5. Magnitudes are said to be in the same ratio, the first to the second and the third to the fourth, when, if any equimultiples whatever be taken of the first and third, and any equimultiples whatever of the second and fourth, the former equimultiples alike exceed, are alike equal to, or alike fall short of, the latter equimultiples respectively taken in corresponding order.
第六界
四幾何。若第一與二。偕第三與四。為同理之比例。則第一、第三、之幾倍。偕第二、第四、之幾倍。其相視。或等。或俱為大。俱為小。恆如是。
兩幾何。曷顯其能為比例乎。上第五界所說是也。兩比例。曷顯其能為同理之比例乎。此所說是也。其術通大合、小合。皆以加倍法求之。如一甲、二乙、三丙、四丁、四幾何。於一甲三丙。任加幾倍。為戊、為己。戊倍甲己倍丙。其數自相等。次於二乙四丁。任加幾倍。為庚、為辛。庚倍乙。辛倍丁。其數自相等。而戊與己。偕庚與辛。相視。或等。或俱大。或俱小。如是等、大、小、累試之恆如是。卽知一甲與二乙。偕三丙與四丁。為同理之比例也。
如初試之。甲幾倍之戊。小於乙幾倍之庚。而丙幾倍之己。亦小於丁幾倍之辛。又試之。倍甲之戊。與倍乙之庚等。而倍丙之己。亦與倍丁之辛等。三試之。倍甲之戊。大於倍乙之庚。而倍丙之己。亦大於(p. 二二○)倍丁之辛。此之謂或相等。或雖不等、而俱為大。俱為小。若累合一差。卽元設四幾何。不得為同理之比例。如下第八界所指是也。
下文所論。若言四幾何為同理之比例。卽當推顯第一、第三、之幾倍。與第二、第四、之幾倍。或等。或俱大、俱小。若許其四幾何、為同理之比例。亦如之。
>以數明之。如有四幾何。第一為三。第二為二。第三為六。第四為四。今以第一之三。第三之六。同加四倍。為十二。為二十四。次以第二之二。第四之四。同加七倍。為十四。為二十八。其倍第一之十二。旣小於倍第二之十四。而倍第三之二十四。亦小於倍第四之二十八也。又以第一之三。第三之六。同加六倍。為十八。為三十六。次以第二之二。第四之四。同加九倍。為十八。為三十六。其倍第一之十八。旣等於倍第二之十八。而倍第三之三十六。亦等於倍第四之三十六也。又以第一之三。第三之六。同加三倍。為九。為十八。次以第二之二。第四之四。同加二倍。為四。為八。其倍第一之九。旣大於倍第二之四。而倍第三之十八。亦大於倍第(p. 二二一)四之八也。若爾。或俱大、俱小。或等。累試之、皆合。則三與二。偕六與四。得為同理之比例也。
以上論四幾何者。斷比例之法也。其連比例法倣此。但連比例之中率。兩用之。旣為第二。又為第三。視此異耳。