X. DVÆ lineæ rectæ non habent vnum & idem segmentum commune.
NON est difficile istud axioma, si perfectè intelligatur natura rectæ lineæ. Cum enim linea recta directo semper itinere, nullam in partem deflectendo, producatur, fieri nulla ratione potest, vt duæ lineæ rectæ habeant vnam partem, quamuis minimam, communem, præter vnicum punctum, in quo se mutuo intersecant. Quod tamen breuiter Proclus it a demonstrat. Habeant, si fieri potest, duæ rectæ A B, A C, partem communem A D. Ex centro autem D, & interuallo D A, ¹ describatur circulus secans duas rectas propositas in punctis B, & C; ² Erunt igitur duæ circumferentiæ A B, A B C, inter se æquales, (Sunt enim circumferentiæ semicirculorum æqualium, cum A D B, A D C, ponantur esse diametri) pars & totum, quod est absurdum. Non ergo duæ rectæ habent vnum & idem segmentum commune. Quod est propositum.
POSSVNT tamen duæ lineæ rectæ commune habere segmentum, quando vnam & eandem rectam lineam constituunt. Vt in hac figura, rectæ A D, B C, commune habent segmentum C D, quia ambæ vnam rectam constituunt lineam A B. At vero quando duæ rectæ sunt diuersæ, quales fuêre A B, A C, in superiori exemplo, non possunt possidere segmentum aliquod commune, vtrectè à Proclo fuit demonstratum.
XI. DVÆ rectæ in vno puncto concurrentes, si producantur ambæ, necessario se mutuo in eo puncto intersecabunt.
HOC etiam axioma ex natura lineæ rectæ pendet. Quodtamen ita demonstrabimus Coeant duæ rectæ A B, C B, in B. Dicoillas productas se mutuo secare in B, nempe C B, productam cadere in E, supra rectam A B, productam Nam si C B, producta non cadit supra A B, productam, congruet cum A B, producta, ita vt transeat per D, atque ita duæ rectæ A B D, C B D, habebunt idem segmentum commune B D, quod in antecedenti axiomate ostensum est fieri non posse: vel certè infra A B, productam cadet, ita vt C B, producta cadat in F, sitque vna recta linea C B F. Centro igitur B, describatur ad quoduis interuallum circulus A C F D, secans rectas A B, C B, productas in D, F. Quia ergo vtraque recta A B D, C B F, per centrum B, ducitur, erit tam A C D, quàm C F, semicirculus, per defin. 18. ac proinde æquales erunt circumferentiæ A C D, C F. vt ad defin. 17. demonstrauimus, totum & pars. Quod est absurdum. DVO proxima axiomata ab Euclide non ponuntur, quia tamen necessaria sunt ad aliorum axiomatum probationes, ea bîcinseruimus. Tria autem sequentia Euclidis sunt.
XII. ITEM, omnes anguli recti sunt inter se æquales.
Hoc axioma apertissimum esse cuilsbet potest ex 10. definitione, quâ angulus rectus describitur; propterea quod inclinatio linearum angulum rectum constituentium augeri, minuíue nequit, sed prorsus est immutabilis. Efficitur enim rectus angulus à linea perpendiculari, quæ quidem alteri lineæ rectæ ita superstat, vt faciat vtrobique angulos æquales, neque magis in vnam partem, quàm in alteram inclinet. Ex quofit, omnes angulos rectos æquales inter se esse, cum semper sit eadem inclinatio, quamuis lineæ sint inæquales interdum. Conatur tamen Proclus ex 10. definitioneid demonstrare hacratione. Sint duo angulirecti A B C, D E F, quos dico esse inter se æquales. Si enim fieri potest, sintinæquales, sitqúe A B C, maior. Si igitur mente concipiamus punctum E, applicari puncto B, & rectam D E, rectæ A B, cadetrecta E F, interrectas A B, B C, qualis est B G, propterea quod angulus D E F, minor ponitur angulo A B C. ³ Producatur C B, in rectum & con 2. petit tinuum vsque ad H. Cum igitur angulus A B C, sit rectus, ⁴ erit angulus A B H, illi deinceps æqualis, & rectus quoque: quare maior fin. etiam angulo A B C. ⁵ Producta autem G B, in rectum & continuum vsque ad 1, cadet portio producta B I, infra C B, productam, vt in præcedenti axiomate est demonstratum. Quare cum angulus A B G, ponatur rectus, ⁶ fiet angulus A B I, illi deinceps æqualis. Quapropter angulus A B H, maior quoqueerit angulo A B I, pars tofin. to, quod est absurdum. Non ergo inæquales sunt duo anguli recti propositi, sed æquales. Quod est propo situm: eademqúe est ratio in cæteris.
RECTE autem boc loco monet Pappus, axioma istudnon posse conuerti; non enim omnis angulus recto angulo æqualis rectus est, cum & curuilineus recto æqualis esse queat, vt in 5. lib. demon strabimus, quitamen non dicitur rectus, cum non sitrectilineus. Solus igitur angulus rectilineus æqualis angulo recto, rectus nuncupabitur: Et omnes angult recti inter se æquales erunt, sine vlla exceptione.
XIII. ET si in duas rectas lineas altera recta incidens, internos ad easdem´que partes angulos duobus rectis minores faciat, duæ illæ rectæ lineæ in infinitum productæ sibi mutuo incident ad eas partes, vbi sunt anguli duobus rectis minores.
VT si in duas lineas rectas A B, C D, incsdens alia recta E F, faciat duos angulos internos, & ex eadem parte B E F, D F E, minores duobus rectis, vult Euclides, illas tandem conuentur as esse ad aliquod punctum vnum, versus eam partem, in qua duo anguli minores existunt duobus rectis, vt appositum exemplum commonstrat. Ratio huius perspicua est, quoniam quando duo anguli internt, & ex eadem parte æquales sunt duobus rectis, duæ rectæ lineæ in neutram partem coire possunt, sed æquali semper spatio protenduntur, vt propositio 28. huius liber demonstrabitur. Quare si duo anguli interni, & ex eadem parte efficiuntur minores duobus rectis, necesse est ex ea parte dictarum linearum spatium coarctari, ex altera vero magis ac magis dilatari; ideoque eas conuentur as tandem esse aliquando in vnum punctum. Verum quia axioma hoc sub obscurum videri solet tyronibus, imo à numero principiorum reijcitur à Gemino Geometra, Proclo, & alijs, quod non facilè quiuis ei assensum præbeat; præsertim cumreperiantur aliæ quædam lineæ, quarum spatium, licet semper magis ac magis coangustetur (quemadmodum & in duabus rectis A B, C D, accidit, vt ad propositionem 28. huius liber demon strabimus) nunquam tamen in vnum punctum coeunt, etiamsi infinitè producantur, vt constat ex elementis conicis Apollonij Pergæi, & ex linea conchili Nicomedis. Idcirco pleniorem illius explicationem in scholiuns propositio 28. huius liber differimus, vbi illud ex Procli sententia Geometricè demonstrabimus, vt firmè, ac sine vlla dubitatione, tanquam verissimũ, ad propositionis 29. huius liber (vbi primum eius vsus incipit apparere) & ad aliarum propositionum demonstrationes possit assumi. Quod tamen nos aliter quàm Proclus, & quidem magis geometricè demonstrabimus, ita vt nullus dubitatione locus relinquatur.