Bibliotheca Polyglotta

I. AEQUALES circuli sunt, quorum diametri sunt aequales; vel quorum, quae ex centris, rectae lineae sunt aequales.
QUONIAM Euclides hoc 3. liber varias circuli proprietates demonstrat, idcirco explicat prius terminos quosdam, quorum frequens futurus est usus in hoc lib. Primo itaque docet, eos circulos esse aequales, quorum diametri, vel semidiametri aequales sunt. Cum enim circulus describatur ex circumvolutione semidiametri circa alterum extremum fixum, et immobile, ceu in 1. lib. diximus, perspicuum est, eos circulos esse aequales, quorum semidiametri, seu rectae ex centris ductae, sunt aequales; vel etiam quorum totae diametri aequales sunt. Ut si diametri AB, BC, vel rectae DF, EG, e centris D, et E, ductae sint aequales, aequales erunt circuli AFB, et BGC. Sic etiam si circuli sint aequales, erunt diametri, vel rectae e centris ductae, aequales. Ex his liquet, circulos, quorum diametri, vel rectae ductae ex centris sunt inaequales, inaequales esse; atque adeo illum, cuius diameter, vel semidiameter maior, maiorem, etc.

第一界
凡圜之徑線等。或從心至圜界線等。為等圜。
三卷將論圜、之情。故先為圜界說。此解圜之等者。如上圖、甲乙、乙丙、兩徑等。或丁己、戊庚、從心至圜界等。卽甲己乙、乙庚丙、兩圜等、若下圖、甲乙、乙丙、兩徑不等。或丁己、乙庚、從心至圜界不等。則兩圜亦不等矣。

2. A straight line is said to touch a circle which, meeting the circle and being produced, does not cut the circle.

II. RECTA linea circulum tangere dicitur, quae cum circulum tangat, si producatur, circulum non secat.
UT recta AB, si ita circulum BFD, tangat in B, ut producta ad C, nulla ratione circulum secet, sed tota iaceat extra ipsum, dicetur tangere circulum. At vero recta EF, quia ita eundem circulum tangit in F, ut producta ad G, secet circulum, cadatque intra ipsum; non dicetur circulum tangere, sed secare.

第二界
凡直線、切圜界過之而不與界交。為切線。
甲乙線、切乙己丁圜之界。乙又引長之至丙、而不與界交。其甲丙線、全在圜外。為切線。若戊己線、先切圜界。而引之至庚。入圜內。則交線也。

3. Circles are said to touch one another which, meeting one another, do not cut one another.

III. CIRCVLI sese mutuo tangere dicuntur, qui sese mutuo tangentes, sese mutuo non secant.
EODEM modo duo circuli AC, BC, mutuo dicuntur tangere in C, quia ita sese contingant in C, ut neuter alterum secet. Est autem hic contactus circulorum duplex. Aut enim exterius sese circuli tangunt, ut quando unus extra alterum est positus; aut interius; quando unus intra alterum constituitur. Quod si duo circuli ita se mutuo tangant, ut unus alterum quoque secet, dicentur circuli illi se mutuo secare, et non tangere.

第三界
凡兩圜相切、而不相交。為切圜。
甲、乙、兩圜。不相交、而相切於丙。或切於外。如第一圖。或切於內。如第三圖。其第二、第四圖、則交圜也。

4. In a circle straight lines are said to be equally distant from the centre when the perpendiculars drawn to them from the centre are equal.

IIII. IN circulo aequaliter distare à centro rectae lineae dicuntur, cum perpendiculares, quae à centro in ipsas ducuntur, sunt aequales.

