lat ClaviusQuod faciendum erat.
EX PROCLO
LINEARVM æqualium æqualia sunt quadrata: & quadratorum æqualium æquales sunt lineæ.
SINT primum rectæ A B, C D, æquales. Dico eorum quadrata A B E F, C D G H, æqualia quoque esse. Ductis enim diametris B F, D H, erunt duo latera B A, A F, trianguli B A F, duobus lateribus D C, C H, trianguli D C H, æqualia, utrumque utrique, cum ex definitione quadrati rectæ A F, C H, æquales sint rectis A B, C D. Sunt autem & anguli A, & C, æquales, nempe recti. Igitur triangula B A F, D C H, æqualia erunt. Quæ cum sint dimidia quadratorum, erunt & quadrata tota æqualia. Quod est propositum.
SINT deinde quadrata A B D E, B C F G, æqualis. Dico lineas quoque ipsorum A B, B C, æquales esse. Coniungantur enim quadrata ad angulum B, ut rectæ A B, B C, in directum constituantur. Et quoniam anguli A B G, A B D, sunt recti, erunt & rectæ G B, B D, in directum constitutæ. Ducantur diametri A D, C G, iunganturque rectæ A G, C D. Quoniam igitur quadrata A B D E, B C F G, æqualia sunt, erunt & triangula A B D, B C G, eorum dimidia, æqualia. Addito ergo communi triangulo B C D, fiet totum triangulum A C D, toti triangulo G D C, æquale. Quare triangula A C D, G D C, cum eandem habeant basin C D, ad easdemque sint partes, in eisdem sunt parallelis: ideoque parallelæ sunt A G, C D. Et quoniam, ut in scholio propositio 34. ostendimus, diameter in quadrato secat angulos quadrati bifariam, erunt anguli D A C, G C A, alterni semirecti, ideoque æquales. Quamobrem, & parallelæ sunt A D, C G. Igitur parallelogrammum est A D C G: ac propterea rectæ A D, C G, æquales. Quoniam ergo in triangulis A B D, B C G, latera A D, C G, æqualia sunt, & anguli quibus ea latera adiacent, inter se etiam æquales, cum sint semirecti, ut in scholio propositio 34. ostensum fuit: erunt reliqua latera æqualia, nempe A B, ipsi B C, &c. Quod est propositum.
SCHOLION
POSSENT hæc omnia multo breuius probari per superpositionem quadrati unius super aliud. Nam si lineæ sint æquales, si unæ alteri superponatur, congruent ipsæ inter se. Cum ergo & anguli sint æquales, nempe recti, conuenient quoque ipsi inter se, ideoque totum quadratum toti quadrato congruet. Quod si quadrata sint æqualia, congruent ipsa inter se, propter æqualitatem angulerum. Igitur & lineæ; alias unum quadratum alio maius esset.
Title
Book I
