lat Clavius p. 42-43Quod demonstrandum erat.
RECTE Euclides duas conditiones posuit in antecedente huius theorematis, quarum prima est, vt duo latera vnius trianguli æqualia sint duobus lateribus alterius trianguli, vtrumque vtrique; Secunda, vt angulus etiam vnius contentus illis lateribus æqualis sit angulo alterius contento lateribus, quæ is iis sunt æqualia. Deficiente enim alterutra harum conditionum, neque bases, neque reliqui anguli poterunt vnquam esse æquales, vt probe hoc loco à Proclo demonstratur: Triangula verò ipsalicet possint esse æqualia, posteriore duntaxat conditione deficiente, vt ex scholio propos, 37. huius liber constabit, tamen rarò admodum illud continget. Sint enim triangulorum A B C, D E F, anguli A, & D, æquales, nempe recti, & latera A B, A C, æqualia lateribus D E, D F, non quidem vtrumque vtrique, sed illa simul sumpta hisce simul sumptis, sitque A B, 3. A C, 4. vt ambo simul efficiant 7. At verò D E, sit 2. & D E, 5. vt ambo quoque simul 7. constituant. Quibus posisitis, erit basis B C, 5, & b isis E F, radix quadrata huius numeri 29. quæ maior quidem est quam 5. minor autem, quam 6. Item area trianguli A B C, erit 6. area verò trianguli D E F, 5. Anguli denique super basim B C, inæquales erunt angulis super basim E F. Quæ quidem omnia ita esse, hic ostenderemus, nisi adeorum demonstrationem requirerentur multa, quæ nondum sunt confirmata. Vides igitur omnia inæqualia esse, propterea quod non vtrumque latus vtrique lateri æquale existit in dictis triangulis A B C, D E F.
RVRSVS triangulorum A B C, D E F, latera A B, A C, æqualia sint lateribus D E, D F, vtrumque vtrique, sitqúe vnumquodque 5. anguli verò A, & D, contenti dictis lateribus inæquales, sitqúe A, maior quam D. Quibus concessis, erit basis B C, maior base E F, vt propositio 24. huius libri ostendetur. Quod si basim B C. ponamus esse 8. basim autem E F, 4. erit area trianguli A B C, 12. area verò trianguli D E F, radix quadrata huius numeri 84. quæ maior quidem est quam 9. minor verò, quam 10. id quod notissimum est Geometris. Vt igitur duorum triangulorum & bases, & anguli, nec non triangula ipsa æqualia inter se sint, necesse est, vt vtrumque latus vnius æquale sit vtrique lateri alterius, & anguli quoque dictis lateribus contenti æquales existant, vt optimè dixit Euclides.
Title
Book I