第四界
凡圜內直線。從心下垂線。其垂線大小之度。卽直線距心遠近之度。

5. And that straight line is said to be at a greater distance on which the greater perpendicular falls.

Longius autem abesse illa dicitur, in quam maior perpendicularis cadit.
QUONIAM inter omnes lineas rectas, quae ab aliquo puncto ad quamlibet lineam rectam ducuntur, brevissima est perpendicularis, et semper eadem; aliae vero infinitis modis variari possunt; recte distantia illius puncti a linea accipitur penes lineam perpendicularem. Ut distantia puncti A, a recta BC, dicitur esse perpendicularis AD, non autem AE, vel AF, vel alia quaevis quae non perpendicularis est; quia AD, omnibus est brevior,¹ quod angulus AED, vel AFD, minor sit angulo recto ADE. Immo non solum AE, AF, maiores sunt, quam AD, sed etiam ipsae inter se inaequales sunt. Est enim AF, maior, quam AE,² cum angulus AEF, sit obtusus, et AFE, acutus, et sic de aliis lineis non perpendicularibus. Hinc factum est, ut Euclides aequalem distantiam rectarum in circulo ab ipsius centro definierit per aequales perpendiculares, et inaequalem distantiam per inaequales. Ut duae rectae AB, CD, in circulo ABCD, aequaliter dicentur distaere a centro E, si perpendiculares EF, EG, aequales fuerint. At linea CD, longius abesse dicetur a centro E, quam linea HI, si perpendicularis EG, maior fuerit perpendiculari EK.

1. 19. primi 2. 19. primi

凡一點、至一直線上。惟垂線至近。其他卽遠。垂線一而己。遠者無數也。故欲知點與線相去遠近。必用垂線為度。試如前圖、甲點與乙丙線、相去遠近。必以甲丁垂線為度。為甲丁一線。獨去直線至近。他若甲戊、甲己、諸線。愈大愈遠。乃至無數。故如後圖、設甲乙丙丁圜內之甲乙、丙丁、兩線。其去戊心遠近等。為己戊、庚戊、兩垂線等故。若辛壬線。去戊心近矣。為戊癸垂線小故。

6. A segment of a circle is the figure contained by a straight line and a circumference of a circle.

V. SEGMENTVM circuli est figura, quae sub recta linea, et circuli peripheria comprehenditur.
UT si ducatur in ctrculo ABCD, recta BD, utcunque, dicetur tam figura ABD, contenta circumferentia BAD, et recta BD; quam figura BCD, comprehensa recta BD, et circumferentia BCD, circuli segmentum. Ex his colligitur triplex circuli segmentu, semicirculus, quando recta BD, per centrum E, incedit; segmentum semicirculo maius, quandorecta BD, non transit per centrum, in ipso tamen centrum existit, quale est segmentum BAD; Et segmentum semicirculo minus, extra quod centrum circuli constituitur, cuiusmods est segmentum BCD. Vocatur a plerisque Geometris recta BD, chorda, et circumferentia BAD, vel BCD, arcus.

第五界
凡直線割圜之形。為圜分。
甲乙丙丁圜之乙丁直線。任割圜之一分。如甲乙丁、及乙丙丁、兩形。皆為圜分。凡分有三形。其過心者、為半圜分。函心者、為圜大分。不函心者、為圜小分。又割圜之直線、為絃。所割圜界之一分、為弧。

7. An angle of a segment is that contained by a straight line and a circumference of a circle.

VI. SEGMENTI autem angulus est, qui sub recta linea, et circuli peripheria comprehenditur.
DEFINIT iam Euclides tria genera angulorum, qui in circulis consideranmur. Primo loco angulum segmenti, dicens angulum mixtum BAC, vel BCA, contentum subrecta linea AC, et circumferentia ABC, appellari angulum segmenti. Quod si segmentis circuli fuerit semicirculus, dicetur angulus semicirculi. Si vero segmentum maius semicirculo extiterit, vocabitur angulus segmenti maioris: Si denique segmentum minus fuerit semicirculo, angulus segmenti minoris nuncupabitur.

第六界
凡圜界偕直線內角。為圜分角。
以下三界。論圜角三種。本界所言。雜圜也。其在半圜分內、為半圜角。在大分內、為大分角。在小分內、為小分角。

8. An angle in a segment is the angle which, when a point is taken on the circumference of the segment and straight lines are joined from it to the extremities of the straight line which is the base of the segment, is contained by the straight lines so joined.

