lat ClaviusQuod est propsitum.
CADAT secundo punctum F, in punctum E. Dico rursus, parallelogramma C D E A, C D B E, æquala esse. Erunt enim, ut prius, rectæ AE, EB, æquales, nec non & anguli B E D, E A C; atque adeo triangula, E A C, B E D, æqualia. Addito igitur communi triangulo C D E, fient parallelogramma C D E A, C D B E, æqualia.
CADAT tertio punctum F, ultra E, ita ut recta CF, secet rectam D E, in G. Quoniam igitur, ut prius, rectæ A E, F B, sunt æquales; si communis addatur E F; erit tota A F, toti E B, æqualis, nec non & anguli B E D, F A C, æquales erunt; atque adeo triangulum F A C, triangulo B E D, æquale. Ablato ergo communi triangulo E G F, remanebit trapezium A E G C, trapezio FGDB, æquale. Quocirca addito communi triangulo C D G, fiet totum parallelogrammum C D E A, toti parallelogrammo C D B F, æquale. Parallelogramma igitur super eadem basi, & in eisdem parallelis constituta, inter se sunt æqualia. Quod erat demonstrandum.
SCHOLION
CONVERTEMVS facile hanc propositionem, hoc modo.
PARALLELOGRAMMA æqualia super eandem basin, ad easdemque partes censtituta, erunt inter easdem parallelas.
SINT duo parallelogramma æqualia A B C D, C D E F, super eandem basin C D, & ad easdem partes. Dico rectam A B, productam in directum iacere ipsi E F, & propterea ipsa parallelogramma inter easdem esse parallelas. Alias enim A B, producta vel cadet infra E F, vel supra. Cadat primo infra, qualis est A H. Erit igitur parallelogrammum C D G H, æquale parallelogrammo A B C D; Ponitur autem eidem parallelogrammo A B C D, æquale parallelogrammum C D E F. Quare parallelogramma C D E F, C D G H, æqualia erunt, totum & pars, quod est absurdum. Non ergo cadet A B infra E F.
CADAT secundo A B, producta supra E F. Cadet igitur F E, protracta infra AB. Quare, ut prius, erunt parallelogramma A B C D, C D H G, æqualia, totum & pars, quod est absurdum. Idem absurdum consequeretur, si C F, D E, producerentur usque ad A B, protractam. Eademque demonstratio conueniet omnibus casibus, qui occurrere possunt, hoc est, siue punctum E, sit ultra B, siue non, ut perspicuum est. Non ergo cadet A B, supra E F; sed nec infra, ut demonstratum est; ergo producta in directum iacet ipsi E F; ac proinde parallelogramma A B C D, C D E F, in eisdem sunt parallelis.
Title
Book I
