XXXIV. PARALLELÆ rectæ lineæ sunt, quæ cum in eodem sint plano, & ex vtraque parte in infinitum producantur, in neutram sibi mutuo incidunt.
VT duæ, vel plures rectæ lineæ dicantur parallelæ siue æquidistantes, non sat is est, vt in quamcunque partem, etiam spatio infinito, product æ nunquam ad vnum punctum coeant; sed necesse quoque est, vt in vna plana superficie existant. Multæ siquidem lineærectæ non existentes in eadem superficie plana productæ ad spatium infinitum, nunquam in vnum conueniunt, & tamen non sunt parallelæ dicendæ; quales sunt, exempli gratia, duæ rectæ lineæ in transuersum positæ in medio aëre, & non se tangentes; Hæ etenim nunquam coire possunt. Dicuntur autem duæ rectæ lineæ in eadem existere planæ superficie, quande superficies aliqua plana vni earum accommodata, ita vt omnia puncta illius tangat, & circa illam immobilem circumuoluta, alteri quoque accommodari potest secundum omnia eius puncta, quamuis re ipsa in duabus superficiebus diuersis reperiantur; Vt propositis duabus rectis lineis A B, C D, si superficies aliqua plana rectæ A B, applicetur, omnia cius tangens puncta, ita vt circa illam circumducta tangat quoque omniæ puncta alterius rectæ C D; dicentur huiusmods rectæ duæ lineæ in eadem superficie plana existere, alias non. Si igitur hæ duærectæ lineæ eædem non coëant, etiamsi infinitè producantur tam ad partes A, C, quàm ad B, D, appellabuntur parallellæ, siue æquidistantes. Cæterum planius, perfectiusque intelliges in x i. liber quo modo duæ rectæ lineæ, vel etiam plures in eadem dicantur superficie existere: Satis sit hoc loco breuiter admonuisse, rectè ab Euclide vtramque conditionem esse positam in definitione linearum parallelarum. Debent enim in eodem existere plano, & productæ in vtramuis partem nunquam in vnum conuenire, quanquam hæc productio continuetur ad spatium infinitum. Quod si duæ rectæ lineæ per immensum aliquod spatium extensæ non cernantur coire, constet tamen, eas tandem ex vna parte longius protractas in vnum punctum conuentur as, quamuis ex altera semper magis ac magis inter sedistent, ac disiungantur, nequaquam appellandæ erunt par allelæ. Quotiescunque ergo duæ line æ rectæ dicuntur à quopiam esse parallelæ, is necesse est concedat, illas in vna, eademqúe superficie iacere, & nunquam posse coire. Similiter, si quis concludere velit, duas rectas lineas esse parallelas, hic demonstret prtus oportet, eas in eodem existere plano, & in neutram partem productas coniungi posse. Qua in re non pauci videntur hallucinari, qui ex eo duntaxat conantur ostendere, aliquas rectas lineas esse parallelas, quod in neutram partem coeant, etiamsi infinitè produæantur, nullæ facta prorsus mentione alterius conditionis, quæ easdem lineas in eodem requirit existere plano.
HIC finem imponit Euclides definitionibus primi libri. Quoniams vero hoc eodem libro mentio fiet figuræ, quæ Parallelogrammum, necnon earum, quæ complementa parallelogrammi dicuntur, necessarium esse duximus, duabus definitionibus adiunctis explicare, quid sit Parallelogrammum, & quæ sint parallelogrammi complementa, vt facilius dem on strationes percipiantur.
XXXV. PARALLELOGRAMMVM est figura quadrilatera, cuius bina opposita latera sunt parallela, seu æquidistantia.
VT figura quadrilatera A B C D, siquidem latus A B, æquidistet lateri D C, & latus A D, lateri B C, nuncupatur Parallelogrammum. Sunt autem quatuor solum parallelogramma; Quadratum, figura alter a parte longior, Rhombus, & Rhomboides, quorũ priora duo rectangula, quod omnes angulos habeant rectos, posteriora vero duo non rectangula vocantur, quod nullus in eis angulus existat rectus. Cæterum, quatuor has figuras esse parallelogramma, ostendenus ad propositionem 34. huius liber Itaque possumus quadrilater as figur as, (vt & antiqui Geometræ) diuidere in Parallelogrammum, & Trapezium. Parallelogrammum rursus in rectangulum, & æquilaterum, quale est Quadratum: in nec rectangulum, nec æquilaterum, quale est Rhomboides; in rectangulum, sed non æquilaterum, qualis est figura altera parte longior: & in æquilaterum, sed non rectangulum, cuiusmodi est Rhombus. Trapeziorum quoque aliud quidem habet duo latera opposita parallela, alia vero minimè aliud autem nulla opposita latera habet parallela. Præterea illud prius vel habet duo illa latera quæ non sunt parallela, inter se æqualia, diciturqúe Trapez ium Isosceles: vel inæqualia, Trapeziumqúe Scalenum appellatur. Itaque ex his omnibus septem genera figurarum quadrilaterarum constitus possunt; Quadratum, figura altera parte longior, Rhombus, Rhomboides, Trapezium Isosceles, Trapezium Scalenum, & Trapezium illud irregulare, in quo nulla latera sunt parallela.
XXXVI. CVM vero in parallelogrammo diameter ducta fuerit, duæque lineæ lateribus parallelæ secantes diametrum in vno eodemque puncto, ita vt parallelogrammum ab hisce parallelis in quatuor distribuatur parallelogramma; appellantur duo illa, per quæ diameter non transit, complementa; duo vero reliqua, per quæ diameter incedit, circa diametrum consistere dicuntur.
SIT parallelogrammum A B C D, in quo diameter A C, & linea E F, secans diametrum in G, & parallela existens la teribus A D, B C. Item linea H I, secans diametrum in eodem puncto G, parallelaque lateribus A B, D C, existens. Quæ cum it a sint, per spicuum est, parallelogrammum totum diuisum esse in quatuor par allelogramma, quorum quidem duo E B I G, G F D H, per quæ diameter A C, non transit, vocantur a Geometris complementa siue supplementa reliquorum duorum A E G H, G I C F. quæ dicuntur circa diametrum consisiere, quippecum perea diameter transeat, vt videre est in præsenti figura.