eng(Being) what it was required to do.
lat Clavius p. 35-39Quod faciendum erat.
SCOLIUM
VT autem videas, plures demonstrationes in vna propositione contineri, placuit primam hanc propositionem resoluere in prima sua principia, initio facto ab vltimo syllogismo demonstratiuo. Si quis igitur probare velit, triangulum A B C, constructum methodo prædicta, esse æquilaterum, vtetur hoc syllogismo demonstrante.
Omne triangulum habens tria latera æqualia, 1
est æquilaterum.
Triangulum A B C, tria habet æqualia latera.
Triangulum igitur A B C, est æquilaterum. Minorem confirmabit hoc alio syllogismo. Quæ eidem æqualia sunt, 2
inter se quoque sunt æqualia.
Duo latera A C, B C, æqualia sunt eidem lateri A B.
Igitur & duo latera A C, B C, inter se æqualia sunt.
Ac propterea omnia tria latera A B, B C, A C, æqualia existunt.
Minorem verò huius syllogismi hac ratione colliget.
Lineæ rectæ à centro ductæ ad circumferentiam circuli, 3
inter se sunt æquales.
Lineæ A B, A C, sunt ductæ à centro A, ad circumferentiam C B D.
Sunt igitur lineæ A B, A C, æquales inter se. Eademqúe ratione erunt lineæ A B, B C, æquales, cùm ducantur à centro B, ad circumferentiam C A D. Quamobrem minor præcedentis syllogismi tota confirmata erit.
Non aliter resolui poterunt omnes aliæ propositiones non solùm Euclidis, verùm etiam cæterorum Mathematicorum.
Negligunt tamen Mathematici resolutionem istam in suis demonstrationibus, eò quòd breuiùs ac faciliùs sine ea demonstrent id, quod proponitur, vt perspicuum esse potest ex superiori demonstratione.
SI quis autem super data recta desideret constituere triangulum quoque Isosceles, & scalenum, id cum Proclo in hunc modum efficiet. Sit recta linea A B, circa quam ex centris A, & B, describantur duo circuli, vti prius. 4
Deinde producatur A B, in tramque partem ad circumferentias vsque ad puncta C, & D. Atque centro A, interuallo vero A D, 5
describatur circulus E D F. Item centro B, interuallo vero B C, circulus E C F, secans priorem in punctis E, & F. Ex quorum vtrolibet, nempe ex E, 6
ducantur ad puncta A, & B, duæ rectæ E A, E B. Factumque erit super recta A B, 7
triangulum A B E; quod dico esse Isosceles, nimirum duo later a A E, B E, esse & æqualia inter se, & maiora latere A B. Cùm enim rectæ A E, A D, ducantur è centro A, ad circumferentiam E D F, 8
erit A E, æqualis rectæ A D. Item cùm rectæ B E, B C, ducantur è centro B, ad circumferentiam E C F, 9
erit B E, æqualis rectæ B C. Sunt autem rectæ A D, B C, æquales inter se (vtraque enim A C, & B D, æqualis est rectæ A B; cum A B, A C, ex eodem centro A, ad circumferentiam ducantur; Item B A, B D, ex eodem centro B, ad circumferentiã quoque egrediantur. 10
Quare A C, B D, æquales inter se erunt. Addito igitur communi recta A B, 11
erit tota A D, toti B C, æqualis.) 12
Igitur A E, 2 B E æquales quoque inter se erunt. Quòd verò vtraque A E, B E, 13
maior sit quàm A B, perspicuum est, cum A D, æqualis ostensa ipsi A E, maior sit quàm A B; Item B C, æqualis demonstrata ipsi B E, 14
maior quoque sit, quàm A B. Constitutum igitur est super recta A B, Isosce. 9. pron les A B E, babens duo latera A E, B E, æqualia inter se, & maiora listere A B, quod faciendum erat. Atque hæc est demonstratio Procli, aliorumque interpretum Euclidis.
BREVIVS tamen videtur mihi posse demonstrari, triangulum A B E, esse Isosceles, hac ratione. 15
Quoniam A E, æqualis est rectæ A D, & recta A D, est dupla rectæ A B, propterea quòd B A, B D, æquales inter se sunt; erit & A E, dupla rectæ A B. Rursus quia B E. 15. def æqualis est rectæ B C, & B C, dupla est ipsius A B, propterea quòd A B, 16
A C, æquales sunt inter se, erit & B E, dupla ipsius A B. Cùm igitur vtraque 17
A E, B E, dupla sit eiusdem A B, erunt A E, B E, inter se æquales, maioresque, propterea recta A B. Isosceles ergo est triangulum A B E.