VII. IN segmento autem angulus est, cum in segmenti peripheria sumptum fuerit quodpiam punctum, et ab illo in termines rectae eius lineae, quae segmenti basis est, adiunctae fuerint rectae lineae: Is, inquam, angulus ab adiunctis illis lineis comprehensus.
SIT segmentum circuli quodcunque ABC, cuius basis recta AC: Ex suscepto quolibet puncto B, in circumferentia, ducantur ad puncta A, et C, extrema basis, rectae linea BA, BC. Angulus igitur rectilinsus ABC, dicitur existere in segmento ABC.

第七界
凡圜界。任於一點、出兩直線。作一角。為負圜分角。
甲乙丙圜分。甲丙為底。於乙點出兩直線。作甲乙丙角形。其甲乙丙角。為負甲乙丙圜分角。

9. And, when the straight lines containing the angle cut off a circumference, the angle is said to stand upon that circumference.

VIII. CVM vero comprehendentes angulum rectae lineae aliquam assumunt peripheriam, illi angulus insistere dicitur.
EX puncto A, quolibet suscepto in circumferentia circuli ABCD, ducantur rectae duae lineae AB, AD, ad duo extrema B, et D, circumferentiae BCD, cuiusque, quam quidem duae rectae AB, AD, assumunt. Angulus itaque rectilineus BAD, insistere dicitur circumferentiae BCD. Perspicuum autem est, hunc angulum a praecedenti non differre, nisi voce tenus. Idem enim angulus rectilineus BAD, iuxta praecedentem quidem definitionem dicitur esse in segmento BAD, si recta BD, basis duceretur; ex hac vero insistere circumferentiae BCD. Non tamen confundendus est angulus in segmento aliquo, cum angulo, qui circumferentiae insistit, quamvis unus et idem sit; ad diversa siquidem referuntur. Angulus enim in segmento, segmentum, in quo existit, angulus autem insistens circumferentiae, circumferentiam, que basis est ipsius anguli, respicit. Unde si sumatur segmentum alsquod circuli BCD, in circulo ABCD, non erit idem angulus in hoc segmento existens, et eius circumferentiae insistens. Angulus enim in eo existens, erit BCD; at eius circumferentiae CBD, insistens, erit BAD, qui multum ab eo differt. Qua in re mirum in modum ballucinati sunt Orontius, Peletarius, et alii interpretes nonnulli. Quod autem angulus in segmento, et angulus circumferentiae cuipiam insistens, ad diversos arcus referantur, luce clarius patebit ex ultima propos. lib. 6. quae solum convenire potest circumferentiis circulorum, quibus anguli insistunt, non autem, in quibus existunt, ut eo in loco ostendemus. Idem quoque facile constat ex verbo graeco βεβηκέναι, quod ascendisse significat. Ascendit enim angulus DAB, supra circumferentiam BCD.
PRÆTER tres dictos angulos consideratur etiam a Geometris angulus contingentiae, qui continetur linea recta tangente circulum, et circumferentia circuli; vel certe duabus circumferentiis se mutuo tangentibus, sive hoc exterius fiat, sive interius. Exemplum. Si recta AB, tangat circulum CDE, in C; angulus mixtus ACD, vel CBE, dicetur angulus contingentiae, sive contactus: Rursus, si circulus CED, tangat circulum EFG, exterius in E; Item circulus HFI, circulum EFG, interius in F; appellabitur tam angulus curvilineus CEF, quam EFH, vel GFI, angulus contactus, seu contingentiae. Sunt itaque, ut vides, tres anguli contingentiae, unus quidem mixtus, reliqui vero duo curvilinei.

第八界
若兩直線之角。乘圜之一分。為乘圜分角。
甲乙丙丁圜內。於甲點出甲乙、甲丁、兩線。其乙甲丁角。為乘乙丙丁圜分角。圜角三種之外。又有一種。為切邊角。或直線切圜。或兩圜相切。其兩圜相切者。又或內或外如下圖甲乙線。切丙丁戊圜於丙。卽甲丙丁、乙丙戊、兩角為切邊角。又丙丁戊、己戊庚、兩圜。外相切於戊。及己戊庚、己辛壬、兩圜。內相切於己。卽丙戊己、戊己辛、壬己庚、三角。俱為切邊角。

10. A sector of a circle is the figure which, when an angle is constructed at the centre of the circle, is contained by the straight lines containing the angle and the circumference cut off by them.

