You are here: BP HOME > BPG > Euclid: Elementa > fulltext
Euclid: Elementa

Choose languages

Choose images, etc.

Choose languages
Choose display
  • Enable images
  • Enable footnotes
    • Show all footnotes
    • Minimize footnotes
Search-help
Choose specific texts..
    Click to Expand/Collapse Option Complete text
Click to Expand/Collapse OptionTitle
Click to Expand/Collapse OptionPreface
Click to Expand/Collapse OptionBook I
Click to Expand/Collapse OptionBook ΙI
Click to Expand/Collapse OptionBook IΙΙ
Click to Expand/Collapse OptionBook IV
Click to Expand/Collapse OptionBook V
Click to Expand/Collapse OptionBook VI
Click to Expand/Collapse OptionBook VII
Click to Expand/Collapse OptionBook VIII
Click to Expand/Collapse OptionBook ΙΧ
Click to Expand/Collapse OptionBook Χ
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧI
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧIΙ
Click to Expand/Collapse OptionBook ΧIΙΙ
Βʹ 
Proposition 2. 
الشكل الثانى من المقالة الاولى 
(ب) 
(11) atha dvitīyaṃ kṣetram
第二題 
Πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι. 
To place at a given point (as an extremity) a straight line equal to a given straight line. 
A dato puncto date recte equam rectam ponere. 
نريد ان نبين كيف نصل بنقطة (ط) معلومة (ع) خطا مستقيما مساويا لخط مستقيم مفروض 
 