IAM verò, si ex puncto A, 18
ducatur linea recta A G, ad circumferentiam E G F, quæ non sit eadem quæ A E, vel A D, secans circumferentiam E H D, in puncto H, & ex G, ad B 19
ducatur aliæ recta G B, constitutum erit triangulum A B G, super recta A B, 20. def quod dico esse scalenum. Quoniam 20
A G, maior est quàm A H: 21
Sunt autem A H, A E, ex centro A, ductæ, inter se æquales; erit & A G, maior quàm A E, hoc est, quàm B E, quæ ostensa est æqualis ipsi A E, igitur & maior erit A G, quàm B G, cùm B G, sit æqualis ipsi B E. Est autem & B G, maior quàm A B. , propterea quòd tota B C, æqualis ipsi B G, 22
maior est quàm A B, pars. Omnia ergo tria 9. pron later a trianguli A B G, inæqualia sunt, ideoque scalenum est ex definitione; quoderat faciendum.
BREVIVS quoque ostendemus, triangulum A G B, esse scalenum, hac ratione. Quoniam tam 23
A H, A D, ex centro A, ductæ sunt æquales, quàm B G, B C, ex centro B, ductæ: Sunt autem A D. B C, ipsius A B, duplæ, quod A B, vtrique B D, A C, æqualis sit; erunt quoque A H, B G, ipsius A B, duplæ, ac propterea maiores, quàm A B. Cùm ergo 24
A G, maior sit, quàm A H, siue quàm B G, scalenum 9 pron erit triangulum A G B, habens latus A G, maximum, B G, medium, & A B, minimum.
PRAXIS.
CONABIMVR in singulis ferè problematibus Euclidis tradere praxin quandam facilem, & breuem, qua effici possit id, quod Euclides pluribus verbis, atque lineis contendit construere; ldqúe in ijs præsertim obseruabimus, quæ frequentiorem vsum habent apud Mathematicos, & in quibus praxis compendium aliquodsecum videtur afferre.
ITAQVE triangulum æquilaterum ita facilè construetur super data recta A B. Ex centris A, & B, interuallo vero datæ rectæ A B, describantur duo arcus circulorum seintersecantes in puncto C, siue hoc infra lineam contingat, siue suprà. Post bæc ducantur duæ rectæ A C, B C, ex puncto C, ad puncta A, & B, factumqúe erit, quod proponitur. Cuius recadem est demonstrasio cum superiori, simodò circuli essent integri, acperfecti. Transirent enim necessariò per puncta A, & B.
ISOSCELES ita conficietur. Ex centris A, & B, interuallo vero maiore quám A B, si datam rectam esse velimus minus latus; veminore, si eandem in latus maius cligamus, describantur duo arcus secantes se in C. Postea ducantur recta A C, & B C, constructumqúe erit Isosceles: quoniam A C, B C, æquales erunt, propter æquale interu allum assumptum, maius scilicet, aut minus quàm recta A B.
SCALENVM denique hoc modo fabricabitur super data recta A B. Ex centro B, interuallo vero maiore, quam B A, describatur arcus aliquis. Item ex centro A, interuallo vero adhuc maiore, quàm prius assumptum, describatur alter arcus priorem secans in C. Deinde ducantur rectæ A C, B C; constitutumqúe erit Scalenum, vt constat ex inæqualitate interuallorum, quæ assumpta fuerunt in constructione.
CAETERVM quo pacto triangulum constitui debeat habens tria latera æqualia tribus datis lineis quibuscunque, singula singulis, latrùs explicabimus propositio 22. huius libri.
1. 23. def. 2. 1. pron. 3. 15. def. 4. 2. pet. 5. 3. pet. 6. 1 pet. 7. 20 def. 8. 15. def 9. 15. def 10. 1. pron 11. 2. pron 12. 1. pron 13. 1. pron 14. 9. pron 15. 15. def. 16. 15. def. 17. 6. pro. 18. 1. petit. 19. 1. pet. 20. 9. pro. 21. 15. def. 22. 9. pro. 23. 15. def. 24. 9. pron.
kin 幾何原本 p.21-22如所求。凡論有二種。此以是為論者。正論也。下倣此。
其用法。不必作兩圜。但以甲為心。乙為界。作近丙一短界線。乙為心。甲為界。亦如之。兩短界線交處。卽得丙。
諸三角形。俱推前用法作之。詳本篇廿二。
http://www2.hf.uio.no/common/apps/permlink/permlink.php?app=polyglotta&context=record&uid=a9f1a120-561b-11df-870c-00215aecadea
Title
Book I