IX. SECTOR autem circuli est, cum ad ipsius circuli centrum constitutus fuerit angulus, comprehensa nimirum figura et a rectis lineis angulum continentibus, et a peripheria ab illis assumpta.
SI in circulo ABCD, cuius centrum E, rectae AE, CE, constituant angulum AEC, ad centrum E; nominabitur figura AECD, contenta rectis AE, EC, et circumferentia ADC, quam praedictae lineae assumunt, sector circuli. Ex hoc autem perspicue etiam colligitur, angulum, quidefinitione 8. explicatur, referri ad circumferentiam, quae ipsius basis est, non autem ad eam, in qua existit, ut multi interpretes existimarunt. Nam sicut in hac definitione Euclides intelligit circumferentiam ADC, quae basis est anguli ad centrum constituti, quando mentionem facit peripheriae a rectis AE, CE, assumptae: Ita quoque in illa intellexisse eum necesse est nomine peripheriae, quam rectae lineae assumunt, eam, quae basis est anguli ad circumferentiam constituti; quandoquidem in utraque definitione usus est eodem verbo graeco ἀπολαμβάνω.

第九界
凡從圜心、以兩直線作角。偕圜界、作三角形。為分圜形。甲乙丙丁圜從戊心出戊甲、戊丙兩線、偕甲丁丙圜界、作角形。為分圜形。

11. Similar segments of circles are those which admit equal angles, or in which the angles are equal to one another.

X. SIMILIA circuli segmenta sunt, quae angulos capiunt aequales: Aut in quibus anguli inter se sunt aequales.
SEGMENTA, seu ABDF, DCAE, quae capiunt hos duos angulos ABF, DCE, aequales: vel, quod idem est, in quibus idem anguli aequales existunt, iuxta 7. definitionem, similes dicuntur.
EODEM modo segmenta diversorum circulorum tam aequalium, quam inaequalium, a Geometris dicuntur similia, quae vel suscipiunt aequales angulos; vet in quibus aequales anguli existunt. Ut si in circulis ABC, DEF, GHI, fuerint aequales, dicentur segmenta, seu circumferentiae ABC, DEF, GHI, quae dictos angulos suscipiunt, vel in quibus praedicti anguli existunt, similes. Consistit autem haec segmentorum, circumferentiarumve similitudo in eo, quod qualis pars est una circumferentia totius suae circumferentiae, talis quoque sit alter a circumferentia, quae dicitur huic similis, totius suae ctrcumferentiae ita ut qualis, et quanta pars est circumferentiae ABC, totius circumferentiae ABCA, talis et tanta quoque pars sit circumferentia DEF, totius circumferentiae DEFD; Item talis, et tanta circumferentia GHI, totius circumferentiae GHIG. Vel potius segmentorum similitudo in hoc consistit, quod segmenta, seu circumforentiae similes, ad totas circumferentias suas eandem habeant proportionem. Quod autem segmenta, quae vel aequales suscipiunt angulos, vel in quibus existunt aequales anguli, sint huiusmodi, demonstrabimus propositione ultima liber 6. Nunc satis sit, talia segmenta circulorum, vel etiam arcus, circumferentiasve, appellari similes.

第十界
凡圜內兩負圜分角、相等。卽所負之圜分相似。
甲乙丙丁圜內。有甲乙己、與丁丙戊、兩負圜分角等。則所負甲乙丁己、與丁丙甲戊、兩圜分相似。又有兩圜或等、或不等。其負圜分角等。卽圜分俱相似。如下三圖、三圜之甲乙丙、丁戊己、庚辛壬、三負圜分角等、卽所負甲乙丙、丁戊己、庚辛壬、三圜分相似相似者。如云同為幾分圜之幾也。

BOOK III. PROPOSITIONS.
PROPOSITION 1.

PROBL. 1. PROPOS. 1.

幾何原本第三卷本篇論圜　計三十七題
第一題

To find the centre of a given circle.

