli inter se æqualia fuerint, angulos, qui ad basim sunt, esse quoque æquales: Hic vero, si anguli ad basim sint æquales, latera quoque angulis illis opposita esse æqualia. Non autem mirum alicui debet videri, si Mathematici aliquando conuertunt propositiones, ita ut nunc ex antecedente quopiam concesso colligant per demonstrationem consequens aliquod, nunc vero rursus ex consequente hoc concesso inferant per aliam demonstrationem antecedens illud, ut ab Euclide in hisce duabus proximis propositionibus factum esse conspicimus: Non debet, inquam, videri mirum, quoniam non semper in rebus Mathematicis reciprocantur antecedens & consequens. Nam in propositionibus necessariis, quales sunt propositiones Geometricæ, potest interdum prædicatum esse uniuersalius subiecto, ut cum Dialecticis loquamur. Quare tunc non poterit conuerti propositio. Nam necessaria est hæc propositio; (Omnis homo est animal.) non tamen conuerti potest uniuersaliter, cum non omne animal sit homo. Ita quoque fieri potest in propositionibus Geometricis necessariis: Cuius ego rei vnum duntaxat nunc exemplum tale in medium proferam. Demonstrat Euclides propos. 16. huius lib. Si trianguli cuiusuis vnum latus producatur, angulum externum maiorem esse duobus internis sibi oppositis; In qua quidem propositione nullo modo antecedens, & consequens reciprocantur. Non enim sequitur, si figuræ cuiusuis rectilineæ uno latere producto, angulus externus maior sit singulis internis oppositis, figuram illam esse triangulum, cum possit etiam esse quadrilatera figura, ut ad propositionem 16. huius liber ostendemus. Eodemque modo multæ aliæ propositiones conuerti nequeunt. Quam ob rem necesse est, ut prius demonstret Geometra, propositionem aliquam conuerti, hoc est, antecedens, & consequens illius reciprocari, antequam ex consequente concesso colligat antecedens. Non conuertit autem Euclides omnes propositiones, quæ conuerti possunt, sed eas duntaxat, quarum conuersione maxime indiget: Nos tamen dabimus operam, ut fere omnes illas conuertamus, quæ aliquam videbuntur afferre utilitatem.

COROLLARIUM
SEQVITVR ex hac propositione, omne triangulum æquiangulum, id est, cuius omnes anguli sunt æquales, esse æquilaterum. Quod quidem conuersum est corollarij quintæ propositionis, ut liquet. Sint enim trianguli A B C, tres anguli æquales. Dico ipsum esse æquilaterum. Cum enim duo anguli B, & C, sint æquales, erunt latera A B, A C, æqualia. Rursus cum duo anguli A, & B, sint æquales, erunt quoque latera A C, B C, æqualia, & idcirco omnia tria latera A B, B C, A C, æqualia. Quod ostendendum erat.

EX PROCLO
LICEBIT nobis etiam conuertere secundam partem quintæ propositionis, hoc modo.
SI trianguli cuiuslibet productis duobus lateribus, anguli infra basim fiant æquales, & duo laterailla æqualia inter se erunt.
Trianguli enim A B C, productis lateribus A B, A C, ad D, & E, fiant anguli D B C, E C B, infra basim B C, æquales. Dico latera A B, A C, esse quoque inter se æqualia. Ex C E, quantumlibet producta abscindatur C F, æqualis ipsi B D, & ducantur rectæ B F, F D, D C. Considerentur deinde triangula D B C, F C B. In quibus cum latera D B, B C, æqualia sint lateribus F C, C B, utrumque utrique, nempe D B, ipsi F C, per constructionem, & B C, ipsi C B, quod sit unum & idem: sint autem & anguli D B C, F C B, dictis lateribus contenti æquales, per hypothesim: erunt & bases C D, B F, & anguli B C D, C B F, super has bases, cum opponantur æqualibus lateribus B D, C F, æquales. Ablatis igitur hisce angulis æqualibus B C D, C B F, ex angulis F C B, D B C, per bypothesin, æqualibus; remanebunt anguli F C D, D B F, æquales. Considerentur rursus triangula D B F, F C D. In quibus quoniam latera D B, B F, æqualia sunt lateribus F C, C D, utrumque utrique, nempe D B, ipsi F C, per constructionem, & B F, ipsi C D, ut modo ostensum est; Sunt autem & anguli contenti dictis lateribus D B F, F C D, æquales, ut eiam fuit nuper demonstratum: Erit angulus B D F, super basim D F, trianguli D B F, æqualis angula C F D, super eandem basim F D, trianguli F C D. Hi enim æqualibus lateribus opponuntur. Cum igitur in triangulo A D F, duo anguli A D F, A F D, sint æquales, ut nunc ostendimus, erunt latera A D, A F, æqualia. A quibus si rectæ B D, C F, per constructionem, æquales demantur, remanebunt A B, A C, latera trianguli A B C, æqualia.
Quod erat ostendendum.

Proposition 7.

THEOR. 4. PROPOS. 7.

第七題

Given two straight lines constructed on a straight line (from its extremities) and meeting in a point, there cannot be constructed on the same straight line (from its extremities), and on the same side of it, two other straight lines meeting in another point and equal to the former two respectively, namely each to that which has the same extremity with it.

SVPER eadem recta linea, duabus eisdem rectis lineis aliæ duæ rectæ lineæ æquales, vtraque vtrique, non constituentur, ad aliud atque aliud punctum, ad easdem partes, eosdemque terminos cum duabus initio ductis rectis lineis habentes.

一線為底。出兩腰線。其相遇止有一點。不得別有腰線與元腰線等。而於此點外相遇。

For, if possible, given two straight lines AC, CB constructed on the straight line AB and meeting at the point C, let two other straight lines AD, DB be constructed on the same straight line AB, on the same side of it, meeting in another point D and equal to the former two respectively, namely each to that which has the same extremity with it, so that CA is equal to DA which has the same extremity A with it, and CB to DB which has the same extremity B with it; and let CD be joined.

SVPER recta A B, constituantur ad punctum quoduis C, duæ rectæ lineæ A C, B C. Dico super eandem rectam A B, versus partem eandem C, non posse ad aliud punctum, vt ad D, constitui duas alias rectas lineas, quæ sint æquales lineis A C, B C, vtraque vtrique, nempe A C, ipsi A D, quæ eundem habent terminum A; & B C, ipsi B D, quæ eundem etiam terminum possident B.

. .

Then, since AC is equal to AD, the angle ACD is also equal to the angle ADC; [I. 5] therefore the angle ADC is greater than the angle DCB; therefore the angle CDB is much greater than the angle DCB. Again, since CB is equal to DB, the angle CDB is also equal to the angle DCB. But it was also proved much greater than it: which is impossible.

Sint enim, si fieri potest, rectæ A C, A D, inter se, & rectæ B C, B D, inter se etiam æquales. Aut igitur punctum D, erit in alterutra rectarum A C, B C, ita vt recta A D, in ipsam rectam A C vel B D, in ipsam B C, cadat; aut intra triangulum A B C; aut extra. Sit primo punctum D, in altera rectarum A C, B C, nempe in A C, vt A D, sit pars ipsius A C. Quoniam igitur rectæ A C, A D, eundem terminum A, habentes dicuntur æquales, erit pars A D, toti A C, æqualis. Quod fieri non potest. Sit deinde punctum D, intra triangulum A B C, & ducta recta C D, producantur rectæ B C, B D, vsque ad E, & F. Quoniam igitur in triangulo A C D, ponuntur latera A C, A D, æqualia erunt anguli A C D, A D C, super basim C D, æquales; Est autem angulus A C D, minor angulo D C E; nempe pars toto: Igitur & angulus A D C, minor erit eodem angulo D C E. Quare angulus C D F, pars ipsius A D C, multo minor erit eodem angulo D C E. Rursus, quia in triangulo B C D, latera B C, B D, ponuntur æqualia, erunt anguli C D F, D C E, sub basi C D, æquales. Ostensum autem fuit, quod idem angulus C D F, multo sit minor angulo D C E. Idem ergo angulus C D F, & minor est angulo D C E, & eidem æqualis, quod est absurdum. Sit postremo punctum D, extra triangulum A B C. Aut igitur in tali erit loco, vt vna linea super alteram cadat, vt in priori figura, dummodo loco D, intelligas C, & loco C, ipsum D; ex quo rursus colligetur pars æqualis toti, quod est absurdum. Aut in tali erit loco, vt posteriores duæ lineæ ambiant priores duas, ceu in posteriori figura, si modo loco D, iterum intelligas C, & D, loco C. Quo posito, inidem absurdum incidemus, nempe angulum D C F, & minorem esse angulo C D E, & eidem æqualem, vt perspicuum est. Aut denique punctum D, ita erit extra triangulum A B C, vt altera linearum posteriorum, nempe A D, secet alteram priorum, vt ipsam B C. Ducta igitur recta C D, cum in triangulo A C D, latera A C, A D, ponantur æqualia, erunt anguli A C D, A D C, supra basim C D, æquales: Ac proinde cum angulus A D C, minor sit angulo B D C, pars toto, erit & angulus A C D, minor eodem angulo B D C. Quare multo minor erit angulus B C D, pars anguli A C D, angulo eodem B D C. Rursus, cum in triangulo B D C, latera B C, B D, ponantur æqualia, erunt anguli B C D, B D C, super basim C D, æquales: Est aut etiam ostensum, angulum B C D, multo esse minorem angulo B D C. Idem igitur angulus B C D, & minor est angulo B C D, & eidem æqualis, quod est absurdum. Non ergo æquales sunt inter se A C, A D, & inter se quoque B C, B D.

. . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Quare super eadem recta linea, duabus eisdem rectis lineis, &c. Quod erat demonstrandum.

SCHOLION
FIERI potest, vt duæ lineæ A D, B D, æquales sint duabus A C, B C, vtraque vtrique, vt A D, ipsi B C, & B D, ipsi A C, vt vltima figura indicat. Verum hoc modo non egrediuntur ab eodem puncto lineæ illæ, quæ sunt æquales inter se, vt constat. Solæ enim A C, A D, eundem limitem possident A; Item B C, B D, eundem B; optimeque demonstratum fuit ab Euclide, fieri non posse, vt A C, A D, inter se sint æquales, ita vt B C, B D, quoque inter se æquales existant. Recte igitur in propositione apposita sunt hæc verba: eosdemque terminos cum duabus initio ductis rectis lineis habentes. Rursus possunt esse duæ lineæ simul sumptæ A D, B D, æquales duabus lineis A C, B C, simul sumptis, vt in eadem figura perspici potest: Sed hoc non ostendit Euclides fieri non posse. Dixit enim non posse vtramque vtrique esse æqualem, &c.
Eadem ratione possunt ex A, & B, infra A B, basim trianguli A B C, hoc est, ad contrarias partes, duci duæ lineæ rectæ A D, B D, conuententes ad aliquod punctum, ita vt A D, exiens e puncto A, æqualis sit ipsi A C; & B D, egrediens ex B, æqualis ipsi B C, vt perspicuum est in apposita figura. Non igitur sine causa adiecit Euclides: ad easdem partes. Denique esse poterunt duæ lineæ A C, A D, æquales inter se eundem terminum A, possidentes; Sed hoc posite, fieri nulla ratione poterit, vt reliquæ duæ B C, B D, terminum habentes eundem B, inter se quoque sint æquales, vt in hac figura apparet, & ab Euclide est demonstratum. Apposite igitur dictum est in propositione: duabus eisdem rectis lineis aliæ duæ rectæ lineæ æquales, vtraque vtrique, &c. Quare vt plane scopus Euclidi in hac propositione propositus intelligatur, diligenter singula verba propositionis sunt ponderanda.

. .

Proposition 8.

THEOR. 5. PROPOS. 8.

第八題

If two triangles have the two sides equal to two sides respectively, and have also the base equal to the base, they will also have the angles equal which are contained by the equal straight lines.

SI duo triangula duo latera habuerint duobus lateribus; vtrumque vtrique æqualia, habuerint verò & basim basi æqualem: Angulum quoque sub æqualibus rectis lineis contentum angulo æqualem habebunt.

兩三角形。若相當之兩腰各等。兩底亦等。則兩腰間角必等。

Let ABC, DEF be two triangles having the two sides AB, AC equal to the two sides DE, DF respectively, namely AB to DE, and AC to DF; and let them have the base BC equal to the base EF; I say that the angle BAC is also equal to the angle EDF.

SINT duo latera A B, A C, trianguli A B C, duobus lateribus D E, D F, trianguli D E F, æqualia, vtrumque vtrique, nempe A B, ipsi D E, & A C, ipsi D F; sit autem & basis B C, basi E F, æqualis. Dico angulum A, æqualem esse angulo D, quorum videlicet vterque dictis lateribus continetur.

. . .

For, if the triangle ABC be applied to the triangle DEF, and if the point B be placed on the point E and the straight line BC on EF, the point C will also coincide with F, because BC is equal to EF. Then, BC coinciding with EF, BA, AC will also coincide with ED, DF; for, if the base BC coincides with the base EF, and the sides BA, AC do not coincide with ED, DF but fall beside them as EG, GF, then, given two straight lines constructed on a straight line (from its extremities) and meeting in a point, there will have been constructed on the same straight line (from its extremities), and on the same side of it, two other straight lines meeting in another point and equal to the former two respectively, namely each to that which has the same extremity with it. But they cannot be so constructed. [I. 7] Therefore it is not possible that, if the base BC be applied to the base EF, the sides BA, AC should not coincide with ED, DF; they will therefore coincide, so that the angle BAC will also coincide with the angle EDF, and will be equal to it.

Nam si mente intelligatur basis B C, superponi basi E F, neutra excedet alteram, sed punctum B, congruet puncto E, & punctum C, puncto F, cum hæ bases ponantur æquales inter se. Deinde si triangulum A B C, cogitetur cadere super triangulum D E F, cadet punctum A, aut in ipsum punctum D, aut alio. Si punctum A, in ipsum punctum D, cadat, congruent sibi mutuo triangulorum latera, cum ponantur æqualia; Ac propterea angulus A, æqualis erit angulo D, cum neuter alterum excedat. Quod si punctum A, alio dicatur cadere, ut ad G, quomodocunque id contingat, hoc est, sive in latus E D, sive intra triangulum E D F, sive extra, ut in figuris apparet; erit perpetuo E G, (quæ eadem est, quæ B A,) æqualis ipsi E D; & F G, (quæ eadem est, quæ C A) æqualis ipsi F D, propterea quod latera unius trianguli æqualia ponuntur lateribus alterius. Hoc autem fieri non posse, iamdudum demonstratum est, cum tam rectæ E G, E D, terminum eundem E, quam rectæ F G, F D, eundem limitem F, possideant. Non igitur punctum A, cadet alio quam in punctum D: ac propterea angulus A, angulo D, æqualis erit.

. . . . . . .

If therefore etc. Q. E. D.

Quare si duo triangula duo latera habuerint duobus lateribus, &c. Quod erat demonstrandum.

SCHOLION
VT vides, hæc propositio conuertit primam partem propositionis quartæ. Sicut enim ibi ex æqualitate angulorum, qui lateribus æqualibus continentur, collecta fuit basium æqualitas; ita hic ex æqualitate basium concludit Euclides æqualitatem angulorum, qui lateribus æqualibus comprehenduntur. Possumus eodem modo ex prima, & tertia parte conclusionis quartæ propositionis inferre totum antecedens eiusdem, ita ut theorema proponatur in hanc formam.
SI duo triangula bases habuerint æquales, & angulos super bases constitutos æquales, utrumque utrique: Habebunt quoque reliqua latera æqualia, utrumque utrique, quæ videlicet æqualibus angulis subtenduntur, angulosque reliquos hisce lateribus inclusos æquales.
SIT enim basis B C, æqualis basi E F, & angulus B, angulo E, angulusque C, angulo D F E. Dico latus quoque A B, lateri D E, & latus A C, lateri D F, æquale esse, angulumque A, angulo D. Nam si basis basi superponatur, congruent sibi mutuo extrema earum, nec non & lineæ angulorum æqualium. Quare omnia sibi congruent, proptereaque omnia inter sese æqualia erunt. Verum hoc idem theorema a nobis propositum, quod quidem magis proprie conuertere videtur quartam propositionem, quam illud Euclidis, aliter demonstrabit Euclides in prima parte propositionis 26. ut eo loco monebimus.

COROLLARIUM
PORRO ex antecedente huius octauæ propositionis non solum colligi potest, angulos lateribus æqualibus contentos æquales esse, verum etiam reliquos angulos, qui ad bases constituuntur, utrumque utrique, ut angulum B, angulo E, & angulum C, angulo F; imo totum triangulum toti triangulo, ut constat ex eadem superpositione unius trianguli super alterum. Nam sibi mutuo congruent & dicti anguli, & tota triangula, ut perspicuum est. Quod etiam ex quarta propositio colligi poterit, postquam demonstratum fuerit, angulos æqualibus comprehensos lateribus æquales esse. Inde enim fiet, cum latera quoque sint æqualia, & reliquos angulos, & tota triangula esse æqualia, ut in propositio 4. demonstratum est.

EX PROCLO
PHILONIS familiares conantur hoc idem theorem a octavum ostenduns demonstratione affirmativa, hac ratione. Posito enim eodem antecedente, superponi intelligatur basis B C, basi E F, ita ut triangulum A B C, cadat in diuersas partes, & non super triangulum D E F, quare est triangulum A E F. Aut igitur duo latera, nempe D F, F A, constituunt unam lineam rectam, quod quidem continget, si duo anguli C, & F, recti extiterint; aut non. Si constituant unam lineam rectam, veluti D A, ita propositum concludetur. Quoniam in triangulo A E D, duo latera A E, D E, ponuntur æqualia (est enim nunc A E, recta eadem, quæ A B, quæ per hypothesin rectæ D E, æqualis est) erunt anguli A, & D, super basin A D, æquales, quod erat ostendendum. Si vero neque D E, F A, neque D E, E A, lineam rectam conficiant, ducatur ex D, ad A, linea recta D A, quæ vel cadet intra triangula, vel extra. Cadat primum intra, quod quidem accidet, quando anguli ad E, & F, sunt acuti. Quoniam igitur in triangulo A E D, duo latera A E, D E, æqualia ponuntur, erunt duo anguli E A D, E D A, æquales ad basim D A. Eadem ratione, cum duo latera A F, D F, æqualia sint per hypothesin, erunt duo anguli F A D, F D A, super basin D A, æquales. Si igitur hi æquales illis æqualibus addantur, fient toti anguli E A F, E D F, æquales. Quod erat ostendendum. Cadat deinde recta D A, extra triangula, quod demum fiet, quando anguli ad F, fuerint obtusi. Quoniam igitur in triangulo A E D, duo latera A E, D E, ponuntur æqualia, erunt anguli E A D, E D A, æquales super basin D A. Eadem ratione, cum duo latera A F, D F, in triangulo A F D, sint per hypothesin æqualia, erunt anguli F A D, F D A, super basin D A, æquales. His ergo a prioribus ablatis, remanebunt anguli E A F, E D F, æquales; Quod demonstrandum proponebatur.

. .

Proposition 9.

PROBL. 4. PROPOS. 9.

第九題

To bisect a given rectilineal angle.

DATVM angulum rectilineum bifariam secare.

有直線角, 求兩平分之。

Let the angle BAC be the given rectilineal angle. Thus it is required to bisect it.

SIT diuidendus rectilineus angulus B A C, bifariam, hoc est, in duos angulos æquales.

法曰: 乙甲丙角, 求兩平分之。

Let a point D be taken at random on AB; let AE be cut off from AC equal to AD; [I. 3] let DE be joined, and on DE let the equilateral triangle DEF be constructed; let AF be joined. I say that the angle BAC has been bisected by the straight line AF.

In recta A B, sumatur quodcunque punctum D, &rectæ A D, secetur ex A C, recta A E, ⁷⁵ æqualis, ducaturque recta D E. Deinde super D E, constituatur triangulum æquilaterum D F E, & ⁷⁶ ducatur recta A F, diuidens angulum B A C, in angulos B A F, C A F. Dico hos angulos inter se esse æquales.

75. 3 primi. 76. 1 primi.

先於甲乙線任截一分為甲丁, 本篇三。次於甲丙亦截甲戊與甲丁等, 次自丁至戊作直線, 次以丁戊為底, 立平邊三角形, 本篇一。為丁戊己形, 末自己至甲作直線, 卽乙甲丙角為兩平分。

For, since AD is equal to AE, and AF is common, the two sides DA, AF are equal to the two sides EA, AF respectively. And the base DF is equal to the base EF; therefore the angle DAF is equal to the angle EAF. [I. 8]

Cum enim latera D A, A F, trianguli D A F, æqualia sint lateribus E A, A F, trianguli E A F, utrumque utrique, quod D A, ipsi E A, per constructionem, sit æquale, & A F, commune; Sit autem & basis D F, basi E F, æqualis, propterea quod triangulum D F E, constructum est æquilaterum. Erit angulus D A E, angulo E A F, æqualis,

. . .

Therefore the given rectilineal angle BAC has been bisected by the straight line AF. Q. E. F.

ideoque angulus B A C, diuisus bifariam, quod erat faciendum.

SCHOLION
QUOD si loco trianguli æquilateri construamus triangulum Isosceles, nihilo minus idem demonstrabimus. Id quod etiam in proximis tribus propositionibus, quæ sequuntur, fieri potest.

PRAXIS
DICTO citius angulus quilibet rectilineus, ut B A C, bifariam secabitur, hoc modo. Ex centro A, circino aliquo abscindantur rectæ æquales A D, A E, cuiuscunque magnitudinis. Et circino non variato (posses tamen ipsum variare, si velles) ex centris D, & E, describantur duo arcus secantes sese in F. Recta igitur ducta A F, secabit angulum B A C, bifariam. Si enim ducerentur rectæ D F, E F, essent hæ æquales, nempe semidiametri circulorum æqualium. Unde ut prius demonstrabitur, angulum D A F, æqualem esse angulo E A F. Non descripsimus autem dictas lineas, ut nudæ praxis haberetur. Id quod in aliis quoque praxibus, quoad eius fieri poterit, obseruabimus, ne linearum multitudo tenebras nobis offundat, pariatque confusionem.

SCHOLION
HINC aperte colligitur, angulum rectilineum quemvis diuidi posse etiam in 4. angulos æquales, in 8. in 16. in 32. in 64. & ita deinceps, semper procedendo per augmentum duplex. Nam postquam angulus quilibet rectilineus in duos æquales angulos fuerit diuisus, si horum uterque iterum bifariam secetur, habebimus 4. angulos æquales; Quod si singuli rursus diuidantur bifariam, obtinebimus 8. angulos æquales, & sic deinceps; Non docuit autem Euclides usquam, quanam ratione angulus rectilineus in quotvis partes æquales possit diuidi, quia id a nemine usque ad illum diem fuerat demonstratum. Ex Pappo tamen Alexandrino nos id docebimus, beneficio cuiusdam lineæ curvæ, vel inflexæ, ad finem lib. 6. Interim vero, si quis angulum rectilineum quemcunque propositum in quotvis partes æquales diuidere desideret, rudi, ut dicitur, Minerva, uti eum necesse erit circino, ut quasi attentando, & sæpius repetendo praxim ipsam ad finem desideratum perveniat; hac nimirum ratione. Sit angulus rectilineus B A C, diuidendus in 5. angulos æquales. Ex A, centro describatur arcus circuli B C, ad quodcunque intervallum, secans rectas A B, A C, in B, & C. Deinde hic arcus beneficio circini (eius crura modo dilatando magis, modo restringendo, donec debitam habeant distantiam) diuidatur in tot partes æquales, in quot angulus propositus est diuidendus, ut in exemplo proposito in quinque partes in punctis D, E, F, G. Si namque ad hæc puncta ex A, rectæ ducantur lineæ, diuisus erit angulus B A C, in quinque æquales angulos. Cum enim circino sumpta sint æqualia interualla B D, D E, &c. si ducantur rectæ B D, D E, &c. erunt hæ omnes inter se æquales. Quare erunt duo latera B A, A D, trianguli B A D, æqualia duobus lateribus E A, A D, trianguli E A D, utrumque utrique, cum omnia ex centro egrediantur ad circumferentiam usque. Basis autem B D, basi quoque D E, ut dictum fuit, æqualis est: Angulus igitur B A D, angulo E A D, æqualis existet; Eademque ratione demonstrabitur, angulum E A D, angulo E A F, æqualem esse, & sic de cæteris. Brevius autem colligetur, omnes angulos ad A, esse inter se æquales, ex 27. propositio tertii lib. propterea quod circumferentiæ B D, D E, &c. acceptæ sunt omnes æquales inter sese. Nemo vero miretur, quod praxes exhibeamus interdum, quarum demonstrationes ex sequentibus propositionibus pendent. Hoc enim, ut supra ad defin. 10. diximus, eo consilio facimus, ut quoad eius fieri potest, singula propriis in locis tractentur, diuisio nimirum anguli rectilinei cuiusvis in quotlibet partes æquales eo in loco, in quo Euclides docet diuisionem eiusdem anguli in duas partes æquales. Et diuisio lineæ rectæ in quotuis partes æquales, ubi eandem diuidit Euclides bifariam, & ita de singulis. Neque enim ad praxes huiusmodi requiruntur semper sequentes demonstrationes, sed solum, ut probetur recte esse per ipsas effectum, quod imperabatur. Quamobrem is, qui non contentus nuda praxi demonstrationem requirit, poterit regredi ad praxin quamlibet, postquam demonstrationes ad eam necessarias diligenter perceperit. Nam semper propositiones illas, quæ ad hanc rem debent adhiberi, citabimus in demonstrationibus nostrarum praxium; quemadmodum & in proxima praxi citavimus propositionem 27, tertii libri.

. .

Proposition 10.

PROBL. 5. PROPOS. 10.

第十題

To bisect a given finite straight line.

DATAM rectam lineam finitam bifariam secare.

一有界線。求兩平分之。

Let AB be the given finite straight line. Thus it is required to bisect the finite straight line AB.

SIT recta finita A B, diuidenda bifariam, id est, in duas partes æquales.

. .

Let the equilateral triangle ABC be constructed on it, [I. 1] and let the angle ACB be bisected by the straight line CD; [I. 9] I say that the straight line AB has been bisected at the point D.

Describatur super A B, triangulum æquilaterum A B C, cuius angulus C, per rectam C D, diuidatur bifariam, rectaque C D, rectam A B, secet in D. Dico rectam A B, bifariam esse diuisam in D.

. . .

For, since AC is equal to CB, and CD is common, the two sides AC, CD are equal to the two sides BC, CD respectively; and the angle ACD is equal to the angle BCD; therefore the base AD is equal to the base BD. [I. 4]

Quoniam duo latera A C, C D, trianguli A C D, æqualia sunt duobus lateribus B C, C D, trianguli B C D, utrumque utrique, nempe A C, ipsi B C, cum sint ambo latera trianguli æquilateri, & C D, est commune; Est autem & angulus A C D, angulo B C D, æqualis, per constructionem: Erit basis A D, basi B D, æqualis.

. . .

Therefore the given finite straight line AB has been bisected at D. Q. E. F.

Datam ergo rectam A B, bifariam secuimus in D, quod facere oportebat.

PRAXIS
EX centro A, ad quoduis intervallum, quod tamen dimidium linea A B, excedat, describantur duo arcus, unus superne, alter inferne; Et ex centro B, ad idem intervallum omnino alii duo arcus delinquentur, qui priores secent in C, & D. Recta enim ducta C D, secabit rectam A B, in E, bifariam. Si enim ex A, & B, ad C, & D, ducantur quatuor rectæ, erunt hæ omnes inter se æquales, cum ex centris ad circumferentias æqualium circulorum cadant; Nam arcus circulorum descripti sunt eodem intervallo. Quoniam igitur latera A B, C D, æqualia sunt lateribus B C, C D, utrumque utrique, & basis A D, basi B D, erit angulus A C D, angulo B C D, æqualis. Rursus quia latera A C, C E, æqualia sunt lateribus B C, C E, utrumque utrique, & angulus A C E, angulo B C E, ut ostensum fuit; erit basis A E, basi B E, æqualis.

SCHOLION
PERSPICVVM est, eodem modo dividi posse eandem lineam rectam A B, in 4. partes æquales, & in 8. in 16. in 32. &c. sicuti in propositione præcedenti diximus de diuisione trianguli rectilinei. Qua vero ratione quævis recta linea proposita diuidenda sit in quotcunque partes æquales, uberrime trademus ad propositionem 10. liber 6. ubi varias, & non iniucundas praxes in medium adducemus. Ibi enim videtur esse proprius huic rei locus, cum huiusmodi praxes fere omnes per linearum proportiones facilius demonstrentur. Neque vero unquam indigebimus diuisione lineæ in plures, quam in duas partes æquales, ad eum locum usque.

. .

Proposition 11.

PROBL. 6. PROPOS. 11.

第十一題

To draw a straight line at right angles to a given straight line from a given point on it.

DATA recta linea, a puncto in ea dato, rectam lineam ad angulos rectos excitare.

一直線。任於一點上求作垂線。

Let AB be the given straight line, and C the given point on it. Thus it is required to draw from the point C a straight line at right angles to the straight line AB.

RECTA linea data sit A B; & in ea punctum C, a quo iubemur erigere super A B, lineam ad angulos rectos, seu perpendicularem.

法曰:甲乙直線,任指一點於丙。 .

Let a point D be taken at random on AC; let CE be made equal to CD; [I. 3] on DE let the equilateral triangle FDE be constructed, [I. 1] and let FC be joined; I say that the straight line FC has been drawn at right angles to the given straight line AB from C the given point on it.

A puncto C, sumatur recta C D, cui æqualis auferatur C E. Deinde super D E, constituatur triangulum æquilaterum D E F, atque ex F, ad C, ducatur recta F C, quam dico esse perpendicularem ad A B.

. . . .

For, since DC is equal to CE, and CF is common, the two sides DC, CF are equal to the two sides EC, CF respectively; and the base DF is equal to the base FE; therefore the angle DCF is equal to the angle ECF; [I. 8] and they are adjacent angles. But, when a straight line set up on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is right; [Def. 10] therefore each of the angles DCF, FCE is right.

Quoniam latera D C, C F, trianguli D C F, æqualia sunt lateribus E C, C F, trianguli E C F, utrumque utrique, nempe D C, ipsi E C, per constructionem, & C F, commune; Est vero & basis D F, basi E F, æqualis, ob triangulum æquilaterum: Erunt anguli ad C, contenti dictis lateribus, æquales. Quare dicetur uterque rectus,

. . . . . . .

Therefore the straight line CF has been drawn at right angles to the given straight line AB from the given point C on it. Q. E. F.

atque adeo F C, recta, ad A B, perpendicularis. Data igitur recta linea a puncto in ea dato, &c. Quod faciendum erat.

PRAXIS
EX puncto C, abscindantur utrinque lineæ æquales C D, C E, & ex D, & E, describantur duo arcus secantes sese in F. Recta namque ducta F C, erit perpendicularis. Demonstratio eadem est, quæ Euclidis, si modo ducantur rectæ D F, E F, quæ æquales erunt, propter æquales circulos ex D, & E, descriptos, qui se intersecant in puncto F. Quod si punctum datum in linea recta fuerit extremum, producenda erit linea in rectum & continuum, ad partes puncti dati, ut ex illo erigatur secundum praxim datam linea perpendicularis. Ut si linea data fuerit A C, & punctum datum C, extremum; protrahenda erit A C, in B, & sumendæ æquales C D, C E, &c. Si vero ad aliquam lineam constituenda sit linea perpendicularis, non quidem in puncto assignato, sed utcunque, id efficietur hac methodo. Ex duobus punctis A, & B, quibuscunque lineæ propositæ describantur tam superne, quam inferne duo arcus sese intersecantes in C, & D. Nam recta ducta C D, erit perpendicularis ad A B, hoc est, faciet duos angulos ad E, rectos, seu æquales. Quod non aliter probabis, quam supra praxim, qua lineam in duas æquales diuisimus partes, demonstrauimus. Nam per 4. propos. erunt anguli ad E, æquales, quippe qui super æquales bases A E, B E, consistant, opponanturque æqualibus lateribus A C, B C, quæ ex C, ad puncta A, & B, ducerentur.

