XV. SI æqualibus in æqualia adjiciantur, erit totorum excessus, adiunctorum excessui æqualis.
HOC, & sequens pronunciatum desumpsit Proclus ex Pappo. Aequalibus itaque quãtit itibus A B, C D, addantur inæquales B E, D F, sitqúe B E, mator quàm D F. Et ex B E, auferatur B G, æqualis ipsi D F, vt sit G E, excessus, quo quantitas addita B E, superat quantitatem additam D F Quoniam igitur æqualibus A B, C D, addita sunt æqualia B G, D F, crunt tota AG, C F, 2. pron æqualia. Quare constat, totam quantitatem A E, superare totam C F, codem excessu G E, quo magnitudo D F, adiuncta à magnitudine adiuncta B E, superatur. Quodest propositum.
XVI. SI inæqualibus æqualia adiungantur, erit totorum excessus, excessui eorum, quæ à principio erant, æqualis.
IN eadem figura, inæqualibus quantitatibus B E, D F, addantur æquales A B, C D. Et ex maiore B E, auferatur B G, æqualis ipsi D F, vt G E, sit excessus; quo quantitas B E, quantitatem D F, superat. Quoniam igitur æqualibus B G, D F, addita sunt æqualia A B, C D, erunt tota A G, C F, æqualia. Quamobrem tota quantitas 2 pron A E, superabit totam C F, eodem excessu G E, quo maior quantitas proposita B E, minorem D F, superat. Quod est propositum.
XVII. SI ab æqualibus inæqualia demantur, erit residuorum excessus, excessui ablatorum æqualis.
AB æqualibus A B, C D, auferantur inæqualia B E, D F. Sitqúe E G, excessus, quo quantitas B E superat quantitatem D F, ita vt B G, æqualis sit ipsi D F. Quia igitur ab æqualibus A B, C D, ablata sunt æqualia B G, D F, remanebunt A G, C F, æqualia. Perspicuum 3. pro. ergo est, residuum A E, superari à residuo C F, eodem excessu E G, quo magnitudo ablata B E, ablatam magnitudinem D F, superat. Quod est propositum.
XVIII. SI ab inæqualibus æqualia demantur, erit residuorum excessus excessui totorum æqualis.
AB inæqualibus A B, C D, aufer antur æqualia A E, C F. Sitqúe B G, excessus, quo tota quantitas A B, superat totã quantitatem C D, ita vt A G, æqualis sit ipsi C D. Quoniam igitur ab æqualibus A G. C D, ablata sunt æqualia A E, C F, remanebune E G, F D, æqualia. Quare residuum E B, super abit residuum F D, eodem excessu B G, quo tota quantitas A B, superat totam quantitatem C D. Quod est propositum. IN his quoque quatuor proximè positis pronunciatis, nomine quãtitatum æqualium intelligenda est vna etiam sola quantitas multis communis. Si enim eidem communi inæqualia adijciantur, erit totorum excessus adiunctorum excessui æqualis. Et si inæqualibus idem commune adiungatur, erit totorum excessus, excessui eorum, quæ à principio erant, æqualis. Et si ab eodem communi inæqualia demantur, eritresiduorum excessus excessui ablatorum æqualis. Et si ab inæqualibus idem commune dematur, erit residuorum excessus excessui totorum æqualis. Nam in numeris, si ad 6. addas 5. & 3. fiunt 11. & 9. quorum excessus est 2. idem qui ipsorum 5. & 3. Rursus, si ad 5. & 3. addas 6. fiunt 11. & 9. quorum excessus 2. idem est, qui ipsorum 5. & 3. Item si ex 8. demas 5. & 2. relinquuntur 3. & 6. quorum excessus 3. idem est, qui ipsorum 5. & 2. Denique si ex 10. & 7. demas 3. relinquuntur 7. & 4. quorum excessus 3. idem est, qui ipsorum 10. & 7.
XIX. OMNE totum æquale est omnibus suis partibus simul sumptis.
QVONIAM omnes partes simul sumptæ constituunt totum, cuius sunt partes, manifesta est veritas huius axiomatis.
XX. SI totum totius est duplum, & ablatum ablati; erit & reliquum reliqui duplum.
VT quia totus numerus 20. duplus est totius numeri 10; Et ablatus ex illo 6. ablati ex hoc 3. propterea reliquus illius 14. duplus etiam est reliqui huius 7. In vniuersum autem hoc demon strabitur propositio 5. liber 5. nimirum. Si magnitudo magnitudinis æquè multiplex sit, atque ablata ablatæ, vt decupla, velcentupla, &c. & reliqua reliquæ æquè multiplex erit, atque tota totius.