DATI circuli centrum reperire.

有圜。求尋其心。

Let ABC be the given circle; thus it is required to find the centre of the circle ABC.

SIT circulus datus ABCD, cuius centrum oportet invenire.

法曰、甲乙丙丁圜。求尋其心。

Let a straight line AB be drawn through it at random, and let it be bisected at the point D; from D let DC be drawn at right angles to AB and let it be drawn through to E; let CE be bisected at F; I say that F is the centre of the circle ABC.

Ducatur in eo linea utcunque AC, quae bifariam dividatur in E, et per E, ad AC, perpendicularis agatur BD. Hac igitur bifariam secta in F; dico F, esse centrum circuli propositi.

先於圜之兩界、任作一甲丙直線。次兩平分之於戊。一卷十次於戊上、作乙丁垂線。兩平分之於己。卽己為圜心。

For suppose it is not, but, if possible, let G be the centre, and let GA, GD, GB be joined. Then, since AD is equal to DB, and DG is common, the two sides AD, DG are equal to the two sides BD, DG respectively; and the base GA is equal to the base GB, for they are radii; therefore the angle ADG is equal to the angle GDB. [I. 8] But, when a straight line set up on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is right; [I. Def. 10] therefore the angle GDB is right. But the angle FDB is also right; therefore the angle FDB is equal to the angle GDB, the greater to the less: which is impossible. Therefore G is not the centre of the circle ABC.

In ipsa enim recta BD, aliud punctum, praeter F, non erit centrum, cum omne aliud punctum ipsam dividat inaequaliter, quandoquidem in F, divisa fuit aequaliter. si igitur F, non est centrum, sit punctum G, extra rectam BD, centrum, a quo ducantur lineae GA, GE, GC. Quoniam ergo latera AE, EG, trianguli AEG, aequalia sunt lateribus CE, EG, trianguli CEG; et basis AG, basi CG; (a centro enim ducuntur) erunt anguli AEG, CEG, aequales,³ ideoque recti: Erat autem et angulus AEF, rectus ex constructione. Igitur recti AEF, AEG, aequales sunt, pars et totum. quod est absurdum. Non est ergo punctum G, centrum;

3. 8. primi.

論曰。如云不然。令言心何在。彼不得言在己之上、下。何者。乙丁線。旣平分於己。離平分。不能為心故。必言心在乙丁線外、為庚。卽令自庚至丙、至戊、至甲。各作直線。則甲庚戊角形之甲戊。旣與丙庚戊角形之丙戊兩邊等。戊庚同邊。而庚甲、庚丙、兩線。俱從心至界。宜亦等。卽對等邊之庚戊甲。庚戊丙、兩角。宜亦等。一卷八而為兩直角矣。一卷界說十夫乙戊甲、旣直角。而庚戊甲¹ 、又為直角。可不可也。

1. Probably read 己戊甲 so that chi corresponds to the argument

Similarly we can prove that neither is any other point except F.

eademque est ratio de omni alio.

Therefore the point F is the centre of the circle ABC.

Quare F, centrum erit. Itaque dati circuli centrum reperimus. Quod etat faciendum.

PORISM
From this it is manifest that, if in a circle a straight line cut a straight line into two equal parts and at right angles, the centre of the circle is on the cutting straight line. Q. E. F.

CORROLARIUM
HINC manifestum est, si in circulo recta aliqua linea aliquam rectam lineam bifariam, et ad angulos rectos secet, in secante esse centrum circuli. Nam ex eo, quod BD, recta rectam AC, bifariam secat in E, et ad angulos rectos, ostensum fuit, punctum eius medium F, necessario esse circuli centrum.⁴

4. For ‘Quod etat faciendum.’ see two records above.

系。因此推顯、圜內有直線。分他線為兩平分、而作直角。卽圜心在其內。

Permanent link

http://www2.hf.uio.no/common/apps/permlink/permlink.php?app=polyglotta&context=ctext&uid=696d9e44-3ed4-11e1-aecb-00215aecadea

Choose languages

Choose images, etc.

Choose languages

Choose display