EX PROCLO
SI punctum in linea datum fuerit extremum, & linea commods produci nequiuerit, poterimus ex puncto dato educere lineam perpendicularem, linea non producta, hac ratione. Sit recta A B, & punctum A. Ex C, puncto quolibet intra lineam educatur perpendicularis C D, ut docuit Euclides; & abscindatur C E, æqualis ipsi A C: Deinde diuidatur angulus C, bifariam, ducta recta C F: Et ex E, rursus, ut docuit Euclides, educatur E G, perpendicularis ad C D, secans rectam C F, in G. Ducta enim recta G A, perpendicularis erit ad A B. Quoniam eum latera A C, C G, triangula A C G, æqualia sint lateribus E C, C G, trianguli E C G, utrumque utrique, & anguli hisce lateribus contenti æquales quoque, per constructionem: Erunt anguli A, & E, oppositi communi lateri C G, æquales; Sed E, est rectus per constructionem; igitur & A, rectus erit, ideoque A C, ad A B, perpendicularis.

SCHOLION
BREVIVS lineam perpendicularem erigemus ex puncto dato, sive extremum illud sit, sive non, hoc modo. Sit data linea A B, punctumque in ea A. Ex centro C, extra lineam assumpto, ubi libuerit (dummodo recta A B, producta cum ipso non conueniat) interuallo vero accepto usque ad A, describatur arcus circuli secans A B, in D. Et ex D, per C, recta ducatur secans arcum in E. Recta enim ducta E A, erit perpendicularis ad A B. Nam angulus A, est rectus, cum sit in semicirculo D A E, ut ostendemus propositione 31. lib. 3.

. .

Proposition 12.

PROBL. 7. PROPOS. 12.

第十二題

To a given infinite straight line, from a given point which is not on it, to draw a perpendicular straight line.

SVPER datam rectam lineam infinitam, a dato puncto, quod in ea non est, perpendicularem rectam deducere.

有無界直線。線外有一點。求於點上作垂線。至直線上。

Let AB be the given infinite straight line, and C the given point which is not on it; thus it is required to draw to the given infinite straight line AB, from the given point C which is not on it, a perpendicular straight line.

Sit recta A B, interminatæ quantitatis, & extra ipsam punctum C, a quo oporteat lineam perpendicularem deducere ad rectam A B.

For let a point D be taken at random on the other side of the straight line AB, and with centre C and distance CD let the circle EFG be described; [Post. 3] let the straight line EG be bisected at H, [I. 10] and let the straight lines CG, CH, CE be joined. [Post. 1] I say that CH has been drawn perpendicular to the given infinite straight line AB from the given point C which is not on it.

⁷⁷ Centro C, interuallo vero quolibet circulus describatur secans A B, in D, & E. (quoniam interuallum assumptum tantum esse debet, ut transcendat rectam A B; alias eam non secaret.) Diuisa autem recta D E, bifariam in F, ducatur recta C F, quam dico perpendicularem esse ad A B.

77. Clavius ommitts the point on the opposite side of the line, and instead utilizes a random point on the line itself. ()

. . . . .

For, since GH is equal to HE, and HC is common, the two sides GH, HC are equal to the two sides EH, HC respectively; and the base CG is equal to the base CE; therefore the angle CHG is equal to the angle EHC. [I. 8] And they are adjacent angles. But, when a straight line set up on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is right, and the straight line standing on the other is called a perpendicular to that on which it stands. [Def. 10]

Si enim ducantur C D, C E, erunt duo latera D F, F C, trianguli D F C, æqualia duo bus lateribus E F, F C, trianguli E F C, utrumque utrique, per constructionem; est autem & basis C D, basi C E, æqualis, cum hæ sint ex centro C, ad circumferentiam. Quare erit angulus D F C, angulo E F C, æqualis, & propterea uterque rectus.

. . . . . . .

Therefore CH has been drawn perpendicular to the given infinite straight line AB from the given point C which is not on it. Q. E. F.

Ducta est igitur C F, perpendicularis, quod faciendum erat.

SCHOLION
PROBE apposuit Euclides hanc particulam: infinitam. Si enim linea esset infinita, non posset semper a puncto dato extra ipsam perpendicularis ad eam deduci. Ut si linea finita esset B E, & punctum C, non posset ex C, describi circulus secans B E, in duobus punctis, quare neque ex C, perpendicularis duci ad B E. Hac igitur de causa vult Euclides, rectam datam esse infinitam, hoc est, non habere magnitudinem determinatam, ut saltem ad ipsam productam perpendicularis possit deduci. Ita enim fiet hic, si B E, producatur, donec circulus ex C, descriptus secet totam B A, productam in D, & E, &c.

PRAXIS
CENTRO facto C, & interuallo quovis eodem, describantur duo arcus secantes rectam datam in A, & B. Deinde ex A, & B, eodemque interuallo, vel alio, si placuerit, alii duo arcus describantur secantes se in D. Nam ducta recta C D secans A B, in E, erit perpendicularis ad A B. Demonstratio huius operationis non differt a demonstratione tradita in praxi propositionis 10. Nam anguli ad E, erunt recti, nempe inter se æquales.
IDEM officiemus hoc modo. Ex quovis puncto A, in linea data, & interuallo quolibet usque ad C, assumpto, arcus circuli describatur: Deinde ex quolibet alio puncto B, interualloque usque ad idem C, alius arcus describatur priorem secans in C, & D; Eritque recta C D, secans A E, in E, perpendicularis ad A B. Demonstratio eadem est, quæ prior. Non est autem necesse, ut intervallum B C, æquale sit intervallo A C, ut in hac figura apparet. Facilior tamen erit, & breuior operatio, si idem semper intervallum accipiatur.

. .

Proposition 13.

THEOR. 6. PROPOS. 13.

If a straight line set up on a straight line make angles, it will make either two right angles or angles equal to two right angles.

CVM recta linea super rectam consistens lineam angulos facit, aut duos rectos, aut duobus rectis æquales efficiet.

一直線。至他直線上所作兩角。非直角。卽等於兩直角。

For let any straight line AB set up on the straight line CD make the angles CBA, ABD; I say that the angles CBA, ABD are either two right angles or equal to two right angles.

RECTA linea AB, consistens super rectam CD, faciat duos angulos A B C, A B D.

. .

Now, if the angle CBA is equal to the angle ABD, they are two right angles. [Def. 10] But, if not, let BE be drawn from the point B at right angles to CD; [I. 11] therefore the angles CBE, EBD are two right angles. Then, since the angle CBE is equal to the two angles CBA, ABE, let the angle EBD be added to each; therefore the angles CBE, EBD are equal to the three angles CBA, ABE, EBD. [C. N. 2] Again, since the angle DBA is equal to the two angles DBE, EBA, let the angle ABC be added to each; therefore the angles DBA, ABC are equal to the three angles DBE, EBA, ABC. [C. N. 2] But the angles CBE, EBD were also proved equal to the same three angles; and things which are equal to the same thing are also equal to one another; [C. N. 1] therefore the angles CBE, EBD are also equal to the angles DBA, ABC. But the angles CBE, EBD are two right angles; therefore the angles DBA, ABC are also equal to two right angles.

Si igitur A B, fuerit perpendicularis ad C D, erunt dicti 10. def anguli duo recti. Si vero A B, non fuerit perpendicularis, faciet unum quidem angulum obtusum, alterum vero acutum. Dico igitur ipsos duobus esse rectis æquales. Educatur enim B E, ex B, perpendicularis ad C D, ut sint duo anguli E B C, E B D, recti. Quoniam vero angulus rectus E B D, æqualis est duobus angulis D B A, A B E; erunt, apposito communi angulo recto E B C, duo recti E B D, E B C, tribus angulis D B A, A B E, E B C, æquales. Rursus quia angulus A B C, duobus angulis A B E, E B C, æqualis est; apposito communi angulo A B D, erunt duo anguli A B C, A B D, tribus angulis D B A, A B E, E B C, æquales. Sed illis tribus ostensum fuit esse etiam æquales duos rectos E B D, E B C; quæ autem eidem æqualia, inter se sunt æqualia. Duo igitur anguli A B C, A B D, æquales sunt duobus rectis E B D, E B C.

. . . . . . . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Cum ergo recta linea super rectam consistens lineam, &c. Quod ostendere oportebat.

SCHOLION
VIDETVR hæc propositio pendere ex communi quadam animi notione. Quo enim angulus A B C, superat rectum angulum E B C, eo reliquus angulus A B D, superatur ab angulo recto E B D. Nam sicut ibi excessus est angulus A B E, ita hic defectus est idem angulus A B E. Quocirca anguli A B C, A B D, duobus rectis æquales esse convincuntur, siquidem tantum unus eorum supra rectum acquirit, quantum alter deperdit.

. .

Proposition 14.

THEOR. 7. PROPOS. 14.

第十四題

If with any straight line, and at a point on it, two straight lines not lying on the same side make the adjacent angles equal to two right angles, the two straight lines will be in a straight line with one another.

SI ad aliquam rectam lineam, atque ad eius punctum, duæ rectæ lineæ non ad easdem partes ductæ eos, qui sunt deinceps, angulos duobus rectis æquales fecerint; in directum erunt inter se ipsæ rectæ lineæ.

一直線。於線上一點。出不同方兩直線。偕元線、每旁作兩角。若每旁兩角、與兩直角等卽後出兩線、為一直線。

For with any straight line AB, and at the point B on it, let the two straight lines BC, BD not lying on the same side make the adjacent angles ABC, ABD equal to two right angles; I say that BD is in a straight line with CB.

Ad punctum C, lineæ rectæ A B, in diuersas partes eductæ sint duæ rectæ C D, C E, facientes cum A B, duos angulos A C D, A C E, vel rectos, vel duobus rectis æquales. Dico ipsas C D, C E, inter se esse constitutas in directum, ita ut D C E, sit una linea recta.

. .

For, if BD is not in a straight line with BC, let BE be in a straight line with CB. Then, since the straight line AB stands on the straight line CBE, the angles ABC, ABE are equal to two right angles. [I. 13] But the angles ABC, ABD are also equal to two right angles; therefore the angles CBA, ABE are equal to the angles CBA, ABD. [Post. 4 and C.N. 1] Let the angle CBA be subtracted from each; therefore the remaining angle ABE is equal to the remaining angle ABD, [C.N. 3] the less to the greater: which is impossible. Therefore BE is not in a straight line with CB. Similarly we can prove that neither is any other straight line except BD. Therefore CB is in a straight line with BD.

Si enim non est recta D C E; producta D C, ad partes C, in directum, & continuum cadet aut supra C E, ut sit recta D C F, aut infra C E, ut sit recta D C G. Si cadit supra, cum A C, consistat super rectam D C F, fient duo anguli A C D, A C F, duobus rectis æquales; Ponuntur autem & duo anguli A C D, A C E, æquales duobus rectis; & omnes recti sunt inter se æquales. Quare duo anguli A C D, A C F, duobusangulis A C D, A C E, erunt æquales. Ablato igitur cmmuni angulo A C D, remanebunt anguli A C F, A C E, inter se æquales, pars & totum, quod est absurdum. Non igitur recta D C, producta cadet supra C E; Sed neque infra cadet; Eadem enim ratione probarentur anguli A C E, A C G, æquales. Igitur D C, producta eadem efficietur, quæ C E;

. . . . . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

proptereaque, si ad aliquam rectam lineam, atque ad eius punctum, &c. Quod demonstrandum erat.

SCHOLION
EST hæc propositio præcedentis conuersa. In ea enim probatum fuit, si D C E, sit recta, angulos A C D, A C E, duobus esse rectis æquales. In hac vero demonstratum est, si dicti anguli sint duobus rectis æquales, rectas D C, E C, esse unam lineam rectam.

EX PROCLO
RECTE Euclides addidit in propositione hac (& non ad easdem partes.) Quoniam, ut ait Porphyrius, fieri potest, ut ad punctum aliquod lineæ datæ ad easdem partes duæ lineæ ducantur, facientes cum data duos angulos duobus rectis æquales, quæ tamen non constituant unam lineam, eo quod non ad diuersas sint ductæ partes. Sit enim punctum C, in linea A B, datum. Ducatur C D, perpendicularis ad A B, diuidaturque rectus angulus A C D, bifariam per rectam C E. Deinde ex D, quolibet puncto rectæ C D, ducatur D E, perpendicularis ad C D, secans rectam C D, in E. Producta autem E D, ad partes D, sumatur D F, æqualis rectæ D E, & ducatur recta F C. Quoniam igitur latera E D, D C, trianguli E D C, æqualia sunt lateribus F D, D C, trianguli F D C, utrumque utrique, & anguli D, ipsis contenti æquales, nempe recti; erit basis E C, basi C F, æqualis, & angulus E C D, angulo F C D. Sed angulus E C D, dimidium est recti. (Est enim rectus A C D, divisus bifariam.) Igitur & F C D, dimidium erit recti. Quare C F, cum A C, faciet angulum A C F, constantem ex recto, & dimidio recti; Facit autem C E, cum eadem A C, angulum A C E, dimidium etiam recti. Duo igitur anguli A C F, A C E, quos ad easdem partes faciunt rectæ C F, C E, cum A B; æquales sunt duobus rectis; Et tamen C F, C E, non sunt una linea recta, propterea quod non sunt ducta ad diuersas partes, sed ad easdem.

. .

Proposition 15.

THEOR. 8. PROPOS. 15.

第十五題

If two straight lines cut one another, they make the vertical angles equal to one another.

SI duæ rectæ lineæ se mutuo secuerint, angulos ad verticem æquales inter se efficient.

凡兩直線相交作四角。每兩交角必等。

For let the straight lines AB, CD cut one another at the point E; I say that the angle AEC is equal to the angle DEB, and the angle CEB to the angle AED.

Secent se duæ rectæ A B, C D, in puncto E, utcunque. Dico angulos, quos faciunt ad verticem E, inter se esse æquales, angulum videlicet A E D, angulo B E C, & angulum A E C, angulo B E D.

. .

For, since the straight line AE stands on the straight line CD, making the angles CEA, AED, the angles CEA, AED are equal to two right angles [I. 13] Again, since the straight line DE stands on the straight line AB, making the angles AED, DEB, the angles AED, DEB are equal to two right angles. [I. 13] But the angles CEA, AED were also proved equal to two right angles; therefore the angles CEA, AED are equal to the angles AED, DEB. [Post. 4 and C. N. 1] Let the angle AED be subtracted from each; therefore the remaining angle CEA is equal to the remaining angle BED. [C. N. 3] Similarly it can be proved that the angles CEB, DEA are also equal.

Quoniam recta D E, consistit super rectam A B, erunt duo anguli A E D, D E B, æquales duobus rectis. Rursus quia recta B E, super rectam C D, consistit, erunt eadem ratione duo anguli C E B, B E D, duobus rectis æquales. Cum igitur omnes recti anguli inter se sint æquales; erunt duo anguli AED, D E B, duobus angulis D E B, B E C, æquales. Dempto igitur communi angulo D E B, remanebit angulus A E D, angulo B E C, æqualis. Eadem ratione confirmabitur, angulos A E C, B E D, inter se æquales esse. Nam duo anguli A E C, C E B, qui duobus sunt rectis æquales, æquales erunt duobus quoque angulis D E B, B E C, qui duobus rectis sunt æquales. Ablato igitur angulo communi B E C, remanebunt anguli A E C, B E D, æquales inter se.

. . . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D. [Porism. From this it is manifest that, if two straight lines cut one another, they will make the angles at the point of section equal to four right angles.]

Si igitur duæ rectæ lineæ se mutuo secuerint, &c. Quod ostendere oportebat.

COROLLARIUM. I.
EUCLIDES colligit ex demonstratione huius theorematis (ex sententia Procli, quoniam alia exemplaria hoc corollarium non habent) duas lineas rectas se mutuo secantes efficere ad punctum sectionis quatuor angulos quatuor rectis angulis æquales. Nam in demonstratione ostensum fuit, tam duos angulos A E D, D E B, quam duos A E C, C E B, duobus esse rectis æquales, per 13. propos. Omnes igitur quatuor anguli ad E, constituti æquipollent bis duobus rectis angulis. Quare quatuor rectis æquales existunt.

COROLLARIUM. II.
EADEM ratione colligemus, omnes angulos circa unum & idem punctum constitutos, quotcunque fuerint, quatuor duntaxat rectis angulis æquales esse. Si enim ex E, aliæ lineæ quotlibet educantur, diuidentur solummodo illi quatuor anguli ad E, constituti in plurimas partes, quæ omnes simul sumptæ totis suis adæquantur. Cum ergo illi quatuor anguli æquales sint quatuor rectis, ex 1. corollario, erunt quoque omnes alii simul sumpti quatuor tantum rectis æquales. Ex quo perspicuum est, omne spatium punctum aliquod in plano circumstans, æquivalere quatuor rectis angulis, ut multi auctores afferunt: quia omnes anguli, qui circa illud punctum constitui possunt, quatuor sunt rectis angulis æquales. Simili modo constat, quotlibet lineas rectas se inuicem secantes, facere ad punctum sectionis angulos æquales quatuor rectis.

EX PROCLO
SI ad aliquam rectam lineam, ad eiusque signum, duæ rectæ lineæ non ad easdem partes sumptæ, angulos ad verticem æquales fecerint; ipsæ rectæ lineæ in directum sibi inuicem erunt.
EX puncto C, rectæ A B, in diuersas partes egrediantur duæ rectæ C D, C E, facientes angulos A C E, B C D, inter se æquales: Vel etiam duos A C D, B C E. Dico duas C D, C E, efficere unam lineam rectam. Quoniam enim angulus A C E, æqualis est angulo B C D; addito communi angulo B C E, erunt duo anguli A C E, E C B, duobus angulis D C B, B C E, æquales: Sed anguli A C E, E C B, sunt æquales duobus rectis. Igitur & duo D C B, B C E, duobus erunt rectis æquales. Quamobrem C D, C E, erunt linea una recta. Hoc autem, ut vides, conuersum est propositionis decimæquintæ.

EX PELETARIO
SI quatuor rectæ lineæ ab uno puncto exeuntes binos angulos oppositos inter se æquales fecerint, erunt quælibet duæ lineæ aduersæ in rectum sibi, & continuum coniunctæ.
EX puncto A, quatuor lineæ eductæ A B, A C, A D, A E, faciant duos angulos oppositos B A E, C A D, inter se æquales: Item duos B A C, D A E, inter se æquales. Dico tam B A, A D, facere unam lineam rectam, quam C A, A E. Quoniam æquales sunt anguli B A E, C A D, si æquales illis addantur anguli B A C, D A E, erunt duo anguli B A E, B A C, æquales duobus angulis C A D, D A E. Tam ergo illi, quam hi, dimidium sunt quatuor angulorum circa punctum A, consistentium: At hi quatuor æquales sunt quatuor rectis, per 2. coroll. præcedentis propos. Igitur duo anguli B A E, B A C, æquales sunt duobus rectis; atque adeo C A, A E, unam efficient lineam rectam. Eodem pacto ostendetur, duas B A, A D, unam rectam efficere lineam. Nam eadem ratione erunt duo anguli B A E, E A D, æquales duobus angulis D A C, C A B. Quare, ut prius, concludetur propositum. Peletarius autem demonstrat hoc idem ratione ducente ad id, quod fieri nequit. Nos tamen demonstrationem nostram ostensiuam eius demonstrationi iure optimo præposuimus.

. . 一系。推顯兩直線相交。於中點上作四角。與四直角等。
二系一點之上。兩直線相交不論幾許線、幾許角。定與四直角等。公論　\\　十八。
增題一直線內、出不同方兩直線、而所作兩交角等。卽後出兩線、為一直線。

Proposition 16.

THEOR. 9. PROPOS. 16.

第十六題

In any triangle, if one of the sides be produced, the exterior angle is greater than either of the interior and opposite angles.

CVIVSCVNQVE trianguli vno latere producto, externus angulus vtrolibet interno, & opposito, maior est.

凡三角形之外角。必大于相對之各角。

Let ABC be a triangle, and let one side of it BC be produced to D; I say that the exterior angle ACD is greater than either of the interior and opposite angles CBA, BAC.

TRIANGVLI A B C, latus B A, producatur ad D. Dico angulum externum D A C, maiorem esse interno, & opposito A C B, itemque maiorem interno, & opposito A B C.

解曰甲乙丙角形。自乙甲線，引之至丁。題言外角丁甲丙。必大于相對之内角甲乙丙甲丙乙。

Let AC be bisected at E [I. 10], and let BE be joined and produced in a straight line to F; let EF be made equal to BE[I. 3], let FC be joined [Post. 1], and let AC be drawn through to G [Post. 2].

Dividatur ⁷⁸ enim A C, bifariam in E; & ex B, per E, extendatur recta B E F, ita ut E F, ⁷⁹ abscissa sit æqualis rectæ E B; ducaturque recta F A.

78. 10. primi. 79. 3. primi.

論曰。欲顯丁甲丙角，大于甲丙乙角。試以甲丙線兩平分于戊本篇十自乙至戊。作直線，引長之。從戊外截取戊己，與乙戊等本篇三次自甲至己，作直線。

Then, since AE is equal to EC, and BE to EF, the two sides AE, EB are equal to the two sides CE, EF respectively; and the angle AEB is equal to the angle FEC, for they are vertical angles. [I. 15] Therefore the base AB is equal to the base FC, and the triangle ABE is equal to the triangle CFE, and the remaining angles are equal to the remaining angles respectively, namely those which the equal sides subtend; [I. 4] therefore the angle BAE is equal to the angle ECF. But the angle ECD is greater than the angle ECF; [C. N. 5] therefore the angle ACD is greater than the angle BAE. Similarly also, if BC be bisected, the angle BCG, that is, the angle ACD [I. 15], can be proved greater than the angle ABC as well.

Quoniam igitur latera C E, E B, trianguli C E B, æqualia sunt lateribus A E, E F, trianguli A E F, utrumque utrique, per constructionem; Sunt autem & anguli ad E, dictis lateribus comprehensi, ⁸⁰ inter se æquales, cum sint circa verticem E, & oppositi: Erit ⁸¹ basis C B, æqualis basi A F, & angulus E C B, angulo E A F; Est autem angulus D A C, externus maior angulo E A F, totum videlicet parte. Igitur & externus angulus D A C, maior erit interno, & opposito angulo A C B. Quod si latus C A, producatur ad G; & A B, diuidatur bifariam in H; extendaturque recta C H I, ut H I, æqualis sit rectæ H C, & ducatur recta I A: demonstrabitur eadem prorsus ratione, angulum externum G A B, maiorem esse interno angulo, & opposito A B C; Est autem ⁸² angulus D A C, angulo G A B, æqualis, cum lineæ B D, C G, se mutuo secent in A. Igitur & angulus D A C, maior erit interno & opposito angulo A B C. Est autem idem angulus D A C, maior quoque ostensus angulo interno & opposito A C B.

80. 15. primi. 81. 4. primi. 82. 15. primi.

即甲戊己，戊乙丙，兩角形之戊己，與戊乙，兩線等。戊甲與戊丙兩線等。甲戊己，乙戊丙，兩交角又等本篇十五。則甲己與乙丙兩底亦等本篇四兩形之各邊，各角，俱等。而己甲戊，與戊丙乙，兩角亦等矣。夫己甲戊。乃丁甲丙之分。則丁甲丙，大于己甲戊，亦大于相等之戊丙乙。而丁甲丙外角。不大于相對之甲丙乙内角乎。次顯丁甲丙，大于甲乙丙。試自丙甲線，引長之，至庚。次以甲乙線兩平分于辛本篇十。自丙至辛。作直線，引長之。從辛外截取辛壬，與丙辛等本篇三。次自甲至壬，作直線。依前論，推顯甲辛壬，辛丙乙，兩角形之各邊，各角，俱等。則壬甲辛，與辛乙丙，兩角亦等矣。夫壬甲辛。乃庚甲乙之分。必小于庚甲乙也。庚甲乙，又與丁甲丙，兩交角等本篇十五。則甲乙丙内角。不小于丁甲丙外角乎。其餘乙丙上作外角，俱大于相對之内角。

Therefore etc. Q. E. D.

Cuiuscunque ergo trianguli uno latere producto, &c. Quod demonstrandum erat.

SCHOLION
NON dixit Euclides, angulum externum D A C, maiorem esse angulo B A C, interno, qui sibi est deinceps; sed solum magnitudine superare utrumlibet A C B, A B C, internorum, sibique oppositorum: quoniam externus angulus æqualis potest esse angulo interno sibi deinceps, quando scilicet externus rectus est. Tunc enim necessario is, qui sibi est deinceps, rectus quoque erit: Potest & esse minor, quando nimirum est acutus. Hoc enim posito, angulus illi deinceps obtusus erit. Solum ergo, quando obtusus erit externus, superabit internum sibi deinceps; Hic enim necessario acutus existet. Quæ omnia facile colliguntur ex propos. 13. per quam angulus externus, & internus illi deinceps, æquales sunt duobus rectis.
ID vero, quod in scholio propos. 6. huius libri nos demonstraturos recepimus, nimirum hanc propositionem non posse conuerti; cum & uno latere figuræ quadrilateræ producto, externus angulus quolibet interno, & opposito possit esse maior; hac ratione absolvemus.
SIT figura quadrilatera A B C D, cuius angulus B A D, obtusus, & A B C, rectus constituatur, hac tamen lege, ut rectæ A B, D C, productæ ad partes B, & C, in puncto E, nec non & rectæ D A, C B, ad partes A & B, in puncto F, coeant. Dico, si A D, producatur ad G, angulum externum C D G, maiorem esse quolibet tribus internis B A D, A B C, B C D, sibi oppositis. Cum enim A D E, triangulum sit, erit angulus externus E D G, maior interno opposito D A E. Rursus cum D A B, obtusus maior sit recto A B C, maior quoque multo erit E D G, ipso A B C. Postremo, quia & in triangulo C D F, angulus externus C D G, maior est interno, & opposito F C D, manifestum est, in quadrilatero A B C D, externum angulum C D G, maiorem esse internis, & oppositis B A D, A B C, B C D. Quam ob rem propositio hæc 16. conuerti nequit, quippe cum eius antecedens, & consequens non reciprocentur, ut demonstratum est.

EX PROCLO
SEQVITVR ex hac propositione, ab eodem puncto ad unam eandemque lineam rectam non posse duci plures lineas rectas, quam duas inter se æquales. Si enim fieri potest, ducantur ex A, ad lineam B C, tres lineæ rectæ æquales A B, A C, A D. Quoniam igitur latera A B, A C, sunt æqualia, erunt anguli A C B, & A B C, æquales super basim B C. Rursus quia latera A B, A D, sunt æqualia, erunt anguli A D B, & A B D, super basim B D, æquales. Quare cum uterque angulus A C D, & A D B, æqualis sit angulo A B C, erit angulus A D B, æqualis angulo A C D, externus interno opposito, quod est absurdum, cum per hanc 16. propos. externus interno maior sit. Non ergo plures lineæ rectæ, quam duæ, inter se æquales, ex A, ad B C, possunt duci. Quod est propositum.

依此推顯。

Proposition 17.

THEOR. 10. PROPOS. 17.

第十七題

In any triangle two angles taken together in any manner are less than two right angles.

CVIVSCVNQVE trianguli duo anguli duobus rectis sunt minores, omnifariam sumpti.

凡三角形之每兩角。必小於兩直角。

Let ABC be a triangle; I say that two angles of the triangle ABC taken together in any manner are less than two right angles.

Sit triangulum A B C; Dico duos angulos A B C, & A C B, minores esse duobus rectis; Item duos C B A, & C A B; Itemque duos B A C, & B C A.

. .

For let BC be produced to D. [Post. 2] Then, since the angle ACD is an exterior angle of the triangle ABC, it is greater than the interior and opposite angle ABC. [I. 16] Let the angle ACB be added to each; therefore the angles ACD, ACB are greater than the angles ABC, BCA. But the angles ACD, ACB are equal to two right angles. [I. 13] Therefore the angles ABC, BCA are less than two right angles. Similarly we can prove that the angles BAC, ACB are also less than two right angles, and so are the angles CAB, ABC as well.

Producantur enim duo quæuis latera, nempe C B, C A, ad D, & E. Quoniam igitur angulus A B D, externus maior est interno & opposio angulo A C B; si addatur communis angulus A B C, erunt duo anguli A B D, A B C, maiores duobus angulis A B C, A C B: Sed A B D, A B C, æquales sunt duobus rectis. Igitur A B C, A C B, minores sunt duobus rectis. Eadem ratione erunt anguli C B A, & C A B, minores duobus rectis. Item duo B A C, & B C A.

. . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Cuiuscunque igitur trianguli, &c. Quod erat demonstrandum.

EX PROCLO
HINC perspicuum est, ab eodem puncto ad eandem rectam lineam non posse deduci plures lineas perpendiculares, quam unam. Si enim fieri potest, ducantur ex A, ad rectam B C, duæ perpendiculares A B, A C. Erunt igitur in triangulo A B C, duo anguli interni B, & C, duobus rectis æquales, cum sint duo recti, quod est absurdum. Sunt enim quilibet duo anguli in triangulo quocunque ostensi minores duobus rectis. Non ergo plures perpendiculares, quam vna, ex A, ad B C, deduci possunt. Quod est propositum.

COROLLARIVM
CONSTAT etiam ex his, In omni triangulo, cuius unus angulus fuerit rectus, vel obtusus, reliquos esse acutos, ceu monuimus defin. 26. huius lib. Cum enim per hanc propositio duo quilibet anguli sint duobus rectis minores, necesse est, si unus fuerit rectus, vel obtusus, quemcunque reliquorum esse acutum, ne duos angulos in triangulo rectos, aut duobus rectis maiores esse fateamur.

. .

Proposition 18.

THEOR. 11. PROPOS. 18.

第十八題

In any triangle the greater side subtends the greater angle. For let ABC be a triangle having the side AC greater than AB; I say that the angle ABC is also greater than the angle BCA.

OMNIS trianguli maius latus maiorem angulum subtendit. IN triangulo A B C, sit latus A C, maius latere A B. Dico angulum A B C, subtensum a maiori latere A C, maiorem esse angulo A C B, qui a minori latere A B, subtenditur.

凡三角形。大邊對大角。小邊對小角。 . .

For, since AC is greater than AB, let AD be made equal to AB [I. 3], and let BD be joined.

Nam ex A C, auferatur A D, æqualis ipsi A B, & ducatur recta B D.

Then, since the angle ADB is an exterior angle of the triangle BCD, it is greater than the interior and opposite angle DCB. [I. 16] But the angle ADB is equal to the angle ABD, since the side AB is equal to AD; therefore the angle ABD is also greater than the angle ACB; therefore the angle ABC is much greater than the angle ACB.

Quonim igitur duo latera A B, A D, æqualia sunt per constructionem, erunt anguli A B D, A D B, æquales: Est autem angulus A D B, maior angulo A C B. . Igitur & angulus A B D, maior erit angulo A C B.⁸³ Quamobrem cum angulus totus A B C, maior adhuc sit angulo A B D; erit angulus A B C, multo maior angulo A C B. Eadem ratione, si latus A C, maius ponatur latere B C, ostendens angulum A B C, maiorem esse angulo B A C; si nimirum ex C A, abscindatur linea æqualis ipsi C B, &c.

83. Clavius applies the same arguments, arranged in the same order, as Gerardius.

. . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Quare omnis trianguli maius latus maiorem angulum subtendit; Quod demonstrandum erat.