(12) tatraikābhīṣṭā rekhā kṛtāsti tad anyatrakṛtabindutas tattulyā rekhā (13) kartavyāstīti | 
一直線。線或內、或外、有一點。求以點為界。作直線。與元線等。 
Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ·  δεῖ δὴ πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι. 
Let A be the given point, and BC the given straight line.  Thus it is required to place at the point A (as an extremity) a straight line equal to the given straight line BC. 
Esto datus quidem punctus A. Data vero recta BG.  Oportet ergo a puncto A recte BG equam rectam ponere. 
فنجعل النقطة المفرضة (ا) والخط المفروض خط (ب ج)  ونبين كيف نصل نتقطة (ا) المفروضة خطا مستقيما مساويا الخط (ب ج) 
  می خواهیم کی از نقطه مفروض جون (ا) خطی محدود جون (ب ج) اخراج کنیم̈1  
(14) tatra binduḥ acihnaṃ kalpitaṃ rekhā bajaṃ kalpitam |  (15) acihnāt bacihnaparyantaṃ rekhā kāryā | 
法曰。有甲點。及乙丙線。  求以甲為界。作一線。與乙丙等。先以丙為心。乙為界。乙為心丙為界亦可作。作丙乙圜。第三求 
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ Β σημεῖον εὐθεῖα ἡ ΑΒ,  καὶ συνεστάτω ἐπ᾽ αὐτῆς τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΑΒ,  καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπ᾽ εὐθείας ταῖς ΔΑ, ΔΒ εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΒΖ,  καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΗΘ,  καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ Δ καὶ διαστήματι τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ. 
From the point A to the point B let the straight line AB be joined; [Post. 1]  and on it let the equilateral triangle DAB be constructed. [I. 1]  Let the straight lines AE, BF be produced in a straight line with DA, DB; [Post. 2]  with centre B and distance BC let the circle CGH be described; [Post. 3]  and again, with centre D and distance DG let the circle GKL be described. [Post. 3] 
Copuletur enim a puncto A in punctum B recta AB  et constituatur super ipsam trigonum equilaterum DAB.  Et educantur in directo rectis DA et DB recte AE et BZ.  Et centro quidem B, diastimati vero BG circulus scribatur GIT.  Et rursus centro D et spatio DI circulus scribatur IKL. 
فنصل بين نقطة (ا ب) بخط (ا ب)  ونعمل عليه مثلث متساوى الاضلاع كما عملنا فى الشكل الاول من هذا المقال وليكن مثلث (ا د ب)  ونخرج خطى (د ا) (د ب) على الاستقامة الاستقمة ولا نجعل لهما حدا  ثم نجعل نقطة (ب) مركزا ونخط ببعد (ب ج) دائرة (ج ه ز)  ثم نجعل نقطة (د) مركزا ونحظ ببعد (د ه) دائرة (د ه ط) 
میان (ا) و یکی از دو طرف خط به (ا ب) وصل کنیم  ص* و بر (ا ب) مثلث (ا ب د) متساوی الاضلاع بسازیم  ا* و (د ا) و (د ب) تا (ه) (ز) اخراج کنیم  ص* و بر (ب) ببعد (ب ج) دایره (ج ح ز) بکشیم  و بر (ب) ببعد (ب ج) دایره (ج ح ز) بکشیم ص* و بر (د) ببعد (د ز) دایره (ز ط ه) بس (ا ه) مراد باشد 
  (16) abarekhopari samatribhujaṃ abadaṃ kāryaṃ |    ba(17)kendrakaṃ bajena vṛttaṃ jajhavasaṃjñaṃ kāryaṃ |  da(18)barekhā dīrghā vṛttapālimilitā jhasaṃlagnā ca (19) kāryā | punar dajhena dakendrakaṃ hajhatavṛttaṃ (20) kāryam | daarekhā dīrghā bṛhadvṛttapāliha(21)saṃlagnā kāryā |
(22) tatra aharekhā bajarekhayā samānā jātā | (23) kutaḥ | 
次觀甲點、若在丙乙之外。則自甲至丙。作甲丙線。第一求如上前圖。或甲在丙乙之內。則截取甲至丙一分線。如上後圖。兩法俱以甲丙線為底。  任於上下作甲丁丙平邊三角形。本篇一。  次自三角形兩腰線引長之第二求其丁丙、引至丙乙圜界而止。為丙戊線。其丁甲、引之出丙乙圜外、稍長。為甲己線。  As did Clavius  末以丁為心。戊為界。作丁戊圜。其甲己線、與丁戊圜、相交於庚。 
Ἐπεὶ οὖν τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΗΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ.  πάλιν, ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΚΛΗ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΔΗ, ὧν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν.  λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΛ λοιπῇ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση.  ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ ἴση·  ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΛ, ΒΓ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση.  τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα·  καὶ ἡ ΑΛ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστὶν ἴση. 
Then, since the point B is the centre of the circle CGH,BC is equal to BG.  Again, since the point D is the centre of the circle GKL, DL is equal to DG. And in these DA is equal to DB;  therefore the remainder AL is equal to the remainder BG. [C.N. 3]  But BC was also proved equal to BG;  therefore each of the straight lines AL, BC is equal to BG.  And things which are equal to the same thing are also equal to one another; [C.N. 1]  therefore AL is also equal to BC. 
Quoniam ergo B punctus centrum est circuli GIT, equalis est recta BG recte BI.  Rursus quoniam D punctus centrum est circuli IKL, equalis est recta DL recte DI, quarum DA recte DB equalis est,  reliqua ergo AL relique BI equalis est.  Ostensa est autem et BG recta recte BI equalis.  Utraque ergo rectarum AL et BG recte BI est equalis.  Que vero eidem equalia, et alternis equalia sunt.  Et recta ergo AL recte BG est equalis. 
فلان نقطة (ب) مركز لدائرة (ج ه ح) وقد خرج منها خطا (ب ج) (ب ه) الى محيطها فمن البين انهما متساويان.  وايضا فان نقطة (د) مركز لدائرة (زه ج ط) وقد خرج منها خطا (د ذ) (د ه) الى محيط الدائرة فمن البين انهما متساويان وقد كنا عملنا مثلث (ا ب د) متساويين الاضلاع نخط (د ا) مساو لخط (د ب) فاذا اسقطناهما من خطى (د ه) (د ز)  يبقى خط (ا ز) مساويا لخط (ب ه)  وقد كنا بينا ان خط (ب ج) مساو لخط (ب ه)  فكل واحد من خطى (ا ز) (ب ج) مساو لخط (ب ه)  والمساوية لشى واحد متساوية  فخط (ا ز) اذا مساو لخط (ب ج) 
باشد بجهت انک (ب ج) (ب ز) متساویانند جه از مرکز (ج ح ز) بمحیط او رفته اند  حد* و همجنین (د ه) (د ز) بجهت انک از مرکز (ز ط ه) بمحیط او رفته اند و (د ا) مساوی (د ب) بود  بس (ب ز) (ا ه) متساوی شوند  ع* بس (ا ه) (ب ج) کی مساوی (ب ز) اند متساوی باشند2     ...  ... 
  (10,1) daharekhādajharekhayoḥ samānatvam asti | (2) tatra daarekhā dabarekhāsamānāsti |  tasmāt (3) aharekhā bajharekhā ca samānā jātā |  punar bajha(4)rekhā bajarekhā ca samānāsti |      tasmāt (5) aharekhā bajarekhāsamānāstīti siddham || 
卽甲庚線、與乙丙線等。  論曰。丁戊、丁庚線。同以丁為心。戊、庚、為界。故等。界說十五於丁戊線減丁丙。丁庚線減丁甲。其所減兩腰線等。則所存亦等。公論三  夫丙戊、與丙乙。同以丙為心。戊、乙、為界。亦等。界說十五  卽甲庚、與丙乙等。公論一。 (p. 二四)    See previous Chinese sentence  See above 
Πρὸς ἄρα τῷ δοθέντι σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴση εὐθεῖα κεῖται ἡ ΑΛ·  ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. 
Therefore at the given point A the straight line AL is placed equal to the given straight line BC.  (Being) what it was required to do. 
A dato ergo puncto A date recte BG equa recta iacet AL.  Quod oportebat facere. 
فقد وصلنا بنقطة (ا) المفروضة خط (ا ز) المستقيم مساويا لخط (ب ج) المفروض الموضوع  وذلك ما اردنا ان نبين.
قوله نريد ان نصل بنقطة موفروض خطا انما عنى به ان يكون النقطة طرف الخط الذى وصل بها