COLLIGI potest ex dictis cum Proclo, & Gemino hoc discrimen inter postulata, & axiomata, quòd cùm vtraque sint per se nota, & indemonstrabilia, illanaturam sapiunt Problematum, propterea quòd aliquid fieri exposcant; hæc verò, Theoremata imitantur, cùm nihil fieri petant, sed solùm sententiam aliquam notissimam proponant. Differt autem postulatum à problemate, quòd constructio postulati non indigeat vlla demonstratione, problematis autem constructionem concedat nemo sine demonstratione, eo quòd difficile aliquod nobis exhibeat construendum. Idem discrimen inter Axioma, & Theorema reperitur; Illud enim demonstrari non debet, hoc verò concedendum nulla est ratione, nisi demonstretur. Nam nemo huius propositionis demonstrationem, vel etiam probationem requiret. Quæ eidem æqualia, inter se quoque æqualia sunt, Huius autem statim demonstrationem desider abit quis. Omnis trianguli tres anguli interni æquales sunt duobus rectis. Idem iudicium habeto de reliquis axiomatis, atque Theorematis, nec non de postulatis, problematisqúo.
CONSTAT quoque, Postulatorum alia propria esse Geometriæ, qualia sunt illa tria, quæ Euclides nobis proposuit; quædam verò communia & Geometriæ, & Arithmeticæ, cuiusmodi est hoc, Quantitatem posse infinitè augeri. Tam enim numerus, quàm magnitudo, per additionem augeri potest, ita vt nunquam huius incrementi finis reperiatur. Idem dices de axiomatis, siuepronunciatis. Nam octauum, decimum, vndecimum, duodecimum, tertiumdecimum, & quartumdecimum soli Geometriæ conueniunt; Reliqua verò omnia adhibentur & ad demonstrationes Geometricas & ad Arithmeticas. Quemadmodum enim magnitudines æquales ablatæ à magnitudinibus æqualibus, relinquunt magnitudines æquales, siue hæ magnitudines lineæ sint, siue superficies, siue corpora; ita quoque numeri æquales detractic numeris æqualibus relinquunt numeros æquales, &c.
HAEC dicta à nobis sint de triplici hoc genere principiorum, nune ad demonstrationes accedamus, ex quibus pleniùs perfectiúsque principiorum omnium natura percipietur. Sunt enim plurima principia Mathematicorum eiusmodi, vt planè non intelligantur, nisi priùs eorum vsus appareat in demonstrationibus; id quod satis te experientia docebit.
ANTEQVAM porrò ad propositiones Euclidis interpretandas veniamus, paucis explicandum est, quémnam ordinem, ac modum in ipsis demonstrationibus simus secuti. Primum cuilibet propositioni du s numeros affiximus, quorum alter in margine depictus significat ordinem, quem Campanus ex traditione Arabum est secutus in Euclidis propositionibus, alter verò in ipsa propositionum serie descriptus refert dispositionem propositionum ex traditione Theonis, & quam adhuc obseruari cernimus in codicibus Græcis. Id verò eo consilio à nobis est factum: quoniam cùm à quibusdam Geometris propositiones Euclidis iuxta ordinem Campani, ab alijs verò iuxta Theonis seriem citentur, maximeqúe interdum duo hi interpretes inter se discrepent, inserie, atque ordine propositionum, id quod maximè in 6. 7. & 10 liber perspicitur; necessarium esse duximus, vt vtriusque interpretis numerus apponeretur. Ita enim fiet, vt si quando numerus propositionum à Geometra quopiam citatus non respondet alteri interpreti, alteri saltem conueniat. Deinde ne cursus demonstrationum interrumperetur, citauimus principia, & propositiones Euclidis in margine, præfixa euilibet citationi semper literula aliqua alphabeti, vel alio quouis signo, cui similis literula, seu signum respondet in demonstratione, vt faciliùs cognoscatur, ad quem locum quælibet citatio sit referenda. Porrò citationes intelligendæ sunt hoc modo.
1. def. Prima definitio. & sie dealijs numeris , vt 4. def. 23. def. &c.
1. pet. Prima petitio, vel primum Postulatum.
1. Pron. Primum pronunciatum, seu axioma, & ita de reliquis numeris, vt priùs.
1. primi. Prima propositio primi libri.
23. Vndec. Vigesimatertia propositio vndecimi libri
6. tertijd. Sexta tertijdecimi libri.
9. sextid. Nona sextidecimi libri.
13. duod. Decimatertia libri duodecimi.
7. quind. Septima libri quindecimi.
5. quartid. Quinta libri quartidecimi, &c.
Ex his aliæ citationes à quolibet facilè poterunt intelligi. Eadem enim in omnibus est ratio.