COROLLARIVM
EX hoc sequitur, omnes tres angulos trianguli Scaleni esse inæquales, ut monuimus defin. 15. huius lib. Sit enim triangulum Scalenum A B C, cuius maximum quidem latus A C, minimum autem B C, & medium locum habens A B. Dico eiusdem omnes angulos inæquales esse. Cum enim latus A C, ponatur maius latere A B, erit per hanc propositio angulus B, angulo C, maior. Eadem ratione maior erit angulus C, angulo A, quandoquidem & latus A B, latere B C, maius ponitur. Sunt igitur omnes tres anguli inæquales, maximus quidem B, minimus vero A, & C, medium locum inter utrumque tenens.

. .

Proposition 19.

THEOR. 12. PROPOS. 19.

第十九題

In any triangle the greater angle is subtended by the greater side.

OMNIS trianguli maior angulus maiori lateri subtenditur.

凡三角形。大角對大邊。小角對小邊。

Let ABC be a triangle having the angle ABC greater than the angle BCA; I say that the side AC is also greater than the side AB.

IN triangulo A B C, angulus B, maior sit angulo C. Dico latus A C, subtendens maiorem angulum B, maius esse latere A B, quod angulum minorem C, subtendit.

. .

For, if not, AC is either equal to AB or less. Now AC is not equal to AB; for then the angle ABC would also have been equal to the angle ACB; [I. 5] but it is not; therefore AC is not equal to AB. Neither is AC less than AB, for then the angle ABC would also have been less than the angle ACB; [I. 18] but it is not; therefore AC is not less than AB. And it was proved that it is not equal either. Therefore AC is greater than AB.

Si enim latus A C, maius non est latere A B, erit vel æquale illi, vel minus. Si dicatur A C, æquale esse ipsi A B, erit angulus B, æqualis angulo C; Est autem & maior per hypothesin, quod est absurdum. Si vero A C, minus esse dicatur latere A B, erit angulus B, subtensus a minore latere A C, minor angulo C, subtenso a maiore latere A B; Ponitur autem maior, quod magis est absurdum. Cum igitur A C, latus neque æquale sit lateri A B, neque minus eo, erit maius. Eadem ratione probabitur, latus A C, maius esse latere B C, si angulus B, maior esse concedatur angulo A.

. . . . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Omnis ergo trianguli maior angulus maiori lateri subtenditur; Quod demonstrandum proponebatur.

EX PROCLO
POSSVMVS hoc idem theorema ostendere affirmatiua demonstratione, sine adminiculo præcedentis, si tamen prius demonstretur hoc sequens theorema.
SI trianguli angulus bifariam sectus fuerit, secansque angulum recta linea ad basin ducta in partes inæquales ipsam diuidat; Latera illum angulum continentia inæqualia erunt, & maius quidem illud, quod cum maiori basis segmento coincidit, minus vero, quod cum minori.
TRIANGVLI A B C, angulus B A C, diuidatur bifariam per rectam A D, quæ secet basin B C, in partes inæquales, maiusque segmentum sit D C. Dico latus A C, maius esse latere A B. Producatur enim A D, ad E, ut sit D E, æqualis ipsi A D. Deinde ex maiori segmento D C, auferatur recta D F, æqualis minori segmento D B, & per F, ex E, extendatur recta E F G. Quoniam igitur latera A D, D B, trianguli A D B, æqualia sunt lateribus E D, D F, trianguli E D F, utrumque utrique, per constructionem; sunt autem & anguli A D B, E D F, dictis lateribus contenti æquales: Erunt bases A B, & E F, æquales, & angulo B A D, angulus E F D, æqualis: Est vero & angulus C A D, angulo B A D, æqualis, per hypothesin: Igitur anguli C A D, G E A, trianguli A G E, æquales erunt, ideoque latera A G, E G, æqualia erunt. Est autem recta A C, maior quam A G: quare & A C, maior erit, quam E G. Et quia E G, maior est, quam E F, erit & A C, multo maior, quam E F. Cum igitur demonstratum sit rectam E F; æqualem esse rectæ A B, erit A C, latus maius latere A B, quod erat ostendendum.
HOC ostenso theoremate, ita propositio 19. demonstrabitur. In triangulo A B C, angulus A B C, maior sit angulo C. Dico latus A C, maius esse latere A B. Divia enim recta B C (super quam constituti sunt dicti anguli inæquales) bifariam in D, ex A per D, extendatur recta A D F, ut sit D E, æqualis ipsi A D: ducaturque recta B E. Quoniam igitur latera A D, D C, trianguli A D C, æqualia sunt lateribus E D, D B, trianguli E D B, utrumque utrique, per constructionem, sunt autem & anguli A D C, E D B, dictis comprehensi lateribus æquales: Erunt bases A C, & B E, æquales, angulusque A C D, angulo E B D, æqualis: Et quia angulus A C D, ponitur esse minor angulo A B C, erit & angulus E B D, minor eodem angulo A B C. Ideoque angulus A B E, per rectam B D, diuidetur in partes inæquales. Si igitur bifariam secetur per rectam B F, cadet B F, supra E D, eo quod angulus A B D, maior sit angulo E B D. Quia vero E F, maior est quam E D, & E D, posita est aqualis ipsi A D, erit E F maior quam A D. Sed adhuc A D, maior est quam A F. Multo igitur maior erit E F, quam A F. Itaque quia recta B F, diuidens angulum A B E, bifariam, secat basin A E, inæqualiter in F, estque maius segmentum E F, minus autem A F; erit per theorema a Proclo proxime demonstratum, latus B E, maius latere A B. Ostensum est autem B E, æquale esse lateri A C. Igitur & A C, latus latere A B, maius erit. Quod erat demonstrandum.

SCHOLION
HAEC propositio 19. conuersa est propositionis 18. ut perspicuum est. Campanus autem duarum istarum propositionum ordinem prorsus inuertit, ita ut ea, quæ apud nos est 18. apud ipsum sit 19. & contra. Quarum utramque ostendit ducendo ad id, quod fieri nequit, cum tamen Euclides propositionem 18. directe & ostensiue confirmauerit, ut ex dictis liquido constat.

POTERIMVS quoque theorema a Proclo demonstratum conuertere, hocmodo.
SI trianguli duo latera inæqualia fuerint, linea recta bifariam diuidens angulum ipsis contentum, secabit basin in partes inæquales, maiusque segmentum erit prope maius latus.
DVO latera A B, A C, trianguli A B C, sint inæqualia; A C, maius, & A B, minus. Recta autem A D, diuidens angulum B A C, bifariam, secet basin B C, in D. Dico segmentum D C, maius esse segmento D B. Si enim non est maius, erit vel æquale, vel minus. Si dicatur esse æquale; producatur A D, ad E, ut D E, æqualis sit ipsi D A, ducaturque recta E C. Quoniam igitur latera A D, D B, æqualia sunt lateribus E D, D C, utrumque utrique; A D, videlicet ipsi E D, per constructionem, & D B, ipsi D C, per hypothesin aduersarii. Sunt autem & anguli ad D, dictis lateribus contenti æquales: erit basis A B, basi E C, æqualis & angulo B A D, angulus C E D. Positus autem est & angulo B A D, angulus C A D, æqualis. Igitur & anguli C E D, C A D, æquales erunt. Ideoque latus A C, lateri E C, æquale. Cum igitur ostensum sit, lateri E C, æquale esse quoque latus A B, erunt latera A C, A B, æqualia; quod est absurdum, quia A C, maius ponebatur, quam A B. Non erit igitur segmentum D C, segmento D B, æquale. Quod si D C, dicatur esse minus, & D B, maius; erit per theorema Procli, latus A B, maius latere A C. Ponebatur autem minus, quod multo magis est absurdum. Non igitur minus erit D C, quam D B. Quare erit necessario maius.

EODEM modo demonstrari poterit hoc theorema.
SI trianguli angulum recta linea bifariam diuidens, basin bifariam quoque secet, erunt duo latera angulum continentia inter se æqualia: Quod si latera æqualia fuerint, basin etiam bifariam secabit linea recta, quæ angulum bifariam diuidit.
PRIMO recta A D, secans angulum B A C, bifariam diuidat quoque basin B C, in D, bifariam. Dico latera A B, A C, inter se æqualia esse. Hoc autem demonstrabimus eadem ratione, qua in præcedenti theoremate ostensum fuit, latus A C, æquale esse lateri A B, si D C, segmentum segmento D B, æquale ponatur, dummodo figuram eodem modo construas. Cum enim latera A D, D B, æqualia sint lateribus E D, D C, & anguli ad D, dictis lateribus contenti æquales; erunt bases A B, E C, æquales, & angulus C E D, angulo B A D, hoc est, angulo C A D, æqualis. Quare A C, æquale erit ipsi E C, hoc est, ipsi A B.
SECVNDO sint latera A B, A C, æqualia, & recta A D, secans basin B C, in D, diuidat angulum B A C, bifariam. Dico segmentum D C, æquale esse segmento D B. Cum enim latera A D, A B, æqualia sint lateribus, A D, A C, utrumque utrique, & anguli quoque ad A, contenti dictis lateribus æquales per hypothesim, erunt bases B D, D C, æquales.

. .

Proposition 20.

THEOR. 13. PROPOS. 20.

第二十題

In any triangle two sides taken together in any manner are greater than the remaining one.

OMNIS trianguli duo latera reliquo sunt maiora, quomodocunque assumpta.

凡三角形之兩邊。并之必大於一邊。

For let ABC be a triangle; I say that in the triangle ABC two sides taken together in any manner are greater than the remaining one, namely BA, AC greater than BC, AB, BC greater than AC, BC, CA greater than AB.

SIT triangulum A B C. Dico quælibet eius duo latera,⁸⁴ nempe A B, A C, simul maiora esse reliquo latere B C.

84. See also next record

. . .

For let BA be drawn through to the point D, let DA be made equal to CA, and let DC be joined.

Producatur unum ex illis, ut C A, usque ad D, sitque recta A D, æqualis alteri lateri non producto A B, & ducatur recta D B.

Then, since DA is equal to AC, the angle ADC is also equal to the angle ACD; [I. 5] therefore the angle BCD is greater than the angle ADC. [C.N. 5] And, since DCB is a triangle having the angle BCD greater than the angle BDC, and the greater angle is subtended by the greater side, [I. 19] therefore DB is greater than BC. But DA is equal to AC; therefore BA, AC are greater than BC. Similarly we can prove that AB, BC are also greater than CA, and BC, CA than AB.

Quoniam igitur duo latera A B, A D, æqualia inter se sunt, per hypothesin, erunt anguli A B D, A D B, æquales inter se: Est autem angulo A B D, maior angulus C B D. Igitur & angulus C B D, maior erit angulo A D B. In triangulo ergo C B D, latus C D, oppositum maiori angulo C D B, maius erit latere B C, quod minori angulo C D B, opponitur. Cum igitur duo latera A B, A C, simul æqualia sint ipsi C D, (si enim æqualibus A B, A D, commune addatur A C, fient tota æqualia; nimirum linea composita ex A B, A C, & linea composita ex A D, A C) erunt quoque latera A B, A C, simul maiora latere B C. Eodem modo demonstrabitur, quælibet alia duo latera maiora esse reliquo.

. . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Quare omnis trianguli duo latera reliquo sunt maiora, &c. Quod demonstrandum erat.

EX PROCLO
ALITER hoc theorema a familiaribus Heronis, & Porphyrii demonstratur, nullo latere producto, hac ratione. Sit probandum duo latera A B, A C, trianguli A B C, maiora esse latere B C. Diuidatur angulus B A C, illis lateribus contentus bifariam per rectam A D. Quoniam igitur trianguli C D A, latus C D, protractum est ad B, erit angulus externus B D A, maior interno & opposito C A D. Igitur & maior angulo B A D. Quare in triangulo A B D, latus A B, maiori angulo A D B, oppositum maius erit latere B D, quod minori angulo B A D, opponitur. Eadem ratione ostendetur, latus A C, maius esse quam C D, quia angulus C D A, maior est angulo B A D, hoc est, angulo C A D, &c. Quamobrem duo latera A B, A C, maiora erunt latere B C. Eademque est ratio quorumcunque duorum laterum, si angulus ipsis comprebensus bifariam secetur.

. .

Proposition 21.

THEOR. 14. PROPOS. 21.

第二十一題

If on one of the sides of a triangle, from its extremities, there be constructed two straight lines meeting within the triangle, the straight lines so constructed will be less than the remaining two sides of the triangle, but will contain a greater angle.

SI super trianguli uno latere, ab extremitatibus duæ rectæ lineæ interius constitutæ fuerint; hæ constitutæ reliquis trianguli duobus lateribus minores quidem erunt, maiorem vero angulum continebunt.

凡三角形。於一邊之兩界、出兩線。復作一三角形、在其內。則內形兩腰。幷之必小於相對兩腰。而後兩線所作角。必大於相對角。

On BC, one of the sides of the triangle ABC, from its extremities B, C, let the two straight lines BD, DC be constructed meeting within the triangle; I say that BD, DC are less than the remaining two sides of the triangle BA, AC, but contain an angle BDC greater than the angle BAC.

IN triangulo A B C, super extremitates B, & C, lateris B C, intra triangulum constituantur duæ rectæ lineæ B D, C D, in puncto D, concurrentes. Dico B D, C D, simul minores esse duobus lateribus B A, C A, simul; At vero angulum B D C, maiorem angulo B A C.

. .

For let BD be drawn through to E. Then, since in any triangle two sides are greater than the remaining one, [I. 20] therefore, in the triangle ABE, the two sides AB, AE are greater than BE. Let EC be added to each; therefore BA, AC are greater than BE, EC. Again, since, in the triangle CED, the two sides CE, ED are greater than CD, let DB be added to each; therefore CE, EB are greater than CD, DB. But BA, AC were proved greater than BE, EC; therefore BA, AC are much greater than BD, DC.

Producatur enim altera linearum interiorum, nempe B D, ad punctum E, lateris C A. Quoniam igitur in triangulo B A E, duo latera B A, A F, maiora sunt latere B E, si addatur commune E C, erunt B A, A C, maiora quam B E, E C. Rursus quia in triangulo C E D, duo latera C E, E D, maiora sunt latere C D; si commune apponatur D B, erunt C E, E B, maiora quam C D, D B. Ostensum vero iam fuit, A B, C A, maiora esse quam B E, E C. Multo igitur maiora erunt B A, C A, quam B D, C D, quod primo proponebatur.

. . . . . . . . .

Again, since in any triangle the exterior angle is greater than the interior and opposite angle, [I. 16] therefore, in the triangle CDE, the exterior angle BDC is greater than the angle CED. For the same reason, moreover, in the triangle ABE also, the exterior angle CEB is greater than the angle BAC. But the angle BDC was proved greater than the angle CEB; therefore the angle BDC is much greater than the angle BAC.

Præterea, quoniam angulus B D C, maior est angulo D E C, externus interno; & angulus D E C, angulo B A C, maior quoque est, eandem ob causam: Erit angulus B D C, multo maior angulo B A C; quod secundo proponebatur.

. . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Si igitur super trianguli uno latere, ab extremitatibus, &c. Quod erat ostendendum.

SCHOLION
QVAM recte Euclides dixerit, duas illas lineas intra triangulum constitutas, duci debere ab extremitatibus unius lateris, aperte intelligi potest ex eo, quod mox ex Proclo demonstrabimus; in triangulis videlicet rectangulis, vel etiam amblygoniis, intra triangulum constitui posse duas lineas super unum latus circa angulum rectum, vel obtusum, quarum quidem una ab extremitate dicti lateris, altera vero a quouis puncto prope aliud extremum lateris eiusdem educitur, quæ maiores sint reliquis duobus trianguli lateribus. Item in triangulis scalenis eodem modo super maximum latus duas rectas intra triangulum constitui posse, quæ minorem comprehendant angulum, &c.

EX PROCLO
SIT triangulum habens exempli gratia angulum A B C, obtusum. Dico ab extremo C, & a quouis puncto, nempe a D, prope aliud extremum B, lateris B C, duci posse duas lineas intra triangulum ad aliquod punctum, quæ maiores sint duobus lateribus B A, A C. Ducatur enim recta D A: Et quoniam in triangulo A B D, duo anguli A B D, A D B, minores sunt duobus rectis. Ponitur autem A B D, maior recto, nempe obtusus; erit A D B minor recto, ideoque minor angulo A B D. Quare latus A D, maius erit latere A B. Ex D A, abscindatur recta D E, æqualis rectæ A B. Et reliqua linea A E, bifariam diuidatur in F. Si igitur ab extremo C, ad F, recta dueatur C F, erunt duæ lineæ rectæ constitutæ C F, D F, intra triangulum maiores duobus lateribus B A, A C. Quoniam enim in triangulo A F C, duo latera A F, F C, maiora sunt latere A C. Est autem recta A F, ipsi F E, æqualis, per constructionem; erunt C F, F E, maiores quoque latere C A. Si igitur æqualia addantur E D, & A B, fient rectæ C F, F D, maiores lateribus C A, A B. Quod est propositum. Quod si ad F, ex B, extremo recta duceretur, essent duæ rectæ constitutæ C F, B F, minores duobus lateribus C A, A B, ut Euclides demontrauit.
RVRSVS sit triangulum scalenum A B C, cuius latus maximum B C, minimum A B. Ex B C, auferatur B D, æqualis rectæ A B, & ducatur A D, recta, ad cuius punctum quodlibet, ut ad E, ab extremo C, recta ducatur C E. Constitutæ igitur erunt intra triangulum duæ lineæ C E, D E, quæ minorem angulum comprebendunt eo, quem efficiunt duo latera A B, A C. Cum enim duo tatera B A, B D, æqua lia sint, erunt duo anguli B A D, B D A, æquales: Sed B D A, angulus maior est angulo C E D. Maior igitur erit & angulus B A D, angulo C E D. Quare multo maior erit totus angulus B A C, angulo C E D. Quod est propositum. Recte igitur Euclides monuit, duas lineas intra triangulum constitutas educi debere, ab extremis punctis unius lateris, ut minores quidem sint duob us reliquis trianguli lateribus, maiorem vero complectantur angulum. Alias enim propositio vera non esset, ut iam est demonstratum.

. .

Proposition 22.

PROBL. 8. PROPOS. 22.

第二十二題

Out of three straight lines, which are equal to three given straight lines, to construct a triangle:

EX tribus rectis lineis, quæ sint tribus datis rectis lineis æquales, triangulum constituere.

三直線。求作三角形。

thus it is necessary that two of the straight lines taken together in any manner should be greater than the remaining one. [I. 20]

Oportet autem duas reliqua esse maiores omnifariam sumptas: quoniam vniuscuiusque trianguli duo latera omnifariam sumpta reliquo sunt maiora.

其每兩線幷。大於一線也。

Let the three given straight lines be A, B, C, and of these let two taken together in any manner be greater than the remaining one, namely A, B greater than C, A, C greater than B, and B, C greater than A; thus it is required to construct a triangle out of straight lines equal to A, B, C.

TRES lineæ rectæ datæ sint A, B, & C, quarum quælibet duæ reliqua sint maiores, (Alias ex ipsis non posset constitui triangulum, ut constat ex propositio 20. in qua ostensum fuit, duo quæuis latera trianguli reliquo esse maiora.) oporteatque construere triangulum habens tria latera tribus datis lineis æqualia.

. . .

Let there be set out a straight line DE, terminated at D but of infinite length in the direction of E, and let DF be made equal to A, FG equal to B, and GH equal to C. [I. 3] With centre F and distance FD let the circle DKL be described; again, with centre G and distance GH let the circle KLH be described; and let KF, KG be joined; I say that the triangle KFG has been constructed out of three straight lines equal to A, B, C.

Ex assumpta recta quauis D E, infinitæ magnitudinis abscindatur recta D F, æqualis rectæ A. Et ex reliqua F E, recta F G, æqualis rectæ B; & ex reliqua G E, recta G H, æqualis rectæ C.⁸⁵ Deinde centro F, interuallo vero F D, circulus describatur D I K. Item centro G, interuallo autem G H, alius circulus describatur HIK, qui necessario priorem secabit in punctis I, & K, (cum enim duæ F D, G H, maiores ponantur recta F G; Si ex F E, sumatur recta F L, æqualis ipsi F D: & ex G D, recta G M, æqualis ipsi G H, cadet punctum M, inter L, & D. Si namque M, caderet in L, punctum, essent G L, F L, hoc est, G H, & F D, æquales rectæ F G: Si vero M, caderet inter G, & L, essent eædem duæ F L, G M, hoc est, D F, G H, minores recta F G, quorum utrumque est contra hypothesin. Id quod ex appositis figuris apparet) ex quorum quolibet, nimirum ex K, ducantur ad puncta, F, G, rectæ K F, K G, factumque erit triangulum F G K, cuius latera dico æqualia esse datis rectis A B, & C.

85. See also previous record.

. . . . .

For, since the point F is the centre of the circle DKL, FD is equal to FK. But FD is equal to A; therefore KF is also equal to A. Again, since the point G is the centre of the circle LKH, GH is equal to GK. But GH is equal to C; therefore KG is also equal to C. And FG is also equal to B; therefore the three straight lines KF, FG, GK are equal to the three straight lines A, B, C.

Cum enim recta F K, æqualis sit rectæ F D, & recta A, per constructionem eidem F D, æqualis; erit latus F K, rectæ A, æquale. Rursus quia G K, æqualis est ipsi G H, & recta C, eidem G H; erit quoque latus G K, rectæ C, æquale: Positum autem fuit per constructionem, reliquum latus F G, reliquæ rectæ B, æquale. Omnia igitur tria latera F K, F G, G K, tribus datis rectis A, B, C, æqualia sunt.

. . . . . . . .

Therefore out of the three straight lines KF, FG, GK, which are equal to the three given straight lines A, B, C, the triangle KFG has been constructed. Q. E. F.

Constituimus ergo ex tribus rectis lineis, quæ sunt tribus datis rectis lineis æquales, triangulum: Quod faciendum erat.

PRAXIS
SVMATVR recta D E, æqualis cuicunque rectarum datarum, nempe ipsi B, quam nunc volumus esse basin. Deinde ex D, ad interuallum rectæ A, arcus describatur: Item ex E, ad interuallum rectæ C, alter arcus secans priorem in F. Si igitur ducantur rectæ D F, E F, factum erit triangulum habens tria latera æqualia tribus datis lineis. Erit enim latus D F, æquale rectæ A, propter interuallum ipsius A, assumptum: & latus E F, ipsi C, propter assumptum interuallum C: D E, vero latus, acceptum est rectæ B, æquale, ab initio.

SCHOLION
HAC arte cuicunque triangulo proposito alterum prorsus æquale & quoad latera, angulosque & quoad aream ipsius, constituemus. Sit namque triangulum quodcunque A B C, cui æquale omni ex parte est construendum. Intelligo eius latera, tanquam tres lineas rectas datas A B, B C, C A, quarum quælibet duæ maiores sunt reliqua. Deinde sumo rectam D E, æqualem uni lateri, nempe B C; & ex D, interuallo lateris A B, arcum describo, item alium ex E, interuallo reliqui lateris C A, qui priorem secet in F, &c.

. .

Proposition 23.

PROBL. 9. PROPOS. 23.

第二十三題

On a given straight line and at a point on it to construct a rectilineal angle equal to a given rectilineal angle.

AD datam rectam lineam, datumque; in ea punctum, dato angulo rectilineo æqualem angulum rectilineum constituere.

一直線。任於一點上、求作一角。與所設角等。

Let AB be the given straight line, A the point on it, and the angle DCE the given rectilineal angle; thus it is required to construct on the given straight line AB, and at the point A on it, a rectilineal angle equal to the given rectilineal angle DCE.

DATA recta sit A B, datumque in ea punctum C, & datus angulus D E F. Oportet igitur ad rectam A B, in puncto C, angulum constituere æqualem angulo E.

. .

On the straight lines CD, CE respectively let the points D, E be taken at random; let DE be joined, and out of three straight lines which are equal to the three straight lines CD, DE, CE let the triangle AFG be constructed in such a way that CD is equal to AF, CE to AG, and further DE to FG.

Sumantur in rectis E D, E F, duo puncta utcunque G, H, quæ recta G H, connectantur: Deinde constituatur triangulum C I K, habens tria latera æqualia tribus rectis E G, G H, H E, ita ut C I, æquale sit ipsi E G; & C K, ipsi E H; & I K, ipsi G H. (Quod facile fiet, si C I, sumatur æqualis ipsi E G, & C L, ipsi E H, & I M, ipsi G H. Deinde ex centris C, & I, interuallis vero C L, & I M, circuli describantur secantes sese in K, &c.) Dico angulum C, æqualem esse angulo E.

. . .

Then, since the two sides DC, CE are equal to the two sides FA, AG respectively, and the base DE is equal to the base FG, the angle DCE is equal to the angle FAG. [I. 8]

Quoniam enim duo latera C I, C K, æqualia sunt duobus lateribus E G, E H, utrumque utrique, & basis I K, basi G H, per constructionem; erit angulus C, angulo E, æqualis:

Therefore on the given straight line AB, and at the point A on it, the rectilineal angle FAG has been constructed equal to the given rectilineal angle DCE. Q. E. F.

Effecimus igitur angulum ad C, æqualem angulo F, &c. Quod facere oportebat.

PRAXIS
NON differt huius problematis praxis ab illa, quam in præcedente problemate tradidimus; propterea quod triangulum constituere oportet æquale alteri triangulo, ut angulus dato angulo æqualis exhibeatur, ut perspicuum est. Facilius tamen hac arte problema efficies. Sit linea data A B, punctumque in ea C, & angulus datus E. Centro igitur E, & interuallo quouis arcus describatur G H: Eodemque interuallo ex centro C, arcus describatur I K, sumaturque beneficio circini arcus I K, arcui G H, æqualis. Recta enim ducta C K, faciet angulum ad C, æqualem angulo E. Nam si ducerentur rectæ I K, G H, essent ipsæ æquales, propterea quod circino non variato utramque distantiam I K, G H, accepimus. Cum ergo & duo latera I C, C K, æqualia sint duobus G E, E H, ob æqualia interualla, quibus arcus sunt descripti; erunt anguli I C K, G E H, æquales.

. .

Proposition 24.

THEOR. 15. PROPOS. 24.

第二十四題

If two triangles have the two sides equal to two sides respectively, but have the one of the angles contained by the equal straight lines greater than the other, they will also have the base greater than the base.

SI duo triangula duo latera duobus lateribus æqualia habuerint, utrumque utrique, angulum vero angulo maiorem sub æqualibus rectis lineis contentum: Et basin basi maiorem habebunt.

兩三角形。相當之兩腰、各等。若一形之腰間角大。則底亦大。

Let ABC, DEF be two triangles having the two sides AB, AC equal to the two sides DE, DF respectively, namely AB to DE, and AC to DF, and let the angle at A be greater than the angle at D; I say that the base BC is also greater than the base EF.

DVO latera A B, A C, trianguli A B C, æqualia sint duobus lateribus D E, D F, utrumque utrique, nempe A B, ipsi D E, & A C, ipsi D F; Angulus vero A, maior sit angulo E D F. Dico basin B C, maiorem esse base E F.

. . .

For, since the angle BAC is greater than the angle EDF, let there be constructed, on the straight line DE, and at the point D on it, the angle EDG equal to the angle BAC; [I. 23] let DG be made equal to either of the two straight lines AC, DF, and let EG, FG be joined.

Ad lineam enim D E, ad eiusque punctum D, constituatur angulus E D G, æqualis angulo A; (cadetque recta D G, extra triangulum D E F, cum angulus E D F, minor ponatur angulo A) ponaturque D G, æqualis ipsi D F, hoc est, ipsi A C. Ducta deinde recta E G, cadet ea aut supra rectam E F; aut in ipsam, aut infra ipsam. Cadat primum supra E F, ducaturque recta F G.

. .

Then, since AB is equal to DE, and AC to DG, the two sides BA, AC are equal to the two sides ED, DG, respectively; and the angle BAC is equal to the angle EDG; therefore the base BC is equal to the base EG. [I. 4] Again, since DF is equal to DG, the angle DGF is also equal to the angle DFG; [I. 5] therefore the angle DFG is greater than the angle EGF. Therefore the angle EFG is much greater than the angle EGF. And, since EFG is a triangle having the angle EFG greater than the angle EGF, and the greater angle is subtended by the greater side, [I. 19] the side EG is also greater than EF. But EG is equal to BC. Therefore BC is also greater than EF.

Quia ergo latera A B, A C, æqualia sunt lateribus D E, D G, utrumque utrique, & angulus A, æqualis angulo E D G, per constructionem: Erit basis B C, basi E G, æqualis. Rursus quia duo latera D F, D G, inter se sunt æqualia; erunt anguli D F G, D G F, æquales: Est autem angulus D G F, maior angulo E G F. Igitur & angulus D F G, eodem angulo E G F, maior erit. Quare multo maior erit totus angulus E F G, eodem angulo E G F. In triangulo igitur E F G, maius erit latus E G, latere E F. Est autem ostensum E G, æquale esse ipsi B C. Maior igitur erit quoque B C, quam E F.

. . . . . . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Quod est propositum.
CADAT deinde E G, in ipsam E F. Et quia rursus, ut prius basis E G, æqualis est basi B C: & E G, maior quam E F, quod est propositum.
CADAT tertio E G, infra E F, producanturque rectæ D F, D G, usque ad H, & I, & ducatur recta F G. Erit autem rursus, ut prius basis E G, basi B C, æqualis. Deinde quia duo latera D F, D G, æqualia sunt inter se, per constructionem, erunt anguli G F H, F G I, infra basin F G, æquales: Est autem angulus F G I, maior angulo F G E. Igitur & angulus G F H, eodem angulo F G E, maior erit. Quare multo maior erit totus angulus E F G, eodem angulo F G E. In triangulo ergo E F G, maius erit latus E G, latere E F. Est autem ostensum E G, æquale esse ipsi B C. Maior igitur erit quoque B C, basis basi E F. Si igitur duo triangula duo latera duobus lateribus, &c. Quod erat ostendendum.

SCHOLION
SI quis forte roget, cur in 4. propositione Euclides ex eo, quod duo latera unius trianguli æqualia sint duobus lateribus alterius trianguli, utrumque utrique, & anguli contenti dictis lateribus æquales, concluserit non solum æqualitatem basium, verum etiam triangulorum, & reliquorum angulorum; hic autem ex eo, quod duo latera unius trianguli æqualia sint duobus lateribus alterius trianguli, utrumque utrique, anguli vero lateribus illis comprehensi inæquales, colligat tantum inæqualitatem basium, non autem triangulorum, & reliquorum angulorum: Huic respondendum est, necessario id ab Euclide peritissimo Geometra esse factum. Nam ex antecedente huius theorematis semper consequitur basium inæqualitas, ita ut basis illius trianguli, cuius angulus contentus lateribus assumptis est maior, superet basin alterius, cuius angulus minor existit, ut demonstratum est; non autem necesse est, triangulum illud maius hoc esse. Vt enim clarissime ex Proclo demonstrabimus ad propos. 37. huius primi libri, Triangulum maiorem habens angulum aliquando æquale est triangulo minorem habenti angulum, aliquando vero minus eodem, & aliquando maius. Non igitur potuit in uniuersum inferri, ex eo, quod angulus unius trianguli maior est angulo alterius, triangulum etiam maius esse, cum modo æquale sit, modo minus, & modo maius. Idem dici potest de angulis reliquis. Nam in prima figura huius theorematis angulus A B C, minor est semper angulo D E F; cum angulus D E G, (qui æqualis est per 4. propos. angulo A B C,) minor sit eodem angulo D E F, pars toto. In secunda autem figura, existit quidem angulus A B C, angulo D E F, æqualis, per 4. propos. At vero angulus A C B, minor est angulo D F E, cum angulus D F E, maior sit angulo D G F, externus interno, & opposito; & angulus D G F, æqualis sit angulo A C B. In tertia denique figura angulus A B C, maior quidem est angulo D E F, propterea quod angulus D E G. (æqualis existens per 4. propos. angulo A B C,) maior est eodem angulo D E F, totum parte. Sed angulus A C B, minor est angulo D F E. Nam si recta E F, producatur secans rectam D G, in K, fiet angulus D F E, maior angulo D K E, externus interno; Est autem & angulus D K E, maior adhuc angulo D G E, externus quoque interno, & opposito. Multo igitur mator erit angulus D F E, angulo D G E, qui per 4. propos. æqualis est angulo A C B. Quare neque certi quicquam colligi potuit de inæqualitate reliquorum angulorum, cum modo unus altero sit maior, modo minor, & modo æqualis.