فان ذلك هو الذى احطج اليه فى المعل فى هذا الكتاب وقدمه ٥٠ ولى سائر الاتصالات منها
ان يكون الخط المفروض مثل خط (ب ج) والنقطة المفروضة يكون وضعها على الخط نفسه مثل مقطة (ا)
نريد ان نل بنقطة (ا) خطا مستقيما مساويا لخط (ب ج) ولتكن نهاية الخط اعنى طرفه تنتى الى نقطة (ا) فنعمل على احد قسم الخط اعنى قسم (ا ب) مثلث متساوى الاضلاع وذلك بحسب برهان الشكل الاول من هذا المقلاة وليكن مثلث (ا ب د)
ونخرج خطى (د ب) (د ا) على الاستقامة ولا نعجل الخراجهما حدا حتى اذا ادرنا الدوائر فضل من الخطين فضول
ثم نجعل نقطة (ب) مركزا ونخط ببعد (ب ج) دائرة (ج ه ز)
فمن البين ان خط (ب ج) مساو لخط (ب ز)
وايضا فانن نجعل نقطة (د) مركزا ونجل ببعد (د ز) دائرة (زح ط) فمن البين ان خط (د ز) مساو لخط (د ح)
فاذا سقطنا خطى (د ا) (د ب) المتساويين من خطى (د ز) و(د ح) امتساويين بقى خط (ب ز) مساويا لخط (ا ح)
وقد كنا بينا ان خط (ب ز) والمساوية لشى واحد متساوية
فخط (ا ح) اذا مثل خط (ب ج)
فقد وصلنا بنقطة (ا) خط (ا ح) مساويا لخط (ب ج) ونقطة (ا) نهاية
وذلك ما اردنا ان نبين. ع
وايضا فلا يكونن نقطة (ا) فى نهاية الخط المطلوب ولكن يجتز عليها
فنعمل على خط (ب ا) مثلث متساوى الاضلاع وهو (ا د ب) ونخرج خطى (د ا) (د ب) غلى استقامة ونجعل نقطة (ا) مركزا ونخط ببعد (ا ج) قوس (ج ه)
فمن البين ان خط (ا ج) مثل خط (ا ه) وخط (ب ا) مثل خط (د ا)
فخط (ب ج) مثل خط (د ه)
وذلك ما اردنا ان نبين. ٥٢ 
...  ع* و هوالمراد
و من می کویم این شکل را اختلاف وقوع است جه نقطه مفروضه شاید کی بر خط محدود نباشد و حینئذ یا مسامت خط نباشد جنانک رفت یا باشد و شاید کی بر خط محدود باشد یا برو یا بر طرف او و این جهار وضع است بیان اول جنانک رفت و (ا ب) یا اقصر باشد از (ب ج) و مثلث داخل دایره (ج ح ز) افتد جنانک ٢١رفت یا مساوی او باشد و دایره بهر دو نقطه (ا د) بکذرد یا اطول ازو و محیط او هر دو ضلع (ا ب) (ب د) قطع کند و ایشان برین وجه باشند بیان دوم همجون بیان اولست و درو سه صورت افتد برین وجه و در بیان سیوم احتیاج توصل کردن میان نقطه و طرف خط نباشد جه (ا ب) بعضی از (ب ج) باشد و درو جز یک صورت واقع نشود برین وجه و در بیان جهارم هیج احتیاج نیست الا بانک بر طرف خط ببعد او دایره بکشیم و از مرکز خطی تا بمحیط بیرون بریم 
   
  若所設甲點。卽在丙乙線之一界。其法尤易。假如點在丙。卽以丙為心。作乙戊圜。從丙至戊、卽所求。 
 
Go to Wiki Documentation
Enhet: Det humanistiske fakultet   Utviklet av: IT-seksjonen ved HF
Login