. .

Proposition 25.

THEOR. 16. PROPOS. 25.

第二十五題

If two triangles have the two sides equal to two sides respectively, but have the base greater than the base, they will also have the one of the angles contained by the equal straight lines greater than the other.

SI duo triangula duo latera duobus lateribus æqualia habuerint, utrumque utrique, basin vero basi maiorem: Et angulum sub æqualibus rectis lineis contentum angulo maiorem habebunt.

兩三角形。相當之兩腰各等。若一形之底大、則腰間角亦大。

Let ABC, DEF be two triangles having the two sides AB, AC equal to the two sides DE, DF respectively, namely AB to DE, and AC to DF; and let the base BC be greater than the base EF; I say that the angle BAC is also greater than the angle EDF.

DVO latera A B, A C, trianguli A B C, æqualia sint duobus lateribus D E, D F, trianguli D E F, utrumque utrique, hoc eft, A B, ipsi D E, & A C, ipsi D F; Basis autem B C, maior sit base E F. Dico angulum A, maiorem esse angulo D.

. . . .

For, if not, it is either equal to it or less. Now the angle BAC is not equal to the angle EDF; for then the base BC would also have been equal to the base EF, [I. 4] but it is not; therefore the angle BAC is not equal to the angle EDF. Neither again is the angle BAC less than the angle EDF; for then the base BC would also have been less than the base EF, [I. 24] but it is not; therefore the angle BAC is not less than the angle EDF. But it was proved that it is not equal either; therefore the angle BAC is greater than the angle EDF.

Si enim non est angulus A, maior angulo D, erit vel æqualis, vel minor. Si dicatur esse æqualis, cum etiam duo latera circa A, æqualia sint duobus circa D, utrumque utrique, per hypothesin; erit & basis B C, æqualis basi B F; quod est absurdum; Ponitur enim basis B C, base E F, maior: Si vero angulus A, dicatur esse minor angulo D; erit, propter æqualitatem laterum circa istos angulos, basis E F, maior base B C; quod magis est absurdum, cum E F, ponatur esse minor quam B C. Quare angulus A, cum neque possit æqualis esse angulo D, neque minor, erit maior.

. . . . . . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Si igitur duo triangula duo latera duobus lateribus æqualia habuerint, &c. Quod erat ostendendum.

SCHOLION
THEOREMA hoc conuersum est præcedentis. In eo enim ex maiori angulo demonstratum est, basin illi respondentem esse maiorem: In hoc autem ex maiori basi ostensum fuit, angulum illi respondentem maiorem esse. Differunt autem plurimum hæc duo theoremata, nempe 24. & 25. ab illis, quæ explicata sunt propos. 18, & 19. Nam in 19 demonstratum est, in uno eodemque triangulo maiori angulo maius latus respondere: At in 24. idem ostensum fuit in duobus diuersis triangulis, quorum duo latera unius æqualia sunt duobus lateribus alterius &c. Idemque discrimen reperies inter propos. 18. & 25.
MENELAVS Alexandrinus, ut ait Proclus, demonstrat hoc idem theorema ostensiue, hac ratione. Positis eisdem triangulis, ex base maiore B C, abscindatur recta B G, æqualis basi minori E F. Fiat quoque angulus G B H, æqualis angulo D E F, & sit B H, æqualis ipsi B A, atque adeo ipsi D E. Ducta autem recta linea A H, ducatur quoque recta per G, ex H, secans A C, in I. Quoniam igitur duo latera B A, B H, æqualia sunt, erunt anguli B A H, B H A, æquales. Rursus quia latera B G, B H, æqualia sunt lateribus E F, E D, utrumque utrique, & angulus G B H, æqualis, angulo D E F, per constructionem: erit basis H G, basi D F, atque adeo ipsi A C, æqualis, angulusque G H B, angulo E D F. Et quoniam recta H I, maior est quam H G, quæ est ostensa æqualis ipsi A C, erit quoque maior H I, quam A C: Sed A C, maior est adhuc, quam A I. Multo ergo maior erit H I, quam A I. Quare angulus I A H, maior erit angulo I H A. Additis igitur duobus angulis B A H, B, H A, qui ostensi sunt æquales, fiet totus angulus B A C, toto angulo B H G, maior: Sed angulus B H G, demonstratus fuit æqualis angulo D. Maior igitur etiam erit angulus B A C, angulo D, quod est propositum.
HERON autem idem ex eodem Proclo hoc modo demonstrat. Positis eisdem triangulis, producatur basis minor E F, ad G, ut sit E G, æqualis basi maiori B C. Deinde centro D, interuallo autem D F, describatur circulus, producaturque E D, ad H, in circunferentiam. Quoniam igitur D H, est æqualis ipsi D F, erit quoque D H, æqualis ipsi A C. Additis igitur æqualibus D E, A B, fient A C, A B, simul æquales toti H E: Sed A C, A B, simul maiores sunt, quam B C, atque adeo quam E G. Igitur & H E, maior erit, quam E G; Quare circulus descriptus ex centro E, & interuallo E G, intersecabit rectam E H, atque adeo circumferentiam prioris circuli in I, & K, punctis: ad K, autem ducantur rectæ D K, E K. Et quoniam duo latera A B, A C, æqualia sunt duobus lateribus D E, D K, utrumque utrique, (est enim D K, æquale ipsi D F, per definitionem circuli: D F, autem positum est æquale lateri A C.) & basis B C, basi E K, æqualis: (cum E K, æqualis sit ipsi E G, per definitionem circuli: E G, vero recta per constructionem facta sit æqualis basi B C.) Erit angulus B A C, angulo E D K, æqualis: Sed angulus E D K, maior est angulo E D F. Quare & angulus A, angulo E D F, maior existet. Quod est propositum.

. .

Proposition 26.

THEOR. 17. PROPOS. 26.

第二十六題

If two triangles have the two angles equal to two angles respectively, and one side equal to one side, namely, either the side adjoining the equal angles, or that subtending one of the equal angles, they will also have the remaining sides equal to the remaining sides and the remaining angle to the remaining angle.

SI duo triangula duos angulos duobus angulis æquales habuerint, utrumque utrique, unumque latus uni lateri æquale, siue quod æqualibus adiacet angulis, seu quod uni æqualium angulorum subtenditur: & reliqua latera reliquis lateribus æqualia, utrumque utrique, & reliquum angulum reliquo angulo æqualem habebunt.

二支
兩三角形。有相當之兩角等、及相當之一邊等。則餘兩邊必等。餘一角亦等。其一邊。不論在兩角之內、及一角之對。

Let ABC, DEF be two triangles having the two angles ABC, BCA equal to the two angles DEF, EFD respectively, namely the angle ABC to the angle DEF, and the angle BCA to the angle EFD; and let them also have one side equal to one side, first that adjoining the equal angles, namely BC to EF; I say that they will also have the remaining sides equal to the remaining sides respectively, namely AB to DE and AC to DF, and the remaining angle to the remaining angle, namely the angle BAC to the angle EDF.

SINT duo anguli B, & C, trianguli A B C, æquales duobus angulis E, & E F D, trianguli D E F, uterque utrique, hoc est, B, ipsi E, & C, ipsi E F D; Sitque primo latus B C, quod angulis B, & C, adiacet, lateri E F, quod angulis E, & E F D, adiacet, æquale. Dico, reliqua quoque latera A B, A C, reliquis lateribus D E, D F, æqualia esse, utrumque utrique, hoc est, A B, ipsi D E, & A C, ipsi D F, ea nimirum, quæ æqualibus angulis subtenduntur; reliquumque angulum A, reliquo angulo D.

. . . . .

For, if AB is unequal to DE, one of them is greater. Let AB be greater, and let BG be made equal to DE; and let GC be joined.

Si enim latus A B, non est æquale lateri D E, sit D E, maius, a quo abscindatur recta linea E G, æqualis rectæ lineæ A B, ducaturque recta G F.

. .

Then, since BG is equal to DE, and BC to EF, the two sides GB, BC are equal to the two sides DE, EF respectively; and the angle GBC is equal to the angle DEF; therefore the base GC is equal to the base DF, and the triangle GBC is equal to the triangle DEF, and the remaining angles will be equal to the remaining angles, namely those which the equal sides subtend; [I. 4] therefore the angle GCB is equal to the angle DFE. But the angle DFE is by hypothesis equal to the angle BCA; therefore the angle BCG is equal to the angle BCA, the less to the greater: which is impossible. Therefore AB is not unequal to DE, and is therefore equal to it. But BC is also equal to EF; therefore the two sides AB, BC are equal to the two sides DE, EF respectively, and the angle ABC is equal to the angle DEF; therefore the base AC is equal to the base DF, and the remaining angle BAC is equal to the remaining angle EDF. [I. 4]

Quoniam igitur latera A B, B C, æqualia sunt lateribus G E, E F, utrumque utrique, & anguli B, & E, æquales per hypothesin: Erit angulus C, æqualis angulo E F G. Ponitur autem angulus C, æqualis angulo E F D. Quare & angulus E F G, eidem angulo E F D, æqualis erit, pars toti; Quod est absurdum. Non est igitur latus A B, inæquale lateri D E, sed æquale. Quamobrem, cum latera A B, B C, æqualia sint lateribus D E, E F, utrumque utrique, & anguli contenti B, & E, æquales; erunt & bases A C, D F, & anguli reliqui A, & D, æquales. Quod est propositum.

. . . . . . . . . . . .

Again, let sides subtending equal angles be equal, as AB to DE; I say again that the remaining sides will be equal to the remaining sides, namely AC to DF and BC to EF, and further the remaining angle BAC is equal to the remaining angle EDF.

SINT secundo latera A B, D E, subtendentia æquales angulos C, & E F D, inter se æqualia. Dico rursus reliqua latera B C, C A, reliquis lateribus E F, F D, esse æqualia, utrumque utrique, hoc est, B C, ipsi E F, & C A, ipsi F D; reliquumque angulum A, reliquo angulo D, æqualem.

. . .

For, if BC is unequal to EF, one of them is greater. Let BC be greater, if possible, and let BH be made equal to EF; let AH be joined. Then, since BH is equal to EF, and AB to DE, the two sides AB, BH are equal to the two sides DE, EF respectively, and they contain equal angles; therefore the base AH is equal to the base DF, and the triangle ABH is equal to the triangle DEF, and the remaining angles will be equal to the remaining angles, namely those which the equal sides subtend; [I. 4] therefore the angle BHA is equal to the angle EFD. But the angle EFD is equal to the angle BCA; therefore, in the triangle AHC, the exterior angle BHA is equal to the interior and opposite angle BCA: which is impossible. [I. 16] Therefore BC is not unequal to EF, and is therefore equal to it. But AB is also equal to DE; therefore the two sides AB, BC are equal to the two sides DE, EF respectively, and they contain equal angles; therefore the base AC is equal to the base DF, the triangle ABC equal to the triangle DEF, and the remaining angle BAC equal to the remaining angle EDF. [I. 4]

Si enim latus B C, non est æquale lateri E F, sit E F, maius; ex quo sumatur recta E G, æqualis ipsi B C, ducaturque recta D G. Quoniam igitur latera A B, B C, æqualia sunt lateribus D E, E G, utrumque utrique, & anguli contenti B, & E æquales, per hypothesin; Erit angulus C, angulo E G D, æqualis: Ponitur autem angulus C, angulo E F D, æqualis; Igitur & angulus E G D, angulo eidem E F D, æqualis erit, externus interno, & opposito, quod est absurdum. Est enim maior. Non ergo est latus B C, lateri E F, inæquale. Quocirca, ut prius, colligetur institutum ex 4. propos. huius libri.

. . . . . . . . . . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Si duo igitur triangula duos angulos duobus angulis æquales habuerint, &c. Quod demonstrandum erat.

SCHOLION
PRIOR huius theorematis pars conuersa est 4. propositionis, quoad eam partem, in qua ex æqualitate laterum, & angulorum ipsis contenterum, collecta fuit æqualitas basium, & angulorum super bases. Nam in priori parte huius theorematis ex æqualitate basium B C, E F, & angulorum super has bases, demonstratum est, reliqua latera unius trianguli reliquis lateribus æqualia esse, reliquumque angulum reliquo angulo, &c. Quod quidem alia nos ratione iam demonstrauimus ad propositionem octauam huius liber quem modum eo loco monuimus.

. .

Proposition 27.

THEOR. 18. PROPOS. 27.

第二十七題

If a straight line falling on two straight lines make the alternate angles equal to one another, the straight lines will be parallel to one another.

SI in duas rectas lineas recta incidens linea alternatim angulos æquales inter se fecerit: parallelæ erunt inter se illæ rectæ lineæ.

兩直線。有他直線交加其上若內相對兩角等。卽兩直線必平行。

For let the straight line EF falling on the two straight lines AB, CD make the alternate angles AEF, EFD equal to one another; I say that AB is parallel to CD.

IN duas rectas A B, C D, incidens recta E F, faciat angulos alternatim A G H, D H G, inter se æquales. Dico lineas A B, C D, esse parallelas.

. .

For, if not, AB, CD when produced will meet either in the direction of B, D or towards A, C. Let them be produced and meet, in the direction of B, D, at G. Then, in the triangle GEF, the exterior angle AEF is equal to the interior and opposite angle EFG: which is impossible. [I. 16] Therefore AB, CD when produced will not meet in the direction of B, D. Similarly it can be proved that neither will they meet towards A, C. But straight lines which do not meet in either direction are parallel; [Def. 23] therefore AB is parallel to CD.

Si enim non sunt parallelæ, coibunt tandem, si producantur infinite. Si namque non coirent unquam, parallelæ essent, ex parallelarum definitione. Conueniant ergo ad partes B, & D, in puncto I. Quoniam igitur triangulum est G I H, (cum A B, recta continuata sit, item recta C D, usque ad punctum I,) & angulus A G H, positus est æqualis angulo D H G; erit externus angulus A G H, æqualis interno, & opposito D H G, quod est absurdum; quoniam externus interno maior est. Quod si A B, C D, coire dicantur ad partes A, & C, in puncto K, erit rursus eadem ratione angulus externus D H G, æqualis interno, & opposito A G H, quod est absurdum. Non igitur coibunt lineæ A B, C D. Quare parallelæ erunt. Eodem modo, si ponantur anguli alterni B G H, C H G, æquales, demonstrabitur, lineas A B, C D, esse parallelas.

. . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Si igitur in duas rectas lineas recta incidens, &c. Quod erat ostendendum.

SCHOLION
NECESSE est, ut lineæ, quæ dicuntur parallelæ, in eodem existant plano, ut ex definitione constat: Quare non satis est, duos angulos alternos æquales inter se esse, ut duæ lineæ probentur esse parallelæ, nisi ponatur, eas in uno, eodemque existere plano. Fieri enim potest, ut lineæ rectæ incidens in duas rectas non in eodem plano existentes, faciat alternos angulos æquales. Sit enim C D, perpendicularis ad A B, rectam, quæ in subiecto plano existit; & ex C, in alio plano, ad C D, ducatur alia perpendicularis C E, ita ut punctum E, intelligatur in sublimi. Quo posito, perspicuum est, rectam C D, incidentem in rectas C E, A B, facere duos angulos E C D, A D C, alternos æquales, cum sint recti; & tamen C E, A B, non sunt parallelæ, quod non in eodem existant plano. Non apposuit autem Euclides in propositione hanc conditionem; in eodem plano existentes: sicut neque in subsequentibus; quoniam cum in prioribus sex libris agatur de planis duntaxat, ut supra diximus, omnia intelligenda sunt necessario in eodem plano exsistere. In undecimo vero libro, & aliis, qui ipsum sequuntur, monebit semper, lineas aliquas in eodem esse plano, vel in diuersis planis, quia in illis libris disseritur de solidis, in quibus diuersa plana confiderari possunt. Quod idem dicendum est de punctis exira lineas, & superficies, &c.

. .

Proposition 28.

THEOR. 19. PROPOS. 28.

第二十八題

If a straight line falling on two straight lines make the exterior angle equal to the interior and opposite angle on the same side, or the interior angles on the same side equal to two right angles, the straight lines will be parallel to one another.

SI in duas rectas lineas recta incidens linea externum angulum interno, & opposito, & ad easdem partes, æqualem fecerit; Aut internos, & ad easdem partes duobus rectis æquales: Parallelæ erunt inter se ipsæ rectæ lineæ.

二支
兩直線。有他直線交加其上。若外角、與同方相對之內角等。或同方兩內角、與兩直角等。卽兩直線必平行。

For let the straight line EF falling on the two straight lines AB, CD make the exterior angle EGB equal to the interior and opposite angle GHD, or the interior angles on the same side, namely BGH, GHD, equal to two right angles; I say that AB is parallel to CD.

IN duas rectas A B, C D, recta incidens E F, faciat primo externum angulum E G A, æqualem angulo interno, & opposito ad easdem partes G H C. Dico rectas A B, C D, esse parallelas.

. .

For, since the angle EGB is equal to the angle GHD, while the angle EGB is equal to the angle AGH, [I. 15] the angle AGH is also equal to the angle GHD; and they are alternate; therefore AB is parallel to CD. [I. 27]

Quoniam enim angulo E G A, æqualis ponitur angulus G H C; & eidem angulo E G A, æqualis est angulus H G B; erunt anguli alterni G H C, H G B, æquales. Quare lineæ A B, C D, parallelæ erunt. Idem ostendetur, si angulus externus E G B, æqualis ponatur interno G H D.

. . .

Again, since the angles BGH, GHD are equal to two right angles, and the angles AGH, BGH are also equal to two right angles, [I. 13] the angles AGH, BGH are equal to the angles BGH, GHD. Let the angle BGH be subtracted from each; therefore the remaining angle AGH is equal to the remaining angle GHD; and they are alternate; therefore AB is parallel to CD. [I. 27]

SECVNDO faciat recta E F, angulos internos ex eadem parte, nempe A G H, C H G, duobus rectis æquales. Dico rursus rectas A B, C D, esse parallelas. Quoniam enim anguli A G H, C H G, duobus rectis æquales ponuntur; Sunt autem & anguli A G E, A G H, duobus rectis æquales; Erunt duo anguli A G H, C H G, duobus angulis A G E, A G H, æquales. Ablato igitur communi angulo A G H, remanebit angulus A G E, externus angulo C H G, interno, & opposito ad easdem partes æqualis. Quare ut iam ostensum est, erunt rectæ A B, C D, parallelæ. Idem ostendetur, si duo anguli B G H, D H G, duobus rectis ponantur æquales.

. . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Si igitur in duas rectas lineas recta incidens linea externum angulum, &c. Quod erat demonstrandum.

SCHOLION
IAMDVDVM pronuntiatum undecimum a principiorum numero reieciemus. Cum igitur sequens propositio 29. illi innitatur, ita ut absque eo demonstrari non posse, necesse est, ut illud ex hactenus demonstratis theorematibus, qua ex eo nulla ratione dependent, cum Proclo confirmemus, ut antea polliciti sumus. Hoc autem facile præstabimus, si prius duo explicemus, quorum primum hoc sit.

SI ab uno puncto duæ rectæ lineæ angulum facientes infinite producantur, ipsarum distantia omnem finitam magnitudinem excedet.
EXEANT a puncto A, duæ rectæ A B, A C, facientes angulum A. Quoniam igitur puncta D, & E, plus inter se distant, quam F, & G. Item punctæ B, & C, plus quam D, & E, & ita deinceps, si producantur ultra rectæ lineæ A B, A C, perspicuum est, extrema earum puncta infinito spatio inter se distare, si infinite ipsæ producantur. Si enim non infinito spatio distarent, augeri posset eorum distantia; igitur & lineæ ipsæ ultra produci, quod est absurdum, cum ponantur infinite iam esse productæ. Quare si dictæ lineæ A B, A C, producantur infinite, ipsarum distantia excedet omnem finitam distantiam. Hoc pronunciato usus est & Aristoreles liber I. de cœlo, ubi demonstrauit, mundum non esse infinitum. Secundum quod debes explicari, ita se habet.

SI duarum parallelarum rectarum linearum alteram secet quædam recta linea, reliquam quoque productam secabit.
SINT duæ parallelæ A B, C D, & recta E F, secet ipsam A B, in G. Dico rectam E F, si producatur, secturam esse quoque ipsam C D. Quoniam duæ rectæ G B, G F, in puncto G, angulum faciunt, si producantur infinite, excedent omnem finitam distantiam; igitur & distantiam, qua parallelæ A B, a parallela C D, distat, cum hac distantia sit finita, alias enim non essent lineæ parallelæ. Quare quando distantia G B, a G F, maior iam fuerit ea, quæ inter parallelas est, necesse est rectam G F, productam secuisse rectam C D. Nam quamdiu G F, continebitur inter duas parallelas, minori distantia a G B, remouebitur, quam C D, ab eadem G B, ut constat. His igitur ita expositis, facile demonstrabitur hoc theorema, quod est apud Euclidem, tertium decimum pronunciatum.

SI in duas rectas lineas altera recta incidens internos, ad easdemque partes, angulos duobus rectis minores faciat; Duæ illæ rectæ lineæ infinite productæ sibi mutuo incident ad eas partes, ubi sunt anguli duob rectis minores.
IN rectas A B, C D, incidens recta E F, faciat internos angulos ad partes B, & D, vt B G H, D H G, duobus rectis minores. Dico rectas A B, C D, coire ad easdem partes B, & D. Quoniam enim duo anguli B G H, D H G, minores ponuntur esse duobus rectis: Sunt autem duo anguli D H G, D H F, duobus rectis æquales: Erunt duo anguli D H G, D H F, maiores duobus angulis D H G, B G H. Ablato ergo communi angulo D H G, remanebit angulus D H F, maior angulo B G H. Si igitur ad rectam F G, & ad punctum, G, constituatur angulus K G H, æqualis angulo D H F, cadet G K. supra G B, secabitque producta rectam A B. Quoniam igitur in duas rectas I K, C D, recta incidens E F, facit angulum externum D H F, æqualem interno, & opposito K G H. Erunt rectæ I K, C D, parallelæ. Secat autem recta A B, ipsam I K, in G. Producta igitur secabit quoque ipsam C D, ut demonstratum est. Quare A B, cum C D, conueniet ad partes B, & D, nimirum in puncto L. quod est propositum.
QVAMVIS autem, concesso principio nostro, optime a nobis demonstratum sit tertiumdecimum hoc axioma, & a Proclo etiam, si eius principium difficilius quidem, quam nostrum, admittatur, ut iure optimo inter theoremata, & non inter principia possit connumerari; tamen ne ordinem Euclidis in quoquam immutemus, utemur eo in omnibus propositionibus, quarum demonstrationes ex ipso pendent, tanquam pronunciato, praesertim cum facile ei assensus præberi queat, intellecta prius recte propositione 28. Si enim lineæ rectæ propositæ parallelæ sunt, ita ut nunquam coeant, sed semper æquali inter se distantia progrediantur, etiamsi infinite producantur, quando recta in eas incidens facit duos angulos internos, ad easdem partes duobus rectis æquales, ut demonstratum fuit; quis non videt, si eadem incidens in duas rectas faciat anulos internos, ad easdem partes duobus rectis minores, alteram alteri appropinquare, ad eas partes, ad quas sunt interni anguli duobus rectis minores; quandoquidem æquali distantia procederent, si iidem anguli paulo maiores essent, duobus videlicet rectis æquales, ut hæc propositio 28. demonstrauit?

. .

Proposition 29.

THEOR. 20. PROPOS. 29.

第二十九題三支

A straight line falling on parallel straight lines makes the alternate angles equal to one another, the exterior angle equal to the interior and opposite angle, and the interior angles on the same side equal to two right angles.

IN parallelas rectas lineas recta incidens linea; Et alternatim angulos inter se æquales efficit; & externum interno, & opposito, & ad easdem partes æqualem; & internos, & ad easdem partes, duobus rectis æquales facit.

兩平行線。有他直線交加其上。則內相對兩角、必等。外角與同方相對之內角、亦等。同方兩內角、亦與兩直角等。

For let the straight line EF fall on the parallel straight lines AB, CD; I say that it makes the alternate angles AGH, GHD equal, the exterior angle EGB equal to the interior and opposite angle GHD, and the interior angles on the same side, namely BGH, GHD, equal to two right angles.

IN parallelas A B, C D, recta incidat E F. Dico primum, angulos alternos A G H, D H G, inter se esse æquales.

先解曰。此反前二題。故同前圖。有甲乙、丙丁、二平行線。加他直線戊己。交於庚、於辛。題言甲庚辛、與丁辛庚、內相對兩角必等。

For, if the angle AGH is unequal to the angle GHD, one of them is greater. Let the angle AGH be greater. Let the angle BGH be added to each; therefore the angles AGH, BGH are greater than the angles BGH, GHD. But the angles AGH, BGH are equal to two right angles; [I. 13] therefore the angles BGH, GHD are less than two right angles. But straight lines produced indefinitely from angles less than two right angles meet; [Post. 5] therefore AB, CD, if produced indefinitely, will meet; but they do not meet, because they are by hypothesis parallel. Therefore the angle AGH is not unequal to the angle GHD, and is therefore equal to it. Again, the angle AGH is equal to the angle EGB; [I. 15] therefore the angle EGB is also equal to the angle GHD. [C.N. 1] Let the angle BGH be added to each; therefore the angles EGB, BGH are equal to the angles BGH, GHD. [C.N. 2] But the angles EGB, BGH are equal to two right angles; [I. 13] therefore the angles BGH, GHD are also equal to two right angles.

Si enim non sunt æquales, sit alter, nempe A G H, maior. Quoniam igitur angulus A G H, maior est angulo D H G, si addatur communis angulus BGH; erunt duo A G H, B G H, maiores duobus D H G, B G H: At duo A G H, B G H, æquales sint duobus rectis. duo D H G, B G H, minores sunt duobus rectis. Quare cum sint interni, & ad easdem partes, B, & D, coibunt lineæ A B, C D, ad eas partes, quod est absurdum, cum ponantur esse parallelæ. Non est igitur angulus A G H, maior angulo D H G: Sed neque minor. Eadem enim ratione ostenderetur, rectas coire ad partes A, & C. Igitur æquales erunt anguli alterni A G H, D H G. Eademque est ratio de angulis alternis B G H, C H G. DICO secundo, angulum externum A G E, æqualem esse interno, & ad easdem partes opposito C H G. Quoniam enim angulo B G H, æqualis est alternus C H G, ut ostensum est; & eidem B G H, æqualis est angulus A G E. Erunt anguli A G E, C H G, inter se quoque æquales. Eodem modo demonstrabitur, angulum B G E, æqualem esse angulo D H G. DICO tertio, angulos internos ad easdem partes, A G H, C H G, æquales esse duobus rectis. Quoniam enim ostensum fuit, angulum externum A G E, æqualem esse angulo C H E, interno; si addatur communis A G H, erunt duo A G E, A G H, duobus C H G, A G H, æquales: Sed duo A G E, A G H, æquales sunt duobus rectis. Igitur & duo anguli C H G, A G H, æquales duobus rectis erunr. Eodem modo anguli B G H, D H G, duobus erunt rectis æquales.

論曰。如云不然、而甲庚辛、大於丁辛庚。則丁辛庚、加辛庚乙。宜小於辛庚甲、加辛庚乙矣。公論四夫辛庚甲、辛庚乙。元與兩直角等。本篇十三據如彼論。則丁辛庚、辛庚乙、兩角、小於兩直角。而甲乙、丙丁、兩直線。向乙丁行。必相遇也。公論十一可謂平行線乎。次解曰。戊庚甲外角、與同方相對之庚辛丙內角、等。論曰。乙庚辛、與相對之丙辛庚、兩內角等。本題則乙庚辛交角相等之戊庚甲、本篇十五與丙辛庚、必等。公論一。後解曰。甲庚辛、丙辛庚、兩內角、與兩直角等。
論曰。戊庚甲、與庚辛丙、兩角旣等。本題而每加一甲庚辛角。則庚辛丙、甲庚辛、兩角、與甲庚辛、戊庚甲、兩角、必等。公論二夫甲庚辛、戊庚甲、本與兩直角等。本篇十三則甲庚辛、丙辛庚、兩內角、亦與兩直角等。

Therefore etc. Q. E. D.

In parallelas ergo rectas lineas recta incidens linea, & alternatim angulos, & c. Quod erat demonstrandum.

SCHOLION
CONVERTIT autem hoc præsens theorema duo præcedentia theoremata, ut perspicuum est.

Proposition 30.

THEOR. 21. PROPOS. 30.

第三十題

Straight lines parallel to the same straight line are also parallel to one another.

QVÆ eidem rectæ lineæ parallelæ, & inter se sunt parallelæ.

兩直線。與他直線平行。則元兩線亦平行。

Let each of the straight lines AB, CD be parallel to EF; I say that AB is also parallel to CD.

SINT rectæ A B, C D, eidem rectæ E F, parallelæ. Dico & ipsas A B, C D, esse inter se parallelas.

. .

For let the straight line GK fall upon them;

Quoniam enim omnes hæ lineæ in eodem ponuntur esse plano. (Nam propositio 9. undecimi libri agetur de lineis in diuersis planis) ducta recta G H, secabis omnes, nimirum A B, in I; C D, in K; & E F, in L.

Then, since the straight line GK has fallen on the parallel straight lines AB, EF, the angle AGK is equal to the angle GHF. [I. 29] Again, since the straight line GK has fallen on the parallel straight lines EF, CD,the angle GHF is equal to the angle GKD. [I. 29] But the angle AGK was also proved equal to the angle GHF; therefore the angle AGK is also equal to the angle GKD; [C.N. 1] and they are alternate. Therefore AB is parallel to CD.

Quia igitur A B, ponitur parallela ipsi E F, erit angulus A I L, alterno F L I, æqualis. Rursus quia C D, ponitur etiam parallela ipsi E F, erit angulus D K I, eidem angulo F L I, nempe internus externo, vel externus interno, æqualis. Quare anguli A I L, D K I, æquales inter se quoque erunt. Cum igitur sint alterni, erunt rectæ A B, C D, parallelæ inter se.

. . . . . .

Q. E. D.

Quæ igitur eidem rectæ lineæ parallelæ, & inter se sunt parallelæ. Quod demonstrandum erat.

SCHOLION
QVOD si quis dicat, duas rectas A I, B I, parallelas esse rectæ C D, & tamen ipsas non esse parallelas; Occurrendum est, duas A I, B I, non esse duas lineas, sed partes tantum unius lineæ. Concipiendum enim est animo, quaslibet parallelas infinite esse productas; Constat autem A I, productam coincidere cum B I. Quamobrem quæ eidem rectæ lineæ parallelæ, & inter se sunt parallelæ: vel certe, quando inter se coeunt. Quod ita demonstrabitur. Sint duæ rectæ A B, A C, coeuntes in A, parallelæ ipsi D E. Dico illas in rectum esse constitutas. Ex puncto enim A, ducatur recta A F, secans D E, in F, utcunque. Quoniam igitur A B, D E, sunt parallelæ, erunt anguli alterni B A F, A F E, æquales. Addito ergo communi angulo C A F, erunt duo anguli ad A, æquales duobus angulis C A F, A F E. Sed hi duo æquales sunt duobus rectis, cum sint interni inter duas parallelas A C, D E. Igitur & duo anguli ad A, duobus eruntrectis æquales; ac propterea in rectum erunt constitutæ ipsæ AB, AC. Quod est propositum.

. .

Proposition 31.

PROBL. 10. PROPOS. 31.

第三十一題

Through a given point to draw a straight line parallel to a given straight line.

A dato puncto, datæ rectæ lineæ parallelam rectam lineam ducere.

一點上求作直線、與所設直線平行。

Let A be the given point, and BC the given straight line; thus it is required to draw through the point A a straight line parallel to the straight line BC.

EX puncto A, ducenda sit linea parallela lineæ B C.

. .

Let a point D be taken at random on BC, and let AD be joined; on the straight line DA, and at the point A on it, let the angle DAE be constructed equal to the angle ADC [I. 23]; and let the straight line AF be produced in a straight line with EA.

Ducatur ex A, ad B C, linea A D, utcunque, faciens angulum quemcunque A D B; Cui ad A, æqualis constituatur E A D. Dico rectam E A, extensam ad F, quantumlibet, parallelam esse ipsi B C.

. . .

Then, since the straight line AD falling on the two straight lines BC, EF has made the alternate angles EAD, ADC equal to one another, therefore EAF is parallel to BC. [I. 27]

Cum enim anguli alterni A B D, D A E, æquales sint, per constructionem, erunt rectæ B C, E F, parallelæ.

Therefore through the given point A the straight line EAF has been drawn parallel to the given straight line BC. Q. E. F.

A dato igitur puncto, datæ rectæ lineæ, &c. Quod erat faciendum.

SCHOLION
DEBET autem punctum datum in tali esse loco situm extra lineam datam, ut hæc producta cum illo non conueniat. Quod quidem aperte colligitur ex ipsa constructione problematis. Nam ex puncto dato ducenda est linea faciens angulum aliquem cum linea data, qui fieri non posset, si punctum in directum iaceret cum ipsa linea data. Quemadmodum autem ab uno, eodemque puncto ad eandem rectam non plures perpendiculares, quam una, ducuntur, ut ostendimus propositio 17. ex Proclo; ita etiam per idem punctum, datæ rectæ plures parallelæ, quam una, duci nequeunt. Si enim duæ ducerentur, conuenirent ipsæ in puncto illo eodem, quod est absurdum, cum sint parallelæ inter se, propterea quod uni & eidem, cui parallelæ dicuntur duci, sunt parallelæ.
EX hoc porro problemate, & illo, quod propositio 23. continetur, facili negotio constituemus parallelogrammum, cuius unus angulorum æqualis sit dato angulo rectilineo, lateraque angulum illum comprehendentia datis duabus rectis lineis æqualia.
SINT enim datæ rectæ A B, oporteatque constituere parallelogrammum habens angulum æqualem dato angulo rectilineo C, lateraque circa illum angulum rectis A B, æqualia. Sumpta recta D E, quæ rectæ A, sit æqualis, fiat angulus E D F, angulo C, & recta D F, rectæ B, æqualis. Deinde per E, agatur recta E G, ipsi D F, parallela, & per F, recta F G, ipsi D E, parallela secans E G, in G. Quoniam ergo & latera D F, E G, & D E, F G, parallela sunt, ex constructione; parallelogrammum erit D E G F. Quod cum ex constructione, habeat angulum D, angulo dato C, æqualem, & latera D E, D F, circa dictum angulum D, datis rectis A, B, æqualia; factum erit, quod proponitur.

PRAXIS
SIT ducenda parallela ipsi B C, per punctum A. Ducatur recta A D, utcunque ad B C, & ex D, & A, ad idem interuallum quodlibet describantur duo arcus ad diuersas partes, unus ad partes B, alter ad partes C. Deinde beneficio circini arcui E F, abscindatur ex arcu altero arcus G H, æqualis. Si igitur ex A, per H, recta ducatur, erit hæc parallela ipsi B C. Nam anguli EDF, HAG, sunt æquales, ut constat ex praxi propos. 23. &c.
ALIO modo ducetur per idem punctum A, datum linea parallela lineæ datæ B C, hac arte. Ex centro A, ad quoduis interuallum describatur arcus secans B C, in puncto D; & eodem interuallo ex D, sumatur punctum E, in eadem recta B C. Deinde eodem interuallo ex A, & E, describantur duo arcus secantes sese in F. Nam ducta recta A F, erit parallela rectæ B C. Quoniam enim propter idem interuallum assumptum recta A F, æqualis est rectæ D E; & recta A D, rectæ E F, si ducerentur hæ lineæ; erit A F, oppositæ D E, parallela, ut postea demonstrabimus propositio 34. Quod si punctum A, vicinum fuerit rectæ B C, commodius hac lege parallela optata ducetur. Ex A, sumatur punctum D, in B C, ad quoduis interuallum; Et ex quouis puncto eiusdem rectæ B C, nempe E, quod tæmen aliquantulum distet a puncto D (Quo enim maior fuerit distantia inter D, & E, eo facilius & accuratius parallela ducetur) eodem interuallo arcus describatur ad partes A. Deinde ex A, interuallo D E, alter arcus descriptus secet priorem arcum in F. Recta namque ducta A F, erit parallela rectæ B C, ut prius; quia recta A F, æqualis est rectæ D E, ob idem interuallum; & recta A D, rectæ E F, si hæ rectæ ductæ essent, &c.

. .

Proposition 32.

THEOR. 22. PROPOS. 32.

第三十二題

In any triangle, if one of the sides be produced, the exterior angle is equal to the two interior and opposite angles, and the three interior angles of the triangle are equal to two right angles.

CVIVSCVNQVE trianguli vno latere producto: Externus angulus duobus internis, & oppositis est æqualis. Et trianguli tres interni anguli duobus sunt rectis æquales.

凡三角形之外角、與相對之內兩角幷、等。凡三角形之內三角幷、與兩直角等。

Let ABC be a triangle, and let one side of it BC be produced to D; I say that the exterior angle ACD is equal to the two interior and opposite angles CAB, ABC, and the three interior angles of the triangle ABC, BCA, CAB are equal to two right angles.

PRODVCATVR in triangulo A B C, latus B C, ad D. Dico primo, angulum externum A C D, æqualem esse duobus internis, & oppositis simul A, & B. ⁸⁶

86. Clavius divides this proposition in two parts: First he deals with the proof of the exterior angle being similar to the two internal and opposite angles; having prooved this he sets out to proove that the three internal angles are equal to two right angles.

. . .

For let CE be drawn through the point C parallel to the straight line AB. [I. 31]

Ducatur enim ex C, linea C E, parallela rectæ A B.

Then, since AB is parallel to CE, and AC has fallen upon them, the alternate angles BAC, ACE are equal to one another. [I. 29] Again, since AB is parallel to CE, and the straight line BD has fallen upon them, the exterior angle ECD is equal to the interior and opposite angle ABC. [I. 29] But the angle ACE was also proved equal to the angle BAC; therefore the whole angle ACD is equal to the two interior and opposite angles BAC, ABC.

Quoniam igitur recta A C, incidit in parallelas A B, C E, erunt anguli interni A, & A C E, æquales. Rurus, quia recta B D, in easdem parallelas incidit, erit angulus externus D C E, æqualis interno B. Additis igitur æqualibus A C E, & A, fiet totus A C D (qui ex duobus D C E, A C E, componitur) duobus A, & B, simul æqualis. Quod est propositum.

. . . .

Let the angle ACB be added to each; therefore the angles ACD, ACB are equal to the three angles ABC, BCA, CAB. But the angles ACD, ACB are equal to two right angles; [I. 13] therefore the angles ABC, BCA, CAB are also equal to two right angles.

DICO secundo, tres angulos internos eiusdem trianguli A, B, & A C B, duobus esse rectis æquales. Cum enim externus angulus A C D, ut ostensum fuit, æqualis sit duobus internis A, & B; si addatur communis A C B, erunt duo anguli A C D, A C B, æquales tribus A, B, & A C B; Sed duo A C D, A C B, æquales sunt duobus rectis. Igitur & tres interni, A, B, A C B, duobus sunt rectis æquales.

. . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Quare cuiuscunque trianguli uno latere producto, &c. Quod erat demonstrandum.

SCHOLION
CVM demonstratum sit propositio 16. angulum externum cuiusuis trianguli maiorem esse utrolibet interno, & opposito; Hic autem, eundem externum eisdem internis simul esse æqualem, perspicuum est, alterutrum internorum, & oppositorum superari ab externo, reliquo interno angulo opposito. Vt in triangulo proposito angulus A, internus superatur ab angulo externo A C D, angulo B, interno: Et angulus B, internus superatur ab eodem externo angulo A C D, angulo A, interno, quandoquidem angulus A C D, duobus angulis A, & B, est ostensus hoc loco æqualis. Rursum, quia demonstratum est propositio 17. duos angulos cuiuslibet trianguli quomodocunque sumptos, duobus esse rectis minores; Hic vero omnes tres duobus rectis æquales esse; manifestum est, duos a duobus rectis deficere, reliquo angulo trianguli. Vt in eodem triangulo, duo anguli A, & B, a duobus rectis deficiunt angulo A C B, &c.
OMNE porro triangulum habere tres angulos duobus rectis æquales, primi omnium, ut refert Eudemus, Pythagorei demonstrarunt hac ratione. Sit triangulum A B C, & per punctum A, ducatur rectæ B C, parallela D E. Quoniam igitur anguli alterni D A B, & A B C, æquales sunt; si addantur æquales E A C, & A C B (sunt enim & hi alterni) erunt duo anguli D A B, E A C, duobus A B C, A C B, æquales. Addito ergo communi angulo B A C, erunt tres anguli D A B, B A C, C A E, æquales tribus angulis A B C, B A C, A C B. Sed anguli D A B, B A C, C A E, æquales sunt duobus rectis, ut constat ex propositione decimatertia. Igitur & in triangulo A B C, anguli A B C, B A C, A C B, duobus sunt rectis æquales, quod est propositum. Ex hoc autem facile concludemus, angulum externum A C F, si latus B C, sit protractum, æqualem esse duobus internis, & oppositis A B C, B A C. Quoniam enim anguli A B C, B A C, A C B, æquales sunt duobus rectis, ut ostensum fuit. Sunt autem & anguli A C F, A C B, duobus rectis æquales; Erunt anguli A B C, B A C, A C B, angulis A C F, A C B, æquales. Dempto igitur communi angulo A C B, remanebit angulus A C F, duobus angulis A B C, B A C, æqualis.
FACILE etiam conuerti poterit prima pars propositionis Euclidis: Hoc est, si ab uno angulo trianguli linea recta ducatur, ut angulus externus æqualis sit duobus internis, & oppositis, illam lineam esse in directum ipsi lateri constitutam. Ex C, enim ducatur C D, recta, sitque angulus A C D, æqualis duobus angulis A B C, B A C. Dico rectas B C, C D, in directum iacere. Cum enim angulus A C D, æqualis sit angulis A B C, B A C, si addatur communis angulus A C B, erunt anguli A C D, A C B, æquales angulis A B C, B A C, A C B: Sed A B C, B A C, A C B, æquales sunt duobus rectis. Igitur & anguli A C D, A C B, duobus erunt rectis æquales. Quare B C, C D, unam lineam rectam constituunt.

QVOT ANGVLIS RECTIS æquiualeant anguli omnes interni cuiuscunque figuræ rectilineæ.

DVOBVS modis ex hac propos. 32. colligemus, quotnam rectis angulis æquiualeant interni anguli figuræ cuiuslibet rectilineæ, quorum primus hic est.

OMNES anguli figuræ rectilineæ cuiusuis sunt æquales bis tot rectis angulis, quota ipsa est inter figuras rectilineas.

HOC est, omnes anguli primæ figuræ rectilineæ æquales sint bis uni recto, id est, duobus rectis; Anguli vero secundæ figuræ rectilineæ æquales sunt bis duobus rectis, nempe quatuor rectis; Anguli autem tertiæ figuræ rectilineæ æquales sunt bis tribus rectis, sex videlicet rectis. Et sic reliquis. Eum autem locum quælibet figura rectilinea obtinet inter figuras rectilineas, quem indicat numerus laterum, seu angulorum, dempto binario; quoniam duæ lineæ rectæ superficiem non concludunt, unde nec figuram constituunt, sed cum minimum tres rectæ lineæ ad figuræ constitutionem requiruntur. Ex quo fit triangulum, quia habet tria latera, totidemque angulos, esse primam inter rectilineas figuras. Nam binario dempto ex tribus, relinquitur unum. Sic erit figura habens 20. latera seu angulos, inter figuras rectilineas decimaoctaua, cum binarius subtractus ex 20. relinquat 18. Idem iudicium de aliis figuris est habendum. Itaque figura contenta 20. lateribus, cum sit decimaoctaua, habebit 20. angulos æquiualentes 36. rectis angulis, nempe bis 18. angulis rectis, ut dictum est. Ita quoque omnes 10. anguli figuræ 10. lateribus contentæ, æquiualebunt 16. angulis rectis, cum talis figura sit octaua inter rectilineas figuras. Hoc autem hac ratione demonstrabitur. Omnis figura rectilinea in tot triangula diuiditur, quota ipsa est inter figuras, seu quot ipsa habet angulos lateraue, binario dempto. Nam a quouis angulo ipsius ad omnes angulos oppositos duci possunt lineæ rectæ, solum ad duos propinques angulos non possunt duci. Quare in tot triangula distribuetur, quot ipsa habet angulos, demptis duobus illis angulis. Sic vides, triangulum non posse diuidi in alia triangula; quadrangulum vero in duo secari; quinquangulum in tria; sexangulum in quatuor, &c. Cum igitur anguli horum triangulorum constituant omnes angulos rectilineæ figuræ oppositæ, & omnes anguli cuiuslibet trianguli æquales sint duobus rectis; perspicuum est, omnes angulos figuræ cuiusuis rectilineæ æquales esse bis tot rectis, in quot triangula diuiditur, hoc est, quota ipsa est inter rectilineas figuras. Quod quidem manifeste perspicitur in propositis figuris.
Secundus modus, quo scitur valor angulorum cuiuslibet figuræ rectilineæ, hic est.

OMNES anguli figuræ rectilineæ cuiusuis, æquales sunt bis tot rectis angulis, demptis quatuor, quotipsa continet latera, seu angulos.

HOC est, anguli cuiuslibet trianguli æquales sunt bis tribus rectis, demptis quatuor, nempe duobus rectis. Ita etiam anguli figuræ continentis 20. latera æquiualebunt bis 20. angulis rectis, minus quatuor, nimirum 36. rectis angulis, &c. Demonstratio autem huius rei talis est. Si a quouis puncto intra figuram assumpto ad omnes angulos rectæ lineæ ducantur, efficientur tot triangula, quot latera, angulosue figura ipsa continet. Cum igitur anguli cuiuscunque trianguli æquales sint duobus rectis, erunt omnes anguli illorum triangulorum æquales bis tot rectis, quot latera figuram ambiunt. At anguli eorundem triangulorum circa punctum intra figuram assumptum consistentes non pertinent ad angulos figuræ rectilineæ propositæ, ut constat. Quare si hi auferantur, erunt reliqui triangulorum anguli constituentes angulos figuræ propositæ, bis quoque tot rectis æquales, demptis illis circa punctum assumptum constitutis, quot latera, vel angulos continet figura. Sunt autem illi anguli, quotquot sint, circa dictum punctum existentes æquales 4. rectis, ut collegimus ex propos. 15. Quamobrem anguli cuiusque figuræ bis tot rectis sunt æquales, ablatis quatuor, quot ipsa figura continet angulos, seu latera, quod est propositum.
EX hoc porro secundo modo liquet, si singula latera figuræ cuiusuis rectilineæ producantur ordinatim versus eandem partem, omnes angulos externos æquales esse quatuor rectis. Nam quilibet externus, & illi deinceps internus, æquantur duobus rectis; atque adeo omnes externi una cum omnibus internis æquales erunt bis tot rectis, quot latera, angulosue figura continet. Sunt autem & soli interni bis tot rectis æquales, minus quatuor, ut demonstrauimus. Si igitur interni auferantur, remanebunt externi quatuor tantum rectis æquales, qui nimirum desunt internis angulis, ut interni & externi simul bis tot rectos conficiant, quot latera figuram propositam ambiunt. Exemplum. In triangulo quouis, anguli interni & externi simul æquales sunt sex rectis. Cum igitur interni duobus sint rectis æquales, erunt soli externi æquales quatuor duntaxat rectis. In quadrilatero, anguli externi & interni simul æquales sunt octo rectis. Cum igitur interni soli æquales sint quatuor rectis, ut ostendimus, erunt & soli externi quatuor etiam rectis æquales. In pentagono, seu quinquangulo, anguli interni & externi sunt æquales 10. rectis. Quoniam vero interni adæquantur sex rectis, ut demonstrauimus, remanebunt externi æquales quatuor tantum rectis. Quæ omnia in appositis figuris conspiciuntur. Eademque est ratio in aliis omnibus figuris.

EX CAMPANO

SI pentagoni singula latera producantur in partem utramque, ita ut quælibet duo extra pentagonum coeant, efficientur quinque anguli ex lateribus coeuntibus æquales duobus solum rectis.

IN pentagono A B C D E, latera in utramque partem producta coeant in punctis F, G, H, I, K. Dico quinque angulos F, G, H, I, K, æquales tantum esse duobus rectis. In triangulo enim B H K, cum latus H B, sit protractum ad F, erit externus angulus F B K, duobus internis, & oppositis H, K, æqualis. Eadem ratione in triangulo A I G, erit externus angulus F A G, æqualis duobus internis, & oppositis I, G. Quare duo anguli F B A, F A B, æquales sunt quatuor angulis G, H, I, K. Addito igitur communi angulo F, erunt tres anguli A, B, F, trianguli A B F, æquales quinque angulis F, G H I K. Sed anguli A, B, F, trianguli A B F, æquales sunt duobus rectis. Igitur & quinque anguli F, G, H, I, K, duobus sunt rectis æquales. Quod est propositum.

COROLLARIVM I

EX hac propos. 32. colligitur, tres angulos cuiuslibet trianguli simul sumptos æquales esse tribus angulis cuiusque alterius trianguli simul sumptis: Quoniam tam illi tres, quam hi, æquales sunt duobus angulis rectis. Unde si duo anguli unius trianguli fuerint æquales duobus angulis alterius trianguli, erit & reliquus illius reliquo huius æqualis, æquiangulaque erunt ipsa triangula.

COROLLARIVM II

CONSTAT etiam, in omni triangulo Isoscele, cuius angulus lateribus æqualibus comprehensus rectus fuerit, quemlibet reliquorum esse semirectum; Nam reliqui duo simul conficiunt unum rectum, cum omnes tres sint æquales duobus rectis: & tertius ille ponatur rectus. Quare cum duo reliqui inter se sint æquales, erit quilibet eorum semirectus. At vero si angulus æqualibus lateribus contentus fuerit obtusus, quemlibet aliorum esse semirecto minorem. Reliqui enim duo simul minores erunt uno recto, &c. Si denique dictus angulus extiterit acutus, utrumque reliquorum maiorem esse semirecto. Quoniam reliqui duo simul maiores erunt uno recto.

COROLLARIVM III

PERSPICVVM quoque est, quemuis angulum trianguli æquilateri esse duas tertias partes unius recti, vel tertiam partem duorum rectorum. Duo enim anguli recti, quibus æquales sunt tres anguli trianguli æquilateri, diuisi in tres angulos, faciunt duas tertias partes unius recti.

COROLLARIVM IIII

LIQVET etiam, si ab uno angulo trianguli æquilateri perpendicularis ad latus oppositum ducatur, constitui duo triangula scalena, quorum unumquodque habet unum angulum rectum prope perpendicularem; alium duas tertias partes unius recti, illum scilicet, qui est, & angulus trianguli æquilateri; reliquum denique tertiam partem unius recti.

SCHOLION

PORRO ex tertio corollario depromi potest methodus, qua angulus rectus in tres angulos æquales diuidatur. Sit enim angulus rectus A B C. Super rectam A B, constituatur triangulum æquilaterum A B D. Et quia per corollarium 3. angulus A B D, facit duas tertias partes anguli recti A B C; erit angulus C B D, pars tertia eiusdem recti. Diuiso igitur angulo A B D, bifariam, per rectam B E, erit uterque angulus A B E, E B D, tertia quoque pars recti. Quare rectus angulus A B C, diuisus est in tres angulos æquales. Quod est propositum.

. .

Proposition 33.

THEOR. 23. PROPOS. 33.

第三十三題

The straight lines joining equal and parallel straight lines (at the extremities which are) in the same directions (respectively) are themselves also equal and parallel.

RECTÆ lineæ, quæ æquales, & parallelas lineas ad partes easdem coniungunt; Et ipsæ æquales, & parallelæ sunt.

兩平行相等線之界。有兩線聯之。其兩線亦平行。亦相等。

Let AB, CD be equal and parallel, and let the straight lines AC, BD join them (at the extremities which are) in the same directions (respectively); I say that AC, BD are also equal and parallel.

SINT rectæ lineæ A B, C D, æquales, & parallelæ; Ipsas autem coniungant ad easdem partes rectæ A C, B D. Dico A C, B D, æquales quoque esse, & parallelas.

. .

Let BC be joined. Then, since AB is parallel to CD, and BC has fallen upon them, the alternate angles ABC, BCD are equal to one another. [I. 29] And, since AB is equal to CD, and BC is common, the two sides AB, BC are equal to the two sides DC, CB; and the angle ABC is equal to the angle BCD; therefore the base AC is equal to the base BD and the triangle ABC is equal to the triangle DCB, and the remaining angles will be equal to the remaining angles respectively, namely those which the equal sides subtend; [I. 4] therefore the angle ACB is equal to the angle CBD. And, since the straight line BC falling on the two straight lines AC, BD has made the alternate angles equal to one another, AC is parallel to BD. [I. 27] And it was also proved equal to it.

Ducatur enim recta A D. Quoniam igitur A D, incidit in parallelas A B, C D, erunt anguli alterni B A D, C D A, æquales. Quare cum duo latera B A, A D, trianguli B A D, æqualia sint duobus lateribus C D, D A, trianguli C D A, utrumque utrique, & anguli quoque dictis lateribus inclusi æquales; erunt bases B D, A C, æquales, & angulus A D B, angulo D A C, æqualis. Cum igitur hi anguli sint alterni inter rectas A C, B D, erunt A C, B D, parallelæ: Probatum autem iam fuit, eadem esse æquales.

. . . . . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Rectæ ergo lineæ, quæ æquales, & parallelas lineas, &c. Quod erat demonstrandum.

SCHOLION
DIXIT Euclides, lineas æquales, & parallelas ad easdem partes debere coniungi, ut ipsæ coniungentes sint & æquales & parallelæ. Nam si ad partes diuersas coniungerentur, ut ad A, & D. Item ad B, & C, neque coniungentes lineæ essent parallelæ unquam, sed perpetuo se mutuo secarent, neque essent æquales, nisi raro admodum, ut ex sequenti propositione constabit.

. .

Proposition 34.

THEOR. 24. PROPOS. 34.

第三十四題

In parallelogrammic areas the opposite sides and angles are equal to one another, and the diameter bisects the areas.

PARALLELOGRAMMORVM spatiorum æqualia sunt inter se, quæ ex aduerso & latera, & anguli; atque illa bifariam secat diameter.

凡平行線方形。每相對兩邊線、各等。每相對兩角、各等。對角線、分本形、兩平分。

Let ACDB be a parallelogrammic area, and BC its diameter; I say that the opposite sides and angles of the parallelogram ACDB are equal to one another, and the diameter BC bisects it.

SIT parallelogrammum A B C D, quale definiuimus definitione 35. Dico latera opposita A B, D C, inter se esse æqualia, nec non latera opposita A D, B C. Item angulos oppositos B, & D, æquales inter se esse, nec non & angulos oppositos D A B, & D C B: Denique ducta diametro A C, parallelogrammum ipsum bifariam secari.

. .

For, since AB is parallel to CD, and the straight line BC has fallen upon them, the alternate angles ABC, BCD are equal to one another. [I. 29] Again, since AC is parallel to BD, and BChas fallen upon them, the alternate angles ACB, CBD are equal to one another. [I. 29] Therefore ABC, DCB are two triangles having the two angles ABC, BCA equal to the two angles DCB, CBD respectively, and one side equal to one side, namely that adjoining the equal angles and common to both of them, BC; therefore they will also have the remaining sides equal to the remaining sides respectively, and the remaining angle to the remaining angle; [I. 26] therefore the side AB is equal to CD, and AC to BD, and further the angle BAC is equal to the angle CDB. And, since the angle ABC is equal to the angle BCD, and the angle CBD to the angle ACB, the whole angle ABD is equal to the whole angle ACD. [C.N. 2] And the angle BAC was also proved equal to the angle CDB.

Cum enim A B, D C, sint parallelæ erunt anguli alterni B A C, D C A, æquales. Rursus quia A D, B C, sunt parallelæ, erunt & anguli alterni B C A, D A C, æquales. Itaque cum anguli B A C, B C A, trianguli A B C, æquales sint duobus angulis D C A, D A C, trianguli A D C, uterque utrique, & latus A C, dictis angulis adiacens, commune utrique triangulo; erit recta A B, æqualis oppositæ rectæ D C, & recta B C, oppositæ rectæ A D, quod est primum. Erit rursus eadem de causa angulus B, angulo D, æqualis. See the record before the previous. Et quia si æqualibus angulis B A C, D C A, addantur æquales anguli D A C, B C A, toti quoque anguli B A D, B C D, fiunt æquales; constat secundum, angulos nimirum oppositos esse æquales.

. . . . . . . . .

Therefore in parallelogrammic areas the opposite sides and angles are equal to one another.

I say, next, that the diameter also bisects the areas. For, since AB is equal to CD, and BC is common, the two sides AB, BC are equal to the two sides DC, CB respectively; and the angle ABC is equal to the angle BCD; therefore the base AC is also equal to DB, and the triangle ABC is equal to the triangle DCB. [I. 4]

Quoniam vero duo latera A B, B C, trianguli A B C, æqualia sunt duobus lateribus C D, D A, trianguli C D A, utrumque utrique, & angulus B, angulo D, æqualis, ut iam ostendimus; erunt triangula A B C, C D A, æqualia,

. . . . .

Therefore the diameter BC bisects the parallelogram ACDB. Q. E. D.

ideoque parallelogrammum A B C D, diuisum erit bifariam a diametro A C, quod tertio loco proponebatur. Parallelogrammorum igitur spatiorum æqualia sunt inter se, quæ ex aduerso, &c. Quod ostendendum erat.

SCHOLION
APPOSITE dixit Euclides, solummodo parallelogramma a diametro diuidi bifariam, non autem & angulos. In Quadrato enim, & Rhombo duntaxat anguli etiam bifariam diuiduntur a diametro; At in figura Altera parte longiori, & in Rhomboide in partes inæquales. Quæ omnia perspicua erunt, si prius ostenderimus, quatuor hasce figuras, Quadratum, Altera parte longius, Rhombum, & Rhomboidem, esse parallelogramma. Hoc autem demonstrabimus tribus sequentibus theorematibus, quorum primum est.

OMNE quadrilaterum habens latera opposita æqualia, est parallelogrammum.
SINT in quadrilatero A B C D, latera opposita A B, D C, æqualia; Item opposita latera A D, B C. Dico A B C D, esse parallelogrammum; hoc est, lineas A B, D C, esse parallelas; Itemque lineas A D, B C. Ducta enim diametro A C, erunt duo latera A B, B C, trianguli A B C, æqualia duobus lateribus C D, D A, trianguli C D A, utrumque utrique, & basis A C, communis. Igitur erit angulus B, angulo D, æqualis. Rursus quia latera A B, B C, æqualia sunt lateribus C D, D A, utrumque utrique, & anguli, B, D, ostensi æquales; erit angulus B A C, angulo D C A, alterno æqualis, & angulus B C A, alterno angulo D A C. Quare erunt A B, & D C, parallelæ; Item A D, & B C, quod est propositum.
HINC constat, Rhombum, & Rhomboidem esse parallelogramma; quoniam opposita eorum latera sunt inter se æqualia, ut manifestum est ex eorum definitionibus. Pariratione quadratum, parallelogrammum erit, quod latera opposita habeat æqualia. Sunt enim omnia quatuor eius latera inter se æqualia, per eius definitionem. Conuertit autem hoc theorema primam partem propositionis 34. ut patet.
Secundum tbeorema tale est.
OMNE quadrilaterum habens angulos oppositos æquales, est parallelogrammum.
SINT in quadrilatero A B C D, anguli oppositi A, & C, æquales: item oppositi anguli B, & D. Dico A B C D, esse parallelogrammum: hoc est, lineas A B, D C, esse parallelas: Itemque lineas A D, B C. Nam si æqualibus angulis A, & C, addantur æquales anguli B, & D: erunt duo anguli A, & B, duobus angulis D, & C, æquales & idcirco anguli A, & B, dimidium facient quatuor angulorum A, B, C, & D. Cum igitur hi quatuor æquales sint quatuor rectis, ut ad propositionem 32. demonstrauimus, erunt duo A, & B, duobus rectis æquales. Quare A D, B C, parallelæ sunt. Eadem ratione erunt A B, D C, parallelæ. Erunt enim duo quoque anguli A, & D, duobus angulis B, & C, æquales, & c. Quod est propositum. Ex hoc etiam manifestum est, Rhomboidem esse parallelogrammum, cum eius anguli oppositi æquales sint, per definitionem. Similiter quadratum, & altera parte longius. Sunt enim & eorum anguli oppositi æquales, cum sint recti, ex eorum definitionibus.
HOC theorema conuertit secundam partem propositionis 34. ut constat. Tertia autem pars non potest conuerti. Nam & trapezium aliquod bifariam secari potest a diametro, & tamen non est parallelogrammum. Sit enim altera parte longius, vel Rhomboides A B C D, quod parallelogrammum esse ostensum est: in quo, ducta diametro A C, constituatur super A C, triangulo A B C, æquale triangulum A E C, inuerso ordine, ita ut latus C E, sit æquale lateri A B, & A E, ipsi C B, fiatque trapezium A E C D. Quoniam vero triangulum A B C, triangulo A D C, æquale est, quod diameter A C, bifariam secet parallelogrammum D B: Erit & triangulum A E C, triangulo A D C, æquale: Ac proinde trapezium A E C D, bifariam diuidetur a diametro A C.
QVOD si quadrilaterum aliquod diuidatur bifariam ab utraque diametro, illud parallelogrammum erit, ut ostendemus ad propositionem 39. Quod quidem in nullo trapezio fieri potest.
Tertium Tbeorema huiusmodi est.
OMNE quadrilaterum habens omnes angulos rectos, est parallelogrammum.
SINT in quadrilatero A B C D, omnes quatuor anguli recti. Dico ipsum esse parallelogrammum: hoc est, lineas A B, D C, esse parallelas: itemque A D, B C. Quoniam enim due anguli A, & B, æquales sunt duobus rectis, cum sint duo recti: erunt A D, B C, parallelæ. Eodem modo erunt A B, D C, parallelæ: atque adeo A B C D, parallelogrammum. quod est propositum.
HINC rursum constat, Quadratum, & alter aparte longius, esse parallelogramma, cum eorum anguli omnes existant recti, ut liquet ex eorum definitionibus.
HIS in hunc medum demonstratis, Quadratum scilicet, Altera parte longius, Rhombum, & Rhomboidem, esse parallelogramma, facile ostendemus, angulos Quadrati, & Rhombi, bifariam secari a diametro: Angulos vero figuræ, Altera parte longioris, & Rhomboidis, non bifariam, ut paulo ante monuimus. Sit enim Quadratum, vel Rhombus A B C D, in quo diameter A C. Quoniam igitur duo latera B A, A C, trianguli B A C, æqualia sunt duobus lateribus D A, A C, trianguli D A C, utrumque utrique, & basis B C, basi D C, (sunt enim hæ figuræ æquilateræ) erunt anguli B A C, D A C, æquales. Quare angulus B A D, diuiditur bifariam. Eodem modo demonstrabimus, reliquos angulos bifariam secari a diametro.
SIT rursus Altera parte longius, vel Rhomboides A B C D, in quo diameter A C, sitque maius latus A B. Quoniam igitur in triangulo A B C, latus A B, maius est latere B C, erit angulus B C A, maior angulo B A C. Est autem angulus B C A, æqualis angulo D A C, alterno: quod B C, A D, parallelæ sint. (Est enim A B C D, ostensum esse parallelogrammum.) Igitur & angulus D A C, maior erit angulo B A C. Atque propterea angulus B A D, inæqualiter diuiditur a diametro A C. Eadem est ratio aliorum angulorum. Quamobrem apposite Euclides in tertia parte buius propositionis dixit, solum parallelogramma bifariam a diametro secari, non autem & angulos.
EODEM fere pacto ostendemus, duas diametros in Quadrato, & Altera parte longiore æquales esse; At vero in Rhombo, & Rhomboide inæquales, maiorem quidem eam, quæ angulos acutos, minorem vero eam, quæ obtusos angulos dispertit. Sit enim quadratum, vel altera parte longius A B C D, in quo diametri A C, B D, quas dico esse æquales. Cum enim duo latera A B, B C, trianguli A B C, æqualia sint duobus lateribus A B, A D, trianguli B A D: utrumque utrique, & angulus A B C, angulo B A D, quia uterque rectus: erit basis A C, basi B D, æqualis: Ac proinde diametri in quadrate, & figura altera parte longtore æquales sunt.
SIT rursus Rhombus, vel Rhomboides, A B C D, in quo diametri A C, B D; sitque angulus B A D, maior; A B C, minor. Non enim æquales sunt, quia alias uterque esset rectus, cum ambo æquales sint duobus rectis; quod est absurdum, & contra definitiones Rhombi, & Rhomboidis. Dico diametrum B D, maiorem esse diametro A C. Quoniam enim duo latera A B, A D, trianguli B A D, æqualia sunt duobus lateribus A B, B C, trianguli A B C, utrumque utrique, & angulus B A D, angulo A B C, maior existit; erit basis B D, maior base A C. quod est propositum. Ex quo manifestum est, cur in propositione 33. Euclides asseruerit, eas tantum lineas, quæ coniungunt parallelas æquales ad easdem partes, æquales esse, ut ibidem annotuimus. Nam in Rhombo, & Rhomboide rectæ A C, B D, inæquales sunt, licet coniungant parallelas æquales A B, D C: quia non ad easdem partes ipsas coniungunt, ut perspicuum est.
IN omni tamen parallelogrammo diametri se mutuo bifariam diuidunt. Cum enim duo anguli E A D, E D A, trianguli A E D, æquales sint alternis angulis E C B, E B C, trianguli B E C, uterque utrique; & latus A D, æquale lateri B C, opposito in parallelogrammo A B C D, quorum utrumque æqualibus adiacet angulis; Erit & A E, recta rectæ C E, & recta D E, rectæ B E, æqualis. Quare utraque diameter bifariam diuiditur in puncto E.
HVIVS autem, quod modo diximus, conuersum etiam demonstrabimus, nimirum.

OMNE quadrilaterum, in quo diametri se mutuo bifariam diuidunt, parallelogrammum est.
IN quadrilatero enim A B C D, diametri A C, B D, se mutuo bifariam diuidant in E. Dico A B C D, parallelogrammum esse. Cum enim latera A E, E B, trianguli A E B, æqualia sint lateribus C E, E D, trianguli C E D, & anguli contenti ad verticem E, æquales quoque; erunt & bases A B, C D, æquales & angulus A B E, angulo alterno C D E, æqualis. Quare rectæ A B, C D, parallelæ sunt. Eadem ratione parallelæ ostendentur A D, C B. Parallelogrammum ergo est A B C D.
HVC quoque referri potest hoc theorema.

RECTA linea secans diametrum parallelogrammi bifariam quomodocunque, diuidit parallelogrammum bifariam quoque: & recta linea diuidens parallelogrammum bifariam quouis modo, secat quoque diametrum bifariam.
IN parallelogrammo A B C D, diametrum A C, bifariam secet recta E F, in puncto G. Dico parallelogrammum diuidi bifariam. Quoniam enim angulus E A G, æqualis est angulo alterno B C G, & angulus E G A, angulo F G C, Est autem & latus A G, lateri C G, æqualœ, per hypothesin, quæ ambo æqualibus angulis adiacent; erunt & latera E G, F G, æqualia. Quare cum latera A G, G E, æqualia sint lateribus C G, G F, & anguli quoque contenti æquales; erunt triangula A G E, C G F, æqualia. Addita igitur communi quantitate B C G E, erit triangulum A B C, trapezio B C F E, æquale: Sed triangulum A B C, dimidium est parallelogrammi A B C D. Igitur & trapezium dimidium erit eiusdem parallelogrammi, ideoque recta E F, parallelogrammum bifariam secat.
SECET iam E F, parallelogrammum bifariam; Dico & diametrum A C, bifariam secari in G. Si enim diameter A C, non bifariam diuiditur in G, diuidatur bifariam in alio puncto, ut in H, per good ducatur recta E H I. Erit ergo, ut iam demonstrauimus, E I C B, trapezium dimidium parallelogrammi A B C D, atque adeo æquale trapezio E F C B, quod etiam dimidium ponitur eiusdem parallelogrammi, pars toti, quod est absurdum. Diuiditur igitur A C, bifariam in G, & non in alio puncto, quod erat propositum.
HINC facile colligitur, si in latere aliquo parallelogrammi cuiusque punctum signetur, vel etiam intra parallelogrammum, vel extra, quod tamen non sit in diametro, nisi ipsum secet diametrum bifariam; qua ratione ab illo puncto linea duci debeat, quæ parallelogrammum bifariam secet. Si enim diameter ducatur, & a puncto dato per medium punctum diametri recta ducatur, factum erit, quod proponitur. Ut si punctum sit E, in latere A B, ducenda est recta E F, per G, punctum, in quo diameter A C, bifariam diuiditur; & sic de aliis punctis.
DEMONSTRAT quoque bic Peletarius problema non iniucundum. videlicet.

INTER duas lineas rectas infinitas angulum facientes, lineam rectam datæ lineæ æqualem collocare, quæ cum altera illarum faciat angulum cuiuis angulo dato æqualem. Oportet autem hunc angulum datum, & eum, qui lineis datis continetur, minores esse duobus rectis.
DVÆ rectæ infinitæ A B, A C, contineant angulum B A C, sitque data recta finita quæcunque D, & angulus datus E, hac lege, ut duo anguli E, & B A C, minores sint duobus rectis. Oportet igitur inter rectas A B, A C, collocare rectam æqualem quidem rectæ D, cum alterutra vero illarum, nimirum cum A C, facientem angulum æqualem angulo dato E. Fiat angulus C A F, æqualis angulo E, & producta F A, ad G, sit A G, æqualis rectæ D; & per G, ducatur G B, parallela ipsi A C, secans A B, in B: Deinde per B, ducatur B C, parallela ipsi A G, secans A C, in C. Dico rectam B C, collocatam inter rectas A B, A C, æqualem esse rectæ D, angulumque B C A, angulo E. Cum enim parallelogrammum sit per constructionem, A C B G, erit recta B C, rectæ G A, æqualis: At G A, æqualis est, per constructionem, rectæ D. Igitur & B C, rectæ D, æqualis erit. Rursus quia angulus B C A, angulo alterno C A F, æqualis est; & eidem angulo C A F, æqualis est, per constructionem, angulus E; erunt anguli E, & B C A, æquales, Quod est propositum. Caterum ex contructione manifestum esse cuilibet potest, cur duo anguli dati minores esse debeant duobus rectis. Nam alias non fieret triangulum A B C, si anguli B A C, & B C A, æquales essent duobus rectis, vel maiores, ut constat ex propositio 17. vel 32.

EX PROCLO
IN omni figura rectilinea latera habente numero paria, si quidem fuerit æquilatera, & æquiangula: erunt duo quælibet latera opposita, parallela inter sese.
LATERA opposita dicuntur illa duo, quæ ex utraque parte latera habent æqualia numero: ut in hexagono A B C D E F, latera opposita erunt A B, E D: quoniam tam ad partes A, & E, duo sunt latera, quam ad partes B, & D. In octogono vero A B C D E F G H, latera opposita erunt A B, F E, quia tam ad partes A, & F, tria sunt latera, quam ad partes B, & E. Et sic in aliis figuris æquilateris parium laterum, ex utraque parte oppositorum laterum erunt tot latera, quot sunt in dimidio numero laterum, minus uno. Ut in quadrangulo erit unum, in hexagono erunt duo, in octogono tria, in decagono quatuor, in figura 12. laterum quinque, & c. Dico igitur qualibet latera opposita esse parallela; A B, nimirum ipsi E D, in hexagono; & A B, ipsi F E, in octogono, & sic de cæteris. Connectantur enim duo extrema oppositorum laterum ad easdem partes linea recta, qualis est in hexagono B D, & in octogono B E. Et quoniam, ut ad 32 propos. demonstrauimus, sex anguli hexagoni æquales sunt octo rectis, erunt tres anguli B, C, D, eiusdem hexagoni æquales quatuor rectis, proptereaquod omnes anguli ponuntur æquales; Sunt autem anguli B C D, C B D, C D B, trianguli B C D, duobus rectis æquales. Reliqui igitur anguli A B D, E D B, duobus rectis æquales erunt; Quare parallela erunt A B, & E D. Rursus quia octo anguli octogoni æquales sunt duodecim rectis, erunt quatuor eius anguli B, C, D, E, sex rectis æquales: Sunt autem quatuor anguli quadrilateri B C D E, æquales quatuor rectis. lgitur duo reliqui anguli A B E, F E B, duobus erunt rectis æquales, atque adeo A B, F E, parallela erunt. Eodem modo demonstrabitur, in omnibus aliis figuris huiusmodi, angulos duos ad lineam rectam extrema oppositorum laterum coniungentem existentes, duobus esse rectis æquales. Nam in decagono aufert ea linea pentagonum, cuius anguli æquales sunt sex rectis: At quinque anguli decagoni æquales sunt octo rectis. Ablatis igitur sex, relinquuntur duo recti. In figura æquilatera, & æquiangula duodecim laterum eadem linea abscindet hexagonum, cuius anguli sunt octo rectis æquales: At sex anguli totius figuræ æquales sunt decem rectis. Demptis igitur octo, remanent duo recti, &c.
QVAMVIS autem omnis figura æquiangula parium laterum habeat latera opposita parallela, ut ostendimus; tamen sola quadrilatera figura latera opposita habens parallela, ab Euclide, & aliis Geometris parallelogrammum dici consueuit, proptereaque in definitionibus, Parallelegrammum diximus esse figuram quadrilateram, &c.

. .

Proposition 35.

THEOR. 25. PROPOS. 35.

第三十五題

Parallelograms which are on the same base and in the same parallels are equal to one another.

PARALLELOGRAMMA super eadem basi, & in eisdem parallelis constituta, inter se sunt æqualia.

兩平行方形。若同在平行線內。又同底。則兩形必等。

Let ABCD, EBCF be parallelograms on the same base BC and in the same parallels AF, BC; I say that ABCD is equal to the parallelogram EBCF.

INTER duas parallelas A B, C D, super basi C D, existant duo parallelogramma C D E A, C D B F. (Dicuntur autem parallelogramma in eisdem esse parallelis, quando duo latera opposita partes sunt parallelarum, ut in exemplo proposito cernitur) Dico ipsa parallelogramma inter se esse æqualia, non quoad angulos & latera, sed quoad aream, seu capacitatem.

解曰。甲乙、丙丁、兩平行線內。有丙丁戊甲、與丙丁乙己、兩平行方形。同丙丁底。題言此兩形等。等者。不謂腰等、角等。謂所函之地等。後言形等者、多倣此。

For, since ABCD is a parallelogram, AD is equal to BC. [I. 34] For the same reason also EF is equal to BC, so that AD is also equal to EF; [C.N. 1] and DE is common; therefore the whole AE is equal to the whole DF. [C.N. 2] But AB is also equal to DC; [I. 34] therefore the two sides EA, AB are equal to the two sides FD, DC respectively, and the angle FDC is equal to the angle EAB, the exterior to the interior; [I. 29] therefore the base EB is equal to the base FC, and the triangle EAB will be equal to the triangle FDC. [I. 4] Let DGE be subtracted from each; therefore the trapezium ABGD which remains is equal to the trapezium EGCF which remains. [C.N. 3] Let the triangle GBC be added to each; therefore the whole parallelogram ABCD is equal to the whole parallelogram EBCF. [C.N. 2]

Cadat enim primo punctum F, inter A, & E. Quoniam igitur in parallelogrammo C D E A, recta A E, æqualis est rectæ C D, oppositæ & eidem C D, æqualis est F B, in parallelogrammo C D B F, opposita; Erunt A E, F B, inter se æquales. Dempta igitur communi F E, remanebit A F, ipsi E B, æqualis: Est autem & A C, ipsi E D, oppositæ æqualis in parallelogrammo C D E A; & angulus B E D, angulo F A C, externus interno. Quare triangulum F A C, triangulo B E D, æquale erit. Addito igitur communi trapezio C D E F, fiet totum parallelogrammum C D E A, toti parallelogrammo C D B F, æquale.

先論曰。設己在甲戊之內。其丙丁戊甲、與丙丁乙己。皆平行方形。丙丁同底。則甲戊、與丙丁。己乙、與丙丁。各相對之兩邊各等。本篇三四。而甲戊、與己乙、亦等。公論一。試於甲戊、己乙、兩線。各減己戊。卽甲己、與戊乙、亦等。公論三。而甲丙、與戊丁、元等。本篇三四。乙戊丁外角。與己甲丙內角乂等。本篇廿九。則乙戊丁、與己甲丙、兩角形必等矣。本篇四。次於兩角形。每加一丙丁戊己無法四邊形。則丙丁戊甲、與丙丁乙己、兩平行方形等也。公論二。

Therefore etc. Q. E. D.

Quod est propsitum.
CADAT secundo punctum F, in punctum E. Dico rursus, parallelogramma C D E A, C D B E, æquala esse. Erunt enim, ut prius, rectæ AE, EB, æquales, nec non & anguli B E D, E A C; atque adeo triangula, E A C, B E D, æqualia. Addito igitur communi triangulo C D E, fient parallelogramma C D E A, C D B E, æqualia.
CADAT tertio punctum F, ultra E, ita ut recta CF, secet rectam D E, in G. Quoniam igitur, ut prius, rectæ A E, F B, sunt æquales; si communis addatur E F; erit tota A F, toti E B, æqualis, nec non & anguli B E D, F A C, æquales erunt; atque adeo triangulum F A C, triangulo B E D, æquale. Ablato ergo communi triangulo E G F, remanebit trapezium A E G C, trapezio FGDB, æquale. Quocirca addito communi triangulo C D G, fiet totum parallelogrammum C D E A, toti parallelogrammo C D B F, æquale. Parallelogramma igitur super eadem basi, & in eisdem parallelis constituta, inter se sunt æqualia. Quod erat demonstrandum.

SCHOLION
CONVERTEMVS facile hanc propositionem, hoc modo.
PARALLELOGRAMMA æqualia super eandem basin, ad easdemque partes censtituta, erunt inter easdem parallelas.
SINT duo parallelogramma æqualia A B C D, C D E F, super eandem basin C D, & ad easdem partes. Dico rectam A B, productam in directum iacere ipsi E F, & propterea ipsa parallelogramma inter easdem esse parallelas. Alias enim A B, producta vel cadet infra E F, vel supra. Cadat primo infra, qualis est A H. Erit igitur parallelogrammum C D G H, æquale parallelogrammo A B C D; Ponitur autem eidem parallelogrammo A B C D, æquale parallelogrammum C D E F. Quare parallelogramma C D E F, C D G H, æqualia erunt, totum & pars, quod est absurdum. Non ergo cadet A B infra E F.
CADAT secundo A B, producta supra E F. Cadet igitur F E, protracta infra AB. Quare, ut prius, erunt parallelogramma A B C D, C D H G, æqualia, totum & pars, quod est absurdum. Idem absurdum consequeretur, si C F, D E, producerentur usque ad A B, protractam. Eademque demonstratio conueniet omnibus casibus, qui occurrere possunt, hoc est, siue punctum E, sit ultra B, siue non, ut perspicuum est. Non ergo cadet A B, supra E F; sed nec infra, ut demonstratum est; ergo producta in directum iacet ipsi E F; ac proinde parallelogramma A B C D, C D E F, in eisdem sunt parallelis.

次論曰。設己、戊、同點。依前甲戊、與戊乙等。乙戊丁、與戊甲丙、兩角形等。本論四。而每加一戊丁丙角形。則丙丁戊甲、與丙丁乙戊、兩平行方形必等。公論二。

後論曰。設己點在戊之外。而丙己、與戊丁、兩線交於庚。依前甲戊、與己乙、兩線等。而每加一戊己線。卽戊乙、與甲己、兩線亦等。公論二。因顯己甲丙、與乙戊丁、兩角形亦等。本篇四。次每減一己戊庚角形。則所存戊庚丙甲、與乙己庚丁、兩無法四邊形、亦等。公論三。次於兩無法形每加一庚丁丙角形則丙丁戊甲、與丙丁乙己、兩平行方形必等。公論二。

Proposition 36.

THEOR. 26. PROPOS. 36.

第三十六題

Parallelograms which are on equal bases and in the same parallels are equal to one another.

PARALLELOGRAMMA super æqualibus basibus, & in eisdem parallelis constituta, inter se sunt æqualia.

兩平行線內。有兩平行方形。若底等。則形亦等。

Let ABCD, EFGH be parallelograms which are on equal bases BC, FG and in the same parallels AH, BG; I say that the parallelogram ABCD is equal to EFGH.

SINT duo parallelogramma A C E F, G H D B, super æquales bases C E, H D, inter easdem parallelas A B, C D. Dico ea esse æqualia.

. .

For let BE, CH be joined. Then, since BC is equal to FG while FG is equal to EH, BC is also equal to EH. [C.N. 1] But they are also parallel. And EB, HC join them; but straight lines joining equal and parallel straight lines (at the extremities which are) in the same directions (respectively) are equal and parallel. [I. 33] () Therefore EBCH is a parallelogram. [I. 34] And it is equal to ABCD; for it has the same base BC with it, and is in the same parallels BC, AH with it. [I. 35] For the same reason also EFGH is equal to the same EBCH; [I. 35] so that the parallelogram ABCD is also equal to EFGH. [C.N. 1]

Connectantur enim extrema rectarum C E, G B, ad easdem partes lineis rectis C G, E B. Quoniam igitur recta C E, æqualis ponitur rectæ H D, & eidem H D, æqualis est G B, in parallelogrammo G H D B, opposita; erunt C E, G B, æquales inter se: Sunt autem & parallelæ, per hypothesin. Quare & C G, E B, ipsas coniungentes, parallelæ erunt, & æquales, ideoque C E B G, parallelogrammum erit. Itaque cum parallelogramma A C E F, G C E B, sint inter easdem parallelas, & super eandem basin C E, erit parallelogrammum A C E F, parallelogrammo G C E B, æquale. Rursus quia parallelogramma G C E B, G H D B, sunt inter easdem parallelas, & super eandem basin G B, erit quoque parallelogrammum G H D B, eidem parallelogrammo G C E B, æquale. Quare & parallelogramma A C E F, G H D B, inter se æqualia erunt.

. . . . . . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Parallelogramma igitur super æqualibus basibus, & in eisdem parallelis constituta, & c. Quod ostendendum erat.

SCHOLION
CONVERSVM huius theorematis duplex est, ad hunc modum.
PARALLELOGRAMMA æqualia super bases æquales, & ad easdem partes constituta, inter easdem sunt parallelas: Et parallelogramma æqualia inter easdem parallelas, si non eandem habuerint basin, super æquales bases sunt constitura.
SINT primum duo parallelogramma æqualia A B C D, E F G H, super bases æquales B C, F G, & ad easdem partes constituta. Dico ea esse inter easdem parallelas, hoc est, A D, protractam coire in directum cum E H. Nam alias cadet aut infra E H, aut supra. Quo posito sequitur, totum & partem esse æqualia, quemadmodum in conuersa præcedentis propositionis est dictum, & figura facile commonstrat. Intelligendæ sunt autem bases æquales datæ in eadem linea recta B G.
SINT secundo eadem parallelogramma æqualia inter easdem parallelas A H, B G. Dico bases B C, F G, esse æquales. Si enim altera, nempe B C, dicatur maior, abscindatur B I, æqualis rectæ F G, & ducatur I K, parallela ipsi C D. Erit ergo parallelogrammum A B I K, æquale parallelogrammo E F G H; & ideo parallelogrammo A B C D, pars toti, quod est absurdum. Non ergo B C, maior est, quam F G. Eadem ratione neque minor erit. Quare bases B C, F G, æquales sunt.

. .

Proposition 37.

THEOR. 27. PROPOS. 37.

第三十七題

Triangles which are on the same base and in the same parallels are equal to one another.

TRIANGVLA super eadem basi constituta, & in eisdem parallelis, inter se sunt æqualia.

兩平行線內。有兩三角形。若同底。則兩形必等。

Let ABC, DBC be triangles on the same base BC and in the same parallels AD, BC; I say that the triangle ABC is equal to the triangle DBC.

INTER parallelas A B, C D, & super basin C D, sint constituta duo triangula A C D, B C D. (Dicitur autem triangulum inter duas esse parallelas constitutum, quando basis est pars unius, & angulus oppositus alteram attingit.) Dico ea triangula esse æqualia.

. .

Let AD be produced in both directions to E, F; through B let BE be drawn parallel to CA, [I. 31] and through C let CF be drawn parallel to BD. [I. 31] Then each of the figures EBCA, DBCF is a parallelogram; and they are equal, for they are on the same base BC and in the same parallels BC, EF. [I. 35] Moreover the triangle ABC is half of the parallelogram EBCA; for the diameter AB bisects it. [I. 34] And the triangle DBC is half of the parallelogram DBCF; for the diameter DC bisects it. [I. 34] [But the halves of equal things are equal to one another.] Therefore the triangle ABC is equal to the triangle DBC.

Per D, enim ducatur D E, parallela rectæ A C, & D F, parallela rectæ B C. Erunt igitur parallelogramma A C D E, B C D F, æqualia. Sunt enim super eandem basin C D, & intereasdem parallelas. Sed horum dimidia sunt triangula A C D, B C D; quod A D, B D, diametri bifariam secent parallelogramma A C D E, B C D F. Igitur & triangula A C D, B C D, æqualia erunt.

. . . . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Triangula igitur super eadem basi, & c. Quod erat demonstrandum.

SCHOLION
CONVERSA huius propositionis demonstrabitur ab Euclide propos. 39. Porro ex hac propositione facile cum Proclo demonstrabimus: Triangula, quorum duo latera unius æqualia sint duobus lateribus alterius, utrumque utrique, & angulus unius illis lateribus contentus maior angulo alterius, aliquando esse æqualia, & aliquando inæqualia: Id quod ad propositionem 24. polliciti sumus. Sint enim duo triangula A B C, D E F, & latera A B, A C, æqualia lateribus D E, D F, & angulus A, maior angulo E D F, sintque primum hi duo angulis duobus rectis æquales. Dico triangula esse æqualia. Producatur enim E D, ad H, & F D, ad I; fiatque angulus E D G, æqualis angulo A, versus angulum acutum D F E. Nam semper alter angulorum D E F, D F E, acutus erit, cum ambo minores sint duobus rectis, & recta D G, rectæ D F, seu A C; ducanturque rectæ E G, G F, cadetque semper E G, supra F, ob angulum acutum D F E, ut ad finem scholii propositio 24 ostendimus. Quoniam igitur duo anguli A, & E D F, ponuntur æquales duobus rectis, & angulus E D G, æqualis factus est angulo A; erunt & anguli E D G, E D F, duobus rectis æquales: Sunt autem & anguli E D G, G D H, duobus rectis æquales. Igitur ænguli E D G, E D F, angulis E D G, G D H, æquales erunt. Quare ablato comumni angulo E D G, remanebit angulo E D F, æqualis angulus G D H: Est autem eidem angulo E D F, æqualis angulus H D I. Igitur & anguli G D H, H D I, æquales erunt; atque adeo angulus G D H, dimidium erit totius anguli G D I. Rursus quia latera D F, D G, sunt æqualia in triangulo D F G; erunt anguli D F G, D G F, æquales; qui cum æquales sint externo angulo G D I, erit uterlibet eorum, nempe D G F, dimidium anguli G D I: Ostensum est autem, angulum G D H, dimidium quoque esse eiusdem anguli G D I. Quare anguli G D H, D G F, æquales erunt. Et quia sunt alterni inter E H, F G; erunt E H, F G, parallela. Quamobrem triangula D E G, D E F, æqualia erunt, cum habeant eandem basin D E, sintque inter easdem parallelas D E, F G. Quoniam vero triangulum D E G, æquale est triangulo A B C, propterea quod latera D E, D G, æqualia sunt lateribus A B, A C, & angulo A, æqualis angulus E D G; erit & triangulum A B C, triangulo D E F, æquale, quod est propositum.
SINT deinde anguli A, & E D F, duobus rectis maiores. Dico triangulum A B C, quod maiorem habet angulum, minus esse triangulo D E F. Producatur enim E D, ad H, & F D, ad I; fiatque angulus E D G, æqualis angulo A, & recta D G, rectæ D F, seu A C, æqualis, ducanturque recta E G, G F. Quoniam igitur anguli A, & E D F, ponuntur maiores duobus rectis, erunt & anguli E D G, E D F, duobus rectis maiores: Sunt autem anguli E D G, G D H, æquales duobus rectis. Igitur anguli E D G, E D F, maiores sunt angulis E D G, G D H. Quare ablato communi E D G, remanebit angulus E D F, maior angulo G D H. Quoniam vero angulus E D F, angulo H D I, æqualis est, erit quoque H D I, maior quam G D H; atque adeo G D H, minor, quam dimidium anguli G D I. Rursus quia latera D G, D F, æqualia sunt: erunt anguli D F G, D G F, æquales: qui cum sint æquales externo G D I, erit uteruis eorum, nempe D G F, dimidium anguli G D I: Ostensum est autem, angulum G D H, minorem esse dimidio eiusdem G D I. Quare D G F, maior erit, quam G D H. Abscindatur exangulo D G F, angulus D G K, æqualis angulo alterno G D H. Erit ergo G K, parallela ipsi D E, secabitque G K, rectam, E F. Ducatur ex D, ad K, ubi G K, secat rectam E F, recta D K. Erit igitur triangulum D E G, æquale triangulo D E K. Quoniam autem triangulum D E G, æquale est triangulo A B C, propterea quod latera D E, D G, æqualia sunt lateribus A B, A C, & angulo A, angulus E D G, æqualis; erit & triangulum A B C, triangulo D E K, æquale. Cum igitur D E K, minus sit triangulo D E F; erit quoque A B C, triangulum triangulo D E F, minus. Quod est propositum.
SINT tertio anguli A, & E D F, duobus rectis minores. Dico triangulum A B C, quod maiorem habet angulum, maius esse triangulo D E F. Producatur E D, ad H, & F D, ad I; fiatque angulus E D G, æqualis angulo A, & recta D G, rectæ D E, seu A C; ducanturque rectæ E G, F G. Quoniam igitur anguli A, & E D F, ponuntur minores duobus rectis, erunt quoque anguli E D G, E D F, duobus rectis minores. Sunt autem anguli E D G, G D H, duobus rectis æquales. Igitur E D G, E D F, minores sunt, quam E D G, G D H; demptoque communi E D G, remanebit E D F, minor, quam G D H. Est autem E D F, æqualis ipsi H D I. Quare & H D I, minor erit, quam G D H; atque adeo G D H, maior est dimidio anguli G D I. Quoniam autcm D G F, dimidium est eiusdem anguli G D I, ut iam supra ostensum fuit; erit G D H maior, quam D G F. Fiat igitur angulus D G K, æqualis angulo G D H, ducta recta G K, quæ secabit rectam E F, protractam in K; & ducatur recta D K. Erit ergo, ut prius, G K, parallela ipsi D E; triangulumque D E G, triangulo D E K, æquale: Est autem iterum D E G, æquale ipsi A B C. Igitur & A B C, æquale est ipsi D E K. Quocirca cum D E K, maius sit, quam D E F; erit & A B C, maius, quam D E F. Quod demonstrandum erat.
EX his perspicuum est, cur Euclides in propos. 24. solum collegerit inæqualitatem basium, non autem triangulorum, ut ibidem admonuimus.

. .

Proposition 38.

THEOR. 28. PROPOS. 38.

第三十八題

Triangles which are on equal bases and in the same parallels are equal to one another.

TRIANGVLA super æqualibus basibus constituta, & in eisdem parallelis, inter se sunt æqualia.

兩平行線內。有兩三角形。若底等。則兩形必等。

Let ABC, DEF be triangles on equal bases BC, EF and in the same parallels BF, AD; I say that the triangle ABC is equal to the triangle DEF.

INTER parallelas A B, C D, & super æquales bases C E, F D, sint constituta triangula A C E, B F D. Dico ipsa esse æqualia.

. .

For let AD be produced in both directions to G, H; through B let BG be drawn parallel to CA, [I. 31] and through F let FH be drawn parallel to DE. Then each of the figures GBCA, DEFH is a parallelogram; and GBCA is equal to DEFH; for they are on equal bases BC, EF and in the same parallels BF, GH. [I. 36] Moreover the triangle ABC is half of the parallelogram GBCA; for the diameter AB bisects it. [I. 34] And the triangle FED is half of the parallelogram DEFH; for the diameter DF bisects it. [I. 34] [But the halves of equal things are equal to one another.] Therefore the triangle ABC is equal to the triangle DEF.

Ducatur enim E G, parallela ipsi A C, & D H, ipsi B F. Eruntque parallelogramma A C E G, B F D H, æqualia. Cum igitur horum dimidia sint triangula A C E, B E D; erunt hæc inter se æqualia.

. . . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Triangula ergo super æqualibus basibus, &c. Quod erat ostendendum.

SCHOLION
CONVERSA huius ostendetur ab Euclide propos. 40.
COLLIGITVR autem ex hac propositione, si a quouis angulo trianguli dati linea recta ducatur diuidens latus oppositum bifariam, triangulum quoque bifariam secari. Ducatur enim in triangulo A B C, ex angulo A, recta A D, diuidens bifariam latus B C, in D. Dico triangulum A B C, bifariam quoque secari. Si enim per A, ducatur parallela ipsi B C, erunt duo triangula A B D, A D C, inter easdem parallelas; & super æquales bases. Quare æqualia erunt.

EX PELETARIO
A puncto quouis dato in uno latere trianguli propositi lineam rectam ducere, quæ bifariam secet triangulum datum.
SIT triangulum A B C, & punctum datum D, in latere B C. Oportet igitur ex D, rectam lineam ducere, quæ bifariam diuidat triangulum. Quod si punctum D, diuidat latus B C, bifartam, recta D A, ducta ad A, diuidet triangulum bifariam, ut in hoc scholio est ostensum: Si vero D, non diuidit B C, bifariam, secetur B C, bifariam in E. Deinde ex D, ad angulum oppositum A ducatur recta D A, & per E, parallela E F, ipsi D A, secans A C, in F. Si igitur ducatur recta D F, erit triangulum diuisum bifariam a linea D F. Nam ducta recta E A, erunt triangula E F A, E F D, æqualia, cum sint super eandem basin E F, & inter easdem parallelas E F, A D. Addito igitur communi C F E, erunt tota triangula A E C, C D F, æqualia: Est autem A E C, dimidium totius A B C, ut iam fuit ostensum. Igitur & C D F, dimidium est eiusdem trianguli A B C. quod erat probandum.
QVOD si punctum D, fuerit in altera medietate E C, eodem modo problema conficiemus: sed tunc triangulum abscindetur ad partes B, trapezium vero ad partes C, ut figura præsens satis indicat. Demonstratio autem eadem est, si in ea mutetur litera B, in C, & C, in B. Hoc tamen problema multo nos uniuersalius proponemus ad finem sexti libri.

. .

Proposition 39.

THEOR. 29. PROPOS. 39.

第三十九題

Equal triangles which are on the same base and on the same side are also in the same parallels.

TRIANGVLA æqualia super eadem basi, & ad easdem partes constituta; & in eisdem sunt parallelis.

兩三角形。其底同。其形等。必在兩平行線內。

Let ABC, DBC be equal triangles which are on the same base BC and on the same side of it; [I say that they are also in the same parallels.]

SINT duo triangula æqualia A B C, D B C, super eandem basin B C, & ad easdem partes. Dico ipsa esse inter easdem parallelas constituta, hoc est, rectam ductam A D, parallelam esse ipsi B C.

. .

And [For] let AD be joined; I say that AD is parallel to BC. For, if not, let AE be drawn through the point A parallel to the straight line BC, [I. 31] and let EC be joined. Therefore the triangle ABC is equal to the triangle EBC; for it is on the same base BC with it and in the same parallels. [I. 37] But ABC is equal to DBC; therefore DBC is also equal to EBC, [C.N. 1] the greater to the less: which is impossible. Therefore AE is not parallel to BC. Similarly we can prove that neither is any other straight line except AD; therefore AD is parallel to BC.

Si enim non est, ducatur ex A, parallela ipsi B C, quæ vel cadet supra A D, vel infra. Cadat primum supra, qualis est A E, coeatque cum B D, protracta in E, & ducatur recta E C. Quoniam igitur parallelæ sunt A E, B C; erit triangulo A B C, triangulum E B C, æquale: Est autem per hypothesin, triangulum quoque D B C, æquale eidem triangulo A B C. Igitur erunt triangula D B C, E B C, æqualia, pars & totum, quod est absurdum. Quod si parallela ducta per A, cadat infra A D, qualis est A F; ducta recta F C, erunt eadem ratiocinatione triangula B F C, B D C, æqualia, pars & totum; quod est absurdum. Erit igitur A D, parallela ipsi B C.

. . . . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Quare triangula æqualia super eadem basi, &c. Quod ostendendum erat.

SCHOLION
EX his infert Campanus sequens hoc theorema.

LINEA recta secans duo trianguli latera bifariam, erit reliquo lateri parallela.

SECET linea D E, latera A B, A C, trianguli A B C, bifariam in D, & E. Dico D E, parallelam esse lateri B C. Cum enim triangula A D E, B D E, sint super æquales bases A D, D B, & inter easdem parallelas; si per E, duceretur parallela ipsi A B) erit triangulum B D E, triangulo A D E, æquale: Eadem ratione erit triangulum C E D, eidem triangulo A D E, æquale; Igitur triangula D B E, E C D, æqualia erunt: Habent autem eandem basin D E, & sunt ad easdem partes constituta. Quare inter easdem erunt parallelas, & idcirco D E, B C, parallelæ erunt. Quod est propositum.
ID autem, quod ad finem secundi theorematis in scholio propositio 34. polliciti sumus, facile ex hac propositio demonstrabimus. Videlicet.

OMNE quadrilaterum, quod ab utraque diametro bifariam diuiditur, parallelogrammum est.
NAM quadrilaterum A B C D, diuidatur bifariam ab utraque diametro A C, B D. Dico ipsum esse parallelogrammum. Cum enim triangula A D C, B D C, dimidia sint eiusdem quadrilateri A B C D, ipsa inter se æqualia erunt. Quare cum eandem habeant basin D C, ad easdemque partes sint, ipsa in eisdem parallelis erunt; Atque idcirco rectæ A B, D C, parallelæ sunt. Non aliter ostendemus, parallelas esse A D, B C. Parallelogrammum igitur est A B C D, Quod est propositum.

. .

[Proposition 40.

THEOR. 30. PROPOS. 40.

第四十題

Equal triangles which are on equal bases and on the same side are also in the same parallels.

TRIANGVLA æqualia super æqualibus basibus, & ad easdem partes constituta, & in eisdem sunt parallelis.

兩三角形。其底等。其形等。必在兩平行線內。

Let ABC, CDE be equal triangles on equal bases BC, CE and on the same side. I say that they are also in the same parallels.

SINT duo triangula æqualia A B C, D E F, super bases æquales B C, E F (quæ in eadem recta linea collocentur) & ad easdem partes constituta. Dico ea esse in eisdem parallelis,

. .

For let AD be joined; I say that AD is parallel to BE.

hoc est, rectam ex A, ad D, ductam parallelam esse rectæ B F.

For, if not, let AF be drawn through A parallel to BE [I. 31], and let FE be joined. Therefore the triangle ABC is equal to the triangle FCE; for they are on equal bases BC, CE and in the same parallels BE, AF. [I. 38] But the triangle ABC is equal to the triangle DCE; therefore the triangle DCE is also equal to the triangle FCE, [C.N. 1] the greater to the less: which is impossible. Therefore AF is not parallel to BE. Similarly we can prove that neither is any other straight line except AD; therefore AD is parallel to BE.

Si enim non est, cadet parallela ipsi B F, per A, ducta, vel supra A D, vel infra. Cadat primum supra, coeatque cum E D, producta in G, & ducatur recta G F. Quoniam igitur parallelæ sunt A G, B F, erit triangulum E F G, triangulo A B C, æquale: Ponitur autem & triangulum D E F, eidem triangulo A B C, æquale. Igitur triangula D E F, G E F, æqualia erunt, pars & totum. Quod est absurdum. Quod si parallela ducta per A, cadat infra A D, qualis est A H; ducta recta H F, erunt eadem argumentatione triangula H E F, D E F, æqualia, pars & totum, quod est ab?urdum. Est igitur A D, parallela ipsi B F.

. . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.]

Quare triangula æqualia super æqualibus basibus, &c. Quod erat demonstrandum.

SCHOLION
EODEM modo demonstrari poterit hoc theorema.
TRIANGVLA æqualia inter easdem parallelas, si non eandem habuerint basin, super æquales bases erunt constituta.
SINT triangula æqualia A B C, D E F, inter parallelas A D, B F, & super bases B C, E F, quas dico esse æquales. Si enim non sunt æquales, sit B C, maior. Abscissa ergo recta C G, æquali ipsi E F, & ducta recta G A; erit triangulum A G C, triangulo D E F, æquale: Ponitur autem & triangulum A B C, eidem triangulo D E F, æquale: Igitur triangula A G C, A B C, æqualia erunt, pars & totum, quod est absurdum. Non ergo inæquales sunt bases B C, E F, sed æquales. Quod est propositum.

. .

Proposition 41.

THEOR. 31. PROPOS. 41.

第四十一題

If a parallelogram have the same base with a triangle and be in the same parallels, the parallelogram is double of the triangle.

SI parallelogrammum cum triangulo eandem basin habuerit, in eisdemque fuerit parallelis, duplum erit parallelogrammum ipsius trianguli.

兩平行線內。有一平行方形。一三角形。同底。則方形倍大於三角形。

For let the parallelogram ABCD have the same base BC with the triangle EBC, and let it be in the same parallels BC, AE; I say that the parallelogram ABCD is double of the triangle BEC.

INTER parallelas A B, C D, & super basin C D, constituantur parallelogrammum A C D E, & triangulum B C D. Dico parallelogrammum esse duplum triangnli B C D.

. .

For let AC be joined. Then the triangle ABC is equal to the triangle EBC; for it is on the same base BC with it and in the same parallels BC, AE. [I. 37] But the parallelogram ABCD is double of the triangle ABC; for the diameter AC bisects it; [I. 34] so that the parallelogram ABCD is also double of the triangle EBC.

Ducta enim diametro A D, in parallelogrammo, erunt triangula A C D, B C D, æqualia; At parallelogrammum A C D E, duplum est trianguli A C D; Igitur & trianguli B C D, duplum erit idem parallelogrammum A C D E.

. . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Quamobrem, si parallelogrammum cum triangulo, &c. Quod erat demonstrandum.

SCHOLION
HINC sequitur, si triangulum duplam habuerit basin, fueritque in eisdem parallelis cum parallelogrammo, triangulum parallelogrammo æquale fore. Nam si basis C D, producatur ad F, ut sit D F, æqualis ipsi C D, ducaturque recta F B, erit triangulum B C F, duplum trianguli B C D, quod triangula B C D, B D F, æqualia sint: Est autem & parallelogrammum A C D E, duplam eiusdem trianguli B C D. Igitur æqualia erunt triangulum B C F, & parallelogrammum A C D E.
IDEM hoc theorema Euclidis demonstrari potest eodem modo, si parallelogrammum, & triangulum æquales habuerint bases, & non eandem, fuerintque in eisdem parallelis, ut cernis in parallelogrammo A C D E, & triangulo B F G, quorum bases C D, F G, æquales sunt. Ducta enim diametro A D, in parallelogrammo, erunt triangula A C D, B F G, æqualia. Cum igitur parallelogrammum A C D E, duplum sit trianguli A C D: quod diameter A D, secet parallelogrammum A C D E, bifariam: erit quoque idem trianguli B F G, duplum. Eadem ratione si basis F G, duplicaretur, & recta ad B, duceretur, fieret triangulum parallelogrammo æquale, quoniam triangulum hoc esset duplum etiam trianguli B F G, &c.
CONVERSVM huius theorematis duplex est, hoc modo.

SI trianguli parallelogrammum duplum fuerit, eandemque habuerint basin, vel æquales, & ad easdem partes constituta; Erunt ipsa in eisdem parallelis. Et si parallelogrammum duplum fuerit trianguli, in eisdemque parallelis: erunt bases æquales, si non sit eadem.
SIT parallelogrammum A B C D, duplum trianguli E B C, siue eandem habeant basin, siue æquales. Dico parallelam A D, productam cadere in E, punctum. Nam alias cadet aut supra E, aut infra. Vnde, ut in 39. vel 40. propositio ostendetur pars æqualis toti, ut & figura indicat. Nam erit quoque parallelogrammum A B C D, trianguli B F C, vel B G C, duplum. Quare triangula E B C, F B C, vel triangula E B C, G B C, æqualia erunt, pars & totum. Quod est absurdum.
SIT deinde parallelogrammum A B C D, duplum trianguli E F G, in eisdemque parallelis. Dico bases B C, F G, esse æquales. Nam si altera, nempe B C, sit maior, abscissa æquali C H, & ducta H I, parallela ipsi A B, demonstrabimus parallelogramma A B C D, I H C D, esse æqualia, totum & partem; (quia utrumque duplum est trianguli E F G; illud quidem per hypothesin, hoc vero per 41. propositio) Quod est absurdum. Idem ostendemus si basis F G, maior dicatur. Si enim abscindatur ipsi B C, æqualis B H, ducaturque recta H E, erunt triangula E F H, E F G, æqualia, pars & totum; (Nam utrumque dimidium est parallelogrammi A B C D; Illud quidem per propositio 41. hoc vero per hpothesin.) Quod est absurdum.

EX PROCLO
SI triangulum, & trapezium super eadem basi, & in eisdem fuerint parallelis, maior autem linea parallela trapezii sit basis trianguli; erit trapezium minus duplo trianguli: Si vero minor linea parallela trapezii basis sit trianguli, erit trapezium maius duplo trianguli.
INTER lineas parallelas A E, B C, sint constituta trapezium A B C D, & triangulum E B C, super basim B C, eandem, quæ sit tamen maior, qua altera linea A D, parallela in trapezio dato. Dico trapezium A B C D, minus esse duplo trianguli E B C. Cum enim A D, minor ponatur quam B C, sumatur A F, æqualis ipsi B C, & ducatur recta C E, quæ erit parallela ipsi A B; atque adeo parallelogrammum erit A B C F, quod duplum est trianguli E B C. Quare trapezium A B C D, cum sit pars parallelogrammi, minus erit duplo eiusdem trianguli E B C, quod est propositum.
SINT rursus trapezium, & triangulum, ut prius, sed basis B C, sit minor, quam reliqua lineæ parallela A D, in trapezio dato. Dico trapezium A B C D, maius esse duple trianguli E B C. Cum enim A D, maior sit, quam B C, abscindatur D F, æqualis ipsi B C, & ducatur recta B F, quæ erit parallela ipsi C D; atque adeo parallelogrammum erit B C D F: quod duplum est trianguli E B C. Quare totum trapezium A B C D, quod superat parallelogrammum B C D F, maius erit duplo eiusdem trianguli E B C. quod est propositum.
IDEM concludetur, si trapezium, & triangulum constituta fuerint super æquales bases, ita tamen ut nunc quidem basis trapezii sit maior latere opposito parallelo, nunc vero minor.

TRAPEZIVM habens duo latera opposita parallela, duplum est trianguli, quod basin habet unum latus trapezii coniungens duas parallelas, verticem vero in medio puncto lateris oppositi.
SIT trapezium A B C D, cuius duo latera opposita A B, D C, sint parallela, & super basin B C, constituatur triangulum E B C, verticem E, habens in medio puncto E, lateris A D. Dico tiapezium A B C D, duplum esse trianguli E B C. Producatur enim unum latus trianguli ad verticem, nempe B E, donec coeat cum C D, protracto in F. Et quia parallelæ sunt A B, C F, erunt anguli alterni B A E, F D E, æquales: Sunt autem & anguli A E B, D E F, æquales, quippe qui ad verticem E; & latus A E, trianguli A B E, lateri D E, trianguli D E F, æquale, per hypothesin. Igitur & reliqua latera A B, B E, reliquis lateribus, D F, F E, æqualia erunt, utrumque utrique, & reliqui anguli A B E, D F E, æquales: atque idcirco triangula A B E, D F E, ex corollarium propositio 26. buius liber æqualia erunt. Quare addito communi triangulo C D E, erunt triangulo C E F, æqualia triangula simul A B E, C D E. Est autem & triangulum B C E, eidem triangulo C E F, æquale, quod bases B E, E F, ostensæ sint æquales, & ipsa triangula inter easdem sint parallelas, si per C, duceretur parallela ipsi B F. Igitur triangulum C B E, æquale erit triangulis A B E, C D E; & propterea C B E, triangulum dimidium erit trapezii A B C D, quod est propositum.

. .

Proposition 42.

PROBL. 11. PROPOS. 42.

第四十二題

To construct, in a given rectilineal angle, a parallelogram equal to a given triangle.

DATO triangulo æquale parallelogrammum constituere in dato angulo rectilineo.

有三角形。求作平行方形、與之等。而方形角、有與所設角等。

Let ABC be the given triangle, and D the given rectilineal angle; thus it is required to construct in the rectilineal angle D a parallelogram equal to the triangle ABC.

DATVM triangulum sit A B C, & datus angulus rectilineus D. Oportet igitur constituere parallelogrammum æquale triangulo A B C, habens angulum æqualem angulo D.

. .

Let BC be bisected at E, and let AE be joined; on the straight line EC, and at the point E on it, let the angle CEF be constructed equal to the angle D; [I. 23] through A let AG be drawn parallel to EC, and [I. 31] through C let CG be drawn parallel to EF. Then FECG is a parallelogram. And, since BE is equal to EC, the triangle ABE is also equal to the triangle AEC, for they are on equal bases BE, EC and in the same parallels BC, AG; [I. 38] therefore the triangle ABC is double of the triangle AEC. But the parallelogram FECG is also double of the triangle AEC, for it has the same base with it and is in the same parallels with it; [I. 41] therefore the parallelogram FECG is equal to the triangle ABC. And it has the angle CEF equal to the given angle D.

Diuidatur latus unum trianguli, nempe B C, bifariam in E, & fiat angulus C E F, æqualis angulo D, Ducatur item per A, recta A F, parallela ipsi B C, quæ secet E F, in F. Rursus per C, vel B, ducatur ipsi E F, parallela C G, occurrens rectæ A F, productæ in G. Eritque constitutum parallelogrammum C E F G, quod dico esse æquale triangulo A B C. Ducta enim recta E A; quoniam parallelogrammum C E F G, duplum est trianguli A E C; & triangulum A B C, duplum eiusdem trianguli A E C, quod triangula A E C, A B E, super æquales bases E C, B E, & in eisdem parallelis, sint æqualia. Erunt parallelogrammum C E F G, & triangulum A B C, æqualia inter se. Cum igitur angulus C E F, factus sit æqualis angulo D, constat propositum.

. . . . . . . . . . .

Therefore the parallelogram FECG has been constructed equal to the given triangle ABC, in the angle CEF which is equal to D. Q. E. F.

Quocirca dato triangulo æquale parallelogrammum constitui-smus in dato angulo rectilineo. Quod erat faciendum.

SCHOLION
SVBIVNGIT autem hoc loco Peletarius subsequens problema.

DATO parallelogrammo æquale triangulum contituere, in dato angulo rectilineo.
SIT datum parallelogrammum A B C D, & datus angulus G. Fiat angulus C B E, angulo G, æqualis, secetque recta B E, rectam A D, productam in E. Extendatur quoque B C, ad F, sitque C F, æqualis rectæ B C, & iungatur E F. Dico triangulum B E F, habens angulum E B F, angulo dato G, æqualem, æquale esse parallelogrammo A B C D. Ducta enim recta C E, erit parallelogrammum A B C D, duplum trianguli B C E. Item triangulum B E F, eiusdem trianguli B C E, duplum; quod æqualia sint triangula E B C, E B F. Quare æqualia inter se erunt parallelogrammum A B C D, & triangulum B E F.

. .

Proposition 43.

THEOR. 32. PROPOS. 43.

第四十三題

In any parallelogram the complements of the parallelograms about the diameter are equal to one another.

IN omni parallelogrammo complementa eorum, quæ circa diametrum sunt parallelogrammorum, inter se sunt æqualia.

凡方形對角線旁、兩餘方形。自相等。

Let ABCD be a parallelogram, and AC its diameter; and about AC let EH, FG be parallelograms, and BK, KD the so-called complements; I say that the complement BK is equal to the complement KD.

IN parallelogrammo A B C D, sint circa diametrum A C, parallelogramma A E G H, C F G I, & complementa D F G H, E B I G, ut in 36. defin. diximus. Dico complementa hæc inter se esse æqualia.

. . .

For, since ABCD is a parallelogram, and AC its diameter, the triangle ABC is equal to the triangle ACD. [I. 34] Again, since EH is a parallelogram, and AK is its diameter, the triangle AEK is equal to the triangle AHK. For the same reason the triangle KFC is also equal to KGC. Now, since the triangle AEK is equal to the triangle AHK, and KFC to KGC, the triangle AEK together with KGC is equal to the triangle AHK together with KFC. [C.N. 2] And the whole triangle ABC is also equal to the whole ADC; therefore the complement BK which remains is equal to the complement KD which remains. [C.N. 3]

Cum enim triangula A B C, C D A, æqualia sint; Itemque triangula A E G, G H A; si hæc ab illis demantur, remanebunt trapezia C B E G, C D H G, æqualia: Sunt autem & triangula C G I, C G F, æqualia. Quare si detrahantur ex trapeziis, remanebunt æqualia complementa D F G H, E B I G.

. . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

In omni igitur parallelogrammo, complementa, &c. Quod ostendendum erat.

SCHOLION
EODEM modo hoc theorema demonstratur a Proclo, etiam si duo parallelogramma circa diametrum non coniunguntur in puncto G, sed vel unum ab altero sit semotum, vel ambo se mutuo intersecent. Sit enim prius unum ab altero distans, ita ut complementa sint figuræ quinquangulæ. Vt in parallelogrammo A B C D, circa diametrum A C, consistant parallelogramma A E F G, C H I K. Dico complementa D E F I H, B K I F G, esse æqualia. Cum enim triangula A B C, C D A, æqualia inter se sint: Item triangula A E F, G H I, æqualia triangulis A G F, C K I: erunt reliqua complementa D E F I H, B K I F G, æqualia. Quod est propositum.
SECENT se iam mutuo parallelogramma A E F G, C H I K, circa diametrum consistentia, ita ut communem partem habeant I L F M. Dico adhuc complementa D E L H, B G M K, esse æqualia. Cum enim æqualia sint triangula A B C, C D A: Item triangula A F G, A F E: erunt reliqua quadrilatera B C F G, D C F E, æqualia: Sunt autem rursus æqualia triangula I F M, I F L. Igitur si hæc addantur dictis quadrilateris, erunt figura B C I M G, D C I L E, æquales. Cum igitur & æqualia sint triangula C I K, C I H: erunt reliqua complementa B G M K, D E L H, etiam æqualia. Quod est propositum.
CONVERSVM quoque huius theorematis cum Peletario demonstrabimus, hoc modo.

SI parallelogrammum diuisum fuerit in quatuor parallelogramma, ita ut ex illis duo aduersa sint æqualia: consistent reliqua duo circa diametrum.
DVCTIS duabus rectis E F, G H, quæ sint parallelæ rectis B C, C D, seque secent in I, diuisum sit parallelogrammum A B C D, in quatuor parallelogramma, quorum aduersa duo B E I H, D F I G, sint æqualia. Dico reliqua duo A E I G, C F I H, circa diametrum consistere, hoc est, diametrum a puncto C, ad punctum A, ductam transire per punctum I. Si enim non transit, secet diameter C K A, rectam G H, in K, si fieri potest, & per K, ducatur L M, parallela ipsi B C. Erunt igitur complementa B H K L, D G K M, æqualia: Est autem D G K M, maius quam D G I F. Quare & maius erit B H K L, quam D G I F. Cum ergo D G I F, æquale ponatur ipsi B E I H; erit etiam B H K L, maius quam B E I H, pars quam totum. Quod est absurdum. Non ergo diameter A C, rectam G H, in K, secat, sed per punctum I, transit. Quodest propositum.

. .

Proposition 44.

PROBL. 12. PROPOS. 44.

第四十四題

To a given straight line to apply, in a given rectilineal angle, a parallelogram equal to a given triangle.

AD datam rectam lineam, dato triangulo æquale parallelogrammum applicare in dato angulo rectilineo.

一直線上。求作平行方形。與所設三角形等。而方形角、有與所設角等。

Let AB be the given straight line, C the given triangle and D the given rectilineal angle; thus it is required to apply to the given straight line AB, in an angle equal to the angle D, a parallelogram equal to the given triangle C.

DATA recta linea sit A, datum triangulum B, & datus angulus rectilineus C. Oportet igitur constituere parallelogrammum æquale triangulo B, angulum habens æqualem angulo C, & unum latus æquale rectæ A.

. .

Let the parallelogram BEFG be constructed equal to the triangle C, in the angle EBG which is equal to D [I. 42]; let it be placed so that BE is in a straight line with AB; let FG be drawn through to H, and let AH be drawn through A parallel to either BG or EF. [I. 31] Let HB be joined. Then, since the straight line HF falls upon the parallels AH, EF, the angles AHF, HFE are equal to two right angles. [I. 29] Therefore the angles BHG, GFE are less than two right angles; and straight lines produced indefinitely from angles less than two right angles meet; [Post. 5] therefore HB, FE, when produced, will meet. Let them be produced and meet at K; through the point K let KL be drawn parallel to either EA or FH, [I. 31] and let HA, GB be produced to the points L, M. Then HLKF is a parallelogram, HK is its diameter, and AG, ME are parallelograms, and LB, BF the so-called complements, about HK; therefore LB is equal to BF. [I. 43] But BF is equal to the triangle C; therefore LB is also equal to C. [C.N. 1] And, since the angle GBE is equal to the angle ABM, [I. 15] while the angle GBE is equal to D, the angle ABM is also equal to the angle D.

Constituatur triangulo B, æquale parallelogrammum D E F G, habens angulum E F G, angulo C, æqualem, producaturque G F, ad H, ut F H, sit æqualis rectæ A, & per H, ducatur H I, parallela ipsi F E, occurrens D E, productæ in I. Extendatur deinde ex I, per F, diameter I F, occurrens rectæ D G, productæ in K; & per K, ducatur K L, parallela ipsi G H, secans I H, protractam in L, producaturque E F, ad M. Dico parallelogrammum L M F H, esse id, quod quæritur. Habet enim latus F H, æquale datæ rectæ A, & angulum H F M, angulo dato C, æqualem, cum angulus H F M, æqualis sit angulo E F G, qui factus est æqualis angulo C:

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Therefore the parallelogram LB equal to the given triangle C has been applied to the given straight line AB, in the angle ABM which is equal to D. Q. E. F.

Denique parallelogrammum L M F H, æquale est triangulo B, cum æquale sit complemento D E F G, quod factum est æquale triangulo B. Ad datam igitur rectam lineam dato triangulo, &c. Quod erat faciendum.

SCHOLION
QVOD si quis optet, lineam ipsam A, datam, esse unum latus parallelogrammi, non difficile erit transferre parallelogrammum F M L H, ad rectam A, ex iis, quæ in scholio propositio 31. huius liber docuimus. Si enim in N, extremitate rectæ A, fiat angulus æqualis angulo M F H, & sumatur recta N O, æqualis rectæ F M, compleaturqúe parallelogrammum, ceu in dicto scholio traditum fuit, effectum erit, quod quæritur.
ADDIT hic aliud problema Peletarius, hoc modo.

AD datam rectam lineam, dato parallelogrammo constituere æquale triangulum in dato angulo rectilineo.
SIT data recta A B; datum parallelogrammum C D E F, & datus angulus L. Producatur C D, ad G, ut D G, æqualis sit ipsi C D, & iungatur G E, recta: Eritque triangulum C E G, parallelogrammo C D E F, æquale, ut demonstrauimus scholio propos. 41. Fiat iam super data recta A B, parallelogrammum A B H I, æquale triangulo C E G, hoc est, parallelogrammo C D E F, habens angulum A, angulo L, æqualem; & producatur A I, ad K, ut sit I K, æqualis ipsi A I, iungaturque recta B K. Dico triangulum A B K, constitutum super datam rectam A B, habensque angulum A, æqualem dato angulo L; æquale esse dato parallelogrammo C D E E. Cum enim triangulum A B K, æquale sit parallelogrammo A B H I, ex scholio propos. 41. quod æquale est constructum parallelogrammo C D E F, constat propositum.

. .

Proposition 45.

PROBL. 13. PROPOS. 45.

第四十五題

To construct, in a given rectilineal angle, a parallelogram equal to a given rectilineal figure.

Dato rectilineo æquale parallelogrammum constituere, in dato angulo rectilineo.

有多邊直線形。求作一平行方形與之等。而方形角、有與所設角等。

Let ABCD be the given rectilineal figure and E the given rectilineal angle; thus it is required to construct, in the given angle E, a parallelogram equal to the rectilineal figure ABCD.

DATVM rectilineum sit A B C, & datus angulus D: oportet igitur construere parallelogrammum æquale rectilineo A B C, quod habeat angulum æqualem angulo D.

. .

Let DB be joined, and let the parallelogram FH be constructed equal to the triangle ABD, in the angle HKF which is equal to E; [I. 42] let the parallelogram GM equal to the triangle DBC be applied to the straight line GH, in the angle GHM which is equal to E. [I. 44] Then, since the angle E is equal to each of the angles HKF, GHM, the angle HKF is also equal to the angle GHM. [C.N. 1] Let the angle KHG be added to each; therefore the angles FKH, KHG are equal to the angles KHG, GHM. But the angles FKH, KHG are equal to two right angles; [I. 29] therefore the angles KHG, GHM are also equal to two right angles. Thus, with a straight line GH, and at the point H on it, two straight lines KH, HM not lying on the same side make the adjacent angles equal to two right angles; therefore KH is in a straight line with HM. [I. 14] And, since the straight line HG falls upon the parallels KM, FG, the alternate angles MHG, HGF are equal to one another. [I. 29] Let the angle HGL be added to each; therefore the angles MHG, HGL are equal to the angles HGF, HGL. [C.N. 2] But the angles MHG, HGL are equal to two right angles; [I. 29] therefore the angles HGF, HGL are also equal to two right angles. [C.N. 1] Therefore FG is in a straight line with GL. [I. 14] And, since FK is equal and parallel to HG, [I. 34] and HG to ML also, KF is also equal and parallel to ML; [C.N. 1; I. 30] and the straight lines KM, FL join them (at their extremities); therefore KM, FL are also equal and parallel. [I. 33] Therefore KFLM is a parallelogram. And, since the triangle ABD is equal to the parallelogram FH, and DBC to GM, the whole rectilineal figure ABCD is equal to the whole parallelogram KFLM.

Resoluat rectilineum in triangula A, B, & C. Deinde triangulo A, æquale parallelogrammum constituatur E F G H, habens angulum F, angulo D, æqalem. Item super rectam G H, parallelogrammum G H I K, æquale triangulo B, habens angulum G, æqualem angulo D. Item super rectam I K, parallelogrammum I K L M, æquale triangulo C, habens angulum K, æqualem anglo D; Et sic deinceps procedatur, si plura fuerint triangula in dato rectilineo, factumque erit, quod iubetur. Nam tria parallelogramma constructa, quæ quidem æqualia sunt rectilineo dato A B C, conficiunt totum unum parallelogrammum, quod sic demonstratur. Duo anguli E F G, H G K, inter se sunt æquales, cum uterque æqualis sit angulo D. Addto igitur communi angulo F G H, erunt duo anguli E F G, F G H, qui duobus rectis æquivalent, æquales duobus angulis H G K, F G H, ideoque hi anguli duobus rectis æquales sunt. Quare F G, G K, unam rectam lineam efficient. Eadem ratione ostendemus, E H, H I, unam rectam lineam efficere, propterea quod duo anguli E H G, H I K, æquales inter se sint, (cum sint æquales oppositis angulis æqualibus E F G, H G K.) & duo anguli H I K, I H G, duobus sint rectis æquales, &c. Cum igitur E I, F K, sint parallelæ; Itemque E F, I K, quod utraque parallela sit rectæ H G; Parallelogrammum erit E F K I. Eodemque modo demonstrabitur, parallelogrammum I K L M, adiunctum parallelogrammo E F K I, constituere totum unum parallelogrammum E F L M.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Therefore the parallelogram KFLM has been constructed equal to the given rectilineal figure ABCD, in the angle FKM which is equal to the given angle E. Q. E. F.

Dato ergo rectilineo A B C, constituimus æquale parallelogrammum E F L M, habens angulum F, æqualem angulo D, dato. Quod erat efficiendum.

SCHOLION
QVAMVIS in hoc problemate Euclides absolute, & simpliciter docuerit, quanam arte parallelogrammum constituatur æquale rectilineæ figuræ datæ non astringendo nos ad certam aliquam rectam lineam datam, ut in propos. 44. fecerat; Tamen eodem modo, quod iubetur, efficiemus, si recta aliqua lineanobis fuerit assignata. Nam si detur recta linea E F, super ipsam construemus parallelogrammum E F G H, æquale triangulo A. Et eodem modo super G H, constituemus aliud G H I K, æquale triangulo B, &c. Quibus peractis, constitutum erit super datam rectam E F, parallelogrammum E F L M, æquale rectilineo dato, in dato angulo F, qui æqualis est angulo D, proposio.
PARI ratione, propositis quotcunque rectilineis, constituemus illis parallelogrammum æquale, si omnia resoluantur in triangula, quibus æqualia parallelogramma exhibeantur, singulis singula, per propos. 44. veluti factum est in hoc problemate. Nam cum omnia hæc parallelogramma efficiant unum parallelogrammum, uti hic demonstratum fuit, constitutum erit parallelogrammum æquale rectilineis propositis. Vt si quis intelligat duo rectilinea proposita A B, & C; Atque A B, resoluatur in triangula A, & B, singulisque triangulis, A, B, C, singula parallelogramma E G, G I, I L, super rectas E F, H G, I K, iuxta artem huius problematis, æqualia constituantur, ex propos. 42. & 44. erit constructum parallelogrammum totum E F L M, æquale duobus rectilineis A B, & C. Et sic de pluribus.
HVC referri poterit problema utilissimum ex Peletario, quod nos tamen alia ratione, et breuiori demonstrabimus in hunc modum.

DATIS duobus rectilineis inæqualibus, excessum maioris supra minus inquirere.
SINT data rectilinea A, & B, sitque A, maius. Oportet igitur indagare, qua magnitudine rectilineum A, superet rectilineum B. Fiat parallelogrammum C D E F, in quocunque angulo D, æquale maiori rectilineo A. Et super rectum C D, parallelogrammum C D G H, in eodem angulo D, æquale rectilineo minori B. Quoniam igitur parallelogrammum C D E F, superat parallelogrammum C D G H, parallelogrammo E F H G, superabit quoque figura A, figuram B, eodem parallelogrammo E F H G. Quod est propositum.

. .

Proposition 46.

PROBL. 14. PROPOS. 46.

第四十六題

On a given straight line to describe a square.

A DATA recta linea quadratum describere.

一直線上。求立直角方形。

Let AB be the given straight line; thus it is required to describe a square on the straight line AB.

SIT data recta A B, super quam oporteat quadratum describere.

Let AC be drawn at right angles to the straight line AB from the point A on it [I. 11], and let AD be made equal to AB; through the point D let DE be drawn parallel to AB, and through the point B let BE be drawn parallel to AD. [I. 31] Therefore ADEB is a parallelogram; therefore AB is equal to DE, and AD to BE. [I. 34] But AB is equal to AD; therefore the four straight lines BA, AD, DE, EB are equal to one another; therefore the parallelogram ADEB is equilateral. I say next that it is also right-angled. For, since the straight line AD falls upon the parallels AB, DE, the angles BAD, ADE are equal to two right angles. [I. 29] But the angle BAD is right; therefore the angle ADE is also right. And in parallelogrammic areas the opposite sides and angles are equal to one another; [I. 34] therefore each of the opposite angles ABE, BED is also right. Therefore ADEB is right-angled. And it was also proved equilateral.

Ex A, & B, educantur A D, B C, perpendiculares ad A B, sintque ipsi A B, æquales, & connectatur recta C D. Dico A B C D, esse quadratum. Cum enim anguli A, & B, sint recti, erunt A D, B C, parallelæ: Sunt autem & æquales, quod utraque æqualis sit ipsi A B. Igitur & A B, D C, parallelæ sunt & æquales: & ideo parallelogrammum est A B C D, in quo, cum A D, D C, C B, æquales sint ipsi A B, omnes quatuor lineæ æquales existunt: Sunt autem & omnes quatuor anguli recti, cum C, & D, æquales sint oppositis rectis A, & B. Quadratum igitur est A B C D, ex definitione; s s s s s s

. . . . . . . . . . . . . .

Therefore it is a square; and it is described on the straight line AB. Q. E. F.

Ac proinde a data recta linea quadratum descripsimus. Quod faciendum erat.

EX PROCLO
LINEARVM æqualium æqualia sunt quadrata: & quadratorum æqualium æquales sunt lineæ.
SINT primum rectæ A B, C D, æquales. Dico eorum quadrata A B E F, C D G H, æqualia quoque esse. Ductis enim diametris B F, D H, erunt duo latera B A, A F, trianguli B A F, duobus lateribus D C, C H, trianguli D C H, æqualia, utrumque utrique, cum ex definitione quadrati rectæ A F, C H, æquales sint rectis A B, C D. Sunt autem & anguli A, & C, æquales, nempe recti. Igitur triangula B A F, D C H, æqualia erunt. Quæ cum sint dimidia quadratorum, erunt & quadrata tota æqualia. Quod est propositum.
SINT deinde quadrata A B D E, B C F G, æqualis. Dico lineas quoque ipsorum A B, B C, æquales esse. Coniungantur enim quadrata ad angulum B, ut rectæ A B, B C, in directum constituantur. Et quoniam anguli A B G, A B D, sunt recti, erunt & rectæ G B, B D, in directum constitutæ. Ducantur diametri A D, C G, iunganturque rectæ A G, C D. Quoniam igitur quadrata A B D E, B C F G, æqualia sunt, erunt & triangula A B D, B C G, eorum dimidia, æqualia. Addito ergo communi triangulo B C D, fiet totum triangulum A C D, toti triangulo G D C, æquale. Quare triangula A C D, G D C, cum eandem habeant basin C D, ad easdemque sint partes, in eisdem sunt parallelis: ideoque parallelæ sunt A G, C D. Et quoniam, ut in scholio propositio 34. ostendimus, diameter in quadrato secat angulos quadrati bifariam, erunt anguli D A C, G C A, alterni semirecti, ideoque æquales. Quamobrem, & parallelæ sunt A D, C G. Igitur parallelogrammum est A D C G: ac propterea rectæ A D, C G, æquales. Quoniam ergo in triangulis A B D, B C G, latera A D, C G, æqualia sunt, & anguli quibus ea latera adiacent, inter se etiam æquales, cum sint semirecti, ut in scholio propositio 34. ostensum fuit: erunt reliqua latera æqualia, nempe A B, ipsi B C, &c. Quod est propositum.

SCHOLION
POSSENT hæc omnia multo breuius probari per superpositionem quadrati unius super aliud. Nam si lineæ sint æquales, si unæ alteri superponatur, congruent ipsæ inter se. Cum ergo & anguli sint æquales, nempe recti, conuenient quoque ipsi inter se, ideoque totum quadratum toti quadrato congruet. Quod si quadrata sint æqualia, congruent ipsa inter se, propter æqualitatem angulerum. Igitur & lineæ; alias unum quadratum alio maius esset.

. .

Proposition 47.

THEOR. 33. PROPOS. 47.

第四十七題

In right-angled triangles the square on the side subtending the right angle is equal to the squares on the sides containing the right angle.

IN rectangulis triangulis, quadratum, quod a latere rectum angulum subtendente describitur, æquale est eis, quæ a lateribus rectum angulum continentibus describuntur, quadratis.

凡三邊直角形。對直角邊上、所作直角方形。與餘兩邊上、所作兩直角方形幷、等。

Let ABC be a right-angled triangle having the angle BAC right; I say that the square on BC is equal to the squares on BA, AC.

IN triangulo A B C, angulus B A C, sit rectus, describanturque super A B, A C, B C, quadrata A B F G, A C H I, B C D E. Dico quadratum B C D E, descriptum super latus B C, quod angulo recto opponitur, æquale esse duobus quadratis A B F G, A C H I, quæ super alia duo latera sunt descripta, siue hæc duo latera æqualia sint, siue inæqualia.

解曰。甲乙丙角形。於對乙甲丙直角之乙丙邊上、作乙丙丁戊直角方形。本篇四六題言此形、與甲乙邊上、所作甲乙己庚、及甲丙邊上、所作甲丙辛壬、兩直角方形幷。等。

For let there be described on BC the square BDEC, and on BA, AC the squares GB, HC; [I. 46] through A let AL be drawn parallel to either BD or CE, and let AD, FC be joined. Then, since each of the angles BAC, BAG is right, it follows that with a straight line BA, and at the point A on it, the two straight lines AC, AG not lying on the same side make the adjacent angles equal to two right angles; therefore CA is in a straight line with AG. [I. 14] For the same reason BA is also in a straight line with AH. And, since the angle DBC is equal to the angle FBA: for each is right: let the angle ABC be added to each; therefore the whole angle DBA is equal to the whole angle FBC. [C.N. 2] And, since DB is equal to BC, and FB to BA, the two sides AB, BD are equal to the two sides FB, BC respectively, and the angle ABD is equal to the angle FBC; therefore the base AD is equal to the base FC, and the triangle ABD is equal to the triangle FBC. [I. 4] Now the parallelogram BL is double of the triangle ABD, for they have the same base BD and are in the same parallels BD, AL. [I. 41] And the square GB is double of the triangle FBC, for they again have the same base FB and are in the same parallels FB, GC. [I. 41] [But the doubles of equals are equal to one another.] Therefore the parallelogram BL is also equal to the square GB. Similarly, if AE, BK be joined, the parallelogram CL can also be proved equal to the square HC; therefore the whole square BDEC is equal to the two squares GB, HC. [C.N. 2] And the square BDEC is described on BC, and the squares GB, HC on BA, AC. Therefore the square on the side BC is equal to the squares on the sides BA, AC.

See two records above⁸⁷ Ducatur enim recta A K, parallela ipsi B E, vel ipsi C D, secans B C, in L, & iungantur rectæ A D, A E, C F, B H. Et quia duo anguli B A C, B A G, sunt recti, erunt rectæ G A, A C, una linea recta; eodemque modo I A, A B, una recta linea erunt. Rursus quia anguli A B F, C B E, sunt æquales, cum sint recti, si addatur communis angulus A B C, fiet totus angulus C B F, toti angulo A B E, æqualis; similiterque totus angulus B C H, toti angulo A C D. Quoniam igitur duo latera A B, B E, trianguli A B E, æqualia sunt duobus lateribus F B, B C, trianguli F B C, utrumque utrique, ut constat ex definitione quadrati: Sunt autem & anguli A B E, F B C, contenti hisce lateribus æquales, ut ostendimus; Erunt triangula A B E, F B C, æqualia. Est autem quadratum, seu parallelogrammum A B F G, duplum trianguli F B C, cum sint inter parallelas F B, C G, & super eandem basin B F: Et parallelogrammum B E K L, duplum trianguli A B E, quod sint inter parallelas B E, A K, & super eandem basin B E. Quare æqualia erunt quadratum A B F G, & parallelogrammum B E K L. Eadem ratione ostendetur, æqualia esse quadratum A C H I, & parallelogrammum C D K L. Erunt enim rursus triangula A C D, H C B, æqualia, ideoque eorum dupla, parallelogrammum videlicet C D K L, & quadratum A C H I. Quamobrem totum quadratum B C D E, quod componitur ex duobus parallelogrammis B E K L, C D K L, æquale est duobus quadratis A B F G, A C H I.

87. Unlike Euclid, who constructs these squares in the Kataskeue (construction) of the proposition, Clavius includes the construction of these squares in the Ekthesis (setting out) of the proposition, thus implying that these squares are a necessity for the understanding of the Diorismos (definition of goal) since the Diorismos depends on the existence of the squares.

論曰。試從甲作甲癸直線。與乙戊丙丁平行。本篇卅一分乙丙邊於子。次自甲至丁、至戊、各作直線。末自乙至辛、自丙至己、各作直線。其乙甲丙、與乙甲庚、旣皆直角。卽庚甲、甲丙、是一直線。本篇十四依顯乙甲、甲壬、亦一直線。又丙乙戊、與甲乙己、旣皆直角。而每加一甲乙丙角。卽甲乙戊、與丙乙己、兩角亦等。公論二依顯甲丙丁、與乙丙辛、兩角亦等。又甲乙戊角形之甲乙、乙戊、兩邊、與丙乙己角形之己乙、乙丙、兩邊等。甲乙戊、與丙乙己、兩角復等。則對等角之甲戊、與丙己、兩邊亦等。而此兩角形、亦等矣。本篇四夫甲乙己庚直角方形。倍大於同乙己底、同在平行線內之丙乙己角形。本篇四一而乙戊癸子直角形。亦倍大於同乙戊底、同在平行線內之甲乙戊角形。則甲乙己庚、不與乙戊癸子等乎。公論六 . 依顯甲丙辛壬直角方形、與丙丁癸子直角形、等。則乙戊丁丙形一、與甲乙己庚、甲丙辛壬、兩形幷、等矣。 . .

Therefore etc. Q. E. D.

In rectangulis ergo triangulis, quadratum, &c. Quod demonstrandum erat.

. .

SCHOLION
INVENTIO huius theorematis ad Pythagoram refertur, qui, ut scribit Vitruvius lib. 9. hostias Musis immolauit, quod se in tam præclaro inuento adiuverint. Sunt qui putent, eum immolasse centum boues: si tamen Proclo credendum est, unum tantummodo obtulit. Fortasse autem Pythagoras, ut nonnulli volunt, ex numeris occasionem sumpsit; ut theorema hoc inuestigaret. Cum enim hos tres numeros 3. 4. 5. diligenter esset contemplatus, vidissetque quadratum numerum maioris æqualem esse quadratis numeris reliquorum, composuit triangulum scalenum, cuius maximum latus diuisum erat in 5. partes æquales, minimum in 3. eiusdem magnitudinis, & reliquum in 4. Quo facto, considerauit angulum sub his duobus lateribus contentum, inuenitque eum esse rectum. Idque in quamplurimis aliis numeris, ut in 6. 8. 10. & 9. 12. 15. &c. obseruauit. Quare inquirendum esse iudicauit, num in omni triangulo rectangulo quadratum lateris, quod recto angulo opponitur, reliquorum laterum quadratis æquale esset, quandoquidem omnia triangula, quorum latera habebant magnitudinem secundum dictos numeros, continebant unum angulum rectum: Atque itæ tandem mirabile hoc theorema maxima animi voluptate adinuenit, firmaque ratione demonstrauit. Quod tamen Euclides mirandum in modum amplificauit lib. 6. propos. 31. Ubi demonstrauit, non solum quadratum lateris, quod recto angulo opponitur, æquale esse quadratis reliquorum duorum laterum; Verum etiam figuram quamlibet rectilineam super latus recto angulo oppositum constructam, sine ea sit triangulum, sine quadrangulum, &c. æqualem esse duabus figuris, quæ super reliqua latera describuntur, dummodo priori sint similes, similiterque descriptæ, ut ibidem ostendemus.
CAETERVM quoniam mentionem fecimus trium numerorum, quorum maximi quadratum æquale est quadratis reliquorum, non abs re fuerit, paucis explicare, quonam pacto huiusmodi numeri inueniantur. Habitis igitur his tribus numeris 3. 4. 5. si duplicentur, habebuntur alii tres, 6. 8. 10. si iidem triplicentur, exurgent alii tres 9. 12. 15. & si quadruplicentur, inuenientur hi tres 12. 16. 20. Atque ita reperientur quotcunque alii, si primi illi tres per quemcunque multiplicentur numerum. Traduntur tamen a Proclo duæ regulæ, quibus inueniuntur prædicti numeri, nulla babita ratione illorum trium. Prima ascribatur Pythagoræ, & est huiusmodi. Sumatur pro minimo quicunque numerus impar, ut 5. ex quo ita alios reperies. Ex quadrato numeri accepti, ut hic ex 25. reiice unitatem. Nam reliqui numeri dimidium, videlicet 12. erit alter numerus, cui si addatur unitas, exurget tertius numerus 13. Huius igitur quadratum æquale est quadratis aliorum. Quod si numerus impar acceptus fuiet 3. essent reliqui duo inuenti per hanc regulam 4. & 5. Secunda regula tribuitur Platoni, quæ talis est. Accipiatur numerus quicunque par, nempe 6. Ex huius dimidii quadrato, nimirum 9. detrahe unum, eidemque adde unum, habebisque reliquos dues numeros 8. & 10. primus autem est 6. nimirum numerus par acceptus. Hac regula si accipiatur par 10. reperientur alii due 24. & 26.
COLLIGVNTVR ex celeberrimo hoc Pythagoræ inuento plurimæ scitu non iniucunda tam theoremata, quam problemata, e quibus visum est ea duntaxat in medium proferre, quæ utilitatem magnam rebus Geometricis allatura creduntur, initium hinc sumentes.

SI in quadrato quouis diameter ducatur, quadratum a diametro descriptum duplum erit prædicti quadrati.
IN quadrate A B C D, ducatur diameter A C. Dico quadratum diametri A C, duplum esse quadrati A B C D. Cum enim in triangulo A B C, angulus B, rectus sit, erit quadratum lateris A C, æquale duobus quadratis laterum A B, B C. Cum igitur quadrata linearum A B, B C, æqualia sint, quod lineæ A B, B C, sint æquales, erit quadratum diametri A C, duplum cuiuslibet illorum, ut quadrati lineæ A B, hoc est, quadrati A B C D. Quod est propositum.

QVADRATVM diametri figuræ altera parte longioris æquale est duobus quadratis laterum inæqualium.
IN altera parte longiori A B C D, ducatur diameter A C; & quia in triangulo A B C, angulus B, est rectus, erit quadratum lateris A C, æquale duobus quadratis laterum inæqualium A B, B C. Quod est propositum.

SI fuerint duo triangula rectangula, quorum latera rectis angulis opposita sint æqualia, erunt duo quadrata reliquorum duorum laterum unius trianguli æqualia duobus quadratis reliquorum duorum laterum alterius.
TRIANGVLORVM A B C, D E F, anguli A, & D, sint recti, lateraque opposita B C, E F, æqualia. Dico duo quadrata laterum A B, A C, simul sumpta æqualia esse duobus quadratis laterum D E, D F, simul sumptis. Nam quadratæ linearum B C, E F, æqualia inter se sunt, cum & ipsæ lineæ inter se ponantur æquales. Quadrato autem lineæ B C, æqualia sunt quadrata linearum A B, A C. Et quadrato lineæ E F, æqualia sunt quadrata linearum A B, A C; Et quadrato lineæ E F, æqualia sunt quadrata linearum D E, D F: Perspicuum ergo est, quod ponitur.

DVOBVS quadratis inæqualibus propositis, inuenite alia duo quadrata, quæ & æqualia sint inter se, & simul sumpta æqualia duobus inæqualibus propositis simul sumptis.
SINT A, & B, latera duorum quadratorum in æqualium; Fiat angulus rectus D C E, sitque D C, recta æqualis rectæ B, & recta C E, rectæ A. Ducta deinde recta D E, coniungente duo puncta D, E, constituantur super ipsam duo anguli semirecti D E F, E D F, coeantque rectæ D F, E F, in F. Quoniam igitur in triangulo F D E, ænguli F D E, F E D, æquales sunt; erunt & latera D F, E F, æqualia, ideoque & quadrata eorundem laterum æqualia. Dico iam, eadem quadrata linearum D F, E F, æqualia esse quadratis linearum A, & B, hoc est, quadratis linearum C E, & C D. Nam cum in triangulo D E F, anguli F D E, F E D, faciant unum rectum; erit reliquus angulus F, rectus. Quamobrem erunt quadrata linearum D F, E F, æqualia quadrato lineæ D E; Sed eidem quadrato lineæ D E, æqualia sunt quoque quadrata linearum C D, C E. Igitur quadrata linearum D F, E F, æqualia sunt quadratis linearum D C, E C. Quod est propositum.

PROPOSITIS duabus lineis inæqualibus, inuenire id, quo plus potest maior, quam minor.
POTENTIA lineæ rectæ dicitur eius quadratum. Tantum enim quæuis recta linea posse dicitur, quantum est eius quadratum. Sint ergo duæ lineæ inæquales A, & B, oporteatque cognoscere, quanto maius sit quadratum maioris lineæ A, quam minoris B. Ex quauis linearecta C D; sumatur C E, æqualis rectæ A, & E F, æqualis rectæ B. Deinde centro E, & interteruallo E C, semicirculus deseribatur C G D; & ex F, ducatur F G, perpendicularis ad C D. Dico quadratum rectæ A, hoc est rectæ C E, sibi æqualis, maius esse, quam quadratum rectæ B, hoc est, recta E F, sibi æqualis, quadrato rectæ F G. Ducta enim recta E G, erit eius quadratum æquale quadratis rectarum E F, F G, hoc est, quadratum rectæ E C, illi æquale, superabit quadratum rectæ E F, quadrato rectæ F G. Quod est propositum.

PROPOSITIS quotcunque quadratis, siue æqualibus, siue inæqualibus, inuenire quadratum omnibus illis æquale.
SINT latera quinque quadratorum A, B, C, D, E. oporteatque inuenire quadratum æquale omnibus illis quinque. Fiat angulus rectus F G H, sitque recta F G, æqualis rectæ A, & recta G H, rectæ B; Ducta deinde recta H F, fiat angulus rectus F H I, sitque H I, æqualis rectæ C. Ducta rursus recta I F, fiat angulus rectus F I K, sitque I K, æqualis rectæ D. Ducta denique recta K F, fiat angulus rectus F K L, sitque K L, æqualis rectæ E, ducaturque recta F L. Dico quidratum rectæ F L, æquale esse quinque quadratis propositis. Quadratum enim rectæ F H, æquale est quadratis rectarum F G, G H, hoc est, quadratis rectarum A, & B. Rursus quadratum rectæ F I, æquale est quadratis rectarum F H, H I, & idcirco quadratis rectarum A, B, & C. Item quadratum rectæ F K, æquale est quadratis rectarum F I, I K, idcoque quadratis rectarum A, B, C, & D Denique quadratum rectæ F L, æquale est quadratis rectarum F K, K L, ac propterea quadratis rectarum A, B, C, D, & E. Quod est propositum.

PROPOSITIS duobus quadratis quibuscunque, alteri illorum adiungere figuram, quæ reliquo quadrato sit æqualis, ita ut tota figura composita sit etiam quadrata.
SINT duo quadrata A B C D, E F G H, propositumque sit quadrato A B C D, apponere figuram, quæ sit æqualis quadrato E F G H, &c. Sumatur recta B I, æqualis rectæ F G, lateri quadrati E F G H, Ducta autem recta A I, & producta recta B A, ad partes A, accipiatur B K, æqualis rectæ A I, perficiaturque quadratum B K L M. Dico figuram A D C M L K, quadrato A B C D, adiunctam, æqualem esse quadrato E F G H. Quoniam enim quadratum rectæ A I, hoc est, quadratum B K L M, æquale est quadratis rectarum A B, B I, hoc est, quadratis A B C D, E F G H; Si auferatur commune quadratum A B C D, remanebit figura A D C M L K æqualis quadrato E F G H. Quod est propositum.

COGNITIS duobus lateribus quibuscunque trianguli rectanguli, in cognitionem reliquilateris peruenire.
SIT angulus A, rectus in triangulo A B C, sintque primum cognita latera A B, A C, circa angulum rectum, quorum A B, ponatur 6. palmorum, & A C, 8. Quoniam igitur quadrata rectarum A B, A C, nempe quadrati palmi 36. & 64. æqualia sunt quadrato rectæ B C; Si illa coniungantur simul, efficietur hoc quadratorum palmorum 100. Latus ergo B C, continebit 10. palmos. Tantum enim est latus, seu radix quadrata 100. palmorum, ut perspicuum est apud Arithmeticos. Sint deinde cognita latera A B, B C, sitque A B, 6. palmorum, & B C, 10. Quoniam igitur quadrata rectarum A B, A C, æqualia sunt quadrato rectæ B C; Si quadratum rectæ A B, quod continet palmos 36. detrabatur ex quadrato rectæ B C, quod est palmorum 100. remanebit quadratum rectæ A C, 64. palmorum. Latus ergo A C, continebit 8. palmos. Tan- ta enim est radix quadrata, seu radix 64. palmorum. Quod est propositum. Cæterum non semper hac arte inuenientur numeri rationales, quia non omnis numerus habet latus, radicemve quadratam, ut notum est apud Arithmeticos. Unde latus inuentum sæpe numero exprimi nequit, nisi per radicem surdam, quam vocant: Sed de his alias.

THEOREMATE porro hoc Pythagoreo multo uniuersalius est illud, quod a Pappo demonstratur in omni triangulo, siue illud rectangulum sit, siue non, & de quibuscunque parallelogrammis super latera trianguli constructis tam rectangulis, quam non rectangulis, etiamsi non sint inter se æquiangula. Quod nos in formam theorematis redigentes, clarius hoc modo proposuimus, & meo iudicio generalius adbuc, quam Pappus.
IN omni triangulo, parallelogramma quæcunque super duobus lateribus descripta, æqualia sunt parallelogrammo super reliquo latere constituto, cuius alterum latus æquale sit, & parallelum rectæ ductæ ab angulo, quem duo illa latera comprehendunt, ad punctum, in quo conueniunt latera parallelogrammorum lateribus trianguli opposita, si ad partes anguli illius producantur.
SIT triangulum quodcunque A B C, constituanturque super latera A B, A C, parallelogramma quæcunque A B D E, A C F G, quorum latera D E, F G, quæ lateribus A B, A C, assumptis in triangulo opponuntur, producta ad partes anguli A, dictis lateribus A B, A C, comprehensi, conueniant in H, ducaturque recta A H. Dico parallelogramma A D, A F, æqualia esse parallelogrammo super latus B C, descripto, cuius alterum latus æquale sit, & parallelum rectæ A H. Producta enim H A, secet B C, in L, & per B, C, agantur B I, C K, parallelæ ipsi A H, iungaturque rectæ I K. Quoniam igitur parallelogramma sunt B I, H A, C K H A; erit utraque B I, C K, ipsi A H, æqualis; atque adeo & inter se æquales erunt B I, C K; quæ cum sint etiam parallelæ, quod eidem A H, parallelæ sint; erunt quoque B C, I K, parallelæ, & æquales. Quare parallelogrammum est B C K I, super latus B C, habens alterum latus B I, rectæ A H, æquale, & parallelum: Cuiquidem æqualia ostendenda sunt parallelogramma A D, A F. Quia ergo æqualia sunt parallelogramma A D, A B I H, quod eandem habeant basin A B, in eisdemque sint parallelis A B, H D; Est autem A B I H, parallelogrammo I L, æquale, quod illud cum hoc etiam eandem babeat basin B I, in eisdemque sit parallelis B I, L H: Erit quoque A D, eidem I L, æquale. Non aliter ostendemus, A F, ipsi K L, esse æquale: Quare parallelogramma A D, A F, parallelogrammo B K, æqualia sunt. Quod est propositum.
PAPPVS construit figuram aliter. Nam sumit rectas A C, A E, & A B, A G, in directum positas, ita ut parallelogramma A D, A F, sint æquiangula, habentia angulos A E D, A G F angulo B A C, internos externo æquales, ceu hæc eius figura indicat. Sed nos uniuersalius rem proposuimus, ut manifestum est.

一增。凡直角方形之對角線上。作直角方形。倍大於元形。如甲乙丙丁直角方形之甲丙線上。作直角方形。倍大於甲乙丙丁形。

二增題。設不等兩直角方形。如一以甲為邊。一以乙為邊。求別作兩直角方形。自相等。而幷之、又與元設兩形幷、等。
法曰。先作丙戊線、與甲等。次作戊丙丁直角、而丙丁線、與乙等。次作戊丁線相聯末於丙丁戊角、丙戊丁角、各作一角。皆半於直角。己戊己丁、兩腰遇於己。公論十一而等。本篇六卽己戊、己丁、兩線上所作兩直角方形自相等。而幷之、又與丙戊、丙丁、上所作兩直角方形幷、等。
論曰。己丁戊、己戊丁、兩角。旣皆半於直角。則丁己戊為直角。本篇卅二而對直角之丁戊線上、所作直角方形。與兩腰線上、所作兩直角方形幷、等矣。本題己戊、與己丁、旣等。則其上所作兩直角方形、自相等矣。又丁戊線上、所作直角方形。與丙丁、丙戊、線上所作兩直角方形幷、旣等。則己戊、己丁、上兩直角方形幷。與丙戊、丙丁、上兩直角方形幷、亦等。

三增題。多直角方形。求幷作一直角方形。與之等。
法曰。如五直角方形。以甲、乙、丙、丁、戊、為邊。任等不等。求作一直角方形、與五形幷、等。先作己庚辛直角。而己庚線、與甲等。庚辛線、與乙等。次作己辛線。旋作己辛壬直角。而辛壬與丙等。次作己壬線。旋作己壬癸直角。而壬癸與丁等。次作己癸線。旋作己癸子直角。而癸子與戊等。末作己子線。題言己子線上、所作直角方形、卽所求。
論曰。己辛上。作直角方形。與甲、乙、兩形幷等。本題己壬上作直角方形。與己辛、及丙、兩形幷、等。餘倣此推顯。可至無窮。
四增。三邊直角形。以兩邊求第三邊長短之數。
法曰。甲乙丙角形甲為直角。先得甲乙、甲丙、兩邊長短之數。如甲乙六。甲丙八。求乙丙邊長短之數。其甲乙、甲丙、上所作兩直角方形幷。旣與乙丙上所作直角方形等。本題則甲乙之冪、自乘之數曰冪得三十六。甲丙之冪、得六十四。幷之得百。而乙丙之冪亦百。百開方得十。卽乙丙數十也。又設先得甲乙乙丙。如甲乙六。乙丙十。而求甲丙之數。其甲乙、甲丙、上兩直角方形幷。旣與乙丙上直角方形等。則甲乙之冪、得三十六。乙丙之冪、得百。百減三十六。得甲丙之冪六十四。六十四開方得八。卽甲丙八也。求甲乙倣此。
此以開方盡實者為例。其不盡實者。自具算家分法。

Proposition 48.

THEOR. 34. PROPOS. 48.

第四十八題

If in a triangle the square on one of the sides be equal to the squares on the remaining two sides of the triangle, the angle contained by the remaining two sides of the triangle is right.

SI quadratum, quod ab uno laterum trianguli describitur, æquale sit eis, quæ a reliquis trianguli lateribus describuntur, quadratis: Angulus comprehensus sub reliquis duobus trianguli lateribus, rectus est.

凡三角形之一邊上、所作直角方形。與餘邊所作兩直角方形幷、等。則對一邊之角、必直角。

For in the triangle ABC let the square on one side BC be equal to the squares on the sides BA, AC; I say that the angle BAC is right.

DETVR triangulum A B C, sitque quadratum lateris A C, æquale quadratis reliquorum laterum B A, B C. Dico angulum A B C, esse rectum.

. .

For let AD be drawn from the point A at right angles to the straight line AC, let AD be made equal to BA, and let DC be joined. Since DA is equal to AB, the square on DA is also equal to the square on AB. Let the square on AC be added to each; therefore the squares on DA, AC are equal to the squares on BA, AC. But the square on DC is equal to the squares on DA, AC, for the angle DAC is right; [I. 47] and the square on BC is equal to the squares on BA, AC, for this is the hypothesis; therefore the square on DC is equal to the square on BC, so that the side DC is also equal to BC. And, since DA is equal to AB, and AC is common, the two sides DA, AC are equal to the two sides BA, AC; and the base DC is equal to the base BC; therefore the angle DAC is equal to the angle BAC. [I. 8] But the angle DAC is right; therefore the angle BAC is also right.

Ducatur namque B D, perpendicularis ad B A, & æqualis rectæ B C, connectaturque recta A D. Quoniam igitur in triangulo A B D, angulus A B D, rectus est; erit quadratum rectæ A D, æquale quadratis rectarum B A, B D: Est autem quadratum rectæ B D, quadrato rectæ B C, æquale, ob linearum æqualitatem. Quare quadratum rectæ A D, quadratis rectarum B A, B C, æquale erit. Cum ergo quadratum rectæ A C, eisdem quadratis rectarum B A, B C, æquale ponatur; erunt quadrata rectarum A D, A C, inter se æqualia, ac propterea & rectæ ipsæ A D, A C, æquales. Quoniam igitur latera B A, B D, trianguli A B D, æqualia sunt lateribus B A, B C, trianguli A B C; & basis A D, oftensa est æqualis basi A C; erunt anguli A B D, A B C, æquales: Est autem angulus A B D, ex constructione rectus. Igitur & angulus A B C, rectus erit.

. . . . . . . . . . . . . . .

Therefore etc. Q. E. D.

Si igitur quadratum, quod ab uno laterum trianguli describitur, &c. Quod demonstrandum erat.

SCHOLION
CONVERSVM est autem theorema hoc præcedentis theorematis Pythagorici, ut perspicuum est.

FINIS ELEMENTI PRIMI.

. .

1. dummy

Permanent link

http://www2.hf.uio.no/common/apps/permlink/permlink.php?app=polyglotta&context=ctext&uid=aa086766-561b-11df-870c-00215aecadea

Choose languages

Choose images, etc.

Choose languages

Choose display